Landsberg-1985-T1

зависит от того, насколько тело может опуститься. В гире­

вом механизме часов это определяется длиной цепочки, на которой висит гиря, в примере с наклонной плоскостью - высотой наивысшей точки наклонной плоскости над ее наи­ низшей точкой. В других случаях наинизший уровень не может быть так естественно определен. Например, если

тело лежит на столе, то можно определять его потенциаль­

ную энерrию той работой, которую оно совершило бы, опу­ скаясь до пола, до уровня земли или до дна погреба и т. Д. Поэтому нужно условиться заранее, от какого уровня отсчи­

тывать высоту, а вместе с тем и потенциальную энергию

тела. Выбрать этот уровень можно совершенно произволь­ но, так как во всех физических явлениях всегда бывает важна

не сама потенциальная энергия, а ее изменение, которым оп­

ределяется совершаемая работа. Изменение же потенциаль­

ной энергии будет, очевидно, одним и тем же, какой бы мы ни выбрали исходный уровень.

Если не оговорено противное, мы будем считать потен­

циальную энергию тела, лежащего на поверхности земли,

равной нулю. Тогда в формуле (97.1) в качестве h следует брать высоту тела над поверхностью земли. Если тело имеет

Ао

~ <~

''''~\

\

, ______ ~Af

_-::===~::'-:J----

Рис. 164. При переходе столба из положения Ао80 в положение A1Bi

сала тяжести не совершает работы, так как центр тяжести тела остается

на месте. При переходе из положенип A1B1 в положение А 282 совер-

шается работа mg!t

значительные размеры, то под h в формуле (97.1) нужно по­

нимать расстояние от поверхности земли (или от иного нуле­

вого уровня) до центра тяжести тела.

Определим, например, на сколько потенциальная энер­

ГШl вертикально стоящего столба (рис. 164, положение

АоВо) больше потенциальной энергии того же столба, ле­

жащего на земле (положение А 2В2). Представим себе, что столб переходит из положения АоВо в положение А 2В2

192

... в два приема. С~ачаmi он поворачивается· вокруг центра

'тяжести (в даJ:lНОМ случае около средней точки) в положение

. A1Bi. При этом верхняя-часть столба опускается, а нижняя

JIоднимается, и сила тяжести соверш~ет над -верхней частью

столба положительную, а над нижней - равную ей отри­ цательную работу, и полная работа силы тя~ести равна

	нулю. Только при переходе из поло­
	жения A1Bi в положение- А 2Вз сила					~	::==:
	тяжести совершает		положительную		N	-_-0- ~
	работу. Следовательно,. потенциаль­					[--	-
					.<::
	ная энергия	стоящего на земле стол-			"		- -
	ба больше	потенциальной		энергии
	столба, лежащего на земле,			на ве­
	личину mgh,	где т -	масса	столба	=t:
	и h - разность высот центра тяжести				ol;;;t:>
	в положениях АоВо и А 2В2•
	При подсчете потенциальной энер­
	гии жидкости	массы т, находящейся

в цилиндрическом сосуде		(рис.	165),	Рис. 165. I< расчету
следует взять высоту	Н	центра	тя­
				~
жести жидкости С над нулевым уров­				потенциальнойэнергии
нем, т. е. высоту ho	дна	сосуда	над	ЖИДКОСТИ в сосуде.

нулевым уровнем, плюс половину вы­

соты уровня жидкости в сосуде h/2, так что потенпиаль­

ная энергия

?97.1. SIщик массы 40 кг, размеры которого показаны на рис. 166,

•переведен из положенИЯ а) в положение б). Определите прира­

щение потенциальной энергии ящика, считая, что его центр тя­ жести лежит на пересечении диагоналей.

О)	OJ
Рис. 166.	I< упражне!lИЮ 97.1

97.2. Водохранилище при гидростанци~ имеет цилиидричесКУЮ форму: его площадь равна 2 км2, глубина равна б м. Дно водо­

. хранилища лежит на высоте 12 м над уровнем воды в отводном каиале за гидростанцией. Какова потенциальная энергия воды в храиилище?

7 Элементарный· учебннк физикн, Т. 1

193

§ 98. ПотеJЩИaJ1bная энергия упругой деформации. деформи­ ров.г.нное упругое тел.о {например, растянутая или сжатая пружиыа)способно,возвращаясьв недеформированно.е состояние, соверШитьр.аботу над соприкасающимися с ним телами. Следовательно, упруго деформированное тело об­ ладает потенциальной энергией. Она зависИ1' от ВЗЕ.имного положения частей тела, например витков пружины. Работа,

которую может совершить растянутая пружина, зависит от

начального и конечного растяжений . пружины. Найдем

работу, которую может совершить растянутая пружина, возвращаясь к нерастянутому состоянию, т. е. найдем потенциальную энергию растянутой пружины.

