Landsberg-1985-T1

Положив в формуле (125.12) (= 00, найдем работу А.. ,

необходимую для того, чтобы тело, начав двигаться с по­

верхности Земли, удаЛИЛ9СЬ на бесконечно большое расстоя­

ние:

А.. =тgRз·

(125.13)

Эта работа идет на прира'щение потенциальной энергии тела.

Действительно, согласно (125.11) приращение Еп в случае, когда r изменяется от Rз до бесконечности, равно

mg Rз{ ( 1 - ~ ) - ( 1 - ~: ) } = mg Rз.

Работа (125.13) совершается за счет запаса кинетической

энергии, которая сообщается спутнику при запуске. Мини­ мальная скорость V 2 , с которой должен быть запущен спут­

ник, чтобы он удалился на бесконечность, определяется

условием

2

mV2 R

-2-=mg з,

откуда

(125.14)

Эту скорость называют второй космической скоростью.

Сравнение с (125.2) показывает, что вторая космическая

скорость в ~2 раз больше первой: v2=V2Vl=~2.7,91 KMjC=II,19 KMjc.

При запуске тела со Сi;ОРОСТЬЮ, большей второй косми­

ческой скорости, оно также не возвратится на Землю, но в

этом случае по мере удаления тела от Земли его скорость не

будет стремиться к нулю.

?125.1. С какой скоростью нужно подбросить тело вертикально

•вверх, чтобы оно достигло высоты над поверхностью Земли,

равной радиусу Земли? При расчете пренебречь сопротивлением

воздуха, но учесть изменен не силы тяжести.

125.2. На каком расстоянии от центра Земли период обращения

искусственного спутника будет равен 24 часам; так что спутник

сможет занимать относительно вращающейся Земли неизменное положение (<<сннхронные спутники»)?

...

гл а в а VI. ДВИЖЕНИЕ

ВНЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА И СИЛЫ ИНЕРЦИИ

§126. Роль системы отсчета. До сих пор мы рассматривали

движение тел только относительно инерциальных систем

о~счета. Мы установили, что каждый раз, когда тело полу­

чает ускорение относительно такой системы, можно указать

другие тела, действия которых на данное тело вызывают это

ускорение. Эти действия - силы; закономерности, свя­

зывающие ускорение тела относительно инерциальных

систем отсчета с силами, действующими на тело,- это закон

инерции и второй закон Ньютона. Мы видели, кроме того,

что силы носят взаимный характер, что они являют­

ся взаимодействиями тел. Это свойство	сил выражается
третьим законом Ньютона.	\

В настоящей главе мы будем рассматривать движения тел

относительно неинеРЦИальных систем отсчета. Относительно

таких систем тела могут получать ускорения, KOTopbIe

нельзя объяснить действием каких-либо определенных тел. Например, когда в резко затормозившем поезде чемодан

слетает с полки, т. е. получает ускорение относительно

поезда, мы не можем указать никакого определенного тела,

которое это ускорение вызвало. Если же чемодан был бы

привязан, то в затормозившем поезде он остался бы в покое на полке и не получил бы ускорения относительно BaffiHa, хотя веревка, которой он привязан, оказалась бы натяну­

той и действовала бы на него с определенной силой. Рас­

сматривая движения относительно инерциальной системы

отсчета (например, Земли), мы можем объяснить наблюдае­

мые движения силами, действующими со стороны других тел. В самом деле, натянувшаяся веревка сообщает чемода­

ну ускорение, равное ускорению затормозившего поезда;

поэтому он. и остается в покое относительно вагона. Если

же веревки нет, то никакие силы со стороны вагона на че­

модан не действуют, он продолжает двигаться по инерции с

~S3

прежней скоростью, а вагон, на который подейс~вовала

сила трения заторможенных колес о рельсы, уменьшает

свою скорость, и вагонная полка выскальзывает из-под

чемодана.

Мы видим, что движение относительно неинерциальных

систем отсчета подчиняется ДРУI'им закономерностям, не­

жели движение относительно инерциальных систем. С точки зрения наблюдателя, находящегося в неинерциальнои

системе отсчета; причины движения не те, что с точки

зрения наблюдател я, находящегося в инерциальной системе. Если наблюдатеЛЕ находится в неинерциальной системе

отсчета, например внутри ускоренно движущегося автомо­

биля, самолета, спутника, то ему гораздо проще относить наблюдаемые движения к самим неинерциалъно движу­

щимся системам отсчета, чем каждый раз выяснять, как движется тело относительно какой-либо инерциальной

,системы отсчета. Но тогда необходимо разобраться в раз­

личиях между закономерностями движений относительно

инерциальных и неинерциальных систем отсчета. Для этого прежде всего рассмотрим подробнее сами движения относи­

тельно разных систем отсчета.

