Landsberg-1985-T1

новением с другими телами, всегда окажеТFЯ деформирован­

ным. Если тело жесткое, то деформации будут малы, но,

даже не наблюдая их непосредственно, мы обнаружим их

наличие по силе, с которой тело будет действовать на нить.

Но если взять легко деформирующееся тело, например сла­

бую цилиндрическую пружину, то деформацию можно

сделать заметной и на глаз (рис. 189). Деформации пружины распределятся так, что на кажды~ виток со стороны сосед­

них витков будет действовать результирующая ,~ила, на­

правленная к центру, обусловливающая необходимое уско­ рение этого витка; растяжение будет наименьшим для

крайнего витка и будет расти к центру. Деформированная нить действует также и на ось вра­

щения, к которой она прикреплена другим концом. В свою очередь ось изгибается и благодаря этой деформации дейст­

вует с равной по модулю и противоположной по направле­

нию силой на прикрепленную к ней нить. Сила, действую­ щая на тело со стороны связи (оси и нити), направлена к центру (она сообщает телу центростремительное ускорение).

Наоборот, сила, с которой вращающееся деформированное

тело действует на нить и на ось, т. е. на связь, направлена

от центра.

,119.1. Два тела массы !1Il и m 2 привязаны на нитях длины ri и Ге

•и вращаются вокруг ТО'lки О С одинаковой угловой скоростью

(рис. 190). При каких условиях силы, действующие на TO'lKY О

со стороны нитей, уравновесят друг друга?

119.2.	Барабан	сушильной ма­
шины	диаметра 80 см вращается
с 'lастотой 25		c- 1 • С какой

силой давит на стенку барабана

кусок ткани массы 1,5 г?

Рис. 190. К упражнению 119.1

Рис. 191. К упражнению 119.3

119.3. К телу 1 массы т прикреплена" нить, которая пропущена

через отверстие О (рис. 191). К l\pyroMY концу нити прикреплено

тело 2 такой же массы m. Тело 1 вращается в горизонтальной

плоскости около ТОЧКи О, причем радиус траектории равен 20 см.

С какой угловой скоростью должно вращаться тело 1, 'lтобы "тело .....

2 наХОДИJlОСЬ в равновесии?

232

119.4. Что произойдет в СЛУ'lае, описанном в преДЫдущей задаче, еCJIИ МЫ: а) немиого подтолкнем тело 2 вверх или вниз; 6) поло­

жим на тело 2 небольшой добавочный ГРУЗ?

§ 120. «Американские горки». При криволинейном движе- .

нии вагонетки по так называемым «американским горкам»

(рис. 192, а) ускорение ВОЗ,никает в результате действия как

а)

	р	о)
Рис, 192, а)	Аттракцион «американские горки», б) СИЛЫ, действующие
в	нижней и верхней TO'lKaX	«американских горок.

силы притяжения Земли, так и силы, обусловленной непо·

средственным соприкосновением. Первая - это сила тя­ жести Р, действующая на вагонетку, вторая - сила реак­ цИИ R. в этом примере связь - это рельсовый путь, по

которому движется вагонетка. ~

Посмотрим, с какой силой рельсы действуют на вагонет­

ку в самой верхней (А) и самой нижней (В) точках пути (рис. 192, 6). Так как при криволинейном движении уско­

рение всегда направлено в сторону вогнутости траектории,

то в точке А оно направлено вниз, а ,в точке В - вверх.

Значит, равнодействующая сил Р и R в верхней точке

пути направлена вниз, а в нижней точке - вверх. Отсю­ да следует, что по модулю сила реакции R в точке А мень­

ше, а в точке В больше, чем сила· тяжести Р. В точке А

избыток силы тяжести над силой реакции сообщает ваго-

2~3

нетке центростремительное ускорение, направленное вниз.

В точке В, наоборот, сила реакции не только уравнове­ шивает силу тяжести, но и с!)общает вагонетке центро­

стремительное ускорение, направленное вверх. Центро­

стремительное ускорение а=и2/г. Значит,раэиос'Гь между модулями сил R и Р равна mи2/г.

