- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
Примеры выполнения заданий лабораторной работы
1. Вычислить пределы функций:
а) ; б) ; в) ;г) ;д) ;е) ; ж) ;з) ; и) .
Решение.
а) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 4: = ==.
б) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = : за знаком предела получаем неопределенность . Поскольку и в числителе и в знаменателе дроби имеем многочлены, а предел находится прих , то в каждом из этих многочленов оставляем член с х в максимальной степени: = = = 2.
в) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Поскольку и в числителе и в знаменателе дроби имеем многочлены, а предел находится прих 0, то в каждом из этих многочленов оставляем член с х в минимальной степени: === – 3.
г) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 2: за знаком предела получаем неопределенность . Поскольку и в числителе и в знаменателе дроби многочлены, а предел находится прих 2, то в этих многочленах выделяем бесконечную малую (х – 2): корнями многочлена числителя являются х1 = 2, х2 = 1/2, поэтому = = = = 3/4.
д) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Поскольку в числителе разность корней, то переносим иррациональность в знаменатель, умножив и числитель, и знаменатель на соответствующую сумму корней: = = ===.
е) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности воспользуемся эквивалентными малыми. Поскольку в окрестности точких = 0: 1 – cos α(х) ~ 2(х)/2, tg α(х) ~ α(х), arcsin α(х) ~ α(х), то 1 – cos х ~ х2/2, сtg 3х2= 1/tg 3x2 ~ 1/(3х2), arcsin3х ~ х3.
Получаем: = = = 1/6.
ж) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности воспользуемся эквивалентными малыми. Поскольку в окрестности точких = 0: 1 – cos α(х) ~ 2(х)/2, то в окрестности этой точке справедливо приблизительное равенство cos α(х) ≈ 1 – 2(х)/2, и, следовательно, cos 2x – cos x ≈ (1 – 4x2/2) – (1 – x2/2) = 3x2/2; поскольку arc tg α(х) ~ α(х), то arc tg2 3х ~ (3х)2 = 9х2; поскольку sin α(х) ~ α(х), то sin2 2х ~ (2х)2 = 4х2.
Получаем: = = = 0,3.
з) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 2: за знаком предела получаем неопределенность (1∞). Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулу, получаемую как следствие 2-го замечательного предела: у(х) = u(x)β(x) = (1∞) = exp[(β(x)·(u(x) – 1))]. Имеем: х0 = 2; u(x) = ; (x) = . Следовательно, = exp[((– 1))].
Находим ((– 1)) =() ===4,5 = 4,5. Т.о., = e4,5.
и) Найти предел числовой последовательно , используя возможность перехода к непрерывному аргументу:=. Поскольку для предела отношения многочленов прих получаем==1, то для исходного предела имеем неопределенность (1∞), поэтому для раскрытия этой неопределенности воспользуемся формулой, получаемой как следствие 2-го замечательного предела: у(х) = u(x)β(x) = (1∞) = exp[(β(x)·(u(x) – 1))]. Имеем: х0 = + ; u(x) = ;(x) = 3х2 + 2. Следовательно, = exp[((3х2 + 2)(– 1))].
Находим ((3х2 + 2)(– 1)) =((3х2 + 2)) == =(–21) = – 21. Следовательно, == е– 21.
Ответ: а) 2/9; б) 2; в) – 3; г) 3/4; д) 1/(); е) 1/6; ж) 0,3; з) e4,5; и) е – 21.
2. Исследовать функцию f(x) на непрерывность, установить тип точек разрыва и построить график функции в окрестности точек разрыва:
Решение.
Найдем односторонние пределы функции f(x) в граничных точках интервалов ее различного задания:
f(–1 – 0) = (2х +5) = 3; f(–1 + 0) =ех = е –1 ≈ 1/2,7183 ≈ 0,34;
f(– 0) = ех = е0 = 1; f(+ 0) =(1 – х2/2) = 1;
f(2 – 0) = (1 – х2/2) = –1; f(2 + 0) = 2lg(x – 2) = 2lg(x – 2) = – .
Согласно полученным значениям односторонних пределов функция f(x) имеет: в точке х = –1 разрыв 1-го рода; в точке х = 0 разрыв 1-го рода (причем, поскольку конечный предел слева равен пределу справа, а функция в точке х = 0 не определена, то это, так называемый, устранимый разрыв); в точке х = 2 разрыв 2-го рода.
Для построения графика функции f(x) в окрестностях ее точек разрыва воспользуемся значениями этой функции в некоторых дополнительных точках:
х –2 –3 у –1 –1
х 1 2 у 1/2 –1
у(х) = 2х + 5:
у(х) = (1 – х2/2):
х 2,5 3 4 5 6 у ≈ – 0,6 0 ≈ 0,6 ≈ 1 ≈ 1,2
у(х) = 2lg(x – 2):
Ответ: в точке х = –1 разрыв 1-го рода;
в точке х = 0 разрыв 1-го рода;
в точке х = 2 разрыв 2-го рода.