Выражение «с точки зрения наблюдателя, находящегося

в той или иной системе отсчета», подчеркивает, что все изме­

рения положения, скорости и ускорения тела выполняются

относительно именно данной системы отсчета, как бы она

ни двигалась относительно привычных нам систем (Земля, Солнце и звезды), т. е, так, как их пришлось бы выполнять жителю Земли (относительно Земли), пассажиру автома­ шины (относительно автомашины), космонавту (относитель­ но космического корабля) и т. д.

§ 127. .1lвижение относительно разных инерциалъных систем отсчета. Прежде всего сравним движения относительно двух

разных инерциальных систем. Характер движения в разных системах может быть различным. Примем, например, за

одну из инерциальных систем Зем.лю, а за другую - вагон

поезда, равномернодвижущегося по прямому участку пути.

Пусть в вагоне на нити подвешено какое-либо тело. При

отвесном положении нити тело будет находиться в равнове­ сии: сумма сил, на него действующих (сил притяжения

З,емли и натяжения· нити), будет равна нулю. Перережем

нить; тело начнет падать с ускорением g, и ег.о траектор'ия

относительно вагона. окажется. вертикальной прямой, что

МОЖIiО установить, например, фоТ{;)графируя падеНlre кино­ камерой, установленной в. самом Баr.oне. Если же. движение

2.SJI..

тела рассматривать относительно Земли, например фото­ ·графируяегос ДОЛО1нз.железноЙ ДОIЮГИ, то траектория тела

окажется параболой .(рис. 204). Наоборот, ПО,дВ'еU.1Иваятело

на Земле и фотогрвфнруя его падение после пережигания

нити, получим траеК'Гориюв~и-v _						I
~ веР1'икальной прямой'на сним-
ке, сделанном с 8€МНОЙ				поверх-
ности, и параболу -			на	снимке,	(~,
сделанном ИЗВ8.гона.
					I	'
Все	это	;/!егко	объяснить.
					II	'\	~
РаЗJ1ичие в		движениях		Относи­	t
тельно	разных систем			вызвано	(u)		(u)
только	разными		начальными ~		%

СКОРОСТЯМИ тела относительно nДНОЙ и . другой инерциаль­

ных систем. В первомприме­

ре тело первоначально покои­

лось относительно поезда,а

относителрно Земли двигалось

Рис. ~04, Вертикальная пря­

мая - траектория движ-еНIfЯ

тела относительно вагона

после пе~ежигания нити.

Параболci .. траектория от-

носительно Земли

в горизонтальном направлении со скор.остьюпоезда. Знд­

чит, после пережигания iшти относительно вагона происхо­

дило свободное падение тела без начальной -скорости, а от­ носительно Земли - также свободное падение, но с началь­ ной скоростью. Во втором примере падение без начальной

скорости происходило относительно Земли, а с нач;шьной

скоростью - относительно вагона.

Однако в обеих системах ускорение тела одно и то же. Первоначально сумма сил, действующих на тело,равна

нулю и выполняется закон инерщш: тело в каждой системе

либо покоится, либо движется с постоянной скоростью

прямолинейно, т. е. не имеет ускорения. После пережига­

ния нити на тело действует только сила тяжести и ДЛЯ

обеих систем справедлив второй закон Ньютона: по отноше­

нию к каждой системе отсчета тело падает с ускорением g, вызванным тяготением Земли.

Аналогичная картина будет наблюдаться и во всех

р.ругих случаях движений тел относительно разных инер­

циальных систем отсчета .

.§ J28. ,l:Iвижение относительноинеРЦИ8JIЬНОЙ 'и неинерци­

альной системо'lСЧе.та. Иная ,картина ,получается 'при ,срав­

нении данного движения относительно какой-либо инер­

циа,льной и какой-либо кеинерциальной систем ,mcчета.

