Landsberg-1985-T1

Во-вторых, оказывается, что для равновесия тела, зак­

репленного на оси, существенны не только модули сил, но

и расстояния от оси вращения до линий, вдоль которых

действуют силы. Как и в случае рычага, для равновесия тела, закрепленного на оси, необходимо, чтобы произведение модуля силы на расстояние от оси до линии действия силы было для обеих сил одно и то же. Если обозначить модули сил

через Р1 и F 2, а расстояния через 11 и 12'	то условие равно­
весия выразится равенством
F1I1 =F 212 •	(76.1)

Предполагается, что каждая из сил л~жит В плоскости, пер­

пендикулярной к оси вращения (не обязательно в одной и

той >r<e).

§ 77. Момент силы. Итак, для равновесия тела, закреплен­

ного на оси, существен не сам модуль силы, а произведение

модуля силы F на расстояние 1 от оси до линии, вдоль кото­

рой действует сила (рис. 115; предпо­

		лагается, что сила лежит в плоскости,
		перпендикулярной к оси вращения).
		Это произведение называется		момен­
		том силы относительно оси или просто
		моментом силы.	Расстояние	1 назы­
Рис. 115.	Момент силы	вается плечом силы. Обозначив момент
F равен	произведению	силы буквой М,	получим
ее модуля F на плечо 1		M=lF.		(77.1)

Условимся считать момент силы положительным, если эта

сила, действуя в отдельности, вращала бы тело по часовой

стрелке, и отрицательным в противном олучае (при этом нуж-

Fz.

Рис. 116. Моменты сил Fi	Рис. 117. Момент силы	F	равен
и F2 положительны, мо­	произведению модуля	составля­
мент силы Fз отрицателен	ющей силы F.L на модуль		ради-
	ус-вектора r

но заранее условиться, с какой стороны мы будем смотреть

на тело). Например, силам Р! и Р2 на рис. 116 нужно при­

писать положительный момент, а силе Fз - отрицательный.

152

Моменту силы можно дать еще н другое определение. Проведем из точки О, лежащей на оси в той же плоскости,

что и сила, в точку при,7lОжения силы направленный отре­

зок r (рис. 117). Этот отрезок называется радиус-векторо},! точки приложения силы. Модуль вектора r равен fасстоя­ нию от оси до точки приложения силы. Теперь построим

составляющую силы Р, перпендикулярную к радиус-век­

тору r. Обозначим эту составляющую через Fl.. ИЗ рисунка видно, что f=lIsin а, а F1. =р sin а. Перемножив оба выра­ жения, получим, что гр1. ,[р.

Таким образом, момент силы можно представить в виде

м=гр1.,

(77.2)

где F1. - модуль составляющей силы Р, перпендикулярной

крадиус-вектору r точки приложения силы, г - модуль

радиус-вектора. Отметим, что произведение [р численно

равно площади параллелограмма, построенного на векто­

рах r и F (рис. 117). На рис. 118 показаны силы, моменты

Рис. 118. Силы Р. Р!. Р2 И Fз	Рис. 119. Равные силы
имеют одинаковые моменты	Р1•	Р2• Fз С	одинако­
относительно оси О	вым	плечом	l	имеют
	равные моменты			отно-
	сительно		оси	О

которых относительно оси О одинаковы. Из рис. 119 видно,

что перенесение точки лриложения силы вдоль ее направле­

ния не меняет ее момента. Если направление силы прохо­

дит через ось вращения, то плечо силы равно нулю; следова­

тельно, равен нулю и момент силы. Мы видели, что в этом

случае сила не вызывает вращения тела: сила, момент ко­

торой относительно данной оси равен нулю, не вызывает

вращения вокруг этой оси.

