7.1 Способ перемены плоскостей проекций

 

 

Способ «перемены» заключается в том, что, вводя дополнительные плоскости проекций, они переходят к другой системе плоскостей проекций, при этом геометрические образы в пространстве сохраняют свое положение. Изменяют направления плоскости проекций: при замене обязательно сохраняется взаимная перпендикулярность двух плоскостей проекций.

Пусть задана точка А и система двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций ₁ и ₂ (рисунок 71). Возьмем плоскость ₄  ₁ и спроецируем точку А на эту плоскость; проекцией будет А₄. Получаем две системы плоскостей проекций: основную ₁ и ₂ и дополнительную ₁ и ₄. Положение точки А в пространстве определяем по двум ее проекциям – А₂ и А₁ в основной системе плоскостей и А₁ и А₄ – дополнительной. При переходе от одной системы плоскостей проекций к другой аппликата Z₁ точки А и ее горизонтальная проекция А₁ точки А остаются неизменными (инвариантными) для двух систем.

 

Рисунок 71

 

Операция перехода от одной системы плоскостей к другой показана на

эпюре (рисунок 72).

 

 

Рисунок 72

 

Для того чтобы по заданной эпюре точки А (А₁, А₂) и новой оси проекций х₁₄

построить проекцию этой точки на плоскость ₄ (А₄), необходимо:

1) из горизонтальной проекции точки А₁ опустить перпендикуляр на новую ось проекций х₁₄;

2) от точки А₁₄ на этом перпендикуляре отложить координату z точки А, т. е. А₁₄ А₄  А₁₂А₂  Z_A

Таким образом, если точка в пространстве проецируется на новую плоскость проекций, перпендикулярную к одной из оставленных плоскостей проекций, то расстояние новой проекции точки от новой оси равно расстоянию заменяемой проекции от заменяемой оси.

Заметим, что нельзя менять обе плоскости проекций сразу. Новая плоскость проекций должна сохранять перпендикулярность к остающейся плоскости. Поэтому замену плоскостей можно производить только в последовательном порядке: сначала изменить одну плоскость, затем другую, и, если требуется для решения задачи, эту операцию можно повторять неоднократно. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Определение длины отрезка ав общего положения показано на рисунке 73.

 

Рисунок 73

 

Для этого, чтобы данная прямая общего положения АВ оказалась линией уровня, следует ввести новую плоскость ₄ (₅), которая была бы ей параллельна. На чертеже дополнительная плоскость ₄ параллельна прямой АВ и перпендикулярна к плоскости ₁ (ось Х₁₄ ₁/₄ параллельна проекции А₁В₁). Через точки А₁ и В₁ проводим новые линии связи, перпендикулярные оси Х₁₄. Расстояние от оси Х₁₄ до А₄ и В₄ равно расстояниям от А₂ и В₂ до оси Х₁₂. Образовавшейся системе плоскостей проекций ₁/₄ прямая АВ (А₄В₄) является линией уровня, т.е. натуральной величиной отрезка АВ.

Аналогичным построением можно данную прямую АВ преобразовать в горизонталь. Для этого оставим на месте ₂ и заменим ₁ на ₅. Дополнительная плоскость ₅ параллельна прямой АВ и перпендикулярна к плоскости ₂. Теперь прямая А₅В₅ является линией уровня в системе ₂/₅, т.е. натуральной величиной отрезка АВ.

2. Приведение отрезка прямой общего положения в проецирующую прямую.

На рисунке 74 показан перевод отрезка СД прямой общего положения в положение С₅Д₅ отрезка фронтально-проецирующей прямой.

 

 

Рисунок 74

Вначале заменой плоскости ₂ плоскостью ₄ переводим отрезок СД в положение параллельное плоскости ₄, затем, заменив плоскость ₄ плоскостью ₅, поставим отрезок СД по отношению к плоскости ₅ в проецирующее положение, и тогда ее проекция на плоскости ₅ сольется в точку С₅  D₅, при этом С₄₅С₅  С₁₄С₂ (или D₄₅D₅  D₁₄D₂).

3. Чтобы плоскость общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо в этой плоскости выбрать одну из главных линий – горизонталь или фронталь, каждая из которых и определяет направление дополнительной плоскости проекций. Если горизонталь плоскости является направлением дополнительной плоскости проекций, то плоскость, перпендикулярная этой плоскости проекций, занимает также относительно ее положение проецирующей плоскости.

Рассмотрим пример преобразования плоскости общего положения , заданной треугольником АВС, в плоскость проецирующую (рисунок 75).Через вершину А проводим горизонталь. На чертеже горизонтальная проекция А₁1₁ горизонтали А1 определяет направление проекции на дополнительную плоскость проекций. Выбираем дополнительную плоскость проекций ₄ перпендикулярно горизонтали А1 плоскости АВС (₄  ₁, ₄  АВС, Х₁₄  h₁) и соответственно перпендикулярно плоскости ₁, и с помощью точек А и С построена проекция плоскости - А₄В₄С₄ – прямая.

 

Рисунок 75

Очевидно, в образовавшейся системе плоскостей проекций ₁/₄ плоскость АВС является проецирующей. Заметим, что горизонталь проецируется на плоскости ₄ в виде точки.

4. Определить истинную величину фигуры. Если заданные на чертеже плоские фигуры – плоскости общего положения, для определения их истинной величины недостаточно замены одной плоскости. Новая плоскость проекций должна быть параллельна данной фигуре. В таких случаях необходимо заменить плоскости проекций дважды. Основной принцип замены плоскостей проекций и правила построения проекций точек при этом остаются прежними.

Например, необходимо определить истинную величину треугольника АВС, являющегося плоскостью общего положения (рисунок76).

Рисунок 76

Задача решается двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Заменой фронтальной плоскости проекций (₂) некоторой дополнительной плоскостью проекций (₄) в образовавшейся системе ₁/₄

(₄  ₁, ₄  АВС и Х₁₄  h₁) плоскость АВС (А₄В₄С₄) будет проецирующей. Затем вводится дополнительная плоскость ₅ (₅  ₄, ₄ | | АВС,

Х₄₅ | | А₄В₄С₄). Спроецировав треугольник АВС на плоскость ₅, мы получим, очевидно, его истинную фигуру (А₅В₅С₅).