Landsberg-1985-T1

neтствующий максимальной ЩЩ,",iЮСТК.. q~Bblвaeтcst ~ньще

450 (для разных начальных скоростей Пули он pa-з.пИЧe}i), Вместе с тем и дальность полета (а таJ<же и наиБQльшая

Bы&>аa подъема) оказывается гораздо меньшей. НаfIрим,~р,

при начаЛЬНОЙ скорости 870 м/с и угле 450 в отсутствие со­

противления среды дальность полета пули сосiав~яла бы около 77 км. Между тем в воздухе при Этой начальной ско­

рости наибольшая дальность полета не превыша~т 3,5 км,

т. е. уменьшается более чем в двадцать раз; во МlIOГО раз

уменьшается также и наибольшая высота подъема пули.

Влияние сопротивления воздуха на полет снарядов

уменьшается с увеличением размеров снарядов по той же

причине, что 'и в случае свободного падения тела (§ 68):

масса снаряда растет, как куб размера, а сила сопротивле­

ния воздуха - как квадрат разм~ра снаряда. Таким об­

разом, отношение силы сопротивления воздуха к массе снаряда, т. е. влияние сопротивления среды, уменьшается

сувеличением размера снарядов. Поэтому при тех же са­

мых начальных скоростях вылета снаряда дальнобойность

артиллерии растет с увеличением калибра снарядов. Вместе

стем и наивыгоднейший угол с горизонтом ,приближается

к450. Дальнобойные тяжелые

			орудия стреляют под углом,
			близким к 450.	Так как при
	А		этом снаряды поднимаются на
		;:.;;:.;;:.; ;:.;;:.; /;:.; '/	большую высоту, где плот­
	/
	Рис. 181. Настильная (1) и на­		ность атмосферы мала, товлия­
	весиая	(2) стрельба	ние ,сопротивления воздуха
			становится еще	менее замет­

ным. Минометы, выбрасывающие тяжелую мину с неболь­ шой начальной скоростью (что также уменьшает роль со­

противления воздуха),. стреляют на наибольшее расстоя­

ние также под углом, близким к 450.

Если цель С находится на расстоянии, меньшем lJeM наибольшая дальность выстрела АВ (рис. 181), то снаряд

может попасть в цель двумя путями: при угле наклона либо

меньшем 450 (настильная стрельба), либо большем 450 (на­ весная стрельба),

§ 115. Угловая скорость. движение точки по окружности

можно характеризовать углом ПОБорота радиуса, соединяю­

щего ДБИЖУЩУЮСЯ точку С центром окружноСти *). Измене-

..) Иными словами, углом IЮворота радиус-вектора ДВJFЖущейся тоtlки. (Прu.&lеч, ред.)

222,

нне этого угла с течением 'Времени характеризуют yгtlЩJO!l

с"оростью. Угловой скоростью точки называют отношение

угла' поворота радиус-вектора точки 1< промежутку време­

ни, за который произошел этот поворот. Угловая скорость

численно равна углу поворота радиус-вектора точки за

единицу времени.

Угол поворота обычно измеряют в радианах- (рад). Еди­

ницей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с) -

угловая скорость, при которой точка описывает дугу, опи­ рающуюся на угол, равный одному радиану, за одну се­

кунду.

Полный оборот по окружности составляет 2л рад. Зна­

чит, если точка Вр.ащается с частотой n, ТО ее угловая с"о­

рость есть

ro=2лn рад/с.

Если движение точки по окружности неравномерно, то

можно ввести понятие средней угловой с"орости и мгнО8еННОЙ

угловой с"орости, как это делаJtось для обычной скорости

в случае йеравномерного движения, В дальнейшем, однако,

будем рассматривать только равномерное движение по

окружности.

«Обычную» скорость будем, в отличие от угловой ско­ рости, называть линейной скоростью. Легко найти связь между линейной скоростью точки v, ее угловой скоростЬЮ (j)

и радиусом r окружности, по которой она движется. Так как,

описав у.тол, равный одному радиану, точка проА:rtет по

окружнМtи расстояние, -равное .радиусу, то

(115.1)

т. е. линейная скорость при движении по о"ружности равна -\. угловой скорости, умноженной на радиус о"ружнqeти.