Пользуясь понятием момента силы, мы можем по-ново­

му сформулировать условия равновесия тела, закреплен­

ного на оси и находящегося под действием двух сил. В ус­

ловии равновесия, выражаемом формулой (76.1), [1 и [2 есть не что иное, как плечи соответствующих сил. Следова­

тельно, это условие состоит в равенстве абсолютных значе-

153

ний моментов обеих сил. Кроме того, чтобы не БозН/шало

вращение, направления моментов должны быть противо­ положными, т. е. моменты должны отличаться знаком. Та­ ким образом, для равновесия тела, закрепленного на оси,

алгебраическая сумма моментов дейсmeующих на него сил

должна быть равна нулю.

Так как момент силы определяется произведением моду­

ля силы на плечо, то единицу момента силы мы получим,

взяв равную единице силу, плечо которой также равно

единице. Следовательно, в СИ единицей момента силы яв­

ляется момент силы, равной одному ньютону и действую­

щей на плече один метр. Она называется ньютОН-.метром

(Н,м).

Если на тело, закрепленное на оси, действует много сил,

то, как показывает опыт, условие равновесия остается тем

же, что и для случая двух сил: для равновесия тела, зак­

репленного на оси, алгебраическая сумма моментов всех

сил, действующих на тело. должна· быть равна нулю. Ре­

зультирующим моментом нескольких моментов, действую­

щих на тело (составляющих моментов), называют алгебраи­

ческую сумму составляющих моментов. Под действием ре­

зультирующего момента тело будет вращаться вокруг оси так же, как оно вращалось бы при одновременном действии

всех составляющих моментов. В частности, если результи­

рующий момент равен нулю, то тело, закрепленное на оси,

либо покоится, л~бо вращается равномерно.

§ 78. Измерение момента силы. В технике часто встречается

вращение тел: вращаются колеса экипажей, валы машин, пароходные винты и т. д. Во всех этих случаях на тела дей­ ствуют моменты сил. При этом часто нельзя указать какую­

либо одну определенную силу, создающую вращающий мо­

мент, и ее плечо, так как вращающий момент создается не

одной силой, а многими силами, имеющими разные плечи.

Например, в электромоторе к виткам обмотки якоря при­

ложены на разных расстояниях от оси вращения электро­

магнитные силы; их совместное действие создает некоторый вращающий момент, который и вызывает вращение якоря и

соединенного с ним вала мотора. В подобных случаях нет

смысла говорить о силе и плече силы. Значение имеет един­ ственно результирующий момент силы. Поэтому возникает

необходимость неnосредственного измерения момента силы.

Для измерения момента силы достаточно приложить к

телу другой известный момент силы, который уравновеши­

вал бы измеряемый момент. Если достигнуто равновесие,

154

то, значит, оба момента сил равны по абсолютному значе­

нию и ПРОТИВОПОЛОЖНЫ по знаку. Например, чтобы изме­ рить вращающий момент, развиваемый электрическим мото­ ром, на шкив мотора 1 надевают сжатые болтами колодки 2 так, чтобы шкив мог с трением вращаться под колодками. Колодки скреплены с длинным стержнем, к концу которого прикрепляют динамометр (рис. 120). Ось колодок совпадает с осью мотора. При вращении мотора момент сил трения,

действующий со стороны шкива на колодки, поворачивает

Рис. 120. Измерение момента силы, создаваемого электромотором

колодки со стержнем на некоторый угол в направлении вра­

щения мотора. При этом динамометр несколько растягивает­

ся и на колодки начинает действовать со стороны динамо­ метра ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ момент, равный произведению силы натяжения динамометра на плечо 1. Сила натяжения ди­

намометра равна по модулю и противоположна по направ­

лению силе Р, действующей со СТОРОНЫ стержня на дина­

мометр (рис. 120). Так как колодки покоятся, то вращающий МО'\1ент, развиваемый мотором, должен быть равен тю абсо­

лютному значению и противоположен по знаку моменту силы

натяжения динамометра. Итак, при данной скорости мотор

развивает момент, равный Fl.