Силы, действ;ующие .на :rело сосщроны дR~гих ·т.м: ,СИЛЫ

упругости, трения, тяготения и 't ••д., ~tlе :5а~щсnт 'от ·:r.orQ,

:ш

по отношению к какой системе отсчета изучается движение

тела. Но ускорения тел относительно инерциальной и не­

инерциальной систем различны. Поэтому по отношению к

неинерциальным системам отсчета нельзя будет объяснить

		~ ru	данное		движение Те./1а		силами,
			действующими на него со сто­
			роны каких-то определенных
			других		тел.
				Проиллюстрируем			это	сно­
			ва	на	примере	подвешенного
			груза, считая теперь,				что	ва­
		"	гон, принимаемый			за	систему
	Рис. 205.		отсчета,		движется	по	горизон­
		Отклонение отвеса	тальному, прямому участку пу­
	в ускоренно движущемся ва-
			ти	ускоренно. Ускорение				по­
		гоне

езда обозначим через 'Ш. В этом случае НИТЬ,. на которой подвешено тело, установит­

ся при равновесии не по отвесу, как в равномерно .!{Вижу­

щемсявагоне, а под некоторым угл.ом к вертикали, откло­

няясь в сторону, противоположную ускорению вагона

(рис. 205) *). Отклонение тем больше, чем больше ускорение. Таким образом, тело относительно вагона находится в равновесии, в то время как силы, действующие на тело (сила тяжести тg и сила натяжения нити Т), направлены под

углом друг к другу и поэтому уравновешивать друг друга

не могут: тело покоится относительно системы отсчета, в

то время как результирующая действующих на него сил не равна нулю. Эту результирующую силу легко найти, рас­

смотрев движение тела относительно Земли. Так как тело

относительно .вагона неподвижно, то его ускорение а отно­

сительно Земли равно ускорению вагона 'W (т. ,е. a='W).

Следовательно, результирующая сила равна т'W и направ­

лена горизонтально (рис. 205).

Если нить, на которой висит тело, пережечь, то оно

начнет ускоренно падать, причем, как показывает опыт, его

траектория относительно вагона окажется наклонной пря­

мой, лежащей на продолжении нити до того, как она была

пережжена (рис. 205). Но после пережигания нити на тело

действует только одна сила - сила притяжения Земли,

направленная вертикально вниз. Ускорение же относи­

тельно вагона направлено под углом к вертикали.

*) При этом безраЗJ1ИЧНО. как направлена <;/iOPOCТb вагона,

по' ускорению или противоположно. Безразличен и модуль скорости. Существеина только ускорение.

2S6

Что же касается движення тела оТносительно Земли, то

оно легко объясняется действующими силами: до пережИr'

гания нити равнодействующая сил, действующих на тело,

равнялась та, поэтому телQ и двигалось с тем же ускоре­

нием, что и поезд; после пережигания нити тело падает по

параболе с начальной скоростью, равной скорости поезда в

момент пережигания нити;- действительно, после того как

нить пережжена, движение поезда уже никак не влияет на

движение не связанного с ним тела.

?128.1. Найдите угол а отклонеНIIЯ от вертикали нити с подве­

•шенным на ней грузом массы т в вагоне, движущемся по гори·

зонтальному пути с ускорением ш. Зависит ли этот УГО,1 от ыассы

груза? Найдите силу натяжения НИТII Т.

128.2. Какая сила должна действовать на тело массы т, чтобы

оно двигалось равномерно и прямолинейно относите.1ЬНО вагона,

движущегося поступательно с ускорением ш?

§ 129. Поступательно движущиеся неинерциальные системы. Различие в зак~номерностях движения в неинерциальных

иинерциальных системах отсчета заключается в том, что

при учете всех сил, действующих со стороны других тел на

данное тело (сил тяготения, упругости, трения и т.- д.).

второй закон Ньютона выполняется для инерциальных

систем и не выполняется для неинерциальных. Проще

всего это различие выражается для неинерциальных систем,

Движущихся относительно инерциальных поступательно.

Выберем, например, в качестве неинерциальной системы

ускоренно движущийся по прямому участку пути вагон. а в

качествеинерциальноit системы - Землю.

Если тело относительно вагона покоится, то, как мы ви­

дели в предыдущем параграфе, сила, действующая на тело,

есть

F=mw,

где т - масса тела, W - ускорение неинерциальной систе­ мы отсчета. Если тело движется вдоль вагона с ускорением а', а сам вагон по-прежнему движется с ускорением w, то

результирующее ускорение тела относительно Земли

a=w+a'.

Значит, согласно второму закону Ньютона, результирую­ щая сила F, действующая на данное тело со стороны дру­

гих тел, должна равняться.

ma=mw+ma'.

Таким образом, и тогда, когда теЛо покоится, и тогда,

когда оно 'имеет ускорение относительно вагона, _резуль-

9 Элементарный учебник физнки, т. 1

257

Тflрующая СИЛ', дейСТВУЮЩИХ на него со стороны других

тел, не равна, массе тела, умноженной' на его ускорение относительно вагона, т. e~ для неинерциапьной системы второй эаконНьютона нарушается.