Пусть растянутая	пружина	закреплена	одним	концом,
а второй конец, перемещаясь,		совершает	работу,	Нужно
учитывать, что сила,	с которой действует пружина, не

остается постоянной, а изменяется пропорционально растя­

жению. Если первоначальное растяжение пружины, считая

от нерастянутого состояния, равнялось [, то первоначальное значение силы упругости составляло F=kl, где k - коэф­

фициент пропорциональности, который называют жест­

костЬ/о пружины. По мере сокращения пружины эта сила линейUо убывает от значения kl до нуля, Значит, среднее значение силы равно Fcp =kll2. Можно показать, что рабо­ та А равна этому среднему, умноженному на перемещение

точки приложения силы:

kl kt2

А 10=2,1-2'

Таким образом, потенциальная энергия растянутой пру­

жины

(98.1 )

Такое же выражение получается для сжатой пружины.

В формуле (98.1) потенциальная энергия выражена че­

рез жесткость пружиныи через ее растяжение 1, Заменив 1

на F/k, где F - упруг.ая сила,	соответствующая растяже­
нию (ИJJИ сжатию) пружинЬ! 1,	полуgим	выражение
Еп = f2/2k,		(98.2)

которое определяет потенциальную энергию пружины, рас­

тянутой (или сжатой) силой F. Ив этой формуЛЬ! видно, что, растягивая с одной u той же силой разные пружины, мы со­

общим им различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, т. . чем больше ее упругость, тем меньше

,194

rЮrеlЩиальная· анергия~ и· наоборот: чем мягче пружнна,

тем больше энергия, котор-ую она запасет при данной

растягивающ~й силе. Это можно уяснить себе наглядно,

если учесть, что при одинаковых действующих силах рас- _ 1'яжение МЯГIЮЙ пружины больше, чем жест_кой, а ,lOтому

. больше и произведение силы на перемещение· тОЧКИ прил-о­

жения силы, т. е. работа.

Эта закономерность имеет большое значение, например,

при устройстве различных рессор и амортизаторов: при по­

садке на землю самолета амортизатор шасси, сжимаясь,

должен произвести большую работу, гася вертикальную

скорость самолета. В амортизаторе с малой жесткостью сжатие будет больше, зато возникающие силы упругости

будут меньше и самолет будет лучше предохранен от по­

вреждений. По той же причине при тугой накачке шин

велосипеда дорожные толчки ощущаются резче, чем при

слабой накачке.

§ 99. Кинетич~ская энергия. Тела могут обладать зашiсом

работы, т. е. обладать энергией, не только потому, что они

занимают определенное положение или' деформированы, но

и потому, что они обладают скоростью. Так, вагон может

въехать на гору, если он вначале обладает некоторой ско­

ростью; пуля или снаряд могут подняться на значительную

высоту, если они вылетают из дула с большой скоростью.

В этих случаях движущееся тело, поднимаясь вверх, совер­

шает работу против силы тяжести. Движущееся тело может

Рис. 167. Быстро летящий бумажный шарик растягивает резиновую

нить

также совершать работу против сил упругости. Бумажный

. шари·к, привязанный к тонкой резиновой нити, может силь­

но растянуть эту нить, если шарику сообщить толчком БQЛЬ­ шую скорость (рис. 167). Когда один катящийся BaroH уда­

ряется своими буферами о буфера другого вагона, то пру­

жины буферов сильно сжимаются, т. е. совершается работа

сжатия пружины..

Во всех перечисленных примерах те.по соверша~J работу

не потому, что оно занимает определенное nQложение, а lЮтому, что оно обладает определенной скоростЬЮ. ПОJ{ОЯ­

щи.йся вагон не' может «сам» въехать на гору, не может .

7*

195

сжать буферные пружины. Между ·.тем движущийся вагон

способен это сделать.

Всякий раз, когда тело совершает работу благодаря

тому, что оно движется, скорость е.го движения умень­

шается. Если скорость тела уменьшится до нуля, то запас

способности совершать работу за счет движения тела будет исчерпан. Значит, всякое движущееся тело обладает неко­ торым определенным запасом способности совершать рабо­

ту, т. е. определенной энергией, обусловленной тем, что оно движется. Энергию, которой тело обладает потому, что оно

движется, называют кинетической энергией.

Сумма кинетической и потенциальной энергий образует

полную .механическую энергию тела.

