Теорема 2.41. Если a — односторонняя предельная точка множества X, то определения предела и одностороннего предела функции f в этой точке равносильны.

Теорема 2.42. Пусть f : X → R, a — двусторонняя предельная точка множества X. Для того чтобы существовал предел функции f в точке a, равный A, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела функции f в точке a, равные A.

Необходимость — очевидное утверждение. Докажем достаточность. Пусть функция f имеет в точке a левый и правый пределы, равные

между собой и f(a − 0) = f(a + 0) = A. В силу определения 2.28 од-
ностороннего предела функции по любой окрестности точки A найдутся
число δ1 > 0:		f(x) UA, x (a − δ1, a) \ X,
и число δ2 > 0 :
		f(x) UA, x (a, a + δ2) \ X.
lim f =δA=.	min{δ1	, δ2}		◦
			, получим, что	x Ua (δ) T X f(x) UA	, а значит
Полагая
a

Замечание. Определение одностороннего предела функции может быть дано и в терминах последовательностей. Например,

A = f(a − 0) ( {xn} : xn X, xn < a, xn → a = f(xn) → A).

Пример 2.17. Найдем односторонние пределы функции [x] в целочисленной точке a = n0.

Областью определения функции f(x) = [x] является множество R, поэтому n0 — двусторонняя предельная точка множества D(f). Так как на интервале (n0−1, n0) функция f равна n0−1, а на интервале (n0, n0+1) равна n0, то f(n0 − 0) = n0 − 1; f(n0 + 0) = n0. Следовательно, в силу теоремы 2.42 функция f не имеет предела в точке n0.

2.2.5Теорема о пределе монотонной функции

Теорема 2.43. Пусть функция f не убывает на множестве X R, a — правосторонняя предельная точка множества X, b — левосторонняя предельная точка множества X. Тогда существуют

f(a + 0) = inf{f(x) : x X \(a, +∞)}, f(b − 0) = sup{f(x) : x X \(−∞, b)}.

Докажем, что f(b − 0) = sup{f(x) | x X T(−∞, b)}. Пусть

Y = {f(x) | x X \(−∞, b)} и M = sup Y.

57

Рассмотрим два случая.

1)Y — ограниченное сверху множество. Тогда M R, f(x) ≤ M,

x X T(−∞, b), и для любого ε > 0 найдется xε X T(−∞, b) такая,

что f(xε) > M − ε. Учитывая характер монотонности функции f, замечаем, что f(x) ≥ f(xε), x X T(xε, b). Если положить δ = b − xε > 0, то

получим:

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : M − ε < f(x) ≤ M + ε, x X \(b − δ, b).

Последнее означает, что f(b − 0) = M.

2) Y — неограниченное сверху множество. Тогда M = +∞ и

ε > 0 xε X \(−∞, b) : f(xε) > ε.

Поскольку f не убывает на X, то x (xε, b) T X f(x) ≥ f(xε). Отсюда, считая δ = b − xε > 0, получим:

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : f(x) > ε для x X \(b − δ, b).

Поэтому f(b − 0) = +∞ = M.

Теорема 2.44. Пусть функция f не убывает на множестве X, для которого +∞ (−∞) является предельной точкой. Тогда существует предел

x +

{

f(x)

|

x

X

}

x

f(x) = inf

{

f(x)

|

x

X

}

).

lim

f(x) = sup

( lim

→ ∞

→−∞

Доказательство этого утверждения при x → +∞ дословно повторяет доказательство теоремы 2.43 с той лишь разницей, что в нем следует положить δ = xε (всегда можно считать, что xε > 0), а при рассмотрении функции f при x → −∞ можно считать xε < 0 и δ = −xε.

Из теорем 2.43 и 2.44 вытекают следующие предложения. Cледствие 1. Если последовательность {xn} не убывает, то она име-

ет предел в R и lim xn = sup{xn | n N}.

