√

Cледствие 2. Если a > 0, то lim n a =√1.

Cледствие 3. Для любого a R lim n n + a = 1 √

Так как 1 < n+ a < 2n для n > N = [|a|] + 2, то 1 < n n + a <

Отсюда с учетом теорем 2.9 и 2.6 получаем нужное.

2.1.5 Бесконечно большие последовательности

√ √

n 2 · n n.

Определение 2.9. Числовая последовательность {xn} называется бесконечно большой (коротко б.б.), если для любого положительного числа ε найдется номер N = N(ε) такой, что все члены последовательности с номерами n > N удовлетворяют неравенству |xn| > ε. Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), то последовательность называется положительной (отрицательной) бесконечно большой.

Для формализации записи бесконечно большой последовательности традиционно используют одно из следующих обозначений

lim xn = ∞, lim xn = +∞, lim xn = −∞,

которые в символьной записи можно представить так:

lim xn = ∞ ε > 0 N = N(ε) N : n > N |xn| > ε.

lim xn = +∞ ε > 0 N = N(ε) N : n > N xn > ε. lim xn = −∞ ε > 0 N = N(ε) N : n > N xn < −ε.

Прежде всего, отметим связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Теорема 2.10. Если последовательность {xn} является бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера, определено отношение 1/xn и последовательность {1/xn} является бесконечно малой. Если все члены бесконечно малой последовательности {xn} отличны от нуля, то последовательность {1/xn} является бесконечно большой.

Докажем, например, первую часть утверждения. Пусть {xn} — бесконечно большая последовательность. По определению 2.9 лишь конечное число её членов может быть равно нулю. Поэтому существует n0 N такое, что для всех n > n0 xn 6= 0 и отношение 1/xn определено. Поскольку первые члены последовательности не влияют на существование и величину предела, будем считать, что xn 6= 0, n N.

Зафиксируем произвольное число ε > 0. По определению 2.9 бесконечно большой последовательности найдётся такое N = N(ε) N, что |xn| > 1/ε, n > N. Следовательно, |1/xn| < ε, n > N.

32

	sin			2
			nπ
		n
Замечание. Легко показать, что последовательность						яв-

ляется бесконечно малой. Однако последовательность обратных величин в этом случае не определена.

Из теоремы 2.10, примера 3 и замечания 1 к теореме 2.3 следует

Лемма 2.3. Последовательность qn, где |q| > 1, является бесконечно большой. Если q > 1 последовательность {qn} является положительной бесконечно большой.

Выясним связь между бесконечно большими и неограниченными последовательностями. Непосредственно из определений 2.9 и 2.6 следует

Теорема 2.11. Бесконечно большая последовательность является неограниченной.

Замечание. Неограниченность последовательности — необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы она была бесконечно большой. Подтверждением этого является следующий пример.

Пример 2.5. Пусть {xn} : xn = n(−1)n . Изучим последовательности, составленные из элементов данной последовательности с четными и

	{		}		(	2n − 1		) . Первая из них является
нечетными номерами, то есть		2n		и		1

бесконечно большой, а значит неограниченной вместе с рассматриваемой последовательностью. Вторая последовательность является бесконечно малой. Поэтому для любого ε > 1 все элементы последовательности c нечетными номерами, не удовлетворяют неравенству |xn| > ε и потому исходная последовательность не является бесконечно большой.

Теорема 2.12. Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

Пусть {xn} — ограниченная последовательность, {yn} — бесконечно большая. Тогда M > 0 : |xn| ≤ M, n > 1 и

ε > 0 N = N(ε) N : n > N |yn| > ε + M.

Поэтому |xn + yn| ≥ |yn| − |xn| ≥ |yn| − M > (ε + M) − M = ε, n > N.

Немного изменяя доказательство, теорему 2.12 можно уточнить.

Теорема 2.13. Сумма положительной (отрицательной) бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть положительная (отрицательная) бесконечно большая последовательность.

Теорема 2.14. Сумма двух бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая того же знака.

