- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
Примеры выполнения заданий лабораторной работы
1. При каких значениях и коллинеарны векторы: а) p = {3; – 1; 2} и q = {6; ; 1}; б) m = {; 3; – 4} и n = {0; – 1; }? Определить, являются ли найденные коллинеарные векторы p и q и соответственно векторы m и n сонаправленными.
Решение.
а) Условием коллинеарности векторов p = {3; – 1; 2} и q = {6; ; 1} является px /qx = py /qy = pz /qz, т.е. должно выполняться 3/6 = – 1/ = 2/1. Следовательно, имеем: 3/6 = 2; – 1/ = 2. Решением этих уравнений является: = 4; = – 0,5. При этом получаем: p = {12; – 1; 2}; q = {6; – 0,5; 1}. Поскольку отношения px /qx = py /qy = pz /qz принимают значения 12/6 = – 1/(– 0,5) = 2/1 и положительны (равны 2), то коллинеарные векторы p = {12; – 1; 2} и q = {6; – 0,5; 1} сонаправлены.
б) Поскольку среди координат 2-го вектора, т.е. вектора n, имеется 0, то условием коллинеарности векторов m = {; 3; – 4} и n = {0; – 1; } является mxny = nxmy и mynz = nymz, т.е. должно выполняться 3(– 1) = 03 и 3 = (– 1)(– 4). Следовательно, имеем: – 3 = 0; 3 = 4. Решением этих уравнений является: = 0; = 4/3. При этом получаем: m = {0; 3; – 4}; n = {0; – 1; 4/3}. Составляем отношения соответствующих координат векторов m = {0; 3; – 4} и n = {0; – 1; 4/3}, исключая отношение нулей: my /ny = mz /nz. Поскольку эти отношения принимают значения , т.е. отрицательны (равны –3), то коллинеарные векторыm = {0; 3; – 4} и n = {0; – 1; 4/3} противоположно направлены, т.е. не являются сонаправленными.
Ответ: а) = 4; = – 0,5; векторы p = {12; – 1; 2} и q = {6; – 0,5; 1} сонаправлены;
б) = 0; = 4/3; векторы m = {0; 3; – 4} и n = {0; – 1; 4/3} несонаправлены.
2. Определить, при каком значении векторы a = {4; 1; } и b = 2i – j + 2k: а) имеют равные модулю; б) перпендикулярны друг другу.
Решение.
а) Дано: a = {4; 1; }; b = 2i – j + 2k = {2; – 1; 2}. Находим модули этих векторов: |a| = ; |b| = . Из условия |a| = |b| получаем: 16 + 1 + 2 = 42 + 1 + 4, откуда 32 = 12, или 2 = 4, т.е. = 2. Т.о., получаем 4 комбинации векторов a = {4; 1; } и b = 2i – j + 2k, модули которых равны:
1) a = {4; 1; 2}, b = {4; – 1; 2}; 2) a = {4; 1; – 2}, b = {4; – 1; 2}; 3) a = {4; 1; – 2}, b = {– 4; – 1; 2}; 4); 4) a = {4; 1; 2}, b = {– 4; – 1; 2}.
б) Условием перпендикулярности векторов a = {4; 1; } и b = 2i – j + 2k = {2; – 1; 2} является равенство 0 их скалярного произведения. Находим аb = ax∙bx + ay∙by + az∙bz = 42 + 1(– 1) + 2 = 8 – 1 + 2 = 10 – 1.
Из условия аb = 0 получаем 10 – 1 = 0, откуда = 0,1. Т.о., векторы a = {4; 1; 0,1} и b = {0,2; – 1; 2} являются взаимно перпендикулярными.
Ответ: а) = 2; б) = 0,1.
3. Даны векторы: a = 5i – 2j + k и b = i + 4j – 2k. Найти: а) модуль вектора 2a – 3b; б) скалярное произведение (a + b)(2a – b); в) cos.
Решение.
Записываем координаты заданных векторов: a = {5; – 2; 1}; b = {1; 4; – 2}.
а) Чтобы найти |2a – 3b|, сначала определяем координаты вектора 2a – 3b.
2a – 3b = {25 – 31; 2(– 2) – 34; 21 – 3(– 2)} = {7; – 16; 8}.
Следовательно, |2a – 3b| = ===3.
б) Чтобы найти (a + b)(2a – b) определяем координаты перемножаемых векторов:
a + b = {5 + 1; – 2 + 4; 1 – 2} = {6; 2; – 1};
2a – b = {25 – 1; 2(– 2) – 4; 21 – (– 2)} = {9; – 8; 4}.
Следовательно, скалярное произведение (a + b)(2a – b) = 69 + 2(– 8) + (– 1)4 = 54 – 16 – 4 = 34.
в) Из определения скалярного произведения следует, что косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей, т.е. cos=.
Находим модули: |– 2a| = ==; |b| = ==.
Находим скалярное произведение (– 2a)b = (– 25)1 + (–2(– 2))4 + (– 21)(– 2) = – 10 + 16 + 4 = 10.
Следовательно, cos==≈ 0,1992, откуда
= arc cos ≈arc cos 0,1992 ≈ 78,5.
Ответ: а) 3;б) 34; в) arc cos ≈ 78,5.
4. Дано: |c| = 4; |d| = ;= 45. Найти скалярное произведение 2d(3c + d).
Решение.
Согласно свойствам скалярного произведения и исходным данным:
2d(3c + d) = 6dc + 2d2 = 6|d||c|cos+ 2|d|2 = 64cos 45 + 2()2 =
+ 4 = 28.
Ответ: 28.