Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка

Теоретический минимум

1. Каноническое уравнение окружности.

2. Каноническое уравнение эллипса.

3. Каноническое уравнение гиперболы.

4. Каноническое уравнение параболы.

5. Асимптоты гиперболы.

6. Фокусы эллипса, гиперболы и параболы.

7. Эксцентриситет кривых 2-го порядка.

8. Директрисы кривых 2-го порядка.

9. Определение типа кривой 2-го порядка по ее общему уравнению.

10. Приведение кривой 2-го порядка к главным осям.

Задания

1. Построить кривые по заданным уравнениям. Указать тип кривой.

№	Уравнения кривых 2-го порядка	№	Уравнения кривых 2-го порядка
1	а) (х – 2)^2 + (у – 3)^2 = 9; б) в) г) у^2 = 9х.	16	а) (х – 3)^2 + (у – 2)^2 = 9; б) в) г) у^2 = – 4х.
2	а) (х + 3)^2 + (у – 5)^2 = 4; б) в) г) у^2 = 7х.	17	а) (х – 5)^2 + (у + 3)^2 = 4; б) в) г) у^2 = – 2х.
3	а) (х + 1)^2 + (у – 2)^2 = 16; б) в) г) у^2 = 5х.	18	а) (х + 1)^2 + (у + 1)^2 = 16; б) в) г) у^2 = – 6х.
4	а) (х – 3)^2 + (у + 4)^2 = 25; б) в) г) у^2 = 16х.	19	а) (х + 4)^2 + (у – 3)^2 = 25; б) в) г) у^2 = – х.
5	а) (х + 3)^2 + (у + 3)^2 = 4; б) в) г) у^2 = 3х.	20	а) (х – 3)^2 + (у – 3)^2 = 4; б) в) г) у^2 = – 8х.
6	а) (х – 1)^2 + (у + 1)^2 = 1; б) в) г) у^2 = 4х.	21	а) (х + 1)^2 + (у – 1)^2 = 16; б) в) г) х^2 = 9у.
7	а) (х + 2)^2 + (у – 1)^2 = 9; б) в) г) у^2 = 2х.	22	а) (х – 1)^2 + (у + 2)^2 = 36; б) в) г) х^2 = 7у.
8	а) (х – 4)^2 + (у + 2)^2 = 49; б) в) г) у^2 = 6х.	23	а) (х + 2)^2 + (у – 4)^2 = 49; б) в) г) х^2 = 5у.
9	а) (х + 4)^2 + (у – 4)^2 = 9; б) в) г) у^2 = х.	24	а) (х – 4)^2 + (у + 4)^2 = 9; б) в) г) х^2 = 16у.
10	а) (х – 5)^2 + (у + 1)^2 = 4; б) в) г) у^2 = 8х.	25	а) (х + 1)^2 + (у – 5)^2 = 4; б) в) г) х^2 = 3у.
11	а) (х + 5)^2 + (у – 6)^2 = 16; б) в) г) у^2 = – 9х.	26	а) (х – 6)^2 + (у + 5)^2 = 16; б) в) г) х^2 = 4у.
12	а) (х – 1)^2 + (у + 5)^2 = 1; б) в) г) у^2 = – 7х.	27	а) (х + 5)^2 + (у – 1)^2 = 1; б) в) г) х^2 = 2у.
13	а) (х + 1)^2 + (у – 3)^2 = 25; б) в) г) у^2 = – 5х.	28	а) (х – 3)^2 + (у + 1)^2 = 25; б) в) г) х^2 = 6у.
14	а) (х – 3)^2 + (у – 2)^2 = 36; б) в) г) у^2 = – 16х.	29	а) (х – 2)^2 + (у – 3)^2 = 36; б) в) г) х^2 = у.
15	а) (х + 2)^2 + (у + 4)^2 = 49; б) в) г) у^2 = – 3х.	30	а) (х + 4)^2 + (у + 2)^2 = 49; б) в) г) х^2 = 8у.

2. Определить тип кривой второго порядка по ее общему уравнению, привести это уравнение к главным осям и построить соответствующую кривую. Определить координаты вершин и фокусов кривой, записать уравнения директрис и асимптот, если они есть. Вычислить эксцентриситет кривой.