§.130. СИЛЫ инерции. Естественно возникает вопрос! как

должны отличаться друг от друга силы, дейетв.ующие надан­ ное тело в инерциальной и неинерциальной системах от­

счета, чтобы второй закон Ньютона был справедлив для этого тела в обеих системах? Полученные. в предыдущем параграфе формулы дают на это ответ: необходимо, чтобы,

кроме сил, действующих на данное тело со етороны других

тел, результирующую которых мы обозначили ч~рез F, действовала еще. добавочная сила fп=-mw, равная массе тела, умноженной на ускорение неинерциальной системы,

взятое с обратным знаком.

В самом деле, тогда в случае Te.[Ia, покоящегося относи­

тельно вагона, найдем, что результирующая всех сил вме­

сте с этой добавочной силой будет рюша нулю, так что ока­

жется выолненныыM закон инерции относительно неинер·

циальной систе,.\1Ы. Для тела же, движущегося ускоренно,

найдем, что реЗУЛЬТИРУЮЩ<l51 всех сил вместе с этой доба­ вочной силой будет равна

F+f,,=ma-mw=ma',

так что окажется вьшолнеfIНЫМ второй закон Ньютона отно­

сительно неинерциальной системы. Такие добавочные силы

называют силами инерции. Если учитывать силы инерции, то для неинерциалъной системы отсчета первый и второй

законы Ньютона выполняются так же, как и для инерци­

альных систем: масса тела, умноженная на его ускорение

относительно неинерциальной системы отсчета, будет равна по модулю и направлению равнодействующей всех сил.

приложенных .к телу, включая и силы инерции.

Мы получили этот реЗУJIьтат для движения тела вдоль прямолинеЙНQ движущегося вагона. Однако можно пока­

зать, что всякий раз, учитывая силу инерции, равную массе

тела, умноженной на ускорение системы отсчета, взятое с

обратным знаком, мы сможем применять первый и второй

законы Ньютона при любом поступательном движении неинерциальной системы отсчета (как прямолинейном, так и криволинейном) и при произвольном движении тела (на­

пример, поперек вагона или по произвольной траектории).

Силы инерции принципиально отличаются от всех сил, с которыми мы имели дело раньше. Эти силы ооусловлены не

2-58

;в,еЙСТRИем каких-либо тел на Данное тело, а ндличием ускорения неиперциальной системы отсчета относительно

любой инерциальной, R частности относптельно системы

«Солнце - звезды».'

.

Для сил, действующпх со стороны одного тела на другое,

мы всегда можем указать тело, со стороны которого дей­

ствует данная сила. Для сил инерции мы можем указать

тело, на которое сила действует, но не :можем указать никакого тела, со стороны IЮТОРОГО эта сила действует.

Поэтому третьим законом Ньютона в неинерциальных

системах нельзя пользоваться даже при учете сил инерции.

Действительно, эти силы ПОЯВЛЯЮТСЯ «в одиночку», а не

«парой». Нет Нlшаких сил противодействия, приложенных

к другому телу со стороны данного, да нет и «другого» тела.

Нельзя, конечно, пользоваться и следствиями из третьего

закона Ньютона. Так, закон сохранения импульса для дви­

жений, рассматриваемых относительно неинерциальпых

систем отсчета, несправеддив.

Итак, до сих пор первый и второй законы Ньютона поз­

воляли нам находить движения тодько относитедыlo инер­

циальных систем отсчета, так что найти движение относи­

тельно неинерциальной системы мы могли только путем

пересчета. Учитывая же сиды инерции, мы можем пользо­

ваться теми же законами движения как для инерциальных,

так и для неинерциальных систем. Законы оказываются

одинаковыми, но в неинерциаль-									_ 'IJI
ных системах, помимо обычных
сил, появляются силы инерции.
В частности, для тела,						покоя­
щегося		относительно				неинер­
циальной системы,					сила		инер­
ции уравновешивает все осталь­
ные	силы,		действующие				на
тело.								Рис. 206. Равновесие сил ДJIЯ
Задачу			о подожепии				отве-
са	в	ускоренно			движущемся			груза,	покоящегося	в уско-
вагоне		(§ 128)		мы	можем те-			ренно	движущемся	вагоне.
								На г['уз действует		сила т,я­
перь рассмотреть				с	точки		зре-	жести, сила натяжения нити
ния	неинерциального наблюда-								и сила инерции

теля. Учитывая силы инерции,

мы приходим к задаче о равновесии по отношению к вагону

подвешенного на нити груза под действием силы тяжести,

силы натяжения нити и силы инерции. На рис. 206 пока­

заны все эти силы. л€гко проверить, что, как и должно

быть, расчет даст те ж€ значения для угла отклонения

259

отвеса и для силы натяжения нити, что ив упражнении

128.1.

