Landsberg-1985-T1

109.2. Какую работу нужно произвести, чтобы, пользуясь поли~

спастом, к. п. д. которого равен 65 %, поднять груз массы

250 кг на высоту 120 ,см?

109.3. Найдите к. п. д. установки, состоящей из электрического

мотора, приводящего в движение водяной насос, который подает

на высоту 4,7 м 75 бляет МОЩНОСть 5

л воды в секунду, если электромотор потре­ кВт.

109.4. Электромотор, имеющий к. п. д. 90 %, прююдит в дей~ ствие насос, к. п. д. которого равен 60 %. Каков к. п. д. всей

установки?

109.5. Электропоезд движется равномерно со скоростью 60 км/ч.

Двигатели электропоезда потребляют при этом мощность 900 кВт. Определите силу сопротивления, испытываемого всем поездом

при движении, если известно, что общий к. п. д двигателей и

передающих механизмов составляет 80 %:

109.6. Можно ли поднимать груз массы 50 кг со скоростью 3 м/с

при помощи электромотора, потребляющего ЭJIектрическую мощ~

ность 1,4 кВт?

Г л а в а V. КР~ВОЛ~НЕRНОЕ ДВ~ЖЕН~Е

§ 110. Возникновение криволинейного движения. Мы виде­

ли, что в отсутствие сил тело движется прямолинейно (и рав­

номерно); оно движется прямолинейно (но не равномерно)

и тогда, когда направления силы и скорости совпадают либо

противоположны, т. е. векторы F и 'v коллинеарны *). Но если сила направлена под углом к скорости тела, то

траектория движения тела искривляется. Криволинейно

движется камень, брошенный под углом к горизонту (сила

тяжести, направленная вертикально, не коллинеарна ско­

рости тела), груз, вращающийся по кругу на веревке (сила

Рис. 171. Магнит искривляет траекторию катящегося стального шарика

натяжения веревки не коллинеарна скорости груза), пла­

нета, обращающаяся вокруг Солнца, Луна или искусствен­ ный спутник, обращающиеся вокруг Земли (сила тяготения,

направленная к притягивающему телу, не коллинеарна ско­

рости движущегося тела).

Толкнем стальной шарик, лежащий на горизонтальном

стекле. Так как в этом случае трение ничтожно, то после

толчка шарик покатится по стеклу практически с неизмен­

н"ой скоростью, равномерно и прямолинейно. Расположим магнит так, чтобы один из его полюсов оказался вблизи

продолжения траектории шарика, но не на самой траекто­

рии (рис. 171). Мы увидим, что, проходя мимо магнита,

*) Коллинеарными называются векторы, направленные вдоль па- - раллельных прямых в одну и ту же либо в противоположные стороиы.

В частном случае коллннеарные векторы могут быт!> направлены вдоль

одной н той же прямой. (Примеч. ред.)

213

шарик будет двигаться криволинейно-; Миновав магнит, шарик снова будет двигаться практически прямолинейно, не

уже по другому направлению, чем первоначально. Сила,

искривляющая путь шарика,- это сила притяжения, на­

правленная от шарика к магниту. Сила магнитного притя­

жения быстро убывает с расстоянием, поэтому она оказы­

вает заметное действие только вблизи от магнита.

В приведенных примерах на тело действует сила, на­

правленная под углом к направлению движения, и в ре­

зультате действия этой силы траектория тела искривляется.

Если бы сила была направлена вдоль траектории, то искрив­

ления траектории не получилось бы: так, при вертикальном бросании тела оно опишет прямолинейную вертикальную

траекторию; если полюс магнита расположен на про­

должении траектории шарика, то его траектория не искри­

вится, и т. п.

§ 111. Ускорение при криволинейном движении. Второй за­

кон Ньютона устанавливает соотношение между силой, а также массой и ускорением тела:.

a=F/m. (111.1)

Здесь т - масса тела, а - его ускорение, F - равнодейст­

вующая всех сил, приложенных_к телу (см. формулу (44.1)). В случае прямолинейного движения векторы можно заме­

нить их модулями (точнее, проекциями на прямую, вдоль

которой движется тело). В т.аком упрощенном виде мы применяли второй закон Ньютона до сих пор. Однако при

изучении криволинейного движения нужно пользоваться

векторным уравнением (111.1).

При криво:линейном движении скорость изменяется,

вообще говоря, и по модулю, и по направлению. Чтобы оха­

рактеризовать оба изменения отдельно, разложим векторы,

стоящие слева и справа в уравнении (111.1) на тангенци­ альные (касательные) и нормальные (центростремительные)

составляющие. Обозначим тангенциальную и нормальную

составляющие ускорения через а-,; и аn, а тангенциальную и нормальную составляющие силы через F-,; и Fn • Тогда

второй закон Ньютона можно написать отдельно для тан­

генциальных и нормальных составляющих:

а-,; = Fт,/т, аn = Fn/m.

