Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость

Теоретический минимум

1. Общее уравнение прямой на плоскости.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

4. Уравнение прямой в отрезках.

5. Полярное уравнение прямой.

6. Нормальное уравнение прямой.

7. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

8. Угол между прямыми на плоскости.

9. Условие параллельности двух прямых.

10. Условие перпендикулярности двух прямых.

11. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

12. Общее уравнение плоскости.

13. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

14. Уравнение плоскости в отрезках.

15. Нормальное уравнение плоскости.

16. Угол между двумя плоскостями.

17. Условие перпендикулярности двух плоскостей.

18. Условие параллельности двух плоскостей.

19. Расстояние от точки до плоскости.

20. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

21. Канонические уравнения прямой в пространстве.

22. Общие уравнения прямой в пространстве.

23. Угол между прямыми в пространстве.

24. Угол между прямой и плоскостью.

Задания

1. Написать уравнения прямых, проходящих через точку М(х₀; y₀), одна из которых параллельна, а другая – перпендикулярна заданной прямой l. Выполнить чертеж.

№	(х0; y0)	Уравнение прямой l	№	(х0; y0)	Уравнение прямой l
1	(– 2; 1)	3x + 2y + 12 = 0	16	(– 2; 2)	4x + y – 3 = 0
2	(2; – 1)	x – y + 1 = 0	17	(3; – 1)	3x – y + 2 = 0
3	(3; – 3)	x + 2y – 4 = 0	18	(– 2; 2)	x + 5y – 2 = 0
4	(– 1; 4)	2x – 5y + 2 = 0	19	(1; – 5)	3x + 3y + 2 = 0
5	(– 5; 0)	– x + 2y + 9 = 0	20	(2; – 3)	– 2x + 5y – 4 = 0
6	(4; – 1)	x + 4y – 3 = 0	21	(– 3; – 4)	x – 3y – 5 = 0
7	(1; – 1)	2x + 2y + 1 = 0	22	(5; 1)	– 2x + 5y – 2 = 0
8	(2; 0)	– 4x + y + 2 = 0	23	(– 2; 4)	4x + 2y + 12 = 0
9	(6; – 1)	2x – 3y + 4 = 0	24	(1; 6)	– 2x + y = 0
10	(1; – 3)	– 3x – y + 2 = 0	25	(0; – 3)	2x – 5y + 21 = 0
11	(1; 1)	x – y + 10 = 0	26	(2; 4)	– x – 5y – 12 = 0
12	(3; – 2)	2x – 3y – 2 = 0	27	(– 4; 4)	x + 5y + 13 = 0
13	(– 1; 1)	x + y + 12 = 0	28	(– 3; 0)	4x – y + 13 = 0
14	(2; 2)	3x + y + 4 = 0	29	(3; 3)	– 4x + y – 2 = 0
15	(2; 1)	x + 4y + 1 = 0	30	(1; 4)	– 2x + 5y – 2 = 0

2. Написать уравнения прямой, которая проходит через точку М(х₀; y₀) и через точку пересечения прямых l₁ и l₂. Выполнить чертеж.

№	(х0; y0)	Уравнения прямых l1 и l2	№	(х0; y0)	Уравнения прямых l1 и l2
1	(1; – 2)	l1: 2x – y – 1 = 0 l2: x – y – 1 = 0	16	(3; – 2)	l1: x – 2y + 3 = 0 l2: 3x – y – 1 = 0
2	(– 4; 0)	l1: x + y – 2 = 0 l2: x – 3y + 2 = 0	17	(0; 1)	l1: x + 3y – 7 = 0 l2: – x + y – 1 = 0
3	(1; – 1)	l1: 7x – 2y – 5 = 0 l2: x – 5y + 4 = 0	18	(1; 0)	l1: 4x – y – 5 = 0 l2: x + 2y – 8 = 0
4	(4; 3)	l1: 5x – 2y – 1 = 0 l2: 2x – 3y + 4 = 0	19	(–1; –4)	l1: 2x – y – 5 = 0 l2: x + y + 7 = 0
5	(3; 3)	l1: x – 2y – 1 = 0 l2: x – 7y + 4 = 0	20	(2; – 4)	l1: 3x – y + 10 = 0 l2: – x – y – 2 = 0
6	(4; 4)	l1: 2x + 2y – 2 = 0 l2: x – 3y + 5 = 0	21	(2; – 5)	: 3x – 4y – 5 = 0 l2: 4x + 3y – 15 = 0
7	(0; – 3)	: x + 4y – 3 = 0 : x + 5y + 4 = 0	22	(2; 1)	l1: – 2x + y – 1 = 0 : 2y + 1 = 0
8	(2; – 2)	l1: 3x + 2y – 1 = 0 l2: x – 3y – 4 = 0	23	(1; – 4)	l1: – 2x + 2y – 11 = 0 l2: 2x + 3 = 0
9	(– 2; 0)	l1: 2x + 3y + 5 = 0 l2: – x + 4y + 3 = 0	24	(– 2; 4)	l1: – x + 2y – 1 = 0 l2: – 7x – 4y + 11 = 0
10	(1; – 2)	l1: 2x + y + 6 = 0 l2: 3x + 5y – 15 = 0	25	(2; 3)	l1: – x + y – 4 = 0 l2: – 7x – 4y – 6 = 0
11	(2; 1)	l1: 2x – y + 3 = 0 l2: 3x + 5y + 11 = 0	26	(1; – 4)	l1: 3x – 2y – 8 = 0 l2: – 3x + 4y + 4 = 0
12	(–1; –3)	l1: 3x + 2y – 5 = 0 l2: x – 2y + 1 = 0	27	(3; 2)	l1: – 3x + 4y + 1 = 0 l2: 7x – 9y – 3 = 0
13	(– 1; 1)	l1: 3x + 2y – 5 = 0 l2: x – 2y + 1 = 0	28	(– 3; 3)	l1: – 3x + 4y + 14 = 0 l2: 7x – 4y – 6 = 0
14	(2; – 3)	l1: x + y – 2 = 0 l2: x – 2y – 1 = 0	29	(1; 7)	l1: – 2x + 5y + 9 = 0 l2: 3x – 4y – 6 = 0
15	(4; 0)	l1: x + 2y – 5 = 0 l2: x – 2y + 2 = 0	30	(– 1; 5)	l1: 5x + 3y – 1 = 0 l2: 4x + 5y + 7 = 0