Пользуясь (115.1), можно вырази'ть центростреМhТель­

ное ускорение точки при движении по окружности через уг­

ловую скорость. Подставляя выражение для скорости (115.1) в (27.1), найдем формулу, выражающую цеН't'ростре­

мительное ускорение через угловую скоростЫ

(115.2)

При рассмотрении вращения твердого тела вокруг оси rакже используется понятие угловой скорости! в этом слу­ чае угловая скорость у всех точек тела одинаКОВ~1 так юж

все они поворачиваются на один и тот же угол. Таким об­

раЗОМ,вр.аw,енке твердого тела вокруг оси можно охаракте-

223

ризовать угловой скоростью, с которой движутся всеего

точки. Поэтому будем называть ее угловой скоростью тела. Из формул (115.1) и (115.2) видно, что при вращении

твердого тела линейные скорости его точек и их центростре­

мительные ускорения пропорциональны расстоянию от этих точек до оси вращения.

?115. t. Две ТОЧКИ движутся с одинаковыми угловыми скоростями

•по окружностям, радиусы которых относятся, как 1 I 2. Найдите

отношение ускорений этих точек.

115.2. Что больше: угловая скорость вращения часовой стрелки часов или угловая скорость вращения Земли?

§ 116. Силы при равномерном движении по окружности. В § 27 мы показали, что равномерное движение по окруж­

ности есть движение с постоянным ПО модулю ускорением,

направленным к центру окружности. Но ускорение тела

всегда обусловлено наличием силы, действующей в направ­

лении ускорения. Значит, для того чтобы тело раВНО;';lерно

.~"'------"'_...	двигалось по окружности,
~.... ~... -	на него должна действовать
/ ,,/	сила, постоянная по моду-

I

(~\':

~\ . ~1

\,

'о"

,~ ........______ ...... -.

Рис. 182. динамометр показывает

силу, с которой нить действует на шарнк, движущий~я по окружности

лю на всей окружности и

меняющая свое направле-

ние так, что она все время

остается направленной к центру окружности.

в

самом деле, во всех

случаях равномерного дви­ жения тела по окруж­

ности мы можем обна­

ружить такую силу, дей­ ствующую со стороны какого-либо ДРу'гого тела. При

вращении шарика на нити - это сила натяжения, действу­

ющая со стороны растянутой нити на шарик; ее легко об­

наружить, привязав нить другим концом к динамометру

(рис. 182); при движении шарика по круговому желобу

или при движении поезда по закруглению пути - это сила

реакции, действующая со стороны деформированного жело­ ба на шарик или деформированного.рельса на колеса поез­

да, направленная к центру дуги окружности, по которой

движется шарик или поезд; в случае движения. планет БО­

круг Солнца - это сила "притяжения к Солнцу.

Если действие силы прекращается (например, обрывает­

ся нить, к которой привязан шарик), то исчезает и центро­

стремительное ускорение: дальше шарик полетит. по каса-

224

тельной к окружности (Т. е. по направлению скорости, ко­

торой обладает шарик в момент исчезновения силы).

Сила, необходимая для того, чтобы тело массы т равно­

мерно двигалось со скоростью V по окружности радиуса

" может быть найдена на основании второго закона Нью­

тона. Так как ускорение тела a=vl /"		то требуемая сила
.	тv·	(116.1)
	Р=ma=-г-,

Итак, для' того чтобы тело равномерно двигалось по

о"ружности, на него должна действовать сила, равная nро­

изведению массы тела на квадрат с"орости, деленному на

'радиус о"ружности. Отсюда видно, что чем меньше радиус,

тем большая сила требуется при заданной линейной скоро­

'сти движения тела. Например, для заданной скорости ав­

томобиля при повороте на закруглении дороги на колеса

-автомобиля со стороны грунта должна действовать T~M боль­

шая сила, чем меньше радиус

закругления, т. е. чем круче

повррот. Обратим внимание

еще на то, что скорость входит

в формулу силы во второй сте­

пени; значит, при увеличении скорости движения по окруж­

ности данного радиуса сила,

требующаяся для поддержа­

'ния такого движения, растет

очень быстро. В этом можно

убедиться, разгоняя по окруж­

:ности грузик, привязанный

нитью к динамометру: показа­

'ния динамометра будут быст­

	ро расти с увеличением ско­
	рости грузика.
	Силы	при	вращательном			183. Устройство тахометра.
	движении можно выражать че­				Рис.
	рез угловую		скорость. При		При	увеличении частоты 'вра­
					щения вала стержень, соединя­
	ПОМОЩИ	формулы		(115.2)
					RnЦий грузы, поворачивается на
	найдем, что для поддержания					больший угол

равномерного движения по

окружности на тел9 массы т должна действовать сила

Р=ma=тro2г. (116.2)

Таким образом, с возрастанием угловой скорости 'сила, необходимая для поддержания вращения, быстро возраста-

в Элементарны.Й учебннк фнзнкн. т. 1

225

ет, Это. обстоятельство используется для устройсiв-а ·неко­ то.рых типов тахометров - прибо.ров для определения час­

тоты ~ращ~ния машины.

