Landsberg-1985-T1

Хотя перенос точек приложения сил не меняет их дей­

ствия на тело в целом, такой перенос изменяет распределе, ние деформаций и сил упругости в реальном теле. В .самом

деле, в рассматриваемом примере, когда силы приложены

,к точкам А и В, они вызывают деформацию тела: в области

между точками А и В, возникает растяжение и появляются

силы упругости F s и F4 , которые действуют между частями

тела, уравновешивая приложенные извне силы Fi и F2,

И прекращают дальнейшие деформации. Если же сила F1 приложена в точке А', то растяжение захватывает уже об­

ласть от точки А' дО точки В. Однако в обоих случаях упру­ гие силы Fз и F 4 возникают уже при ничтожных деформа­

циях, а так как мы не обращаем внимания на деформацию

(рассматрйваем тело как абсолютно твердое), то различие

в деформациях роли не играет.

§ 72. Равновесие тела под действием трех сил. В § 41 мы

нашли условие равновесия тела, находящегося под дейст­

вием трех сил, расположенных под углом друг к другу и

приложенных к одной точке. Оказалось, что для этого все

три СИ.1Ы должны лежать в одной плоскости и 'каждая из

них должна равняться по моду­

лю и быть обратной по направ­ лению равнодействующей дпух

других сил.

Но на практике часто силы

\оказываются приложеННЫМII не

		6	11.		,F'z.'
	о
				о
				Fs
Рис. 97. Иссдедование ус.'Ю­			Рис, 98. Точка пере.
вий равновесия твердого тела			сечения	уравнове­
под действием трех		сил, при·	шивающихся		сил
ложенных	к разным точкам		может	лежать	вне
	тела			те.1а
в одной	точке.	Выясним,	каковы будут условия равно­

весия в этом случае. Для этого воспользуемся таким же

устройством с тремя гирями, какое мы применяли в § 41,

142

с той разницей, что нити, на которых подвешены гири, бу­

дем прикреплять к разным точкам куска легкого картона,

как показано на рис. 97. Если масса картона мала по срав­

нению с массами гирь, то силой тяжести, действующей на картон, можно пренебречь и считать, что к нему при.1IOжены только силы натяжения нитей. Опыт покажет, что при рав­

новесии все нити (а значит, и силы, действующие на картон)

расположатся в одной плоскости. Отмечая на картоне ли­

ШIИ, указывающие направления нитей, и продолжая их до

пересечения, убедимся, что все три линии пересекаЮ1СЯ в одной точке. Перенося в нее точки приложения всех трех

сил натяжения нитей, убедимся, что и в этом случае условие равновесия трех сил, сформулированное выше, оказывает­

ся БЫПОJ1НElННЫМ.

Заметим, что точка пересечения направлений сил не

должна при этом обязательно лежать в самом теле (рис. 98).

'- ~-	Если на тело действуют больше
	чем три силы, то равновесие может
	наступить и в том случае, когда си­
	лы не лежат	.в одной плоскости.
	Такой случай	(груз, подвешенный
	на трех тросах) показан на рис. 99.

р

Рис.	99. Люстра находит­	Рис. 100, К упражнению 72.2
ся в равновесии под дей­
ствием четырех сил, не ле­
жащих в одной плоскости
?	72.1. Докажите, что при равновесии трех сил ломаная, состав­
	ленная из них, образует -треугольник.
	72.2. Груз массы 5 кг подвешен на двух нитях: одна расположена
	горизонтаJIЬНО, другая -	под углом в 450 к горизонту (рис. 100).

Найдите силы натяжения нитей.

72.3. Судно пришвартовано к берегу двумя тросами, образующи­

ми с линией берега угол 600 (рис. 101). Под действием ветра,

дующего с берега, оба троса натянулись так, что сила натяжения

каждого троса состаВ.'lяет 10 кН. Определите силу, с которой

ветер давит на судно. -

143

Рис. 101. К упражнению 72.3

IПкг

Рис. 102. К упражнению 72.4

72.4. На проволоке подвешен груз ыассы 10 кг; к середине ЩJO­

волоки прикреплена горизонтально расположенная оттяжка, пе­

рекинутая через блок (рис. 102). На конец оттяжки подвешен

груз массы 2,5 кг. Найдите угол 0:, который образует верхняя часть проволоки С вертикалью, и силу натяжения верхней части

ПРОВОЛОКИ.

§ 73. Разложение сил на состав.r.яющие. Мы уже знаем,

как отыскать равнодействующую двух или нескольких за·

данных сил, направления которых пересекаются.