При измерениях очень малых вращающих моментов (например, в

чувствительных гальванометрах и других физических измерительных

при60рах) измеряемый вращающий момент сравнивают с вращающим моментом, действующим со стороны закрученной нити. Измерительную систему, находящуюся лод действием вращающего момента, лодвещива­

ют на длинной тонкой нити, металлической или из плавленого кварца. Поворачиваясь, измерительная система закручивает нить. Такая дефор­

мация вызывает появление си,~, стремящихся раскрутить нить и обла­

дающих, CJIеДовательио, вращающим моментом, Когда нзмеряемый МО-

1SS

мент становнтся равным моменту закрученной нити, устанавливается

равновесие. По углу закручивания при равновесии можно судить о

вращающем моменте нити и, следовательно, 06 измеряемом моменте. Связь между вращающим моментом нити и углом закручивания опреде­ ляется путем калибровки при60ра.

§ 79. Пара сил. Если на тело действует несколько сил,

равнодействующая которых равна нулю, а результирующий

момент относительно какой-либо оси не равен нулю, то те­

ло не останется в равновесии. Так будет, например, если

на тело действуют две равные по модулю и противоположно

направленные силы, не лежащие на одной прямой. Такие

две силы, совместно действующие на тело, называют парой

сил. Если тело закреплено на оси, то при действии на него

пары сил оно начнет вращаться вокруг этой оси. При этом, вообще говоря, со стороны оси на тело будет действовать сила. Можно показать, однако, что если ось проходит че­

рез определенную точку тела, то сила со стороны оси отсутст-

	А	F	вует. Поэтому, если			пара
	---:г!_-о	)о	сил будет действовать на			сво-
	o~		бодное тело, то оно начнет
	I		вращаться	вокруг	оси,	про-
	J ""		ходящей	через	эту точку.
r	:		Можно доказать, что этой точ·
....,......_~a- ___ .L._			кой является центр тяжести
	В		тела (§ 80).
Рис. 121.МоментпарысилМ=Fl			М
			омент пары сил одина-
			ков относительно любой			оси,

перпендикулярной к плоскости пары. Действительно, пусть 0 - произвольная ось, перпендикулярная к плоскости, в

которой лежит пара сил (рис. 121). Суммарный момент М

равен

M=P·OA+P·OB=P(OA+OB)=Fl,

где 1 - расстояние между линиями действия сил, состав­

ляющих пару, называемое плечом пары сил. Этот же резуль­

тат получится и при любом другом положении оси. Можно показать также, что момент нескольких сил, равнодейст­ вующая которых равна нулю, будет один и тот же относи­

тельно всех осей, параллельных друг другу, и поэтому дей­ ствие всех этих сил на тело можно заменить действием од­ ной пары сил с тем же моментом.

§ 80. Сложение параллельных сил. Центр тяжести. Изучая

равновесие сил или определяя равнодействующую сил, мы

не рассматривали пока случай, когда силы, действующие на

тело, параллельны. Теперь, найдя условия равновесия тела,

закрепленного на оси, мы можем рассмотреть и этот случай.

Рассмотрим силы, действующие на рычаг, нагруженный

грузами, уравновешивающими друг друга, и подвешенный

к неподвижной стойке

~"~~~

при помощи динамомет­

ра (рис. 122). Можно

считать, что ось враще­

ния рычага проходит

через точку его подвеса

О. На рычаг действуют

вес F1 и вес Fz подве­

шенных к нему грузов

исила натяжения пру­

жины	динамометра			Fз .
Будем полагать, что мас­
са. самого		рычага, на­
столько мала по сравне­
нию с массами грузов,
что ею можно			пр енеб­
речь. Тогда можно счи­
тать,	что рычаг нахо­
дится	в равновесии			под
действием сил F1 ,				F 2 И
F s. Сила Fз		есть уравно­					в
вешивающая		сила		для		А
параллельных сил F1 И						о
F 2 • Так как		при равно­					Fz
весии пружина			динамо-
метра	располагается
вертикально,			то	сила	Рис. 122. Исследование равновесня те­
F s параллельна Fi и F 2.					Ла при действии трех параллельных
Далее, сила Fз равна						сил
по модулю сумме моду-
лей сил F1 и F2 • Поскольку мы пренебрегли массой рыча­
га, то	Fз=Fсf-F2.			Расстояния		от точки подвеса	рычага
(его оси вращения О) дО					точек	приложения сил F 1 и Р2
найдем из условия равновесия						рычага:
	Р1 ·ОА=Р2·ОВ,				или	ОВ;ОА=Р1/Р2•	(80.1 )