Cледствие 2. Если функция f не убывает на интервале (a, b), где

a R,

b R, то существуют пределы

{

|

}

a

{

f(x)

|

x

(a, b)

}

,

b

f(x)

x

lim f = inf

lim f = sup

(a, b) .

Cледствие 3. Если функция f не убывает на отрезке [a, b], где

a R,

b R, и c (a, b), то

f(a) ≤ f(a + 0) ≤ f(c − 0) ≤ f(c) ≤ f(c + 0) ≤ f(b − 0) ≤ f(b).

Для функции f : X → R, которая не возрастает на множестве X справедливы следующие утверждения.

58

Теорема 2.45. Если функция f не возрастает на множестве X, для которого a — правосторонняя, а b — левосторонняя предельная

точки, то

f(a + 0) = sup{f(x) | x X \(a, +∞)}

,

f(b − 0) = inf{f(x) | x X \(−∞, b)}.

Если же +∞ или −∞ является предельной точкой множества X, то

x→+∞

f(x) = inf

{

f(x)

|

x

X

}

,

x→−∞

{

f(x)

|

x

X

}

.

lim

lim

f(x) = sup

Cледствие 1. Если последовательность {xn} не возрастает, то она имеет предел и он равен inf{xn | n N}.

Cледствие 2. Для того чтобы монотонная последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Cледствие 3. Если функция f не возрастает на [a, b] и c (a, b), то

f(a) ≥ f(a + 0) ≥ f(c − 0) ≥ f(c) ≥ f(c + 0) ≥ f(b − 0) ≥ f(b).

Пример 2.18. Доказать, что lim

an

= 0, a > 0.

n!

an

Прежде всего покажем, что последовательность {xn} : xn =

, n N,

n!

монотонна. Так как xn > 0 и

xn+1

a

(2.11)

=

, n ≥ 1,

xn

n + 1

a

а последовательность {

} является бесконечно малой, то

n + 1

xn+1

< 1, n > n0 = [a].

xn

Следовательно, последовательность {xn+n0 } убывает и ограничена снизу нулем. По следствию 1 теоремы 2.45 она сходится. Пусть lim xn = c. Из равенства (2.11) следует, что xn+1 = n +a 1 xn, n N. Отсюда, в силу свойств сходящихся последовательностей, получаем, что c = 0 ·c, то есть c = 0.

Cледствие. a R lim an = 0.

n! n

Замечание. Аналогично доказывается, что lim an = 0, a : |a| > 1.

2.2.6 Число e

Применим следствие 2 теоремы 2.45 для доказательства сходимости последовательности {xn}, члены которой определяются законом

xn = 1 +	1	!n	, n		N.
	n

59

Прежде всего докажем, что последовательность возрастает. Применяя формулу бинома Ньютона, получим для xn следующее представление:

x

= 1 + n

1

+

n(n − 1)

1

+

· · ·

+

n(n − 1)(n − 2) . . . (n − (n − 1))

1

=

n

n

n2

nn

2!

n!

= 2 +

1

1

1

! +

+

1

1

1

!

1

2

!

. . . 1

n − 1

! .

− n

· · ·

n!

−

2!

− n

− n

n

Поэтому для всех n ≥ 1 xn+1 =

= 2 +

1

1

1

! +

+

1

1

1

!

1

2

! . . . 1

n − 1

! +

· · ·

n!

− n + 1

− n + 1

− n + 1

2!

− n + 1

+

1

1

1

!

1

2

! . . . 1

n

! .

(n + 1)!

− n + 1

− n + 1

− n + 1

Сравним выражения для xn и xn+1. В представлении xn правая часть

содержит n положительных слагаемых, а правая часть представления xn+1 — (n + 1) слагаемое. Так как для любого k = 2, 3, . . . , n справедливо неравенство

				1		1			1	!	1			2	!		. . . 1		−	k − 1		! <
				k!
							− n				!	− n						!		n				!
<		1		1				1				1					2		. . . 1				k − 1		,
	k!					− n + 1
													− n + 1								− n + 1

то xn < xn+1, n ≥ 2. Следовательно, последовательность {xn} возрастает.