Различие реакции опоры в разных точках пути обуслов­ лено тем, что рельсы в нижней и верхней точках пути ока­

зываются по-разному деформированными. В этом можно

было бы убедиться рассужде­ ниями, подобными тем, кото­

рыми мы воспользовались при

рассмотрен~и деформаций же­

лоба в § 117. По третьему за­ кону Ньютона вагонетка в

свою очередь давит на рельсы

Рис. 193. При движении через вершину «американской горки»

показание пружинных весов

меньше силы тяжести, действующей иа груз

с силой N, равной по модулю ~иле Л, но направленной от вагонетки ~ рельсам. Значит, в верхней точке пути вагонет­

ка давит на рельсы с меньшей

силой, чем в нижней.

Итак, сила, с которой тело

действует на подставку (ваго­

нетка на рельсы) при движении по криволинейному пути, лежащему в вертикальной плоскости, не остается постоян­ ной, а зависит от скорости движения и от формы пути. Мы могли бы обнаружить эти изменения, поместив на тележку, движущуюся по «американским горкам», груз, лежащий на

пружинных весах (рис. 193). Если тележка неподвижна, то

сила тяжести р, действующая на груз, уравновешивается

упругой	силой сжатой пружины весов R, т. е.		R=P.
Но если	тележка	движется криволинейно, то R будет
либо меньше, либо больше Р, следовательно, вес			груза
будет либо меньше,		либо больше его веса в случае,	когда

тележка неподвижна.

Этот опыт еще раз иллюстрирует то обстоятельс>гво, КОТО- .

рое мы подчеркивали в § 55. При измерении на пружинных .

весах ВСС тела оказывается равным силе тяжести только в

том случае, если весы и взвешиваемое тело покоятся (либо

движутся без ускорения). Если весы и тело обладают уско­

рением, направленным вниз, то вес тела оказывается меньше

силы тяжеСТIJ. Наоборот, если ускорение весов и тела

направлено вверх, то вес тела окааывается больше силы тя-

жести,.

.

?120.1. Найдите соотношение' между радиусом кривизны г моста

и скоростью v движения автомашины, при котором нагрузка на

выгнутый мост будет вдвое меньше, чем на плоский. ПРИ какой

скорости автомашина оторвется от моста, имеющего радиус кри­

визны Г, в его наивысшей точке?

§ 121. Движение на закруглениях пути. Движения конько-

6ежца, велосипедиста, поезда и т. Д. на закруглениях пути

обычно представляют собой движение по дуге окружности,

но, в отличие от «американских горою>, В этих случаях кри­

волинейная траектория лежит в горизонтальной плоскости. Движущееся тело находится под действием двух сил: силы

тяжести Р и силы реакции R со стороны опоры (лед, земля,

рельсы). Если те.Т[О неподвижно или движется прямолиней­

но, эти силы направлены вертикально и уравновешивают

,	;%/ ////./ '/ '/
Рис. 194. Велосипедист наклоня­		Рис. 195. Наклон железнодорожно­
ется в сторону поворота.· Сила		го пути на закруглении. Сила тяже­
тяжести Р и сила реакции R со		сти	Р, действующая на вагон, и си­
стороны земли дают равнодей­		ла реакции R рельсов дают резуль­
ствующую силу Р, сообщающую		тирующую силу		Р, обусловливаю­
центростремительное ускорение,		щую	центростремительное ускоре-
необходимое	для движения по		ние	вагона

окружности

друг друга. На поворотах же необходимо, чтобы их равно­

действующая была направлена в сторону вогнутости тра­

ектории. Для этого' движущемуся телу придают наклон в

эту сторону. При этом появляется сила реакции опоры,

направленная в сторону наклона, к центру описываемой

235

окружности. и создающая требуемое центростремительное

ускорение. .

Как осуществляется наклон? Конькобежец и велосипе­ дист вызывают его сознательно (или ИНСТИНКТИВНО),переме­

щая центр тяжести своего тела движением корпуса или рук.