Принцип устройства тахометра виден нз рис. 183. На валу укреплены на легко.м стержне грузы 1. Стерженьмо­ жет своБОДlfО вращаться вокруг точки О. Пружинки 2 удерживают стержень с массами вблизи вала. Что.бы при вращении вала шарики двигались по окружностям, нео.б­ ходима сила тем большая, чем быстрее вращается вал. Так

как эту силу создают n.pужинки 2, притягивающие шарики j( оси вращ~ния, то чем бо.льше'частота вращения вала, тем сильнее должны быть растянуты пружинки. Значит, с уве­

личением частоты вращения вала возрастает угол, на ко­

то.рый стержень ОТКJf0няется от вала. Со стержнем скреп­

лена стрелка 3, движущаЯ'ся вдоль "Шкалы, на которой на­

носятделения, соответствующие разным частотам враще­

н~я вала.

?116.1. Велосипедист, масса которого ~MeCTe' с ве.'10сипедом равна

80 кг, движется со скоростью 9 км/ч по окружности радиуса 15 м.

Определите -действующую на него силу.

116.2. На пружинке, имеющей длину 50 см, /10двешен груз,

.которыЙ растягивает пружинку на 1 СМ. l30зьмем второй конец

пружиню! в руку и раскрутим груз в горизонтальной плоскости

так, чтобы пружинка растянулась на 10 см. Какова при этом

скорость груза? Сида, с котоJЭОЙ действует растянутая пружинка, ПРОПОРЦ,ЮНaJJьна растяжению. Действием силы тяжестн при

врашеНllИ груза пренебречь.

§ t 17. Возникновение силы, действующей на тело, движу­ щееся по окружности. Из того, что при криволинейном

движении тело испытывает усуорение, следует, что на него

должны действовать силы. Например, грузик, привязанный

книти, может двигаться по окружности только в том

случае, если нить тянет его с некоторой силой. Но нить

может тянуть грузик, только если она деформирована

(растянута). Сле~овательно, для то.го чтобы объяснить

происхождение сил, обусловливающих движение грузика

ро окружности, мы должны объяснить, почему при рассмат-

~иваемо.м движении нить оказалась растянутой. '

Как уже указывалось (§ 58), деформация тела есть

результат того, что его разные части Б течение некоторо.го

времени двигались по-разному. В щ,шем примере картину вОзникно.вения деформаций сделаем наглядной, по.лагая,

ЧТ() ~примен-ена легко р-астяжимая нить, например тонкая

резlfновая нить. Закрепим один ее конец неподвижно в точ­

ке О, а КДР:УГОМ.У концу црикрепи·м .груэик '(рис. 184). :Вы­

звать J3рaw.ение :J;Р,УSИК8:BOIiPY.f т.ОУИИ .о:можн.о,:с.аобщИв!ему

ш

некотор'у'Ю, скорость "0 в направлении, перпендикулярнQМ.

к нити. В первый момент после начала движения сила со стороны, нити на грузик не. действует - резина не растя­

Ну.та. Поэтому он начнет двигаться прямолинейно и расстоя­

ние между. ним и точкой О будет увеличиваться (расстоя­

ние ОА больше, чем р'зсстояние ОАо), резина начнет растя­

гиваться, в результате чего появится сила, деЙству.ющая

~-.,..._-.......\

		"·'1 А
......	..... ""'1/
	...~.....~~	6
	,.,,#*	f
	.....	I
		UQ
06"'"		ArJ
Рис, 184, В первый момент		после

толчка грузик' движется по прямой

АоА и его расстояние от точки'О

увеличивается

I "		~,\
J	.	.,t. \
. I		r'
I		.." ,
:1	,..,'~~::(10,:
"~y",,"		,:
''\ ,..... ...... _-_.........." '
Рис, 185. Движение гру­
зика	после начальпoro
	толчка

на грузик СО стороны нити, ОН получит ускорение, направ­

ленное к точке О, и его траектория начнет искривляться. Однако пока нить мало растянута, это искривление траектории будет недостаточным для того, чтобы грузик двигался по окружности, и он будет продолжать удаляться от точки О, увеличивая растяжение нити, а значит, и силу, действующую на. грузик (рис. 185),. В результате кривизна траектории будет продолжать увеличив~ться. пока траек­

тория не превратится в окружность. Тогда нить перестанет

растягиваться. следователыю' установится как раз такое

растяжение нити, при котором она. буде.т, действовать на грузик с силой упру.гостн, .сообщающей ему у.скорение, не­ обходимое ДJI~ равномерного движения по окружности, раднус которой равеи,длине р.астянувшеЙся нитй. Эта сила, как мы знаем (см. формулу (1.16.1)), должна быть равна­ mv2 /r, где т - масса, грузика, V - его скорость и r - ра­