Это означает, что точка nриложения уравновешивающей

силы делит рассmoянuе между точками nриложения сил в

отношении, обратном отношению сил. Следовательно, не­

закрепленное тело находится в равновесии под действием

трех параллельных сил D том случае, когда третья сила,

157

направленная в сторону, противоположную первым двум;

по модулю равна сумме их модулей и приложена к точке, делящей расстояние между точками их приложения в от­

ношении, обратном отношению первых двух сил.

Значит, равнодейсtrU3ующая двух nараллельных одинаково

направленных сил равна сумме этих сил, направлена в ту же

сторону и nриложена в точке, деляЩEil расстояние между

точками nриложения сил в отношении, обратном отноше­

нию сил.

Легко найти закон сложения и для двух параллельных

сил, направленных в противоположные стороны. Любую из трех сил F i, F 2, F з, действующих на тело, находящееся

вравновесии, можно рассматривать как уравновешиваю­

щую две другие силы; значит, сила F i является уравнове­

шивающей для противоположно направленных параллель­

ных сил Р! И рз• Отсюда, как и раньше, заключаем, что си­ ла, равная и направленная противоположно силе Р2, яв­

ляется равнодействующей сил Fi и рз. Но Fi=Fs-Ff , кроме того, из пропорции (80.1) следует производная про­

порция:
Р!	ОБ	Р! ОБ
F1+F2 =ОА+ОБ' или		р;;- АБ'

Таким образом, равнодействующая двух nараллельных

противоположно направленных сил равна по модулю раз­

ности модулей этих сил, направлена в сторону большей силы

и nрuложена в точке, деJlЯll,{eЙ

расстояние между точками nрuложения сил в отношении,

			обратном отношению сил.
			Если	на тело действует не-
			сколько	параллельных	сил,
			то для нахождения общей рав­
			нодействующей надо сначала
			найти равнодействующую		ка-
			ких-либо двух из этих		сил,
	р		затем полученную равнодей­
	Рис. 123, Точка	при.тlOжения	ствующую сложить с третьей
			силой и т. д. В частности,		си­
	равнодействующей	сил тяжести

	есть центр тяжести тела	лы тяжести действуют на каж­
		дый элемент тела и все эти си-
		лы параллельны. Поэтому для

нахождения равнодействующей этих сил, т. е. силы тяжести, действующей на все тело, надо последовательно сложить

'целый ряд параллельных сил. Равнодействующая этих

сил равна их сумме, т. е. представляет полную силу притя-

1S8

жения, r<Оторую испытывает все тело со стороны Земли, и

приложена к определенной точке тела. Точку приложения этой равнодействующей сил тяжести называют чен.трщ!

тяжести тела (рис. 123).

Таким образом, действие притяжения Земли на твердое

'Село таково, как если бы точка приложения силы тяжести лежала в центре тяжести тела. МЫ будем пользоваться этим

в дальнейшем, заменяя действие сил тяжести, приложен­

ных к отдельным частям твердого тела, действием одной си· ЛЫ, приложенной в его центре тяжести и равной силе тя­

жести, действующей на все тело.

Часто приходится решать задачу, обратную сложению

параллельных сил: разложить заданную силу на парал­

лельные ей составляющие силы. Такова, например, задача

Рис. 124. Разложение силы на две лара.!JЛельные составляющие

о распределении сил на опоры балки с грузом или на плечи

людей, несущих на шесте груз (рис. 124). Искомые силы

Ni и N 2, определяются из условия, что их равнодействую­

щая равна весу груза б, и должна быть приложена там, где висит груз. Поэтому

Ni+Nj=G, NiIN'J,=OBfOA.