3. Найти расстояние от точки Р(х₀; y₀) до прямой l:

№	(х0; y0)	Уравнение прямой l	№	(х0; y0)	Уравнение прямой l
1	(2; 2)		16	(–2; 1)
2	(–2; 2)		17	(3; –2)
3	(2; 3)		18	(–3; 0)
4	(3; 2)		19	(–2; 1)
5	(2; 4)		20	(0; –1)
6	(–1; –1)		21	(0; 2)
7	(3; –1)		22	(1; –4)
8	(1; 1)		23	(–2; 0)
9	(–2; 1)		24	(1; 2)
10	(–3; 1)		25	(1; –2)
11	(–1; 3)		26	(–2; 1)
12	(–1; –2)		27	(–3; 1)
13	(1; 1)		28	(2; 3)
14	(3; 1)		29	(–2; 1)
15	(–3; 1)		30	(3; 4)

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD.

Составить:

1) канонические уравнения прямой AB;

2) общее уравнение плоскости ABC;

3) канонические уравнения высоты DO, проведенной из вершины D на основание ABC.

Найти:

4) угол между ребром AD и гранью ABC;

5) длину высоты DO.

№	A	B	C	D
1	(4; 2; 5)	(0; 7; 2)	(0; 2; 7)	(1; 5; 0)
2	(4; 4; 10)	(4; 10; 2)	(2; 8; 4)	(9; 6; 4)
3	(4; 6; 5)	(6; 9; 4)	(2; 10; 10)	(7; 5; 9)
4	(3; 5; 4)	(8; 7; 4)	(5; 10; 4)	(4; 7; 8)
5	(10; 6; 6)	(– 2; 8; 2)	(6; 8; 9)	(7; 10; 3)
6	(1; 8; 2)	(5; 2; 6)	(5; 7; 4)	(4; 10; 9)
7	(6; 6; 5)	(4; 9; 5)	(4; 6; 11)	(6; 9; 3)
8	(7; 2; 2)	(5; 7; 7)	(5; 3; 1)	(2; 3; 7)
9	(8; 6; 4)	(10; 5; 5)	(5; 6; 8)	(8; 10; 7)
10	(7; 7; 3)	(6; 5; 8)	(3; 5; 8)	(8; 4; 1)
11	(8; 4; 10)	(0; 14; 4)	(0; 4; 14)	(2; 10; 0)
12	(8; 8; 20)	(8; 20; 4)	(4; 16; 8)	(18; 12; 8)
13	(8; 12; 10)	(12; 18; 8)	(4; 20; 20)	(14; 10; 18)
14	(6; 10; 8)	(16; 14; 8)	(10; 20; 8)	(8; 14; 16)
15	(20; 12; 12)	(– 4; 16; 4)	(12; 16; 18)	(14; 20; 6)
16	(2; 16; 4)	(10; 4; 12)	(10; 14; 8)	(8; 20; 18)
17	(12; 12; 10)	(8; 18; 10)	(8; 12; 22)	(12; 18; 10)
18	(14; 4; 4)	(10; 14; 14)	(10; 6; 14)	(4; 6; 14)
19	(16; 12; 8)	(20; 10; 10)	(10; 12; 14)	(16; 20; 14)
20	(14; 14; 6)	(12; 10; 16)	(6; 10; 16)	(16; 8; 2)
21	(5; 2; 4)	(2; 7; 0)	(7; 2; 0)	(0; 5; 1)
22	(10; 4; 4)	(2; 10; 4)	(4; 8; 2)	(4; 6; 9)
23	(5; 6; 4)	(4; 9; 6)	(10; 10; 2)	(9; 5; 7)
24	(4; 5; 3)	(4; 7; 8)	(4; 10; 5)	(8; 7; 4)
25	(6; 6; 10)	(2; 8; – 2)	(9; 8; 6)	(3; 10; 7)
26	(2; 8; 1)	(6; 2; 5)	(4; 7; 5)	(9; 10; 4)
27	(5; 6; 6)	(5; 9; 4)	(11; 6; 4)	(3; 9; 6)
28	(2; 2; 7)	(7; 7; 5)	(1; 3; 2)	(7; 3; 2)
29	(4; 6; 8)	(5; 5; 10)	(8; 6; 5)	(7; 10; 8)
30	(3; 7; 7)	(8; 5; 6)	(8; 5; 3)	(1; 4; 8)