4.2 Плоскости общего и частного положения

 

 

В системе плоскостей проекций плоскость может занимать различное положение:

- плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций;

- плоскость перпендикулярна лишь к одной из них;

- плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций (т.е. произвольно наклоненную), называют плоскостью общего положения (рисунок 32).

Плоскость общего положения пересекает каждую из осей x, y, z. Следы плоскости общего положения никогда не перпендикулярны к этим осям. Плоскость , пересекающая горизонтальную плоскость проекций по прямой линии, обозначается - h_o, фронтальную плоскость – по прямой f_o и профильную плоскость – по прямой p_o. Прямая h_o называется горизонтальным следом плоскости , f_o - фронтальным следом плоскости , p_o - профильным следом плоскости . Каждая пара следов сходится в точке, которая называется точкой схода следов плоскости, и располагается на оси, которая обозначается X_, Y_, Z_. В этих точках плоскость пересекает оси координат.

 

Рисунок 32

 

Плоские фигуры, лежащие в плоскости общего положения, проецируются на плоскости проекций с искажением. В качестве примера покажем на эпюре Монжа, как определяются следы плоскости. Следы плоскости (рисунок 33) проходят через следы А₁М₁, N₂ прямых, принадлежащих плоскости (АВС).

Для нахождения следов плоскости необходимо предварительно определить следы двух прямых этой плоскости. Горизонтальный след плоскости пройдет через точку А₁ (след прямых АВ и АС) и через точку М₁ (след прямой ВС). Точка Х_ пересечения следов (точка схода следов) лежит на оси Х. Фронтальный след плоскости пройдет через точку схода и через след N₂ прямой ВС. Если точка схода следов находится за пределами чертежа, для проведения фронтального следа плоскости необходимо определение фронтального следа еще одной прямой, принадлежащей плоскости, например АВ. Если точка Х_ бесконечно удалена, то следы плоскости расположатся параллельно оси проекций.

Рисунок 33

 

Кроме рассмотренного случая (рисунок 32), плоскость по отношению к плоскостям проекций может занимать частные положения. Плоскости частного положения подразделяются на плоскости проецирующие и плоскости уровня. Рассмотрим эти частные случаи.

Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Возможны три случая частного положения.

1. Плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (₁) называется горизонтально-проецирующей плоскостью (  ₁). На рисунке 34 дан пример изображения горизонтально-проецирующей плоскости, рисунок 34, а – наглядное изображение, рисунок 34, б – чертеж в системе ₁, ₂ с указанием следов f_o и h_o, рисунок 34, в - плоскость задана проекциями треугольника. Фронтальный след плоскости  – f_o как линия пересечения

а) б) в)

 

Рисунок 34

 

плоскости  и ₂ перпендикулярен к плоскости ₁ и к оси Х, горизонтальный след h_o расположен произвольно. Угол ^ служит линейным углом двугранного между плоскостью  и пл. ₂ и проецируется на плоскость ₁ без искажения своей величины: ₁  .

Если в горизонтально-проецирующей плоскости расположена точка, например, точка А, то ее горизонтальная проекция А₁ должна быть на горизонтальном следе плоскости (h_o). Это относится и к любой системе точек, расположенных в горизонтально-проецирующей плоскости. Горизонтальный след плоскости h_o  ₁ можно рассматривать как горизонтальную проекцию плоскости.

2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (₂), называется фронтально-проецирующей плоскостью (  ₂). На рисунке 35 горизонтальный след фронтально-проецирующей плоскости h_o, перпендикулярен к оси Х, а фронтальный ее след f_o расположен произвольно. Если в фронтально-проецирующей плоскости расположена точка (А), то ее фронтальная проекция А₂ должна быть на фронтальном следе плоскости f_o. Это относится и к любой системе точек. След f_o  ₂ можно рассматривать как фронтальную проекцию пл.. Угол ^, образованный плоскостями  и ₁, проецируется на плоскость ₂ без искажения своей величины: ₂  .

 

Рисунок 35

 

3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций (₃), называется профильно-проецирующей плоскостью (  ₃). На рисунке 36 горизонтальный (h_o) и фронтальный (f_o) следы этой плоскости параллельны оси Х. Профильная проекция ₃ любой точки, принадлежащей этой плоскости, совпадает с профильным следом p_o , т.е. профильная проекция любой фигуры, лежащей в этой плоскости, есть прямая.

