Справочный материал

к 3-й лабораторной работе

1. Свободный вектор (далее – вектор) а, или , – множество направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и одно и то же направление. Параллельный перенос вектора в пространстве (в частности, на плоскости) с произвольным выбором точки для его начала дает тот же вектор; если точкаА – начало вектора, точка В – ко_{нец вектора, то вектор обозначается как АВ, или} .

2. Длина (модуль) вектора АВ – длина отрезка АВ; |АВ| − обозначение длины вектора АВ; |а| – обозначение длины (модуля) вектора а.

3. Единичный вектор е – вектор, длина которого равна единице в фиксированном масштабе измерений.

4. Орты i, j, k – единичные векторы вдоль осей прямоугольной системы координат Ох, Оy, Oz соответственно, где О – начало координат, т.е. точка пересечения координатных осей.

5. Направляющие косинусы вектора cos α, cos β, cos γ – косинусы углов, образуемых вектором с координатными осями Оx, Оy и Оz соответственно.

6. Проекции вектора на координатные оси Оx, Оy и Оz: a_x = |a|cos α, a_y = |a|cos β, a_z = |a|cos γ, проекции вектора а на координатные оси называются его координатами.

7. Координатное задание вектора а в пространстве: а = {a_x; a_y; a_z} = a_xi + a_yj + a_zk; координатное задание вектора АВ на плоскости: АВ = {x₂ − x₁; y₂ − y₁}, где А(x₁; y₁) и В(x₂; y₂) – координаты начала и конца вектора АВ; координатное задание вектора АВ в трехмерном пространстве: АВ = {x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁}, где А(x₁; y₁; z₁) и В(x₂; y₂; z₂) – координаты начала и конца вектора АВ.

8. Длина вектора а в прямоугольной системе координат: |a| = .

9. Коллинеарные векторы – векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых; коллинеарные векторы могут быть одинаково или противоположно направлены; условие коллинеарности векторов а = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z}: a_x /b_x = a_y /b_y = a_z /b_z; если эти отношения положительны, то векторы а и b сонаправлены, если отрицательны, то противоположно направлены; если хотя бы одна из проекций вектора b равна 0, то условие коллинеарности имеет вид: a_xb_y = b_xa_y и a_yb_z = b_ya_z.

10. Компланарные векторы – векторы, расположенные на одной плоскости или на параллельных плоскостях.

11. Два вектора а и b равны, если они одинаково направлены и имеют одинаковую длину; условие равенства векторов а = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z}: а = b, если a_x = b_x; a_y = b_y; a_z = b_z; в случае а = – b, вектор b называется противоположным вектору а.

12. Координаты алгебраической суммы векторов а = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z}: a  b = {a_x  b_x; a_y  b_y; a_z  b_z}.

13. Координаты вектора а = {a_x; a_y; a_z}, умноженного на число : а = {a_x; a_y; a_z}.

14 Скалярное произведение векторов а = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} – число a∙b, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла  между ними: ab = |a|∙|b|∙cos  = a_x∙b_x + a_y∙b_y + a_z∙b_z, в частности, aа = a² = a_x² + a_y² + a_z² = |a|². Свойства скалярного произведения векторов:

• ab = ba;

• (λa)b = (λb)a = λ(ab);

• a(b + c) = ab + ac.

15. Признак перпендикулярности двух ненулевых векторов: если ab = a_x∙b_x + a_y∙b_y + a_z∙b_z = 0, то векторы а = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} перпендикулярны друг другу.

16. Векторное произведение векторов а = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} – вектор a  b = = i∙ − j∙ + k∙. Свойства векторного произведения:

• вектор a  b перпендикулярен векторам а и b;

• длина вектора a  b равна произведению длин этих векторов и синуса угла  между ними: |a  b| = |a|∙|b|∙sin  (0 ≤  ≤ π);

• вектор a  b направлен так, что при наблюдении с его конца кратчайший поворот от вектора а к вектору b осуществляется против хода часовой стрелки (т.е. а, b и a  b в указанном порядке образуют правую тройку векторов, как и орты i, j, k);

• a  b = – b  a;

• a  a = 0 ;

• (λ∙a)  b = a  (λ∙b) = λ∙(a  b);

• (a + b)  c = a  c + b  c;

• если a  b = 0 и a ≠ 0, b ≠ 0, то а и b коллинеарны;

• длина вектора a  b равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах, при этом вектор a  b перпендикулярен плоскости этого параллелограмма;

• a  (b  c) = b  (ас) – с  (аb).

Примечание: при нахождении векторного произведения векторов, заданных в координатной плоскости ху, следует их z-координату полагать равной 0.

17. Смешанное произведение векторов а = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и с = {c_x; c_y; c_z} – число abc = (a  b)∙с = a∙(b  с) = . Свойства смешанного произведения:

• abc = cab = bca = – acb = – cba = – bac;

• если abс = 0 и a ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0, то векторы a, b и с компланарны (abс = 0 – необходимое и достаточное условие компланарности трех ненулевых векторов);

• абсолютная величина значения abc равна объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, с как на ребрах с общей вершиной; объем призмы, построенного на векторах a, b, с как на ребрах с общей вершиной, равен |abc|/2; объем треугольной пирамиды, построенного на векторах a, b, с как на ребрах с общей вершиной, равен |abc|/6.