Landsberg-1985-T1

наглядного опыта, иллюстрирующего перемещение центра

тяжести при изменении формы тела, удобно взять два оди­

наковых бруска, соединенных шарниром (рис. 129). В том

случае, когда бруски образуют продолжение один другого,

центр тяжести лежит на оси брусков. Если бруски согнуть

IJ:

	I
а)	о}

Рис. 129. а) Центр тяжести соединенных шарннром брусков, располо­

женных на одной прямой, лежит на оси брусков. б) Центр тяжести сог­

нутой системы брусков .'Iежит вне брусков

в шарнире, то центр тяжести оказывается вне брусков, на

биссектрисе угла, который они образуют. Если на один из брусков надеть дополнительный груз, то центр тяжести пере­

местится в сторону этого груза.

?8J .1. Где находится цеитр тяжести двух одинаковых тонких

•стержней, имеющих длину 12 см и скрепленных в Биде буквы т? 81.2. Докажите, что центр тяжести однородl'IОЙ треугольной

пластины Л2ЖИТ на иересечении медиан.

Рис. 130. К упражнению 81.3

81.3. Однородная доска массы 60 кг лежит на двух опорах, как покаЭано на рис, 130. Определите силы, действующие на опоры.

§ 82. Различные случаи равновесия тела под действием

силы тяжести. В механике часто возникает вопрос, в каких положениях тело, на которое действует сила тяжести, может

СКCJЛЬ угодно долго оставаться в покое, если оно находи­

лось в покое в начальный момент. Очевидно, для этого силы,

дейс:,вующие на тело, должны взаимно уравновешиваться.

Положения, в которых силы, действующие на тело, взаимно

уравновешиваются, называют nоложеНИЯ.ми равновесия.

Но практически не во всяком положении равновесия

тело, находившееся Б начальный момент в покое, действи­

тельно будет оставаться в покое и в последующее время.

162

Дело в том, что в реальных УСЛОВИЯХ, помимо учитываемых

нами сил (сила тяжести, сила реакции подвеса, опоры, оси И Т. п.), на тело действуют и неучитываемые случайные не­ устранимые силы: небольшие сотрясения, колебания возду­

ха и т. д. Под действием таких сил тело будет хотя бьт не­

много отклоняться от положения равновесия, а в этом слу­

чае дальнейшее поведение тела может быть различным. При отклонении тела от положения равновесия силы,

действующие на него, как правило, изменятся и равновесие

сил нарушится. Изменившиеся силы будут вызывать Дви­ жение тела. Если эти силы таковы, что под их действием

тело возвращается к положению равновесия, ТО тело, не­

смотря на случайные толчки, будет все же оставаться вбли­

зи положения равновесия. В эт~м случае мы говорим об устойчивом равновесии тела. В других случаях изменившнеся силы таковы, что они вызывают дальнейшее отклонение тела от положения равновесия. Тогда будет достаточно самого

малого толчка, чтобы изменившиеся силы стали все более отклонять тело от положения равновесия; тело уже не будет оставаться вБЛИЗI! положения равновесия, а уйдет от него. Такое положение равновесия называют неустоЙчивblМ.

Итаи, для устойчивости необходимо, чтобы при откло­

нении тела от положения равновесия возникали силы, воз­

вращающие тело к первоначальному положению. Таково,

Il

о)

8)

р

Рис. 131. УстоiIчивое (а), неустойчиtюе (6) и безразличное (в) раВ1Iовесие

шарика на поверхности

например, положение шарика на ВОГНУТОЙ подставке

(рис. 131, а): при отклонении шарика от положения равно­

весия (самое нижнее положение) равнодействующая силы

реаиции R подставки и силы тяжести Р возвращает шарик к положению равновесия: равновесие устойчивое. В случае

же выпуклой подставки (рис. 131, 6) равнодействующая уда­ ляет шарик от положения равновесия (самое верхнее поло­

жение): равновесие неустоЙчивое.