Рисунок 36

 

Плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций, может, в частности, проходить через ось проекций. Такую плоскость дополнительно называют осевой плоскостью. Рассмотрим, например, осевую профильно-проецирующую плоскость  (рисунок 37).

Плоскость  проходит через ось Х и перпендикулярна к пл. ₃, то следы плоскости f_ и h_o совпадают с осью и поэтому не определяют положение плоскости. Чтобы положение плоскости определялось, необходимо, кроме ее следов, задать в ней какую-либо точку. В частном случае эта плоскость может быть плоскостью биссектора. Тогда взятая в ней точка (К) будет равноудалена от плоскостей проекций (₁ и ₂).

Рисунок 37

 

Таким образом, из вышерассмотренного следует, что у проецирующей плоскости на комплексном чертеже одна проекция есть прямая, на которой располагается проекции всех точек, линий и фигур, лежащих в этой плоскости. Это вырожденная в прямую линию проекция плоскости вполне определяет положение плоскости относительно основных плоскостей проекций. Проецирующая плоскость на комплексном чертеже может быть задана только своей “вырожденной“ проекцией.

Плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекциям (параллельны третьей плоскости проекций), также возможны три частных положения. Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня.

1.Плоскость перпендикулярная плоскостям ₂ и ₃, т.е. параллельная ₁ (рисунок 38), называется горизонтальной плоскостью уровня.

Фронтальный ее след f_ параллелен оси Х; горизонтального следа такая плоскость не имеет, так как с плоскостью ₁ она не пересекается.

След (f_  ₂) можно рассматривать как фронтальную проекцию плоскости. Горизонтальная плоскость задается только фронтальным следом, который параллелен оси Х (рисунок 38, б). Любая фигура, расположенная в горизонтальной плоскости, проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину: А₁В₁С₁  АВС (рисунок 38, в).

 

Рисунок 38

 

2. 2.     Плоскость перпендикулярная плоскостям ₁ и ₃, т.е. параллельная

плоскости ₂ (рисунок 39), называется фронтальной плоскостью уровня.

Горизонтальный ее след h_ параллелен оси Х; фронтального следа ее фронтальная плоскость не имеет, так как с плоскостью ₂ она не пресекается. След (h_  ) можно рассматривать как проекцию этой плоскости на плоскость ₁ (рисунок 39, б). Любая фигура, расположенная во фронтальной плоскости, проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину: А₂В₂С₂  АВС (рисунок 39, в).

 

Рисунок 39

 

3. Плоскость, перпендикулярная плоскостям ₁ и ₂, т.е. параллельная плоскости ₃ (рисунок 40), называется профильной плоскостью уровня.

Следы плоскости f_ и h_ перпендикулярны к оси Х, пересекая ее в точке Х_. Профильная плоскость сочетает в себе свойства фронтально - и горизонтально - проецирующей плоскостей.

 

 

 

 

Рисунок 40

К примечательным свойствам плоскостей уровня относят следующее: если какая-либо фигура расположена в плоскости уровня, то она проецируется без искажения своего истинного вида на ту плоскость проекций, которой параллельна плоскость уровня.

 

 

Вопросы для самопроверки

 

 

1. 1.     Какими элементами пространства можно задать плоскости?

2. Как относительно плоскостей проекций может быть расположена плоскость?

2. 3.     Дайте определение плоскости общего положения.

4. Как располагается в системе основных плоскостей проекций плоскость общего положения?

5. Какие плоскости называются проецирующими?

6. 6.     Какие плоскости называются плоскостями уровня?

7. 7.     Укажите особенности проецирующих плоскостей.

8. Где располагается горизонтальная проекция любой системы точек, расположенной в горизонтально-проецирующей плоскости или фронтальной плоскости?

9. Где располагается фронтальная проекция любой системы точек, расположенной в горизонтальной или фронтально-проецирующей плоскости?

10. Перечислите все проецирующие и все плоскости уровня.

11. Что называется следом плоскости?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 Взаимное положение точки, прямой линии и плоскости

 

 

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относят:

- проведение любой прямой в плоскости;

- построение в плоскости некоторой точки;

- построение недостающей проекции точки;

- проверка принадлежности точки плоскости.

Решение этих задач основывается на следующих положениях геометрии:

- прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости;

- прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельна ей.

При этом используется условие, что если точка принадлежит плоскости, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой, принадлежащей плоскости.