диус траектории. Если нить жесткая или, еслИ амес.то НИТИ

взять стержень, то практически растяжение, создающее

требуемую силу, будет очень мало и. в. качестве r можно

взять длину нерастяну,той i::IИТИ или исходную длину стерж­

ня, а за установившуюся скорость принять, начальную

скорость 'ио. _

Примерно так же B03H~Kaeт и деформация цскривлеино­

го желоба,	по котоыому катится шарик; желоб. искривляет
8-	~

траекторию шарика. Если бы желоба' не было, шарик дви­

гался бы прямолинейно. ,в искривленном желобе шарик "оже будет двигаться прямолинейно до тех пор, пока на

него не подействует сила со стороны желоба. Если бы желоб

был очень мягкий, то, двигаясь в нем, шарик заставил бы

желоб выпрямиться. )I\есТlЩЙ искривленный желоб при движении шарика тоже немного выпрямляется. Но в жест­

ком желобе упругая сила, которая сообщает шарику уско­

рение, необходимое для того, чтобы он двигался криволи­

нейно, следуя за кривизной желоба, возникает уже при

ничтожной деформации.

Если нить и желоб'мало деформируются под действием

rрузика или катящегося шарика, можно считать нить и же­

лоб жесткими связями (§ 75). В этом случае можно предска­ зать траекторию тела: она определится формой связи. Так,

для мало растяжимой нити можно заранее сказать, что тра­

ектория привязанного к ней грузика будет близка к окруж­

ности с радиусом, равным длине нерастянутой нити; мя

жесткого желоба можно заранее сказать, что траектория шарика будет близка к исходной форме желоба.

§ 118. Разрыв маховиков. При вращении колес, дисков и

т. п. возникают деформации того же типа, что и деформации

связей, заставляющих тело двигаты;я по окружности. Имен­

но силы, обусловленные такими деформациями, и сообщают

частям вращающегося тела центростремительные ускоре­

ния, необходимые для того, чтобы эти части двигались по

окружностям. Если тела жесткие, то деформации очень

малы и их непосредственное наблюдение затруднительно. Однако эти деформации могут привести к разрушению вра­ щающегося тела: были случаи, когда маховики и другие.

вращающиеся части машин разрывались при движении.

Разрушение связано обычно с превышением допустимой

скорости вращения.

Выясним картину разрушения вращающегося тела. Нач­

нем с движения грузика, закрепленного на резиновой нити,

по окружности. Если скорость грузика, движущегося по

окружности, увеличить, го устаНОВИБшееся растяжение­ нити окажетсянедостаточным для поддержания движения

грузика с увеличенной скоростью по той же окружности.

Грузик опять начнет удаляться от центра, и растяжение нити будет возрастать до тех пор, пока снова не установится

растяжение, соответствующее новой скорости и новому, слегка увеличенному радиусу окружности. Если мы будем

все более и более увеличивать скорость грузика, то растя-

228

жение нити будет продолжаться. Но резиновая нить, как

и всякое тело, не может удлиняться беспредельно. При некотором удлинении должен наступить разрыв. Поэтому,

если мы будем продолжать увеличивать скорость грузика, то в конце концов нить оборвется. Как мы уже знаем, после

обрыва нити грузик полетит по касательной к траектории в точке, в которой произошел обрыв нити.

Подобно этому происходит и разрыв махового колеса при СЛИШКОМ быстром вращении. Если скорость вращения

настолько велика, что даже при наибольшем растяжении,

которое могут выдержать спицы, они не могут сообщить

частям обода необходимое центростремительное ускорение,

тЬ удлинение спиц продолжается, и когда оно превосходит

допустимый преде,л, наступает разрыв. Части колеса раз­

летаются по касательным к окружности колеса. Так как

центростремительное ускорение быстро растет с увеличе­ нием радиуса траектории и особенно угловой скорости вра­

щающегося тела (см. формулу (116.2», то крупногабаритные

Рис. 186. Сушильная машина

и быстро вращающиеся части машин, например роторы бы­ строходных турбин, приходится· делать исключительно прочными. Невозможность обеспечить требуемую прочность

вращающихся частей часто ставит предел увеличению быст­

роходности машины.

