- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
Примеры выполнения заданий лабораторной работы
1. Найти решение системы двух уравнений а) используя формулы Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса.
Решение.
а) Решение системы по формулам Крамера.
Находим определитель системы = det A = = – 8 – 15 = – 23.
Находим дополнительный определитель для неизвестной х. Для этого столбец коэффициентов при х в определителе системы заменяем столбцом свободных членов системы: 1 = = – 4 – 65 = – 69.
Находим дополнительный определитель для неизвестной y. Для этого столбец коэффициентов при y в определителе системы заменяем столбцом свободных членов системы: 2 = = 52 – 6 = 46.
Находим решение системы по формулам Крамера: х = 1/ = – 69/(– 23) = 3; y = 2/ = 46/(– 23) = – 2.
б) Решение системы матричным способом.
Находим решение системы в видеX = А−1∙B, где Х = ,B = ,А−1 – обратная матрица к основной матрице системы А = .
Поскольку (см. справочный материал к 1-й лаб. работе) для матрицы 2-го порядка А = обратная матрицаА – 1 = , то получаемА−1 = =.
Т.о., Х = ===. Следовательно,х = 3; y = – 2.
в) Решение системы методом Гаусса.
Выполняем прямой ход метода Гаусса, т.е. приводим расширенную матрицу системы (А|B) = к ступенчатому виду. Для этого в качестве ведущего элемента берем в 1-м столбце матрицыА 1-й диагональный элемент, равный 4, и элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы зануляем нижестоящий элемент в этом столбце:
стр.:
4II–3∙I
~ .
В результате получаем систему, равносильную исходной:
Выполняем обратный ход метода Гаусса: из последнего уравнения находим y = – 2, и подставляем полученное значение в вышестоящее уравнение: 4х + 5(–2) = 2, откуда находим: 4х = 2 + 10 = 12, т.е. х = 3.
Ответ: х = 3; y = – 2.
2. Найти решение системы трех уравнений а) используя формулы Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса.
Решение.
а) Решение системы по формулам Крамера.
Находим определитель системы = det A = = – 12 +4 +1 – 2 +8 – 3 = – 4.
Находим дополнительный определитель для неизвестной х1. Для этого столбец коэффициентов при х1 в определителе системы заменяем столбцом свободных членов системы: 1 = = – 30 + 16 + 6 – 12 + 20 – 12 = – 12.
Находим дополнительный определитель для неизвестной х2. Для этого столбец коэффициентов при х2 в определителе системы заменяем столбцом свободных членов системы: 2 = = 24 – 6 + 5 + 4 – 12 – 15 = 0.
Находим дополнительный определитель для неизвестной х3. Для этого столбец коэффициентов при х3 в определителе системы заменяем столбцом свободных членов системы: 3 = = 24 + 20 – 4 – 10 – 32 + 6 = 4.
Находим решение системы по формулам Крамера: х1 = 1/ = – 12/(– 4) = 3; х2 = 2/ = 0/(– 4) = 0; х3 = 3/ = 4/(– 4) = – 1.
б) Решение системы матричным способом.
Находим решение системы в видеX = А−1∙B, где Х =,B =,А−1 – обратная матрица к основной матрице системы А = .
Находим обратную матрицу А−1 матричным методом:
стр.:
II–I
стр.:
III+3∙I
стр.:
I+III
стр.:
II+III
(А|Е) = ~ ~
стр.:
I/4
стр.:
II/4
стр.:
III/(–4)
стр.:
4I–9II
стр.:
4III–7∙II
~ ~
Перестановка
строк
~ = (E|A–1).
Следовательно, A–1 = =.
Т.о., Х = = = = = .
Следовательно, х1 = 3; х2 = 0; х3 = – 1.
в) Решение системы методом Гаусса.
Выполняем прямой ход метода Гаусса, т.е. приводим расширенную матрицу системы (А|B) = к ступенчатому виду. Для этого последовательно слева направо в качестве ведущих элементов берем диагональные элементы преобразуемой матрицыА и элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы зануляем нижестоящие элементы в соответствующих столбцах (т.е. последовательно исключаем неизвестные из ниже находящихся уравнений системы относительно верхних уравнений):
стр.:
2II+I
стр.:
2III–I
стр.:
5III+9II
~ ~ .
В результате получаем систему, равносильную исходной:
Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Из последнего уравнения находим х3 = – 1.
Подставляем полученное значение х3 в вышестоящее уравнение: 5х2 + 3(–1) = –3, откуда находим: 5х2 = – 3 + 3 = 0, т.е. х2 = 0.
Подставляем полученные значения х2 и х3 в первое уравнение системы: 2х1 + 0 + (–1) = 5, откуда 2х1 = 6, т.е. х1 = 3.
Ответ: х1 = 3; х2 = 0; х3 = – 1.
2. Используя метод Гаусса, найти общее и базисное решения системы линейных уравнений: а) б) в)
Решение.
а) Составляем расширенную матрицу системы: .