144

Не менее важна для практики задача о разложении силы

на составляющие, т. е. задача отыскания нескольких '2ил,

равнодействующей которых была бы данная сила Эта за­

дача может приводить к различным решениям, подобно то­

му как это имеет место при разложении на составляющие

перемещения, которое также является векторной величи­

ной. Чтобы задача о разложении силы стала определенной (т. е. имела бы только одно решение), необходимы допол-

нительные указания. Например,	С
если заданы модуль и направле-
ние одной из составляющих или
два направления, по которым	................. ....
должны действовать составляю-	F ........
щие, и т. п., то операция разло-	А &,.___;....----i"';'"
жения силы на две составляющие
становится вполне определенной

исводится к простому геомет­

рическому построению.

Пусть, например, мы хотим

разложить силу F на две со­ ставляющие, лежащие в одной

Рис. ]03. Разложение силы F по заданным направлениям

АВ и АС

плоскости с F *) и направленные вдоль прямых АВ и АС

(рис. 103). Для этого достаточно из конца вектора, изобра­ жающего силу Р, провести две прямые, параллельные АВ и АС. Отрезки Fi и F 2 изобразят искомые силы.

Обычно в механических задачах содержатся указания на то, как целесообразнее разложить силу на составляющие.

р

Рис. 104. Чем больше угол ВАС между тросами, тем больше силы натя­

жения тросов

Часто условия задачи прямо указывают те направления, по

которым нужно найти составляющие данной силы. Напри­

мер, чтобы отыскать силы натяжения тросов, на которых

висит груз, нужно силу тяжести Р, действующую на груз, разложить на составляющие P 1 и Р2 по направлениям этих тросов (рис. 104). Силы натяжения тросов должны уравно­ весить эти составляющие. Из рисунка видно, что чем

*) Иначе разложение невозможно,

145

больше угол между "тросами, тем

больше ОКаЖУТСЯ силы натяжения тросов. Поэтому если расстояние

между опорами тросов велико, то

даже небольшой груз, если он ви­

сит немного ниже опор, вызывает

очень большое натяжение тросов. Этим объясняется, почему гололед или иней иногда обрывает туго

натянутые провода.

При разложении силы на три

или большее' число составляющих

Рис. 105. К упражнению увеличивается и число условий,

73.1необходимых для того, чтобы разло­

жение было выполнено однозначно.

?73.1. На рис. 105 показаllа часть ГОРИЗОl!Тально растянутой сети.

• Участок АВ натянут с силой 10 Н. Каковы силы натяжения

Y'jaCTKOB ЕС, СО, CD, DE?

§ 74. Проекции СИ.Т;. Общие условия равновесия. Силу, как

и всякий другой вектор, можно проектировать на любую

ось (§ 24). В § 41 было показано, что при сложении по пра­

вилутреугольника сил, находящихся в равновесии, полу­

чается замкнутая ломаная линия. На рис. 106 показано по­

строение такой линии для случая трех сш]. Возьмем произ­

вольную ось х и найдем проеrЩIIИ сил на эту ось.

По опр~делению проекция вектора на ось равна разнос­

ти координаты, определяющей проекцию На ось конца от­ резка, изображающего вектор, и

координаты, определяющей проек­

цию начала этого отрезка. Следо­

вателыю,

X;J

Х! ХZ

РИС. 106. с.~ожение ПО

праВИJ1У треугольника

СИЛ, находящихся в равНО!Jесии

F!x=x j - x2 , F2х =х2 -хз,

Fзх =хз-хj ,

где Р1Х - проекция вектора Fi 11 т. д. СУММ8 этих выражений равна

нулю:

FlХ +F 2х +F 8х = О. (74.1)

Полученный нами результат не зависит от выбора оси х и,

очевидно, справедлив для любого числа слагаемых. Таким

образом, мы приходим к общему условию равновесия: тело'

может находиться 8 равновесии, если СУ_Н.ма проекций всех

приложеННblХ к HeAtY сил на любое направление равна нулю.

146

При использовании этого условия нужно учитывать все си­

лы, действующиеJIа тело, в том числе и силы, действующие

со стороны опор, подвесов и т. д.

При решении задач часто бывает полезно разлагать силы на составляющие (§ 24). Особенно удобно разлагать силы на

составляющие по взаимно перпендикулярным направле­

ниям. В этом случае составляющие силы образуют сторо­

ны прямоугольника, диагональю которого является разла­

гаемая сила (рис. 107).

Поясним сказанное следующим примером: расс:vютрим

условия равновесия тела массы М, лежащего на плоскости,

образующей с гори-

R

зонтом угол а (на­

клонная плоскость,

Рис. 107. Раз.~ожен!!е Рис. 108. Нахождение условий равнове­

силы по двум взаимно сия тела на наКJ10ННОЙ плоскости

перпендику.~ярным на-

правлениям

рис. 108) .. Предположим, что трения нет; тогда предостав­ ленное самому себе тело скользило бы по плоскости вниз.