а результате возникает сила трения между коньком и льдом или шиной велосипеда и землей, которая создает центростре­ мительное ускорение. Сила трения, направлена в ту сторо­ ну, куда наклонен, велосипед. В результате сила R, дей­

ствующая со стороны земли, отклонится в ту же сторону

(рис. 194). Если сила трения недостаточно велика (напри­ мер, конек тупой или дорога скользкая), то конек или коле­

со скользнут по льду или земле и произойдет падение.

Для поезда наклон создается устройством пути. На за­

круглениях наружный рельс кладется несколько выше внут­

реннего (рис. 195). Наклон железнодорожного пути рас­ считан· на некоторую. среднюю скорость. Значительное

превышение этой скорости может привести к крушению

поезда.

?121.1. Если поезд идет по закруглению пути с той скоростью, на

•которую рассчитан накло!! пути, то пассажирам кажется, что

вагон не наклонился. При большей скорости пассажирам кажет-

ся, что вагон наклонился наружу, а при меньшей - внутрь

закругления. Объясните эти явления.

§ 122. Движение подвешенного тела по окружности. Рассмотрим еще иекоторые примеры равномерного движения по окружиости. Укрепим несколько отвесов на диске электрофона (рис. 196). При неПОДВИЖIIОМ

диске все отвесы висят вертикально, при вращаlOщемся - отклоняются,

причем это отклонение тем БОJlьше, чем дальше от центра расположен

Рис. 196. На диск элеКТРОфОllа положена

дощечка с укрепленными на ней отвесами.

при вращении диска отвесы ОТКЛОНяются

наружу тем сильнее, чем БОJlьше скорость

вращения и чем дальше от оси расположен отвес

°l~

t	\
L-~
	\
	\ \ ,	Р
	r-

о

Рис. 197. Сиды, дейст­

вующие на грузик от­ веса, укрепленного на вращающемся диске

236

·ОТвес. С увеличением угловой скорости вращения отклонення 'отвесов

возрастают.

Не рассматрнвая, как возннкает отклонение нити отвеса; найдем по­

ложение, которое займет ннть при дан'ной угловой скоростн вращения

{рнс. 197). При равномерном вращеннн диска сила натяжения нити Т 11 сила тяжестн Р, действующая на грузнк, дают направленную'ГОРИЗОН­ -тально результирующую силу Р, которая сообщает грузику центростре­

мительное ускорение. Заметим, что сила натяжения нити Т ПО модулю

больше, чем она была бы в случае покоящегося диска, так как силу Р

уравновешивает вертикальная составляющая силы Т.				'
Модуль силы Р'равен произведению массы грузика т на его цент­
ростремительное	ускорение (f)2r	((f) - угловая скорость		диска): р=
= m(f)2r • Из рис.	197 следует, что
	F m(f)2 r (f)2 r			(122.1)
	tgtx=-=--=-,
	Р	mg	g

Отсюда видно, что отклонение нити тем больше, чем больше угловая

1:1

Рис. 19В. Модель центробежного регулятора Уатта

скорость и расстояние от оси; оно не зависит от массы грузика. Аналр­

гичную картину - отклонение штанги, на которой висит конь со всад­

ником,- можно наблюдать и на карусели. В этом случае формула

(122.1) дает угол отклонения штанги.

Рассмотренная картина поясняет также принцип действия так на­

зываемых центробежных регуляторов, применяемых для регулировки

частоты вращения разли'lНЫХ машин. Первый такой регулятор был построен Уаттом дЛя регулировки частоты вращения паровой машины. При вращении вала регулятора (рис. 19В) грузы 1, укрепленные на

шарнирах, отклоняются и передвигают муфту 2, с которой они соеди­

нены тягами. Муфта соединена с заслонкой 3, регулирующей подачу

пара в цилиндры паровой машины. Когда частота вращения машины возрастает выше нормальной, муфта опускается и уменьшает доступ пара в цилиндры. Наоборот, при ум_ньшении частоты вращения ниже нормы муфта поднимается и увеличивает .itоступ пара,