Выполняем прямой ход метода Гаусса: элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приводим ее к ступенчатому виду:
стр.:
II−3∙I
стр.:
III+I
стр.:
II ∕
2
стр.:
III−II
По полученной расширенной матрице ступенчатого вида системы запишем систему уравнений, равносильную исходной:
В полученной системе 2 уравнения и 3 неизвестных, следовательно, в исходной системе 2 базисных неизвестных и одна свободная. В качестве базисных неизвестных возьмем x1 и x2, что допустимо, поскольку соответствующие им коэффициенты в расширенной матрице ступенчатого вида без нулевых строк образуют диагональную матрицу, определитель которой отличен от нуля.
Базисные неизвестные оставим в левой части уравнений, а свободную неизвестную x3 в качестве параметра переносим в правую часть уравнений:
Выполняем обратный ход метода Гаусса: найдем общее решение системы последовательным вычислением значений базисных неизвестных путем перехода от нижнего уравнения к верхнему.
Из второго уравнения определяется x2 = 1 − x3 / 2. Подставляя это значение в первое уравнение, получим x1 = 1 + 2x3 + 2∙(1 − x3 / 2) = 3 + x3.
Чтобы подчеркнуть, что x3 как параметр может принимать любые числовые значения, а также чтобы избавиться в ответе от дробей, переобозначим свободную неизвестную: x3 = 2С, где С – произвольная константа.
С учетом произведенной замены запишем общее решение в виде вектора-столбца X = =.
Запишем базисное решение, получаемое при равенстве всех свободных неизвестных нулю (в нашем случае x3 = 0 и, следовательно, С = 0):
X0 = .
Ответ: общее решение системы x1 = 3 + 2С, x2 = 1 − С, x3 = 2С;
базисное решение системы x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0.
б) Составляем расширенную матрицу системы: .
Выполняем прямой ход метода Гаусса: элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приводим ее к ступенчатому виду:
стр.:
II−2∙I
стр.:
III−I
стр.:
III−2∙II
~ ~.
По полученной расширенной матрице ступенчатого вида системы запишем систему уравнений, равносильную исходной:
В полученной системе 2 уравнения и 3 неизвестных, следовательно, в исходной системе 2 базисных неизвестных и одна свободная. В качестве базисных неизвестных возьмем x1 и x2, что допустимо, поскольку соответствующие им коэффициенты в расширенной матрице ступенчатого вида без нулевых строк образуют диагональную матрицу, определитель которой отличен от нуля.
Базисные неизвестные оставим в левой части уравнений, а свободную неизвестную x3 в качестве параметра переносим в правую часть уравнений:
Выполняем обратный ход метода Гаусса: найдем общее решение системы последовательным вычислением значений базисных неизвестных путем перехода от нижнего уравнения к верхнему.
Из второго уравнения определяется x2 = x3 / 3. Подставляя это значение в первое уравнение, получим x1= x3 + 4x3 / 3 = 7x3 / 3.
Чтобы подчеркнуть, что x3 как параметр может принимать любые числовые значения, а также чтобы избавиться в ответе от дробей, переобозначим свободную неизвестную: x3 = 3С, где С – произвольная константа.
С учетом произведенной замены запишем общее решение в виде вектора-столбца
X = ==C∙.
Запишем базисное решение, получаемое при равенстве всех свободных неизвестных нулю (в нашем случае x3 = 0 и, следовательно, С = 0):
X0 = .
Ответ: общее решение системы: x1 = 7С, x2 = С, x3 = 3С;
базисное решение системы: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0.
в) Составляем расширенную матрицу системы: .
Выполняем прямой ход метода Гаусса: элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приводим ее к ступенчатому виду:
стр.:
II+I
стр.:
III−2∙I
~ .
Согласно полученной расширенной матрице исходная система сводится к единственному уравнению
2∙x1 − x2 − 3∙x3 = −1.
Поскольку в полученном единственном уравнении 3 неизвестных, то в исходной системе одна базисная неизвестная и 2 свободные. В качестве базисной неизвестной выбираем x1.
Базисную неизвестную оставим в левой части уравнений, а свободные неизвестные x2 и x3 в качестве параметров переносим в правую часть уравнения:
2∙x1 = −1 + x2 + 3∙x3, откуда x1 = −1/ 2 + x2 / 2 + 3∙x3 / 2.
Запишем общее решение системы, переобозначив свободные неизвестные: x2 = 2∙С1, x3 = 2∙С2, где С1 и С2 – произвольные константы:
x1 = −1/ 2 + С1 + 3∙С2.
С учетом произведенной замены запишем общее решение в виде вектора-столбца
X = =.
Запишем базисное решение, получаемое при равенстве всех свободных неизвестных нулю (в нашем случае x2 = 0, x3 = 0 и, следовательно, С1 = С2 = 0):
X0 = .
Ответ: общее решение системы x1 = − 0,5 + С1 + 3С2; x2 = 2С1; x3 = 2С2;
базисное решение системы x1 = − 0,5; x2 = 0; x3 = 0.
Примечание: если исходная система в задании 3в имела бы, например, вид то получится соответствующая этой системе расширенная матрица ступенчатого вида:. Следовательно, для такой системы ранг основной матрицы (rang A = 1) не равен рангу расширенной матрицы (rang (A|B) = 2), и поэтому она несовместна, т.е. решений не имеет.