Другим примером может служить равновесие тела, под­

вешенного в одной точке. Определяя положение центра

6>11

163

тяжести по способу подвешивания, описанному в предыду­ щем параграфе, мы всегда обнаружим, что центр тяжести

лежит ниже ТОЧIШ подвеса и обязательно на одной веРТII­ кали с ней, так как иначе сила натяжения нити Т не могла бы уравновесить силу тяжести Р (рис. 132, а). l\\ежду

Рис. 132, а) Положение равновесия при центре тяжести С, раСПО,10жен- 110"1 ниже ТОЧКИ под.веса А, б) Положение равновесия пр!! ц~[rтpe 1'51- ,11"СТИ С. расположенном выте точки подвеса А, в) При ОТК.10не[(!!И теЛ:1

!!З положения а) сила тяжести создает MO~le!lT, ВОЗ!Jращающий ТС10 в

IIOЛОЖСl!не равновесия, г) При отклонении Te.'IJ аз ПСJ.'!сжеНIIЯ б) сила

ТП)КССТf~ СО1дает ыомент, удалпющий тело от ПО.ТТCl.lкенпя равновсси'll

тем CII,ТJ:I тю!,ссп! Р И СlIла натяжения НИТИ Т г,югут ур;;ш'~о­

!iеСIJ1Ъ друг друга таЮЕе Jj в том случае, когда центр ТЯ)f;еLТИ

С лежит на вертикаЛII над точкой подвеса А (рис, 132,6), Дейп ВJlТСЛЬНО, н f3 ЭТCi',: случае с]!ла тяжести Р и равнзл ей по модулю сила Н3ТП}I<енпя НflТИ Т ураВН(JlзеШImnЛlI бы

друг лруга. ОднаlШ, ,-::ак легко убедиться' на опыте, ПрII

ПОДВСlшпзаННII тела оно не будет ОС'I;аваться В это\,[ ВТОРО'I

положении равновесия. Хотя оба случая СООТБетствуют пQ­

ЛОlEСIIШIМ равновесия, но практически :vюжво осущестf3!ПЬ

только один из них - первый.

Причина этого в том, что если TeJlo не:\!ного ОТКЛОНИТЬ

от первого положения (рис. 132, в), то сила тяжести Р С\),

вдаст Врсllцающий мmлент относительно ТОЧЕН по;щеса, КОТО· рый будет возвращать тело обратно. Это - ПОJlожеНJj(>

устоичипого равновеLИЯ. Наоборот, при отклонении тес13 от второго положения раRЕовесия (рис. 132, г) сила Р бу;\ег удалять его от этого ПОJlожения. ЭТО - положение неустой­ чивого раrшовесия. Встречаются!! про:vrежуточные случаи

равновесия: если шарик лежит на горизонтальной опоре,

то смещение шарика вообще не нарушает равновесия, так

как сила тяжести и сила, действующая со стороны плоско­

сти, уравновешивают друг друга при любом положении

шарика. Такое равновесие мы называем безразличным

(рис. 131, в).

Другой пример безразличного равновесия - тело, за­

крепленное на горизонтальной или наклонной оси, прохо­

дящей через центр тяжести этого тела. При повороте такого

тела вокруг оси момент силы тяжести относительно оси все

время остается PlJ.BHbIM нулю (сила тяжести проходит через ось вращения), и тело остается в равновесии в любом поло· жении. Этим пользуются для проверки правильности

изготовления колес, якорей генераторов электрического

тока и т. д. В точно изготовленном колесе центр тяжести должен лежать на оси. Поэтому точно сделанное колесо, ось

которого может вращаться в подшипниках, должно оста­

ваться в равновесии при любом повороте оси. Если оно само

возвращается все время в какое-то одно положение, то это

указывает, что колесо не сбалансировано, т. е. центр тяже­

сти его не лежит точно на оси.

Тело, закрепленное на вертикальной оси, всегда нахо­ дится в безразличном равновесии под действием силы тя­

жести, независимо от того, проходит ось через центр тяже­

сти или нет.

?82.1. Испытайте, в каком положении равновесия устанавлива­

•ется переднее велосипедное КО.1есо, если велосипед приподнять.