§ 81. Определение центра тяжести тел. Определение центра

ТЯJКести произвольного тела путем последовательного сло­

жения сил, действующих на отдельные его части,- трудная

159

задача; она облегчается только для тел сравнительно прос­

той формы.

Пусть тело состоит только ИЗ двух грузов массы mi и m2, соединенных стрежнем (рис. 125). Если масса стержня

мала по сравнению с массами mi и m2, то ею можно прене­

бречь. На каждую из масс действуют силы тяжести, равные

соответственно P1=mJg и		P 2 =m 2g; обе			они	направлены
А	,	вертикально			вниз,		т. е.	па­
		раллельно друг				другу.		Как
	D
		мы знаем,		равнодействующая
		двух параллельных сил при­
		ложена	в	точке		О,	которая
		определяется из условия
		Рl	ОБ			ml	ОБ
Рис. 125. Определение центра		Р2 = ОА'			или	m2	= ОА •
тпжести тела, состоящего из двух		Следовательно, центр тяжести
	грузов
		делит расстояние				между		дву­

мя грузами в отношении, обратном отношению их масс.

Если это тело подвесить в точке О, оно останется в равно­

весии.

Так как две равные массы имеют общий центр тяжести

в точке, делящей пополам расстояние между этими масса­

ми, то сразу ясно, что, например, центр тяжести однород­

ного стержня				лежит в середине					м
стержня		(рис.		126).
Поскольку				любой			диаметр
однородного				круглого				диска
делит его на две совершенно
одинаковые			симметричные час­
ти (рис.		127),		то	центр			тяже­	.-
сти дол жен			лежать			на	каждом		I / ""
-(1:-е----lс--						E(i7			I "
									Н'
nrf	jE	г	~:<		t		__ :	m2.	N
Рис.	126.	Центр		тяжести		однородного			Рис. 127. Центр тяжести одно­
стержня лежит в					его	середине			родного диска лежит	в его
									геометрическом центре
диаметре диска, т. е. в точке пересечения диаметров -										в гео­

метрическом центре диска С. Рассуждая сходным образом,

можно найти, что центр тяжести однородного шара лежит в

его геометрическом центре, центр тяжести однородного пря­ моугольного параллелепипеда лежит на пеp€сечении его диа-

160

гоналей и т. д. Центр тяжести обруча или кольца лежит в

его центре. Последний пример показывает, что центр тя­

жести тела может лежать вне тела.

Если тело имеет неправильную форму или если оно не­ однородно (например, в нем есть пустоты), то расчет поло­

жения центра тяжести часто затруднителен и это положе­

ние удобнее найти посредством опыта. Пусть, например, требуется найти центр тяжес~и куска фанеры. Подвесим его на нити (рис. 128). Очевидно, в положении раВНОl:3есия

т

r

r

р

Рис. 128. Точка С пересечения вертикальных линий, проведеНRЫХ через

точки подвеса А. В и D, есть центр тяжести тела

центр тяжести тела С должен лежать на продолжении

нити, иначе сила тяжести будет иметь момент относительно

точки подвеса, который начал бы вращать тело. Поэтому,

проведя на нашем куске фанеры прямую, представляющую

продолжение нити, можем утверждать, что центр тяжести

лежит на этой прямой.

Действительно, подвешивая тело в разных точках и

проводя вертикальные прямые, мы убедимся, что все они пересекутся в одной точке. Эта точка и есть центр тяжести

тела (так как он должен лежать одновр.еменно на всех таких прямых). Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоской фигуры, но и более слож­ ного тела. Положение центра тяжести самолета определя­ ют, вкатывая его колесами на платформы весов. Равнодей­ ствующая сил веса, приходящихся на каждое колесо, будет направлена по вертикали, и найти линию, по которой она

действует, можно по закону сложения параллельных сил.

При изменении масс отдельных частей тела или при из­

менении формы тела положение центра тяжести меняется. Так, центр тяжести самолета перемещается при расходова­

нии горючего из баков, при загрузке багажа и т. п. Для

6 Эollементарный учебннк фнзики, т. 1

161