7.2 Преобразование проекций способом вращения

 

 

Сущность способа заключается в том, что при неизменном положении основных плоскостей проекций изменяется положение заданных геометрических элементов относительно плоскостей проекций путем их вращения вокруг некоторой оси до тех пор, пока эти элементы не займут частное положение в исходной системе плоскостей проекций. В качестве осей вращения удобнее всего выбрать проецирующие прямые или прямые уровня, тогда точки будут вращаться в плоскостях, параллельных или перпендикулярных плоскостям проекций.

Данный способ широко используется в технике при рассмотрении и исследовании различных вращающихся форм конструкций механизмов и машин.

 

 

1. 7.2.1 Вращение вокруг проецирующих прямых линий

 

Вращением предмета можно построить множество чертежей данного предмета в одной системе плоскостей проекций. При этом основные плоскости проекций остаются неизменными.

Рассмотрим на комплексном чертеже вращение точки вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций. Пусть точка А (рисунок 77) вращается вокруг горизонтально проецирующей прямой j (j ₁). Траекторией движения точки А является окружность с центром О на оси вращения в плоскости , перпендикулярной к оси вращения. Эта плоскость () параллельна горизонтальной плоскости проекций, поэтому радиус вращения R = О₁А₁ точки А проецируется на ₁ без искажения, ее горизонтальная проекция А₁ перемещается по окружности (с центром в точке О₁) радиусом ОА. Фронтальная проекция точки А₂ при этом перемещается по прямой, параллельной оси Х.

В качестве примера рассмотрим, как осуществляется перемещение отрезка общего положения в частное положение путем вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.

Преобразование прямой линии общего положения в линию уровня можно осуществить вращением вокруг оси, перпендикулярной как к плоскости

Рисунок 77

 

₁, так и к плоскости ₂. На рисунке 78, а отрезок прямой АВ преобразован вращением во фронтальный отрезок A₂’B₂’.

а) б)

Рисунок 78

Ось вращения i  ₁ и проходит через точку В. Чтобы осуществить такое перемещение, достаточно повернуть АВ вокруг оси i  ₁ на угол ^ так, чтобы после поворота A₁’B₁’ занял положение параллельное оси Х. Так как точка В принадлежит оси вращения i, то она не будет менять своего положения в процессе преобразования. В₁  В, следовательно, В₁’  В₁ и В₂  В₂’. Для нахождения фронтальной проекции точки А₂’ необходимо из А₁’ восстановить перпендикуляр к оси Х и отметить точку его пересечения с горизонтальной прямой, проведенной из точки А₂. Отрезок A₂’B₂’ будет натуральной величиной отрезка АВ.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую путем вращения вокруг одной проецирующей оси невозможно. Но зато в проецирующую можно сразу преобразовать прямую уровня. Чтобы преобразовать прямую линию общего положения в проецирующую, требуется произвести последовательно два вращения: первое, преобразуем данную прямую в линию уровня, второе, преобразуем полученную прямую уровня в проецирующую прямую. На рисунке 78, б отрезок СД прямой общего положения переведен в положение, перпендикулярное плоскости ₂.

Отрезок СД вначале вращением вокруг оси i  ₁ переведем в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций (С₂’Д₂’ | | X), затем вращением вокруг i’ П₁, C₁’Д₁’ переместим во фронтально-проецирующее положение C₁’’Д₁’’  Х..

Для того чтобы повернуть плоскость на определенный угол в заданном направлении, необходимо повернуть три любые точки плоскости вокруг одной и той же оси, на один и тот же угол в заданном направлении.

Рассмотрим на примере.

Определить натуральную величину плоскости общего положения (АВС). Известно, что плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций. Если плоскость (АВС) общего положения, то одним поворотом задачу решить невозможно, т.е. необходимо провести два последовательных вращения: первое – повернуть до положения проецирующей плоскости, второе – до положения плоскости уровня. На рисунке 79 в плоскости (АВС) проведена горизонталь h(h₁  h₂). Ось вращения i  ₁  С₁  i₁.

Поворачиваем плоскость (АВС) до положения перпендикулярности горизонтали к плоскости ₂ (h₁’   ₂), горизонтальная проекция плоскости сохраняет свой вид и величину (А₁В₁С₁ = А₁’В₁’С₁’), изменяется лишь ее положение. Так как точки А, В, С при таком повороте перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости ₁, то проекции А₂’, В₂’ находятся на горизонтальных линиях связи А₂А₂’ и B₂B₂’. В результате плоскость (АВС) становится фронтально-проецирующей плоскостью и точки А₂’, В₂’ и С₂ лежат на одной прямой.

При втором повороте, приводящем плоскость (АВС) в параллельное плоскости ₁ положение, подразумевается ось вращения, перпендикулярная к плоскости ₂ (i’ ₂, В₂’  i₂’). Поворачиваем проекцию А₂’, С₂’ до положения параллельного плоскости ₂. Теперь фронтальная проекция при повороте сохраняет свой вид и величину, полученные во второй стадии поворота,

 

Рисунок 79

 

точки А₁’, C₁ перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости ₂, проекции C₁’’ и A₁’’ находятся на горизонтальных линиях связи с точками C₁’A₁’. Построив проекцию A₁’’B₁’C₁’’, получаем натуральную величину плоскости (АВС).