.

_

.

Точно так же, учитывая силы ин~рции, мы можем рас­

смотреть движения, описанные в·.§ 31 j относя движение к ускоренной системе отсчета и пользуясь законами Ньютона:

мы можем описать движение «с точки зрения наблюдателя в

неинерциальной системе». При резком торможении вагона,

т. е. при сообщении вагону ускорения, направленного назад, на тело стоящего человека подействует сила инерциJt. направленная вперед: под действием силы инерции человек

наклонится вперед и может упасть. При увеличении ско­

рости вагона, наоборот, сила инерции будет направлена назад и отклонит тело человека в сторону, ·обратную

движению.

§ 131. Эквивалентность сил инерции и сил тяготения. Силы инерции и силы тяготения схожи друг с другом: и те и

другие пропорциональны массе тела, на которое они дей­

ствуют, и поэтому ускорения, сообщаемые данному телу как

силами тяготения, так и силами инерции, не зависят от

массы данного тела. Поэтому, наблюдая в данной системе

отсчета за движением тела -под действием сил и не зная,

является ли данная система инерциальной, нельзя разли­ чить, имеем ли мы дело с силой тяготения или с силой

инерции.

Будем, например, наблюдать подвешенный или падаю­

щий груз в вагоне. Без наблюдений за какими-либо телами,

расположенными вне вагона, мы не сможем определить,

чем вызвано отклонение отвеса или траектории падающего

груза от перпендикуляра к полу вагона, В самом деле, представим себе, что окна вагона закрыты шторами и мы не можем определить направление вертикали, например,

глядя на стены домов. Как в этом случае мы можем объяс­

нить наблюдающееся отклонение отвеса от перпендикуляра

к полу вагона? Отвес отклонится, если вагон неподвижен, но стоит на наклонном пути (рис. 207, а). Тогда отклонение

нити объяснится действием силы тяготения: отвес перпенди­

кулярен к поверхности Земли, а пол вагона к ней наклонен.

Но такое же отклонение может возникнуть и на горизон­

тальном пути, если вагон щщжется с ускорением в сторону,

противоположную отклонению отвеса от перпендикуляра

к полу (рис. 207, 6). В этом случае отклонение объяснится

тем, что вагон движется ускоренно.

То же относится и к наблюдению траектории падения

груза при пережигании нити. Если принять, что направле-

260

ние отвеса или направление свободного падения дает

направление силы тяготения, то в первом случае это направ­

ление будет определено правильно, а во втором - непра­ вильно. Однако в закрытом вагоне нет никакого способа

выяснить направление именно силы тяготения,. ОПЫТЫ, про­

изводимые внутри вагона, всегда дают результирующую

W _

'О}

Рис. 207. Эквивалентность сил тяготения и· сил инерции. Отклонение

отвеса может быть вызвано как наклонныы положением вагона, так Н_

его ускоренным движением

силу тяготения и силы инерции, а так как обе силы ОДИllа~

ковым образом зависят от массы ускоряемых тел, то мы и не

можем их разделить.

Рассмотрим еще пример одновременного действия силы тяготения и силы инерции. Представим себе кабину лифта,

движущегося по вертикали С ускорением, которое может

быть направлено как вверх, так и вниз (направление вниз

будем считать ПОЛQжительным). Будем считать, что мы не

можем выглянуть наружу, чтобы уставовить, как движется

кабина относительно Земли. Отвес с грузом в таком лифте

всегда расположится по перпендикуляру к полу кабины,

так как и сила тяготения, и сила инерции направлены по

перпендикуляру к полу. Но сила натяжения нити отвеса

(ее можно измерять, например, подвешивая нить к дина­

мометру) будет зависеть от ускорения лифта.

В самом, деле, пусть ускорение лифта направлен о вверх и равно -ШI. Тогда сила инерции направлена вниз и равна тШI. Так как подвешенный груз находится в покое под дей­

ствием силы тяготения, силы инерции и силы натяжения нити, то сила натяжения нити

T=тg+mw=m (g+w)j

это значение и покажет динамометр. Но, оставаясь внутри

лифта, мы не можем выяснить, вызвано ли это раст~ение

261