§ 100. Выражение кинетической энергии через массу и

скорость тела. В §§ 97 и 98 мы видели, что можно создать

запас потенциальной энергии, заставляя какую-либо силу совершать работу, поднимая груз или сжимая пружину. Точно так же можно создать и запас кинетической энергии

в результате работы какой-либо силы. Действительно, если

тело под действием внешней силы получает ускорение и перемещается, то эта сила совершает работу, а тело приоб­ ретает скорость, т. е. приобретает кинетическую энергию. Например, сила давления пороховых газов в стволе ружья,

выталкивая пулю, совершает работу, за счет которой и соз­

дается запас кинетической энергии пули. Обратно, если

вследствие движения пули совершается работа (например,

пуля поднимается вверх или, попадая в препятствие, про­

изводит разрушения), ть кинетическая энергия пули умень­

шается.

Переход работы в кинетическую энергию проследим на

примере, когда на тело действует только одна сила (в случае

многих сил это - равнодействующая всех сил, действую­

щих на тело). Предположим, что на тело массы т, находив­

шееся в покое, начала действовать постоянная сила Р; под действием силы F тело будет двигаться равноускоренно с

ускорением a=flm. Пройдя расстояние s в направлении

действия силы, тело приобретет скорость и, связанную с

пройденным расстоянием формулой s=u2 /2a (§ 22). Отсюда

находим работу А силы Р:

v'	тv'J.
А =Fs=F 2а	=-2-'

Точно так же, если на тело, движущееся со скоростью и, начнет действовать сила, направленная против его движе-

196

ниЯ, ТО оно будет замедлять свое движение и остановится, произведя до остановки работу против действующей силы,

также равную mи2/2. Значит, кинетическая энергия Еи

движущегося тела равна половине произведения его массы

на квадрат	скорости:	•
	mи2	(100.1)
	. Ек = -2-
Поскольку	изменение кинетической энергии,	так же как

и изменение потенциальной энергии, равно работе (положи­

.тельной или отрицательной), произведенной при этом изме­

нении, то кинетическая энергия также измеряется в едини­

цах работы, т. е. в джоулях.

?	100.1. Тело массы т движется со скоростью 'lI		по инерuии. На
		o
	те.ПО начинает действовать вдоль	направления	движения тела
	сила, в результате чего через некоторое время скорость тела
	становится равной 'lI. Покажите,	что приращение		кинетической
	энергии тела равно работе, произведеНIIОЙ силой,			для случая,
	когда скорость: а) растет; б) убывает; в) меняет знак.
	100.2. На что затрачивается большая работа: на сообщение покоя­

щемуся поезду скорости 5 м/с или на разгон его от скорости

5 м/с до скорости 10 м/с? Силами сопротивления движению

пренебречь.

§ 101. Полная энергия тела. Рассмотрим, как изменяется кинетическая и потенциальная энергия тела, брошеннЩ'о

вверх.

При подъеме тела скорость его убывает по закону и= =vo-gt, где ио - начальная скорость, t - время. Кине­

тическая энергия при этом также уб!.,rвает, изменю~сь 110

закону				t +mg2t2
Е _ т (ио- gi)2 _		mи~ _	mvog
к -	2 -	2		2'

Так как начальная кинетическая энерги я тела равна mv~/2,

то к моменту t убыль *) кинетической энергии

mg2f2

-АЕк == mvo gt --- · (101.1)

2

С другой стороны, высота тела в момент t есть

gt2

h=vot- y .

"') Убылью некоторой величины, в отличие от приращения, назы­

вается разность начального и конечного значений этой величины:

А"ачалъя - А"онечн. Сравнение показывает, что при одном и том же

ИЗменении величины прир·ащение и убыль отличаются только зиаком.

Поэтому, обозначив приращение символом ""А, убыль"нужно обозна­

чать символом -L'1A. (Прuмеч. ред.)

197

СледоватеЛьно, приращение потенциальной энергии за

время t равко*)

(101.2)

Сравнивая это выражение с (101.1), ВИДИМ, что приращение

потенциальной энергии за время t равно убыли кинетиче­

ской энергии за то же время. Таким образом, при движении

тела вверх его кинетическая энергия постепенно превра­

щается ·в потенциальную. Когда движение вверх прекрати­ лось (наивысшая точка подъема), вся кинетическая энергия полностью превратилась в потенциальную. При движении

тела вниз происходит обратный процесс: потенциальная

энергия тела превращается в кинетическую.