Тангенциальная составляющая силы вызывает тангенци­

альное ускорение тела, характеризующее изменение модуля

скорости, а нормальная составляющая силы вызывает

214

нормальное ускорение тела, ХRрактериэующее изменение на­

правления скорости (рис. 172).

. Если сила все' время нормальн~ к траектории, то тело движется равномерно, т. е. с постоянной по модулю ско­ ростыо, И наоборот, если известно, что тело движется Р,!В­

номерно, то отсюда следует, что тангенциальная составляю­

щая силы равна нулю и тело имеет только нормальную

составляющую ускорения.

В тех случаях, когда нас интересует движение проекций

т'ела на определенные оси, например на вертикальное и го­

ризонтальное направления, можно спроектировать векторы

Рис, 172. Тангенциа,1Ь.	Рис. 173. Проекции	на оси х и g
ные и норма,%ные со·	ускорения и силы,	действующей
С1jlвляющие СИ,1Ь! и	на те,10

ускорения

а и F в уравнении (111.1)	на эти оси. Обозначив проекцию
какого-либо вектора на	ось соответственным значком
(рис. 173), найдем

ах = Рх/т, ау = Ру/т.

Эти уравнения определяют УG.корения, с которыми будут двигаться проекции движущейся точки на выбранные оси.

Такими уравнениями удобно пользоваться, например, если

сила имеет постоянное направление, которое можно выбрать

за направление одной из осей (§ 112).

С помощью второго закона НьютоШl можно, зная массу

тела и измеряя его ускорение, вычислить резу.'1ЬТИРУЮЩУЮ

всех сил, действующих па теЛD. Можно также, зная массу

тела, модуль и направление результирующей всех действую­ щих на него сил, найти модуль и направление ускорения

тела.

?t t 1. t. Отдельные учас1'ки приводиого ремня движутся на уча­

•стке между шкивами прямолинейно. Взойдя на шкив, эти участки .

215

начинают двигаться криволин,Ц.!!9 (П9 Оj$руi!tI:lОСП1 ШК/ШЭ).

Укажите силы, заставляющие учасtки ремня на Шкиве двигаться

криволинейно.

§ 112. Движение тела, брошенного в горизонтальном на­

правлении. Рассмотрим движение тела, брошенного гори­

зонтально и движущегося под действием одной только силы

тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Напри­

мер, представим себе, что шару, лежащему на столе, сооб­

щают толчок и он докатывается до н:рая стола и начинает

свободно падать, имея начальную скорость Vo, направлен­

ную горизонтально (рис. 174).

Спроектируем движение шара на вертикальную ось у

и на горизонтальную ось х. Движение проекции шара на

ось х - это движение без ускорения со скоростыо vx=vo;

Рис. 174. Движение шара, ска­	Рис. 175. Шар,	брошенный
тившегося со стола	горизоитально со	скоростью
	t'/Q, имеет в момент 'скорость t'I

движение проекции шара на ось у - это свободное падение

с ускорением а ==g бев начальной скорости под действием

силы тяжести. Законы обоих движений нам известны. Ком­

понента скорости V x остается постоянной и равной vo.

Компонента v y растет пропорционально времени: vy=gt. Результирующую скорость легко найти по правилу парал­ лелограмма, как показано на рис. 175. Она будет наклонена

вниз, и ее наклон будет расти с течением времени.

Найдем траекторию тела, брошенного горизонтально.

Координаты тела в момент времени		t имеют	значения
	x==vof,		(112.1)
	y==gN2.		(112.2)
Чтобы найти	уравнение траектории,	выразим	из (112.1)
время t через	х и подставим это выражение в (112.2). В ре-

216

!': ",' ,

.$ультате получим

_--.L х2
Y- 2ио2 •	(112.3)

График этой ФУНКЦИИ показан на рис. 176. Ординаты точек

траектории оказываются пропорциональными квадратам

абсцисс. Мы знаем, что		такие O~;;:----	~	----~
кривые называются параболами.				.7J
Параболой изображался		график
пути	равноускоренного	движе­
ния	(§ 22). Таким образом, сво­

бодно падающее тело, начальная

скорость которого горизонталь­

на, движется по параболе.