Что надо сделать для того, чтобы колесо находилось в состоянии безразличного равновесия?

§ 83. УСJ10ВИЯ устойчивого равновесия под действием силы

тяжести. Сопоставляя рассмотренные случаи равновесия,

можно подметить общее для всех случаев условие устойчи­

вости: если центр тяжести тела занимает наинизшее поло­

жение по сравliенUlО со всеми возможными соседними поло­ жениями, то равновесие устойчиво. Действительно, тогда

при отклонении в любую сторону от этого положения центр тяжести будет подниматься и сила тяжести будет возвра­

щать тело обратно. По этому признаку мы, не производя

опыта, можем простым способом установить, будет тело на­ ходиться в устойчивом равновесии или нет.

Рассмотрим, например, однородный полушар, помещен­

ный на горизонтальную плоскость (рис. 133); центр тяжести этого полушара С лежит на радиусе ОА ниже точки О. По­

ложим, что полушар немного наклонился и опирается о

ПЛоскость точкой В (рис. 133, б). Легко видеть, что расстоя-

~6'

ние ЕС больше расстояния АС; значит, при отклонении от

положения равновесия центр тяжести поднимается и поло·

жение равновесия полушара должно являться устойчивым.

о

'i//// / А

Рис. 133. Так как в положении а) центр тяжести расположен ниже, чем

в ПО.l0жении 6), то равновесие устойчиво

Рассмотрим теперь условия равновесия тела, опираю·

щегося не на одну точку, как при подвешивании тела или

при помещении шара на плоскость, а на несколько точек

(например, стол) или на целую площадку (например, ящик,

поставленный на горизонтальную плоскость). В этих слу· чаях условие устойчивости следующее: для равновесия необ·

ходили, чтобы вертикаль, nроведенная через центр тяже· сти, проходила внутри площади опоры тела, т. е. внутри

'11 pf""L !!!L

Рис. 134. При отклонении стола (6) от его положения равновесия (а) центр тяжести поднимается - равновесие устойчиво. В положении

в) стол отклонен на предельный угол; при дальнейшем отклонении центр тяжести будет опускаться - равновесие неустойчиво

контура, образованного линиями, соединяющими точки

опоры, или внутри площадки, на которую опирается тело.

При этом равновесие является устойчивым.

Например, стол, стоящий на горизонтальном полу, на­ ходится в устойчивом равновесии (рис. 134, а). В самом деле, если наклонять стол, то его центр тяжести будет поднимать­ ся (рис. 134, б). Если, однако, наклонить стол так, чтобы

вертикаль, проходящая через центр тяжести, вышла за

пределы площади опоры, то момент силы тяжести будет вра­

щать стол, удаляя его от положения равновесия, центр

тяжести начнет опускаться, и стол опрокинется: имеется

предельный угоЛ наклона, после которого равновесие уже не восстанавливается и тело опрокидывается. При наклоне в точности на предельный угол тело находится в равнове·

166

сии, так как напраВJIение силы тяжести проходит через точ­

ку опоры (рис. 134, 8), но это положение равновесия неус­

тойчиво: тело либо вернется в устойчивое положение рав­ новесия, либо опрокинется.

Очевидно, предельный угол тем меньше, чем выIеe лежит

центр тяжести при данной площади опоры. Воз, грузовик

или железнодорожная платформа, высоко нагруженные,

легче могут опрокинуться, чем в случае, когда центр тяже­

сти груза лежит низко. Устойчивость может быть улучшена

увеличением площади опоры.

Рис. 135. Ванька-встанька

Из условия равновесия тела, опирающегося на несколь­

ко точек, делается ясным, почему подъемные краны всегда

снабжаются тяжелым противовесом. Благодаря противо­

весу общий центр тяжести крана, груза и противовеса не выступает за прямоугольник, ограниченный точками опоры колес, даже тогда, когда кран поднимает тяжелый груз.

