Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений

Теоретический минимум

1. Однородная и неоднородная система линейных уравнений.

2. Совместная и несовместная система линейных уравнений.

3. Определенная и неопределенная система линейных уравнений.

4. Основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений.

5. Ранги основной и расширенной матриц системы линейных уравнений.

6. Теорема Кронекера-Капелли.

7. Формулы Крамера решения систем линейных уравнений.

8. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

9. Метод Гаусса решения линейной системы уравнений.

Задания

1. Найти решение систем (1) и (2), используя формулы Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

2. Используя метод Гаусса, найти общее и базисное решения системы (3).

№	Системы	№	Системы	№	Системы
1	1. 2. 3.	11	1. 2. 3.	21	1. 2. 3.
2	1. 2. 3.	12	1. 2. 3.	22	1. 2. 3.
3	1. 2. 3.	13	1. 2. 3.	23	1. 2. 3.
4	1. 2. 3.	14	1. 2. 3.	24	1. 2. 3.
5	1. 2. 3.	15	1. 2. 3.	25	1. 2. 3.
6	1. 2. 3.	16	1. 2. 3.	26	1. 2. 3.
7	1. 2. 3.	17	1. 2. 3.	27	1. 2. 3.
8	1. 2. 3.	18	1. 2. 3.	28	1. 2. 3.
9	1. 2. 3.	19	1. 2. 3.	29	1. 2. 3.
10	1. 2. 3.	20	1. 2. 3.	30	1. 2. 3.

Справочный материал

ко 2-й лабораторной работе

1. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными –

a₁₁∙x₁ + a₁₂∙x₂ + … + a_1n∙x_n = b₁,

a₂₁∙x₁ + a₂₂∙x₂ + … + a_2n∙x_n = b₂,

………………………………………

a_m1∙x₁ + a_m2∙x₂ +…+ a_mn∙x_n = b_m,

где x₁, x₂, …, x_n – неизвестные, a_ij (i = ,j = ) – числовые коэффициенты при неизвестных, числа в правой части системы b_i (i =) – свободные члены системы; отсутствие каких-либо неизвестных в уравнении равносильно наличию нулевых коэффициентов при этих неизвестных.

2. Основная матрица системы линейных уравнений – матрица коэффициентов при неизвестных в системе уравнений:

А = ,

строки матрицы соответствуют уравнениям системы, столбцы – неизвестным.

3. Расширенная матрица системы линейных уравнений – матрица вида

(А|B) = .

4. Ранг основной матрицы системы – число ненулевых строк в матрице ступенчатого вида, эквивалентной основной матрицы системы А.

5. Ранг расширенной матрицы системы – число ненулевых строк в матрице ступенчатого вида, эквивалентной расширенной матрицы системы (А|B).

6. Матричная форма записи системы линейных уравнений: A∙X = B, где матрица – вектор-столбец неизвестных, матрица – вектор-столбец свободных членов, А – основная матрица системы.

7. Однородная система – система уравнений, все свободные члены которой равны нулю; в матричной форме – система с нулевым вектором-столбцом В.

8. Неоднородная система – система уравнений, хотя бы один свободный член которой отличен от нуля.

9. Решение системы – совокупность значений неизвестных, при которых каждое уравнение системы обращается в тождество.

10. Совместная система – система уравнений, имеющая хотя бы одно решение; однородная система уравнений всегда совместна, так как ей удовлетворяет нулевое (тривиальное) решение: x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

11. Несовместная система – система уравнений, которая не имеет ни одного решения.

12. Определенная система – совместная система уравнений, имеющая единственное решение.

13. Неопределенная система – совместная система уравнений, которая имеет более одного решения.

14. Теорема Кронекера-Капелли: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы.

15. Свободные неизвестные – неизвестные в решении неопределенной системы уравнений, через которые можно выразить все остальные; число свободных неизвестных равно числу неизвестных в системе минус ранг основной (или равный ему ранг расширенной) матрицы системы.

16. Базисные неизвестные – неизвестные, которые в решении неопределенной системы уравнений выражены через свободные; число базисных неизвестных равно рангу основной (или равному ему рангу расширенной) матрицы системы.

17. Частное решение системы – каждое решение неопределенной системы уравнений при заданных значениях свободных неизвестных-параметров.

18. Общее решение системы – совокупность всех частных решений системы уравнений.

19. Базисное решение системы – частное решение неопределенной системы уравнений, в котором все свободные неизвестные приравнены нулю.

20. Формулы Крамера – формулы расчета решения системы n линейных уравнений с n неизвестными A∙X = B, для которой определитель системы Δ = det A ≠ 0: х_j = Δ_j ∕ Δ, где Δ_j – дополнительные определители системы, j = , получаемые из определителя системы заменой соответствующего j-го столбца (т.е. столбца коэффициентов при неизвестной x_j) столбцом свободных членов данной системы.

21. Матричный способ решения системы линейных уравнений, для которой Δ = det A ≠ 0: X = А⁻¹∙B, где А⁻¹ – обратная матрица к основной квадратной матрице системы А; матрица В – вектор-столбец свободных членов системы; матрица Х – вектор-столбец неизвестных системы.

22. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений – метод решения системы линейных уравнений, предусматривающий прямой ход, в процессе которого расширенная матрица системы (А|B) элементарными преобразованиями ее строк приводится к ступенчатому виду, и обратный ход, в процессе которого последовательной подстановкой найденных значений базисных неизвестных находится решение системы.