Явления, по существу сходные с теми, которые ПрОИСХО·

дят при разрыве маховика, наблюдаются в сушильной

машине (рис. 186). Мокрая ткань закладывается в решетча­

тый барабан, который приводят В быстрое вращение. При

большой скорости вращения силы сцепления между капля­

ми влаги и тканью оказываются недостаточными для того,

чтобы сообщить каплям центростремительное УСКОРf'ние,

229

необходимое для движения по окружности. Капли влаги от­

рываются от ткани и улетают через отверстия в решетке.

. Таким образом, в рассмотренных случаях (разрушение

быстро вращающихся тел, отрыв капель от высушиваемой

ткани и т. п.) причиной ока­

зыв.з.ется недостаточность тех сил, которые могут возник­

нуть без разрушения тела, по

сравнению с те:-.ш сила'\fИ, ко­

торые необходш.!Ы для сооб­

щения чarтю! вращающегося

тела или каплям воды центро­

стремительного ускорения,

тр-::буе~юго при данной скоро­

сти движения. Здесь ярко про­

является различие :.У!ежду рав­

Рис. 187. К упражнению 118.1 номерным прямолинейныM и

равно:.У!ер ным криволинейным

движение~!: при равномерном прямолинейном движении

ускорение отсутствует, для поддержания движения ника­

кие силы не требуются, и поэтому, как бы велика ни была

постоянная скорость этого движения, никаких разрушений

она вызвать не может.

"1 118.1. На конце стержня, имеющего длину 30 см и вращающегося

•вокруг точки О (рис. 187). закреплен груз массы 50 кг. Найдите

частоту вращения, при которой произойдет разрыв стержня,

если, для того чтобы разорвать стержень неподвижной нагрузкой, к его кониу нужно подвесить массу, равную 1 Т?

§ 119. Деформация тела,. Движущегося по окружности. До

сих пор мы рассматривали только те силы, которые дейст­

вуют на тело, движущееся по окружности, со стороны

связей, т. е. тел, искривляющих траекторию данного тела.

Такова, например, сила, действующая на грузик со стороны нити, к которой он привязан. Но сразу видно, что грузи!( а свою очередь должен действовать на нить с такой же по модулю силой. Это вытекает из третьего закона Ньютона,

гласящего, что силы, с которыми действуют друг на друга

два тела (о нашем примере грузик И нить), всегда равны по

модулю и направлены в противоположные стороны. Следо­

вательно, шарик действует на нить с силой, также равной

ти2/г, но направленной от центра. Эта силы приложена

к нити (а не к шарику), и поэтому мы не приню!али ее во

внимание, когда рассматривали движение шарика. Но при изучении поведения нити нам нужно знать силы, действую­

щие именно Шl НИТI;I.

230

Так обстоит дело при всяком. движении по окружности,

если это движение происходит под действием сил, обуслов­

ленных непосредственным СОПРИКОСНOIJением тел. При дви­ жении по окружности д6JJжна существовать сВязь - ка­

кое-mo другое тело, удерживающее движущееся ТМ0 на окру­ жности. Со стороны этой

СВSJзи на вращающее­

ся тело действует сила,

направленная к ценrnру

вращения. В свою оче­

редь .1;{виж~щееся тело

должно	деиствовать	на
эту связь с такой же по			Рис. 188.	Возникновение деформации
	•
модулю	силои, но	на- в теле, движущемся по окружности

правленной оrn ценrnра.

мы уже видели (§ 117), что сила, действующая со сто­

роны нити на движущийся по окружности грузик, обуслов­ лена деформацией этой нити. Так же и сила, с которой грузик действует на нить, вызвана соответственной дефор­ мацией грузика. Легко объяснить, почему. грузик также

оказывается в деформированном состоянии.

Для наглядности возьмем в качестве грузика тело удли­ ненной формы (рис. 188). Представим себе, что мы сообщили

вce]YI точкам тела одновременно одинаковую скорость i1"t

перпендикулярную к нити. Как мы знаем, в нити при этом

возникнет сила натяжения и она сообщает ускорение тем точкам тела, к которым она прикреплена (на рис. 188-

левому концу тела). Путь левого конца тела начнет искрив­

ляться, в то время как правый конец тела будет еще продол­

жать двигаться прямолинейно, так как вначале никакие силы на правый конец

тела не действуют. По­

этоМу увеличится рас­

стояние между левым и

правым концами тела­

тело начнет деформиро­

Рис. ]89. Наглядиое представление ваться. Деформация

деформаuии вращаlOщегося тела на прекрат~тся только тог­ примере пружины. Для сравнения' да, когда возникшие

вверху показана нер.астянутая пружина при деформации силы

обеспечат всем частям

тела ускорения, необходимые для вращения по окруж­

ностям.

Таким Образом, тело, дВижущееея по окружности под

действием сил, обусловленных непосредстБенныи соприКОС-

231