Если центр тяжести тела с самого начала выходит за преде­

лы площади опоры, как, наприыер, для скамьи, на высту­

пающий край которой сел человек, то равновесия нет и

скамья ОПРОКlIдывается.

Практически в большинстве случаев приходится встре­

чаться только с положениями устойчивого равновесия, так

как только в таких положениях тело, предоставленное са­

мому себе, может оставаться сколько угодно времени, не­

смотря на случайные толчки. В противоположность этому, тело, помещенное в неустойчивое положение равновесия,

удаляется от этого положения.

Можно, однако, так управлять условиями, в !юторых находится тело, что оно будет долго оставаться вб.~изи положения неустойчивого равновесия, колеблясь вблизи него то в одну, то !J другую сторону. На­

пример, длинная палка, поставленная вертикально на пол, находится

в неустойчивом положении равновесия и падает, иак ТОЛЪИО мы отни­ мем от нее руку. Но палкой можно «балансироваты>, удерживая ее вбли­

зи неустойчивого вертикального положения на конце пальца: для этого

достаточно только слегка двигать рукой в ту же сторону, куда в даННblЙ

.~67

момент наКЛtlняется палка. Этим мы смещаем точку опоры и соответ­ ственно изменяем момент силы тяжести, который начинает отклонять палку в противоположном направлении. I(онечно, такие движения нуж-

110 производить непрерывно, давая палке лишь слегка отклоняться то

в одну, то в другую сторону под действием изменяющегося момента силы тяжести. Путем тренировки можно добиться такого точного управления моментами, что удается удерживать вблизи неустойчивого равновесия целые конструкции (как это Делают жонглеры в цирке). Следя за игрой собственных ножных мускулов, можно заметить, что, стоя на одной ноге,

мы практически наХОJ\IIМСЯ в состоянии неустойчивого равновесия: для того чтобы не упасть, ВСС время приходится переноситr, ТОЧl{У опоры тела

то на пятку, то на lIОСОК.

'1 83.1. Если пгрушку (;нанька-встаНЬКа» (рис. !:35) JЮЛОЖ!IТЬ Нп

•бок, то она подrrюrСТС5\. Г;(е примерно находите5! се I(CIITP Т5Jжести? 83.2. Будет ли ШIхо"IIТЬСЯ в положении устоifЧIШОГО J)~"l;овеснп

тонкая Jшнейка, опирающа5JСЯ на uилиндрическ)'ю lЮ;JСРХIlOсrь

(рис. 136)?

/Л7'7"r72~Q~5?

Рис, 136. 1( упраЖНеНИЮ 83.2

Рис, 137. 1( упражнению 83.5

83.3.Почеыу человек, несущий груз на спине, П?ТС10НЯСТСИ

вперед?

83.4.Сплошной пилиндр СТОИТ на доске Длины 50 см. 1-1 <J ка](\'1О

наибольшую ВЫСОТУ можно поднять один из концов ДОСЮI, чтобы

цилиндр не упал, если его высота в четыре раза 60.1ьше дrlJ',;етра

основания?

83.5. Карандаш с ВОТКНУТЫМ в него ножиком наХОДJIТСЯ в устой­

чивом равновесии (РИС. 137). Объясните это ЯRЛСJJi!С.

§ 84. Простые машины. Уже в древности появились первые

приспособления, при помощи которых поднимали и пере­ двигали большие тяжести, приводили в действие осадные орудия (тараны) и т. д. Все эти приспособления служили

168

ДЛЯ того, чтобы вызывать такие движения, при которых

необходимо преодолевать большие силы (например, при подъеме тяжелого груза - его вес). Для этого силы, раз­ виваемые приспособлениями, должны хотя бы в начале

Движения, превосходить силы, противодействующие движе­

нию. Но если движения, вызываемые приспособлениями,

происходят медленно и если силы трения достаточно малы,

то можно считать, что роль этих приспособлеНliЙ сводится

к тому, чтобы уравновесить большие силы, противодейст­ вующие ДВИЖeFiИЮ. Иными словами, можно считать, что силы, развиваемые приспособлениями, должны быть равны

по модулю и противоположны по направлению силам, про­

тиводействующим движению. Все такие приспособлеЮ!5J называют nросmыл1И JШlUU!Ш)НU. Таким образом, вопрос

о действии простых машин сводится [С определению условий,

при которых простая ~lашина находится в равновеСIIИ.