№	Уравнение	№	Уравнение
1	4х^2 + у^2 – 8х + 4у = 0	16	4х^2 – у^2 + 16х – 2у + 15 = 0
2	9х^2 – 4у^2 + 54х + 8у + 41 = 0	17	х^2 + 25у^2 + 4х – 150у + 204 = 0
3	2х^2 + 3у^2 + 12х – 6у + 15 = 0	18	4х^2 – 9у^2 + 16х + 54у – 101 = 0
4	4х^2 – у^2 + 8х – 2у + 3 = 0	19	3х^2 + 2у^2 + 12х – 16у + 38 = 0
5	9х^2 + 16у^2 + 36х – 64у – 44 = 0	20	9х^2 – 16у^2 – 36х – 64у – 172 = 0
6	4х^2 – 25у^2 + 8х – 10у + 4 = 0	21	4х^2 + 9у^2 + 32х – 16у + 37 = 0
7	9х^2 + 4у^2 + 36х – 8у + 36 = 0	22	9х^2 – 4у^2 – 18х – 16у – 43 = 0
8	х^2 – 4у^2 + 10х + 24у – 7 = 0	23	4х^2 + у^2 – 8х + 4у + 24 = 0
9	9х^2 + 4у^2 + 36х – 8у + 36 = 0	24	4х^2 – у^2 – 16х – 6у + 11 = 0
10	х^2 – 4у^2 + 6х + 8у + 5 = 0	25	х^2 + 4у^2 + 10х – 24у + 57 = 0
11	2х^2 + 3у^2 + 8х – 6у + 5 = 0	26	х^2 – 4у^2 + 6х + 8у + 21 = 0
12	9х^2 – 4у^2 + 36х + 8у + 68 = 0	27	4х^2 + 9у^2 + 32х – 18у + 109 = 0
13	4х^2 + 9у^2 – 32х + 36у + 64 = 0	28	5х^2 + 3у^2 – 10х + 12у + 17 = 0
14	4х^2 – у^2 – 8х – 4у – 16 = 0	29	9х^2 – 16у^2 – 54х – 64у – 127 = 0
15	9х^2 + 4у^2 + 18х – 8у – 23 = 0	30	4х^2 + 9у^2 – 40х + 36у + 100 = 0

3. Решить задачи:

№	Задачи
1	Составить уравнение радиуса окружности х^2 + у^2 + 4х + 2у – 32 = 0, проведенного в точку А(4; − 2) на ней.
2	Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Оx, если расстояние между его фокусами 16, а эксцентриситет равен 1/2.
3	Найти эксцентриситет гиперболы .
4	Составить уравнение оси параболы у^2 – 6у – 12х – 15 = 0.
5	Составить уравнение директрисы параболы х^2 – 4х – 16у + 52 = 0.
6	Составить уравнение касательной к окружности х^2 + у^2 – 4х – 6у + 8 = 0, проведенной в точке А(3; 5) на ней.
7	Найти эксцентриситет эллипса .
8	Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox, если расстояние между ее фокусами равно 20, а уравнение ее асимптот y = ± .
9	Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 7) и В(5; − 1) и имеющей центр на оси Оу.
10	Найти уравнение кривой на плоскости, отношение расстояний каждой точки которой от точки А(3; 0) и от прямой x = 12 равно λ = 1/2.
11	Составить уравнение радиуса окружности х^2 + у^2 + 4х + 2у – 21 = 0, проведенного в точку А(3; − 2) на ней.
12	Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Оx, если расстояние между его фокусами равно 12, а эксцентриситет равен 0,3.
13	Найти эксцентриситет гиперболы .
14	Составить уравнение гиперболы, если уравнение ее асимптот y = ± х и она проходит через точку (9; 3).
15	Составить уравнение параболы, фокус которой лежит в начале координат, а директриса задана уравнением y = 4.
16	Составить уравнение касательной к окружности х^2 + у^2–2х + 4у–13 = 0, проведенной в точке А(– 2; 1) на ней.
17	Составить уравнение окружности, диаметром которой является общая хорда окружностей: х^2 + у^2 –4х –2у –15 = 0, х^2 + у^2 +6х +18у –55 = 0.
18	Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox, если расстояние между ее фокусами равно 40, а уравнение ее асимптот y = ± .
19	Составить уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами на оси Ox, проходящей через точки (− 6; −), (6; 4).
20	Составить уравнение кривой на плоскости, каждая точка которой равноудалена от прямой y = − 2 и от точки А(− 3; 4).
21	Отрезок прямой 5x − 4y + 40 = 0, содержащийся между осями координат, служит диаметром окружности. Составить уравнение этой окружности.
22	Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Ox, проходящего через точки (; 2), (2;).
23	Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Oy, если гипербола проходит через точку (−; −).
24	Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Ox, если он проходит через точки А(6; 4) и В(4; ).
25	Составить уравнение директрисы параболы х^2 + 8х – 28у + 44 = 0.
26	Составить уравнение окружности, проходящей через точку с координатами А(− 5; 6), и концентрической по отношению к окружности х^2 + у^2 – 2х + 6у – 87 = 0.
27	Найти эксцентриситет эллипса .
28	Составить уравнение оси параболы х^2 + 2х – 20у – 79 = 0.
29	Составить уравнение директрисы параболы у^2 – 4у + 8х – 12 = 0.
30	Найти эксцентриситет гиперболы .