При этих превращениях nQЛfLaЯ механическая эueргuя

(т. е. CY}'tMa кинетической и потенциальной энергий) оста­ ется неUЗА1енной, так как при подъеме убыль кинети.ческоЙ

энергии полностью покрывается приращением потенциаль­

ной (а при падении - наоборот). Если потенциальную

энергию тела у поверхности земли считать равной нулю

(§ 97), то сумма кинетической и потенциальной энергий

тела на любой высоте во время подъема или падения будет

равна

	2
Е=Ек+Еп = m;о,		(101.3)
.	.'

т. е. остается равной начальной кинетической энергии тела.

Этот вывод представляет собой частный случай одного из важнейших законов природы - закона сохранения

Э1lергuи.

?	101.1. С башни высоты 20 м брошен камень со скоростью 15 м/с.
	Найдите скорость камня при падении его на землю и сравните ее
	со скоростью падения с той же высоты, но без начальной скорости.
	Сопротивлением воздуха прене6речь.
	101.2. Считая известными формулу (101.2) и зависимость потен­
	циальной энергии от высоты, выведите закон движения тела;
	брошенного по вертикали.

§ 102. Закон сохранения энергии. В примере, разобранном

в предыдущем параграфе, выяснилось, что приращение по­

тенциальной энергии брошенного вверх тела происходит за

*) Согласно (101.1) и (101.2)

- ilEK=ilEn, откуда ilEK+ilEn=il (Ек +Еп) =ilБ=-О

(сумма приращений кинетической и потенциальной энергий равна при­ ращению полной энергии Е). Если приращение некоторой величины за любой промежуток времени равно нулю, то эта величина остается все время пОстоянной. (Прuмеч. ред.)

198

спет убыли его кинетической энергии; при падении тела

приращение кинетической энергии происходит 3<.1 счет убы­

ли потенциальной энергии, так что полная механическая энергия тела не меняется. Аналогично, если на тело дейст­

вует -<:Жатая пружина, 1'0 она может сооощить телу некото­

рую скорость, т. е. кинетическую энергию, но при этом

пружина будет распрямляться и ее потенциальная энергия

будет соответственно уменьшаться; сумма потенциальной

и кинетической энергий останется постоянной. Если на

тело, кроме пружины, действует еще и сила тяжести, то

хотя при дви~ении тела энергия каждого вида будет изме­ няться, но сумма потенциальной энергии тяготения, потен­

циальной энергии пружины и кинетической энергии тела опять-таки будет оставаться постоянной.

Энергия может переходить из одного вида в другой, мо­

жет переходить от одного тела к другому, но общий запас

	механической энергии остается				не­		9.0
	изменным. Опыты и		теоретические
	расчеты показывают, что при отсут-						J	1
							t	I
	. ствии сил трения и		при	воздейст­
							J	:
	вии	только сил упругости и тяго­					!	~
							!	I
	тения суммарная потенциальная и						J	!
	кинетическая энергия тела или				си­		'!'	I
							1	I
	стемы тел остается во всех случа­						!	r
							J,f.
	ях постоянной. В этом и			заключа­
							\[
	ется закон сохранения механической						]1
							!f
							)Г
	энергии.						,
		Проиллюстрируем закон сохра­				4 __ ~ __ . :
	нения энергии на следующем опы­					Рис. 168.	Отразившись от
	те. Стальцрй шарик,		упавший с не­			стальной ПЛИТЫ,стальной
	которой высоты на		стальную		или	шарик подскакивает снова
	стеклянную плиту и		ударившййся			почти на ту же высоту, с
						которой	он	был брошен
	об	нее, подскакивает		почти	на

ту же высоту, с которой упал

(рис. 168) *). Во время движения шарика происходит целый

ряд превращений энергии. При падении потенциальная

энергия переходит в кинетическую энергию шарика. Когда шарик прикоснется к плите, и' он и плита начинают дефор-

,мироваться. Кинетическая энергия превращается в потен­

циальную энергию упругой деформации шарика и пл~

причем этот процесс продолжается до тех пор, пока шарик _не остановится, т. е. пока вся его кинетическая энергия не

.) в § 103 будет пояснено, почему шарик не поднимается (1 точнос".

на ту же высоту, с которой начал падать.

,,,

перейдет в·потенциальную энергию упругой деформации.

Затем под действием сил упругости деформированной пли­

ты шарик приобретает,. скорость, направленную вверх: энергия упругой деформации плиты и шарика превращается

в кинетическую энергию шарика. При дальнейшем движе­ нии BB~PX скорость шарика под действием силы тяжести

уменьшается и кинетическая энергия превращается в .по­

тенциальную энергию тяготения. В наивысшей точке шарик обладает снова только потенциальной энергией тяготения.