Докажем теперь, что последовательность {xn} ограничена сверху.

Поскольку 1

i

!

1,

i = 1, 2, . . . , n

1, то для , n

2

− n

−

≥

≥

1

1

1

xn < 2 +

+

+ · · · +

.

2!

3!

n!

Но k! ≥ 2k−1, k ≥ 2, поэтому xn < 2 +

1

1

+ · · · +

1

= 3 −

1

+

< 3.

2

22

2n−1

2n−1

А значит, рассматриваемая последовательность имеет конечный пре-

дел, который, следуя Л.Эйлеру, обозначают через e.

Из предыдущего ясно, что 2 ≤ xn ≤ 3, поэтому 2 ≤ e ≤ 3. Можно

показать, что e является

иррациональным числом и

e

.

1

!

x

≈ 2, 718281828

Теперь докажем, что xlim 1 +

= e. Заметим, что областью опре-

→∞

x

деления этой функции является множество (−∞, −1) (0, +∞). Зафиксируем последовательность {xn} : xn > 0, lim xn = +∞. Положим kn = [xn], n N. По определению функции целой части, kn ≤ xn < kn + 1. Учитывая определение и свойства бесконечно большой последовательно-

сти, замечаем, что lim

k

= +

∞

. Поскольку

1

1

>

1

для всех

kn

kn + 1

n→+∞

n

≥ xn

60

n N, то

!kn+1

!−1

!kn

!xn <

1 +

1

1 +

1

= 1 +

1

< 1 +

1

kn

xn

kn + 1

+ 1

kn + 1

< 1 +

1

!kn+1 = 1 +

1

!kn

1 +

1

! .

kn

kn

kn

Последовательность

1 +

1

kn

— суперпозиция последовательностей

!

1

n

kn

(

1 +

! ) и {kn}, для которых выполняются условия 1) – 3) теоремы

n

2.37 о пределе суперпозиции функций. Поскольку lim

1 +

1

!n

= e, то

n

lim

1 +

1

kn

e и

lim

1 +

1

kn

1 +

1

= e.

n

!

=

n

!

!

→

+

∞

+

kn

kn

kn

→ ∞

Аналогично можно показать, что существует

nlim

1 +

1

!kn+1

1 +

1

!−1 = e.

kn

+ 1

→∞

kn + 1

Следовательно, по теореме 2.6 nlim

1 +

1

!xn

= e.

Поскольку

→∞

xn

{xn}

— произвольная бесконечно большая положитель-

1

!

x

ная последовательность, то по теореме Гейне

lim

= e.

1 + x

1

!x при x

x→+∞

Изучим функцию

1 +

→ −∞

. Пусть x =

t. Для x <

−

1

x

−

1 +

1

!x = 1

1

!−t = 1 +

1

!t = 1 +

1

!t−1

1 +

1

! .

x

t

t

t

− t

−

1

−

1

−

1

Ясно, что t → +∞ тогда и только тогда, когда x → −∞. Так как

1 +

1

! → 1,

1 +

1

!t−1

→ e при t → +∞,

t

−

1

t

1

−

1

!x = e.

то по теореме 2.37 о пределе суперпозиции функций, x lim

1 +

1

!x

→−∞

x

Остаётся доказать, что xlim

1 +

= e. Для доказательства по-

→∞

x

1

x

следнего зафиксируем ε >

. Так как

lim

1 +

= e, то найдется

0

x!

x→+∞

δ1 > 0 такое, что при x > δ1

1 +

1

!x

−

e

< ε. Так как x lim

1 +

1

!x

=

x

→−∞

x

e, то найдется δ2 > 0 такое,

что при x <

−

δ2

выполняется неравенство

1

!

x

e

1 +

< ε. Положим δ = max

{

δ1

, δ2

}

. Тогда для всех x таких,

x

−

61