Чтобы удержать тело, нужно приложить к нему еще ка­

кую-то силу, например привязать к нему нить, перекинутую

через блок так, чтобы нить шла параллельно наклонной

плоскости, и подвесить к концу нити груз массЫ m. Тогда

тело будет находиться под действием трех сил: СИЛЫ тяжести

P=Mg, СИЛЫ натяжения нити Т и упругой силы R, дей­

ствующей со стороны плоскости, слегка прогибающейся под

тяжестыо тела. Сила R направлена перпендикулярно к

плоскости и ограничивает движение тела, позволяя ему пе­

ремещаться только по плоскости (силы, ограничивающие

движение тел, называются сила.ми реакции, § 75).

Для нахождения условий равновесия разложим силу Р

на две составляющие: Р11, направленную паралле.льно' нак­ лонной плоскости, и РJ., направленную перпендикулярно к плоскости. Из рисунка видно, что модуль составляющей P 11 равен Р sin a=Mg sin а, а модуль составляющей PJ.

равен Р cos a=Mg cos а. Для равновесия необходимо, что-

147

бы сила натяжения нити Т была равна по модулю составля­

ющей Р Н , а сила реакции R была равна по модулю состав­ ляющей Р1.. Последнее условие всегда соблюдается само

собой: плоскость прогибается до тех пор, пока силы R и

Р1. не сделаются равными по модулю. Равенство же мо­ дулей сил P 11 и Т возможно только при определенном соотношении между массами М и т, зависящем от угла а. Поскольку модуль силы Т равен mg, это соотношение имеет

вид Mg sin a=mg, откуда

Msina=m.

Последнее равенство выражает условие равновесия тела,

лежащего на наклонной плоскости. Легко убедиться в том,

что при выполнении этого условия сумма проекций всех

сил на любое направление равна нулю.

?	74.1.	Наклонная	плоскость	образует	с горизонтом угол	300
	(рис. 109). На ней лежит тело массы М=2 кг. Нить, перекинутая
	через блок, составляет с плоскостью угол 45°. При какой массе т
	подвешенного к нити груза эти тела будут в равновесии? Найдите
	силу	нормального	давления	тела на	плоскость. Трением	пре­

небl'ечь.

--40011

I

t50011

Рис. 109. К упражнению 74.1 Рис. 110. К упражнению 74.2

74.2. К мачте прикреплена горизонтальная антенна, Сила натп­ жения которой равна 400 Н (рис. 110). Под каким углом (J. к горизонту должна быть расположена оттяжка с другой стороны мачты, чтобы мачта не гнулась и чтобы сила нормального давле­

ния на основание мачты составляла 600 Н?

§ 75. Связи. Силы реакции связей. Тело, закрепленное на оси.

На практике часто встречаются случаи, когда тело не может двигаться свободно в любом направлении, а движения его ограничены какими-либо другими твердыми телами. Эти

тела называют Б механике жесткими связями. Силы, дей-

148

ствующие со CTOPOHbl связей, называют силами реакции

связей. Например, когда поршень движется в цилиндре дви­

гателя, то жесткие связи - это стенки цилиндра, допуска­ ющие движение поршня-голько в одном направлении. Когда поршень начинает двигаться немного вбок, то он деформи­

рует стенку цилиндра. Если стенки эти очень жесткие, то

уже при незначительных деформациях возникают очень

большие силы реакции связей, которые прекращают даль­ нейшее отклонение поршня вбок. Эти силы и обеспечивают движение поршня только вдоль цилиндра. Аналогичный

пример мы рассмотрели в предыдущем параграфе, где связью

являлась наклонная плоскость, а силой реакции связи -

сила Я.

При наличии жестких связей УСЛОВИЯ раШIOвесия упро­

щаются: достаточно рассматривать только равновесие сил

в тех направлениях, в которых связи не препятствуют дви­

жению: например, для поршня - вдоль цилиндра, для тела

на наклонной плоскости - вдоль плоскости и т. п. Равно­

весие сил в других направлениях обеспечится ca~1O собой, так как уже при малой деформации связи появятся силы

реакции, уравновешивающие приложенную силу.

Важным примером движения, ограниченного жесткой

связью, является вращение тела вокруг жесткой оси или,

как говорят, вращение тела, закрепленного на оси. Напри­

мер, колеса всевозможных машин и механизмов могут вра­

щаться только вокруг неподвижной оси. Пропеллер самоле­ та, колодезный <tжуравль», дверь на петлях, откидная крыш­

ка школьной парты представляют собой примеры того же

случая. Во всех этих примерах вращение вокруг оси не

стремится ни сдвинуть, ни изогнуть эту ось, т. е. не вызы­

вает деформации оси; поэтому вращение вокруг оси проис­ ходит беспрепятственно. Но всякое другое движение дефор­

мирует ось, в результате чего возникают силы реакции свя­

зи, действующие со стороны оси на ,ело и препятствующие

тому движению, которое приводит к деформации.

