- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
Справочный материал
к 1-й лабораторной работе
1. Матрица размера m×n – таблица А = (aij)m×n, в которой m строк и n столбцов; aij – элемент матрицы, который находится в i-й строке и в j-м столбце (элементом матрицы может быть число, алгебраическое выражение, функция и т.д.).
2. Транспонированная матрица АТ к матрице А − матрица, строки которой являются соответствующими по номерам столбцами исходной матрицы А; при транспонировании матрицы А размера mn получается матрица АТ размера nm.
3. Квадратная матрица n-го порядка – матрица, у которой n строк и n столбцов; квадратные матрицы соответственно первого, второго и третьего порядка:
А11 = (a11); A22 = ; A33 = .
4. Главная диагональ квадратной матрицы – диагональ от левого верхнего угла к правому нижнему углу матрицы, т.е. проходящая по элементам матрицы с одинаковыми индексами: a11, a22, …, ann; вторая диагональ (от левого нижнего угла к правому верхнему углу) называется побочной диагональю квадратной матрицы.
5. Диагональная матрица – квадратная матрица, все элементы которой, не стоящие на главной диагонали, – нули.
6. Единичная матрица Е – диагональная матрица, все элементы которой на главной диагонали – единицы; Еn − единичная матрица n-го порядка.
7. Треугольная матрица – квадратная матрица, все элементы которой ниже главной диагонали – нули.
8. Трапецеидальная матрица – матрица, в которой число нулей, стоящих с начала каждой следующей строки, превышает это число нулей в предыдущей строке, все нулевые строки, если они имеются в матрице, расположены ниже последней ненулевой строки, а число столбцов матрицы больше числа ненулевых строк.
9. Матрица ступенчатого вида – треугольная матрица и трапецеидальная матрица.
10. Равенство матриц: две матрицы одинакового размера A = (aij)mn и B = (bij)mn равны, если равны все их соответствующие элементы: aij = bij; обозначение равенства матриц: A = B.
11. Произведение матриц при умножении матрицы A = (aij)mq слева на матрицу B = (bij)qn – матрица C = (сij)mn = AB, у которой элемент сij, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме парных произведений элементов i-й строки матрицы А и соответствующих по номерам элементов j-го столбца матрицы B: сij = ai1∙b1j + ai2∙b2j + …+ aiq∙bqj; A(BС) = (АВ)С; A(B + С) = АВ + АС; в общем случае АВ ≠ ВА, однако для квадратной матрицы А n-го порядка: АЕn = ЕnА = А.
Внимание! Матрицу А можно умножить слева на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, при этом матрица С = АВ имеет столько строк, сколько строк у матрицы А, и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы В.
12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
взаимная перестановка двух строк или столбцов;
умножение строки или столбца на произвольное ненулевое число (деление на число а ≠ 0 можно рассматривать как умножение на число 1 ∕ а);
прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число, или прибавление к элементам одного столбца соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число (вычитание можно рассматривать как сложение с умноженным на (–1) вторым слагаемым), что кратко формулируется, как: прибавление к одной строке другой строки, умноженной на произвольное число, или прибавление к одному столбцу другого столбца, умноженного на произвольное число.
13. Эквивалентные матрицы – матрицы, которые могут быть получены друг из друга элементарными преобразованиями; обозначение эквивалентных матриц: А ~ В. Элементарными преобразованиями любую ненулевую матрицу можно привести к эквивалентной матрице ступенчатого вида.
14. Определитель (детерминант) квадратной матрицы Аn = (aij)n×n (обозначение определителя: det A или |A|, или Δ) – алгебраическая сумма произведений элементов матрицы, составленных по определенному правилу:
определитель 1-го порядка det(a11) = a11, т.е. равен самому элементу матрицы;
определитель 2-го порядка = a11∙a22 − a21∙a12, если знак произведения графически заменить отрезком, соединяющим перемножаемые элементы, то схему вычисления определителя 2-го порядка можно представить, как:
определитель 3-го порядка вычисляется по правилу треугольников, или иначе по правилу Саррюса, т.е. по схеме:
(т.е. определитель 3-го порядка равен сумме произведений из трех множителей, равных элементам на главной диагонали и находящихся в вершинах двух треугольников, одна из сторон которых параллельна главной диагонали, минус сумма произведений из трех множителей, равных элементам на побочной диагонали и находящихся в вершинах двух треугольников, одна из сторон которых параллельна побочной диагонали);
определитель любого порядка можно вычислять разложением по какой-либо строке или какому-либо столбцу (это приводит к последовательному уменьшению порядка определителя, а определитель до 3-го порядка уже можно рассчитать указанными способами): определитель равен сумме произведений элементов произвольно выбранной строки (произвольно выбранного столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения Аij = (−1)i+j∙Mij, где Mij – минор элемента aij, т.е. определитель, получаемый из элементов матрицы после вычеркивания i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.