~%/L

~ .~~­

- ~/д,

~;,:, .

r

Рис. 138. При~!енение рычага. CH.~a f, приложенная человеком, м~ноше

силы 1'1, действующей со стороны ры'!зга на груз

Одной из наиболее распространенных простых машин

является уже рассмотренный нами рычаг; рычаги часто при­

меняются во всевозможных машинах и механизмах. Равно­

весие рычага наступает при условии, что отношение при··

ложенных к его концам параллельных сил обратно отно­

шению плеч и моменты этих сил противоположны по знаку.

Поэтому, прикладывая небольшую силу к длинному концу рычага, можно уравновесить гораздо большую силу, при­ ложенную к короткому концу рычага. Подложив под тяже­

.10е тело рычаг с очень Д/IИнным вторым плечом (рис. 138),

169

можно приподнять тело, приложив силу, во много раз мень­

шую, чем вес тела. Можно сказать, что рычаг - это «преоб­

разователь» силы: малая сила {, приложенная к концу длин­ ного плеча, вызывает большую силу F на конце короткого

плеча. Мы получаем «выигрыш В си.тrе».

Тачка-это тоже рычаг (рис. 139). Сила тяжести р,

действующая на груз, приложена гораздо ближе к оси ко­

леса тачки (которая в этом случае играет роль оси рычага),

А

Рис. 139. Тачка как рычаг	Рис. 140. Простой
	блок

чем сила, действующая со стороны рук чеЛОБеI.а. ПОЭТО;,IУ

человек может приподнять на тачке такой груз, которого

он прямо руками поднят!? не в состоянии. Сшrз, действую­ щая со стороны рук человека, должна быть направлена

вверх, чтобы создаваемый ею момент относительно оси ры­ чага был противоположен моменту силы Р.

Другим распространенным ТИПОМ простых машин яв­ ляются различные комбинации блоков. Рассмотрим сначала простой блок (рис. 140). Будем считать, что он вращается в подшипниках без трения. Если веревка натянута и не скользит по блоку, то блок находится под действием двух сил натяжения веревки Т1 и Т2; точками приложения Этих

сил можно считать точки А и В НЗ окружности блока. Ус­

ловия равновесия блока, как и условия для рычага, опре­

деляются из условий равновесия моментов приложенных

сил. Так как плечи сил Т1 И Т2 (радиусы блока ОА иОВ)

одинаковы, то блок будет находиться в равновесии, если обе приложенные силы равны. Блок - это равноплечий

рычаг. Изображенный на рис. 140 простой блок не дает ни­

иакого выигрыша в силе. Его роль 3i:1I{лючается только в из-

170

менении направления, в котором нужно прикладывать силу_

Тянуть за веревку, опускающуюся сверху, часто удобнее,

чем за веревку, идущую снизу (рис. 141).

Вместо вращающегося блока можно применить какую­ нибудь гладкую неподвижную опору, перекинув через нее

веревку, которая сможет скользить по опоре; разница будет

Рис. 141. Применение	простого	Рис. 142.	I< уп­
блока ДШI подъема	груза	ражнению	84.1

только в силе трения (В этом случае она, как правило, будет

больше, чем для блока, ось которого вращается В подшип­

никах).

? 84. t. Пожарные, альпинисты, маляры иногда применяют не-

•подвижный блок так. как показано на рис. 142, поднимая саМlI

себя по веревке. Получается ли при зтом выигрыш В силе по от­ ношению к весу поднимаемого груза?

Для того чтобы получить выигрыш в силе, применяют

разные комбинации блоков, например двойной блок. Он со­ стою ИЗ двух блоков разных радиусов, жестко скрепленных между собой и насаженных на общую ось (рис. 143). К каж­ дому блоку прикреплена веревка так, ЧТО она может

111.