Путь, проходимый в верти­

кальном	направлении,		не	зави­
сит от начальной скорости.					Но
путь, проходимый В горизон­
тальном	направлении		пропор­
ционален	начальной		скорости.			!/
Поэтому	при	большой		гори­
зонтальной начальной				скоро-		Рис. 176. Траектория тела,
сти парабола,		пО которой			па-	брошенного горизонтально
дает тело, более		вытянута		в	го-
ризонтальном		направлении.			Если из расположенной

горизонтально трубки выпускать струю воды (рис. 177),

то отдельные частицы воды будут, так же как и шарик,

двигаться по параболе. Чем больше открыт кран, через который поступает вода в трубку, тем больше начальная

скорость воды и тем дальше от крана попадает струя на

дно кюветы. Поставив позади струи экран с заранее начер-

',....		,
\ \	"
	\ \\	""\
	\		\	\
	\
		\		\
		\		\
		I,		\ \
		I		,

4!

Рис. 177. Струя имеет форму шiраболы, тем более вытяиутой, чем боль­

ше начальная скорость .воды

, 211

·ченными на нем параболами, можно убедиться, что струя

воды действительно имеет форму параболы.

Зная начальную скорость Vo и высоту падения h, можно найти расстояние s по горизонтали до места падения. Дейст­ ~ительно, положив в формуле (112.3) y=h и x=s, получим

s . VoV2h/g.

1	112.1.	Какова будет через 2 с полета скорость тела, брошенного
	горизонтально со скоростью 15		м/с? В какой момент скорость
	будет направлена под углом 450 к горизонту? Сопротивлением
	воздуха пренебречь.
	112.2. Шарик, скатившийся со стола высоты 1 м, упал на расстоя­
	нии 2 м от края стола. Какова была горизонтальная скорость ша­
	рика?	Сопротивлением воздуха	пренебречь.

§ НЗ. lIвижение тела, брошенного под углом к горизонту. Если начальная скорость брошенного тела направлена вверх под некоторым углом к горизонту, то в начальный момент

тело имеет составляющие начальной скорости как в гори­

зонтальном, так и в вертикальном направлениях (рис. 178).

'~'Ah ---------- 1

:=-19-~

JJ

Рис. 178. Траектория тела, брошенного под углом а к горизонту (В от­

сутствие сопротивления воздуха)

Задача отличается от рассмотренной в предыдущем пара­

графе тем, что начальная скорость не равна нулю и для

движения по вертикали. Для горизонтальной же состав­

ляющей все сказанное остается в силе.

Введем координатные оси: ось у, направленную по вер­

тикали вверх, и горизонтальную ось х, расположенную в од­

ной вертикальной плоскости с начальной скоростью 'Vo• Проекция начальной скорости на ось х равна Vocosa, а на

ось у ращш Vo sin а (при показанном на рис. 178 направле­

ние осей х и у обе проекции положительны). Ускорение

тела равно g и, следовательно, все время направлено по

вертикали вниз. Поэтому проекция ускорения на ось у рав-

на -g, а на ось х - нулю.

.

Поскольку составляющая ускорения в направлении оси

х отсутствует, проекция скорости на ось х остается постоян­

ной и равной своему начальному значеНИI9 Vocos а: Следо-

218

вательно, движение проекции тела на ось х б.удет равно­

мерным. Движение проекции тела на ось у происходит

в обоих направлениях - вверх и вниз - с одинаковым

ускорением g. Поэтому на прохождение пути вверх от

произвольной высоты У до высоты подъема h заТРl1чивается такое же время L1 t, как и на прохождение пути вниз от вы­

соты 1L дО у. Отсюда следует, что симметричные относитель­

но вершины А точки (например, точки В и С) лежат на оди­

паIСОDОЙ высоте. А это означает, что траектория симметрич­

на относительно точки А. Но характер траектории тела пос­ ле точки А ~!ы уже выяснили в § 112. Это - парабола, ко­

торую описывает тело, летящее с горизонтальной началь­

пой скоростью. Следовательно, все то, что МЫ говорили

относительно траектории	тела	в предыдущем параграфе,
в равной мере относится	и· к	рассматриваемому случаю,

только вместо «половины параболы» ACD тело описывает «полную параболу» OBACD, симметричную относительно

точки А.

Проверить полученный результат можно также при цо­

мощи струи воды, вытекающей из наклонно поставленной

трубки (рис. 179). Если позади струи поместить экран с

Рис. 179. Струя имеет форму параболы, тем более вытянутой, чем больше

начальная скорость струи

заранее начерченными параболами, то можно увидеть, что

струи воды также представляют собой параболы.

Высота подъема и 'рассТояние, которое пройдет брошен­

ное тело в горизонтальном направлении до возвращения

на ту высоту, с которой тело начало свое движение, т. е.

