3.6 Проекции плоских углов. Свойство проекции прямого угла.
Свойство проекции биссектрисы
Величина угла, образуемого двумя пересекающимися прямыми, не параллельными плоскости проекций, может изменяться при проецировании. Поэтому в общем случае ни одна из проекций угла не выражает его истиной величины. Так, если стороны угла параллельны плоскости проекций, то угол проецируется на эту плоскость проекций в истинную величину (рисунок 27). Горизонтальная проекция угла АВС дает его истинную величину, так как обе его стороны угла параллельны горизонтальной плоскости проекций (1), т.е. угол лежит в плоскости, параллельной 1. При этом фронтальные проекции стороны угла спроецируются в одну прямую, параллельную оси Х.
Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии.
Рисунок 27 Рисунок 28
Прямые углы проецируются в общем случае с искажением. Однако они не искажаются при проецировании в следующем частном случае (рисунок 28). Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций в истинную величину.
Пусть угол АВС = 90о и расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости проекций 1 (рисунок 29). Тогда, как и всякая фигура, лежащая в плоскости параллельной 1, данный угол АВС спроецируется на плоскость 1 без искажения, т. е. его проекция А1В1С1 = 90о.
Возьмем на линии связи АА1 какую-либо точку D и соединим ее с точкой В. Угол DВС тоже прямой, так как ВС пл. АВА1В1. Проекция угла DВС совпадет с проекцией угла АВС, так как точки А и D лежат на одном перпендикуляре к плоскости 1. Таким образом, А1В1С1 D1В1С1 = 90о.
Но, как видно из рисунка (рисунок 28), только одна сторона ВС угла DВС параллельна плоскости 1. Вторая сторона DВ наклонена к плоскости 1.
Таким образом, для того чтобы прямой угол спроецировался в натуральную величину, достаточно, чтобы хотя бы одна его сторона была параллельна плоскости проекций. Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратные:
1. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций;
-
2. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой.
На основании вышеизложенного можно установить, что углы, изображенные на рисунке 29, в пространстве прямые.
Рисунок 29
Если биссектриса угла параллельна плоскости проекций, то проекция биссектрисы является биссектрисой проекции угла (рисунок 30).
Рисунок 30
Рассмотрим угол ВАС, у которого биссектриса АD параллельна гори-
зонтальной плоскости проекций (1). Спроецируем угол ВАС на плоскость 1
- построим проекцию В1А1С1, а также А1D1. Проведем вспомогательную плос-
кость , перпендикулярную к биссектрисе угла. Так как биссектриса параллельна 1 , плоскость будет перпендикулярна 1.
Таким образом, ВАD = DAC; А D 1 и, следовательно, АD А1D1. Так как А D, линия ВС А D. Треугольники ВАD и DAC – прямоугольные. Эти треугольники равны, так как имеют общий катет и равные углы при вершине А. Их катеты равны: BD = DC.
Поскольку плоскость АD, то она перпендикулярна А1D1. Линия В1С1 также перпендикулярна А1D1 . Треугольники В1А1D1 = D1A1C1. Следовательно, углы при вершине А1 равны: В1А1D1 = D1A1C1.
Вопросы для самопроверки
1. Чем определяется проекция прямой линии?
2. При каком положении относительно плоскостей проекций прямая линия называется прямой общего положения?
3. Как расположена прямая линия в системе 1, 2, 3, если все три проекции отрезка этой прямой равны между собой?
4. Какие положения прямой линии в системе 1, 2, 3 считаются “особыми” (“частными”)?
-
5. Какие прямые линии называются прямыми уровня; проецирующими?
6. Как располагается фронтальная проекция отрезка прямой линии, если его горизонтальная проекция равна самому отрезку?
7. Как располагается горизонтальная проекция отрезка прямой линии, если его фронтальная проекция равна самому отрезку?
8. Как располагается горизонтальная и фронтальная проекция отрезка прямой линии, если его профильная проекция равна самому отрезку?
9. Как изображаются в системе 1, 2 две пересекающиеся прямые линии?
10. Как могут быть расположены в пространстве две различные прямые?
11. Как на комплексном чертеже располагаются проекции параллельных прямых линий?
12. Какое свойство проецирования относится к параллельным прямым линиям?
13. Можно ли по чертежу двух профильных прямых в системе 1 и 2 определить, параллельны ли между собой эти прямые?
14. Как на комплексном чертеже располагаются точки пересечения двух пересекающихся прямых?
15. Как располагаются точки пересечения одноименных проекций двух скрещивающихся прямых?
16. Что называется следами прямой линии?
-
17. Какие прямые линии называются конкурирующими?
-
18. Какие точки являются конкурирующими?
-
19. Теорема о проецировании прямого угла.
4 Плоскость
Плоскость можно представить как предельное понятие ровности или как бесконечную поверхность, имеющую на всем протяжении одинаковое направление.
В общем случае плоскость не может быть задана своими проекциями, так как проекции плоскости на каждую плоскость проекций занимают все поле проекций, и поэтому такое задание плоскости не определяет ее положение в пространстве. Поэтому на комплексном чертеже плоскость задают проекциями элементов, ее определяющих.
4.1 Задание плоскости на чертеже
Из геометрии известно, что плоскость вполне определяется: своими тремя точками, не лежащими на одной прямой А; В; С (рисунок 31, а); прямой и точкой, не лежащей на этой прямой а; D (рисунок 31, б); двумя пересекающимися прямыми m n (рисунок 31, в); двумя параллельными прямыми c d (рисунок 31, г); проекциями плоской фигуры АВС (рисунок 31, д); следами – линиями пересечения плоскости с плоскостями проекций fo ho (рисунок 31, е).
а) б) в) г) д) е)
Рисунок 31