33

Пусть последовательности {xn} и {yn} — бесконечно большие одного знака. Тогда n0 N : n > n0 |xn + yn| = |xn| + |yn|. Но, в силу определения 2.9, по любому числу ε > 0 найдётся номер N > n0 такой, что

|xn| >

ε

и |yn| >

ε

, n > N.

2

2

Тогда |xn + yn| = |xn| + |yn| >

ε

+

ε

= ε, n > N, и поэтому после-

2

2

довательность {xn + yn} является бесконечно большой. Но при n > N0 sgn(xn + yn) = sgn(xn) = sgn(yn). Таким образом, последовательность {xn + yn} — бесконечно большая того же знака, что и последовательности {xn}, {yn}.

Замечание. Если последовательности {xn}, {yn} являются бесконечно большими разных знаков, то о поведении последовательности {xn + yn} ничего определённого сказать нельзя. Для иллюстрации последнего высказывания достаточно рассмотреть, например, последовательности

xn = n, yn = −n + (−1)n или yn = −n + a, где a R.

Определение 2.10. Числовая последовательность {xn} называется отграниченной от нуля, если существует число m > 0 и номер n0 такие, что |xn| ≥ m, n > n0.

В логической символике определение 2.10 записывается в виде:

{xn} отграничена от 0 m > 0 n0 N : |xn| ≥ m, n > n0.

Лемма 2.4. Если последовательность {xn} — сходящаяся, причём lim |xn| 6= 0, или является бесконечно большой, то она отграничена от нуля.

Пусть lim |xn| =, a R, a 6= 0. Тогда по числу ε = |a|/2 найдётся номер N = N(ε) N такой, что

	|a|	= a	| −	|a|	< x	n|	< a	+	|a|	=	3|a|
	2			2					2		2
		|			|		| |

Выполнение левого неравенства означает нужное. Вторая часть леммы следует из определения 2.9 бесконечно большой последовательности.

Теорема 2.15. Произведение бесконечно большой последовательности и отграниченной от нуля есть бесконечно большая последовательность.

Пусть {xn} — отграниченная от нуля последовательность, а {yn} — бесконечно большая. Тогда для первой — m > 0 n0 N : |xn| ≥ m,

34

n > n0, а для второй — ε > 0 N = N(ε) N : N > n0 и |yn| > ε/m,

n > N Следовательно, n > N

ε

|xn · yn| = |xn| · |yn| > m · m = ε.

Замечание 1. Не зная законов изменения бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей, ничего определенного о поведении их произведения сделать нельзя. В этом случае говорят, что имеет место неопределенность ∞ · 0.

Замечание 2. Отношение двух бесконечно малых (больших) последовательностей представляет неопределённость вида 0/0 (соответственно

∞/∞).

2.1.6Определение предела в R

Определение 2.11. Пусть ε — некоторое положительное число. ε-окрестностью символа +∞ назовём интервал

(ε, +∞) = {x R | x > ε}

и обозначим его U+∞(ε) или U+∞. Аналогично, ε-окрестностью символа −∞ назовём интервал

(−∞, −ε) = {x R | x < −ε}

и обозначим его U−∞(ε) или U−∞. Множество {x R : |x| > ε} назовём ε-окрестностью символа ∞ и обозначим его U∞.

Определение 2.12. Пусть a R. Говорят, что точка а является пределом последовательности {xn}, если для любой ε-окрестности Ua точки а найдётся номер N = N(Ua) такой, что все члены xn последовательности с номерами n > N принадлежат окрестности Ua.При этом пишут lim xn = a или xn −→ a при n −→ ∞.

Лемма 2.5. Если последовательности {xn} и {yn} имеют пределы в R и xn ≤ yn, n > N0, то lim xn ≤ lim yn.

Пусть lim xn = a R, lim yn = b R. Если a R и b R, это утверждение леммы совпадает с теоремой 2.4 о переходе к пределу в неравенстве для сходящихся последовательностей.

Если a = −∞, b R, или a R, b = +∞, неравенство a ≤ b очевидно.

Если a = +∞, то ε > 0 N = N(ε) > N0 : xn > ε, n > N. Но xn ≤ yn, n > N0, поэтому yn ≥ xn > ε, n > N. Следовательно, последовательность {yn} является положительной бесконечно большой

35