расстояние OD на рис. 178, зависят от модуля и направле­

ния начальной скорости 'Vo. Прежде всего, при данном на­

правлении начальной скорости и высота и горизонтальное

расстояние тем больше, чем больше ~юдуль начальной ско­

рости (рис. 179).

Для одинаковых по модулю начальных скоростей рас­

стояние, которое проходит тело в горизонтальном направ­ лении до возвращения на первоначальную высоту, зависит

от направления начальной скорости (рис. 180). При увели­

чении угла между скор.остью и горизонтом это расстояние

219

сначала увеличивается, при угле в 450 достигает наиболь­

шего значения, а затем снова начинает уменьшаться.

Проведем расчет движения тела, брошенного вверх под углом а к горизонту с начальной скоростью 'Vo (рис. 178). Напомним, что проекция скорости тела на ось х постоянна

Рис. 180. При увеличении наклона струи, вытекающей с данной ско­

ростыо, расстояние, на которое она бьет, сначала увеличивается, до­

стигает наибольшего значения при наклоне в 450, а затем уменьшается

и равна V o cos а. Поэтому координата х тела в момент време­

ни t равна

x=(Vo cos a)t.

(113.1)

Движение проекции тела на ось у будет сначала равно­ замедленным. После того как тело достигнет вершины тра­ ектории А, проекция скорости vy станет отрицательной,

т. е. одного знака с проекцией ускорения, вследствие чего начнется равноускоренное движение тела вниз. Проекция

скорости на ось у изменяется со временем по закону

vy=vosincx-gt. (113.2)

В вершине траектории А скорость тела имеет ТOJ1ько

горизонтальную составляющую, а vy обращается в нуль.

Чтобы найти момент времени tA , в который тело достигнет вершины траектории, подставим в формулу (113.2) tA вме­

сто t и приравняем получившееся выражение нулю:

.	t	А =	О	;	отсюда	t	Vo sln а.	(113	.	3)
vоsшсх-g							А = - g - '

Определяемое формулой (113.3) значение tA дает время, за

которое брошенное тело достигает вершины траектории.

Если точка бросания и точка падения тела лежат на одном уровне, то все. время полета tпол будет равно 2tA :

t -	2Vo sin а.	(113.4)
ПОЗI-	g'

220

Умножив tlx на время полета !ПОIl' найдем координату х

'ГОЧК!i падения тела, т. е. дальность полета:

200 slna	o~ sIn 2а	(113.5)
S = xD = Vocos а ---'-g--.	g

Из этой формулы видно, чтО дальность полета будет макси­ мальной в случае, когда 2а=900, т.-е. при а=450 (что

уже указывалось выше).

Согласно формулам (22.1) и (l13.2) координата у изме­

няется со временем по закону

у = (vo sin а) t -gt2

2 ,

(113.6)

Подставив в эту формулу tA вместо t, найдем координату У, отвечающую вершине_ траектории А, т. е. высоту. подъема

тела h:

h	·	. 00 slna g	(ОО Slna)2
	=УА=vоsша-g--2'		-е- .

Приведя подобные члены, получим

h _	o~ sIn2 a	•	(113.7)
-	2g

Высота растет с увеличением а и достигает наибольшего·

значения, равного v~/2g, -при а=900, т. е. при бросании

тела	вертикально	вверх".
?	113.1. Камень, брошенныii с земли вверх под углом к горизонту,
	падает обратно	на землю на расстоянии 14 м. Найти горизон­
	тальиую и вертикальную составляющие начальной скорости
	камня, если весь полет продолжался 2 с. Найти наибольшую вы­
	соту подъема камня над землей. Сопротивлением воздуха пре­
	небречь.
	113.2. Пожарный направляет струю воды на крышу дома высоты
	15 м. Над крышей дома струя поднимается на 5 м. На каком
	расстоянии от пожарного (считая по горизонтали) струя упадет
	на крышу, если она вырывается из шланга со скоростью 25 м/с?
	Сопротивлением	воздуха прене6речь.

§ 114. Полет пуль и снарядов. Вследствие большой скорости

полета пуль и снарядов сопротивление воздуха сильно из­

меняет их движение по сравнению с результатами расчетов,

. проведенных в предыдущем параграфе. Если бы сопротивле­ ние воздуха отсутствовало, то наибольшая дальность поле­ та пули или снаряда наблюдалась бы, как указано выше, при

угле наклона ствола винтовки или ор'удия, равном 450. Как

можно показать, сопротивление воздуха приводит. к такому

изменению траектории пули, что угол наклона, соот-

221