Поскольку можно считать, что шарик поднялся на ту же

высоту, с которой он начал падать, потенциальная энергия

шарика в начале и в KOHЦ~ описанного процесса одна и та

же. Более того, в любой момент времени при всех превра­ щениях энергии сумма потенциальной энергии тяготения,

потенциальной энергии упругой деформации и кинетиче­

ской энергии все время остается одной и той же. Для про­

цесса превращения потенциальной энергии, обусловленной

силой тяжести, в кинетическую и обратно при падении и подъеме шарика это было показано простым расчетом в § 101. Можно было бы убедиться, что и при превращении

кинетической энергии в потенциальную энергию упругой

деформации плиты и шарика и затем при обратном процессе

превращеllИЯ этой энергии в кинетическую энергию отска­

кивающего шарика сумма потенциальной энергии тяготе­

ния, энергии упругой деформации и кинетической энергии

также остается неизменной, т. е. закон сохранения меха­

нической энергии выполнен.

Теперь мы можем объяснить, почему нарушался закон сохранения работы в простой машине, которая деформиро­ валась при передаче работы (§ 95): дело в том, что работа,

затраченная 'на одном конце машины, частично или пол­

ностью затрачивалась на деформацию самбй пр~той маши­ ны (рычага, веревки и т. д.), создавая в ней некоторую

потенциальную энергию деформации, и лишь остаток

работы передавался на другой конец машины. В сумме же

переданная работа _вместе с энергИfЙ деформации оказы­ вается равной затраченной работе. В случае абсолютной

жесткости рычага, нерастяжимости веревки и т. д. простая

машина .не может накопить в себе энергию, и вся работа,

произведенная на одном ее конце, полностью передается

на другой конец.

Пользуясь двумя законами сохранения: законом сохранения им­

пульса и законом сохранения энергии, можно решить задачу о соударении

идеально упругих шаров, т. е. шаров, которые пocnе соударения отс'ка­

кивают друг от друга, сохраняя суммарную кинетическую энергию.

200

Пусть два шара движутся по одной прямой (по линии центров).

Предположим, что, кроме сил взаимодействия при их соприкосновеНlIlI, на шары не действуют никакие силы со стороны каких-либо других

тел. После соударения (соударение произойдет, если шары движутся'

навстречу друг другу или если один из них догоняет второй) они будут

двигаться по той же прямой, но с измененными скоростями. Будем счи­

тать, что нам известны массы шаров тl и т2 и их скорости t/l И 'lI2 до

соударения. Требуется найти их скорости "1 И "2 после соударения.

Из закона сохранення импульса следует, что ввиду того, что н'а шары не действуют никакие силы, кроме сил их взаимодействия, сум­ марный импульс должен сохраняться, т. е. импульс до соударения дол­

жен равняться импульсу после соударения:

(102.1)

Скорости 'Vi и t/ 2 направлены вдоль линии центров (в одну и ту же либо в противоположные стороны). Из соображений симметрии следует, что скорости иl И "2 также будут направлены вдоль линии центров. Примем

эту линию за ось х и спроектируем векторы, входящие в уравнение

(102.1), JJ а эту ось. В результате получим уравнение

тlViх+m2V2х=mlщх+т2USХ' (102.2)

далее, из условия идеальной упругости шаров следует, что сохраняет­

ся также кинетическая энергия шаров, т. е. должно выполняться равенство

тlV~X+ т2V~X= тlU~X+ т2U~JC

(102.3)

(в данном случае v~x=vi и т. д.).

Из уравнений (102.2) и (102.3) можно найти неизвестные величины Иfх и и2х, Для этого перепишем эти уравнения в виде

т! (Vfх-Щх) = - m 2 (V2XUSX)'

т! (V~x"";,,ubl=- m2 (V~x-ubl·

Деля почленно второе уравнение на первое, получим

щх+щх=и2х+и2Х'

(102.4)

Умножив (102.4) на т2 и вычтя из (102.2), придем к соотношению

тi (Щх-Uiх)-m! (щх+Иiх) = - 2т2V2X'

откуда

		(тt-m2) Vix+2т2VZX	(102.5)
	Иiх=	mi+т2
			•

Подобным же образом, умножив (102.4) на mi и сложив с (102.2), найдем

(102.6)

Если, например, первый шар движется в направлении оси х, а

второй - ему навстречу, то иlх	равна модулю скорости 'lIi, т. е. Vl, а
и2х равна модулю скорости tl2'	взятому со	знаком минус, т. е, -и2·
Подставив эти значения в формулы (102.5) и (102.6), получим
(тt-т2) щ-2m2и2
Иiх=	тl+т2	'

-(т2-тl) и2 +2тlЩ

и2Х=

тl +т2

•

201