4.3. Правило сложения дисперсий

Вариация признака обусловлена различными факторами, неко­торые из этих факторов можно выделить, если статистическую со­вокупность разбить на группы по какому-либо признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы, а также и между этими группами. В про­стейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по од­ному фактору, изучение вариации достигается посредством исчис­ления и анализа трех видов дисперсий: обшей, меж­групповой и внутригрупповой.

1. Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдель­ных значений признака х от общей среднейи может быть вычислена как простая дисперсия или взве­шенная дисперсия по формуле.

2. Межгрупповая дисперсия характеризует систематиче­скую вариацию результативного признака, обусловленную влия­нием признака-фактора, положенного в основание группиров­ки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (част­ных) средних– от общей средней:

,

(4.17)

где – численность единиц в группе.

3. Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случай­ную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием не­учтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, поло­женного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы хi, – (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:

.	(4.18) (4.19)

На основании внутригрупповой дисперсии по каждой груп­пе, т.е. на основании можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:

(4.20)

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

(4.21)

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью – неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Пусть при изучении влияния квалификации (тарифного раз­ряда) рабочих на уровень производительности труда в цехе были получены данные, представленные в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Распределение рабочих по среднечасовой выработке изделий

№ п/п	Рабочие IVразряда			Nп/п	Рабочие Vразряда
	Выработка рабочего, шт., У1				Выработка рабочего, шт., У1
1	7	–3	9	1	14	–1	1
2	9	–1	1	2	14	–1	1
3	9	–1	1	3	15	0	0
4	10	0	0	4	17	–2	4
5	12	2	4
6	13	3	9
∑	60	-	24	∑	60	–	6

Для результативного признака исчислим: 1) групповые дисперсии; 2) среднюю из внутригрупповых дисперсий; 3) межгрупповую дисперсию; 4) общую дисперсию; 5) проверим правило сложения дисперсий.

В этом примере данные группируются по квалификации (тарифному разряду) рабочих, являющейся факторным признаком х.

Результативный признак у_i варьирует как под влиянием систе­матического фактора х – квалификации (межгрупповая вариация), так и других неучтенных случайных факторов (внутригрупповая вариация). Задача заключается в измерении этих вариаций с по­мощью дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповых.

1. Для расчета групповых дисперсий исчислим средние вы­работки по каждой группе и общую среднюю выработку, шт.:

• по первой группе ;

• по второй группе ;

• по двум группам.

.

Данные для расчета дисперсий по группам представлены в табл. 4.4. Подставив необходимые значения в формулу (4.18), получим внутригрупповые дисперсии:

По первой группе ;

По второй группе

Внутригрупповые дисперсии показывают вариации выработ­ки в каждой группе, вызванные всеми возможными фактора­ми (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т. д.), кроме различий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну квалификацию).

2. Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий () по формуле (4.16):

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает вариацию выработки, обусловленную всеми факторами, кроме квалифика­ции рабочих, но в среднем по всей совокупности.

3. Исчислим межгрупповую дисперсию по формуле (4.18):

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию групповых средних, обусловленную различиями групп рабочих по квали­фикационному разряду.

4.Исчислим общую дисперсию по формуле (4.6):

Общая дисперсия отражает суммарное влияние всех возмож­ных факторов на общую вариацию среднечасовой выработки изделий всеми рабочими цеха.

5.Суммирование средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой даетобщую дисперсию:

Очевидно, чем больше доля межгрупповой дисперсии в об­шей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака (квалификационного разряда) на изучаемый признак (количест­во изготавливаемых изделий).

Поэтому в статистическом анализе широко используется

эмпирический коэффициент детерминации () – показатель, пред­ставляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дис­персии результативного признака и характеризующий силу влия­ния группировочного признака на образование общей вариации:

.

(4.22)

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признаках (остальная часть общей вариацииу обуславливается вариацией прочих факторов). При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функцио­нальной связи – единице.

В нашем примере (или 66,6 %)

Это означает, что на 66,6 % вариация производительности труда рабочих обусловлена различиями в их квалификации и на 33,4 % – влиянием прочих факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квад­ратный из эмпирического коэффициента детерминации:

(4.23)

оно показывает тесноту связи между группировочным и ре­зультативным признаками.

Эмпирическое корреляционное отношение , как и, может принимать значения от 0 до 1.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный при­знак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых среднихравна общей дисперсии (), т.е. внутригрупповой вариациине будет. Это означает, что группировочный признак целиком оп­ределяет вариацию изучаемого результативного признака.

Чем значение корреляционного отношения ближе к еди­нице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Для качественной оценки тесноты связи на основе показате­ля эмпирического корреляционного отношения можно восполь­зоваться соотношениямиЧэддока:

ηэ	0,1–0,3	0,3–0,5	0,5–0,7	0,7–0,9	0,9–0,99
Сила связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

В нашем примере , что свидетельствует о тесной связи между квалификацией рабочих и производительностью их труда.