237

§ 128. Дu_еllJнеиnaнет. Изучение ВИДИМОГО даижения пла­

нет на неизменном фоне звездного неба позволило дать пол­

ное кинематическое описание движения планет относитель­

но инерциальной сис~мы отсчета Солнце - 8везды *). Траектории планет оказались замкнутыми кривыми, полу­ чившими название ор@иm. Орбиты близки к окружностям с центром в Солнце **), а движение планет по орбитам ока­ залось близким к равномерному. Исключение составляют

только кометы и некоторые астероиды, расстояние от кото­

рых до Солнца и скорость движения которых меняются в

широких пределах, а орбиты сильно вытянуты. Расстояния

т а б л и ц а 2. Сведения о планетах

		Расстояние от Солнца			Время
			I
	Название и обозначение	в радиусах			обращения
	планеты				в земных
		земной		в МЛН. км
					годах
		орбиты
	Меркурий Q	0,387		58	0,241
	Венера ~	0,723		108	0,615
	Земля о (или $)	1,000		149	1,000
	Марс d'	1,524		228	1,881
	Юпитер 1../-	5,203 ~		778	11,862
	Сатурн Q	9,938		1426	29,457
	Уран ~	19,191		2868	84,013
	Нептун g	30,071		'4494	164,783
	Плутон ~	39,6		6000	'248

от rланет до Солнца (радиусы орбит) и времена обращения этих планет вокруг Солнца весьма различны (табл. 2). Обоз­

начения первых шести планет, приведенные в таблице,

сохранулись еще со BpeM~H астрологов.

Вдействительности орбиты планет не вполне круговые,

аих скорости не вполн~ постIяюJы. Точное описание дви­ жений BC~X планет БВfЛО дано немецким астрономом Иоган­

ном Кеплером (1571-1630) - в его вр'емя были известны

только первые шесть планет - в виде трех законов (рис. 199)_ 1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из

фокусов которого находится Солнце.

*) НШЮШlИМ. что эта сист~ма отсчета называется гелиоцентричес­

кой. (Пр.uмeot.• ред.)

**) Расстояния между н~беснымн телами ГjЮМIЩНbl даже по срав­

неншо с oгpOMHhlМli размерами самих небесных тел, поэтому при изуче­

нии движеиия ПJIанет МQЖНО считать их точками.

238

2. Радиус-вектор- планеты (вектор, проведенный от Солнца I{ планете) в равные Bp~MeHa описывает равные

площади.

3. Квадраты l!ремен обращения любых .двух планет

относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Из этих законов можно сделать ряд l3ыводов о силах,

под действием которых ДВИЖУТС5I планеты. Рассмотрим_

Рис. 199. Если из точки ai в Рис. 200. к: определению отноше­

точку аз планета перемещается ния скоростей планеты в периге-­

за то же время, что из точки аз

,1ИИ И афелии

в точку а4' то площади, заштри,

хованные на рнсунке, равиы

вначале движение какой-либо одной планеты. Ближайший к Солнцу (8) конец Р большой оси орбиты называют nери­ гелием; другой конец А называют афелием (рис. 200).

Так как эллипс симметричен относительно обеих своих осей, то радиусы кривизны в перигелии и афелии равны.

3НCiчит, согласно сказанному в § 27, НОРJ\.1альные ускоре­ ния ар и аА в этих точках относятся как квадраты скоростей

планеты Vp и VA:

ар/аА =	2 з·	(123.1)
	Vp/Vk

Рассмотрим малые пути Р1Рз И A1A 2 , симметр~чные от·

носителънр перигелия и афелия и совершаемые за одинако­

вые промежутки времени t. Согласно второму закону Кеп­

лера площади секторов SА1А з и 8Р1Рз должны быть равны. Дуги эллипса А1А з и Р1Р2 равны vAt и vpt. На рис. 200

для наглядности д:У.ги сделаны довольно большими. Если

же взять эти дуги крайне малыми (для чего промежуток времени t должен быть малым), то -отличием дуги от хорды

мощно пренебречь и рассматривать описанные радиус­

вектором секторы как рав'нобедренныетреугольники SA1 A j

и SPIP~, Их площади равны соответственно V,A.trA/.2 и Vp trp /2,

где ГА и Гр - расстояния от афелия и перигелия до·Солнца.