Если вначале тело покоится, то, чтобы вызвать враще­

ние, необходимо воздействовать на тело с некотuрой силой.

Однако не всякая приложенная сила вызовет вращение те­

ла. Силы, одинаковые по модулю, но различные по направ­

лению или приложенные в разных точках, могут вызвать

весьма различные эффекты. Действительно, если в какой­

либо точке тела, которое может свободно вращаться BOI<PYt оси О (рис. 111), прикрепить динамометр, то при одной и

той же силе нат~жения динамометра, но при разных направ­

лениях его оси движение тела может быть совершенно

149

различным. Если прикрепить динамометр D положении 1, то

тело начнет поворачиваться по часовой стрелке, в положе­ нии 11 - против часовой стрелки; если же прикрепить

динамометр в положении III, то тело вообще не начнет вра­ щаться. Сила, дейсtll8ующая на тело, закрепленное на оси,

только тогда .может вызвать его вращение, когда направ­

ление силы не проходит через ось.

Представим себе рулевое колесо корабля или «баранку»

автомобильного руля. Прилагая усилие вдоль радиуса,

мы будем только пытаться

согнуть ось, но не сможем

повернуть колесо. для по-

Рис. 111.	Если динаМО~lетр находит­		Рис. 112. Силы, действующие на
ся в положении 1 или 11,		тело вра­	тедо, закрепленное на оси. Сида
щается; если динамометр		находится	реакции со стороны оси R равна
в положении III, тело не вращается			составляющей	F 11 действующей
			СИ.~ы в направлении		радиуса
ворота	необходимо	приложить усилие		вдоль	его	обо­
да, т.	е. перпендикулярно к		радиусу. Эта сила		не	смо­

жет уравновеситься силой реакции оси (две СИЛЫ, не ле­

жащие на одной прямой, не могут уравновешиваться), и

тело начнет вращаться.

Сила, направленная параллельно оси вращения, также

не вызывает вращения тела, а только стремится изогнуть

ось. Поэтому в ближайших параграфах будем считать, что

силы, действующие на тело, закрепленное на оси, не имеют

составляющей ВДОЛЬ оси вращения и, значит, лежат в плос­ костях, перпендикулярных к оси. При этом, как показы­ вает опыт, действие силы на тело не зависит от того, в какой

именно из таких плоскостей лежит сила. Поэтому будем

изображать на рисунках все силы лежащими в одной плос­ кости, перпендикулярной к оси вращения, которую будем

изображать в виде точки.

Чтобы вполне отчетливо представить себе, как будет

действовать сила F, не прОХОДЯЦI.ая через ось, разложим F

150

на две взаимно перпендикулярные состаВJJяющие, одна из

которых проходит через ось (рис. 112). Составляющая СИJJа F 11, которая проходит через ось, не будет вызывать враще­ ния. Она окажется уравновешенной силой реакции R оси. Вращение тела будет происходить так, как если бы на него действовала только составляющая сила F1. В направлении, перпендикулярном к радиусу ОА, проведенному к точке

приложения силы.

§ 76. Равновесие тела, закрепленного на оси. Из сказанно­

го в предыдущем параграфе следует, что при выяснении условий равновесия тела, закрепленного на оси, можно не рассматривать СИЛу, действующую со стороны оси, так как

она не может вызвать вращения тела. Рассмотрим условия

равновесия тела, закрепленного на оси, при действии на

него только двух сил, причем примем, что эти силы направ­

лены перпендикулярно к радиусам точек их приложения.

Для равновесия необходимо, во-первых, чтобы эти силы, действуя в отдельности, поворачивали тело в противополож­

ных направлениях. Это можно проиллюстрировать на та­

ком опыте. Расположим ось вращения какого-нибудь тела

вертикально, чтобы устранить действие силы тяжести. При­

крепим к телу динамометры перпендикулярно к радиусам

Рис.	113. При таком расположе­	Рис. 114. При таком	располо­
нии	динамометров равновесие	жении динамометров	равнове­
	возможно	сие невозможно

точек их прикрепления. При расположении динамометров,

показанном на рис. 113, можно так подобрать растяжения динамометров, чтобы тело оставалось в покое. Но в случае, показанном на рис. 114, когда оба динамометра поворачи­

вают тело вокруг оси в одном и том же направлении, покоя

тела нельзя добиться ни при каком растяжении динамо­

метров.

151