Значит, V4Г,л.'&<:VРГР1 откуда VA,/vp=rp/r.A,. Наконец, IiIQдстав-

Ш

ляяэто соотношение в (123.1)1 найдем
ар/аА = r~/r".	(123.2)

Так как в перигелии и афелии тангенциальные ускорения

равны нулю, то ар и аА представляют собой ускорения планеты в этих точках. Они направлены к Солнцу (вдоль

большой оси орбиты).

Расчет показывает, что и во всех других точках траекто­

рии ускорение направлено к Солнцу и изменяется по тому

же закону, т. е. обратно пропорционально квадрату

расстояния планеты от С-слнца; поэтому для любой точки

орбиты

(123.3)

где а - ускорение планеты, r - расстояние от нее до Солн­ ца. Таким образом, ускорение планеты обратно пропор­

ционально квадрату расстояния между Солнцем и планетой. Рассматривая угол, составляемый радиус-вектором пла­

неты с касательной к траектории, видим (рис. 201), что при

движении планеты от афе­

лия к перигелию танген­ циальная состаВЛЯЮЩая ускорения a't положитель­ на·и скорость планеты ра­

рА стет; наоборот, при движе­

нии от перигелия к афе~

			лию	скорость	планеты
			уменьшается. в		перигелии
			планета достигает наиболь­
	Рис. 201. При движении lIAaHeTbI от		шей скорости,		в афелии­
			наименьшей скорости дви­
	перигелия к афелию сила	притяже­
	ния уменьшает скоро...ть	планеты,	жения.
	при движении от афелия к периге­		Для выяснения зависи­
	лию - увелиqивает скорость пла-		мости	ускорения планеты
	петы
			от расстояния ее до Солнца

мы воспользовались первы.

ми двумя законами Кеплера. Эту зависимость удалось найти

потому, что планеты движутся по эллипсам, изменяя свое

расстояние от Солнца. Если бь( планеты двигались по

окружностям, расстояние от планеты до Солнца и ее ускоре­

ние не менялись бы, и мы не смогли бы найти эту зависи­

мость.

Но при сравнении между собой ускорений различных

планет можно удовлетвориться приближенным описанием

движения ШJанет, считая, что они движутся равномерно по

240

окружностям. Обозначим радиусы орбит двух каких-нибудь

планет через '1 и Г2, а периоды их обращения - через Ti

и Та. Тогда их скорости выразятся формулами

V1=2ЛГ1/Т1; V2=2ЛГа/Т2'

ацентростремительные ускорения, согласно (27.1),-

формулами.

а1 = v~/,1 = 4л2,l/T~, а2 = v~/,2 = 4л2,2/П'

Так как движение по окружности мы считаем равномерным,

то Щ и а2 можно считать ускорениями, направленными к

центру орбиты - к Солнцу. Отношение ускорений планет

щ	ri	T~	(123.4)
- = -- 2'
а'з	Г2	Т1 (

Но, согласно третьему закон)r Кеплера,

П!Т~ = ,~/,~.

Подставляя отношение квадратов времен обращеlYiЯ в

формулу (123.4), найдем

а1/а2 = г~/г~.

Этот вывод можно переписать в таком виде: для любой пла­

неты, находящейся на расстоянии , от Солнца, ее ускоре­

ние

(123.5)

где С - одна и та же постоянная для всех планет солнеч­ ной системы. Таким образом, ускорения планет обратно пропорциональны квадратам их расстояний от Солнца и направлены к Солнцу.

§ 124. Закон всемирного тяготения. И. Ньютон сумел вы­

вести из законов Кеплера один из фундаментальных законов природы - закон всемирного тяготения. Ньютон знал, что для всех планет Солнечной системы ускорение обратно

пропорционалыю квадрату расстояния от планеты до Солн­

ца и коэффициент пропорциональности - один и тот же

для всех планет.

Отсюда следует прежде всего, что сила притяжения,

действующая со стороны Солнца на планету, должна быть

пропорциональна массе этой планеты. В самом деле, если

ускорение планеты дается формулой (123.5), то сила, вы­

зываЮll\ая ускорение,

е

F=- та=т-г з ,

241