- •Введение в анализ
- •Множества и операции над ними
- •Логическая символика
- •Функция
- •Простейшая классификация функций
- •Композиция функций и обратное отображение
- •Сужение функции
- •Действительные числа
- •Важнейшие подмножества действительных чисел
- •Функции действительной переменной
- •Функция и способы её задания
- •Монотонные функции
- •Свойства числовых множеств
- •Ограниченные числовые множества
- •Неограниченные числовые множества
- •Счетные и несчетные множества
- •Задания для самостоятельной работы
- •Теория пределов
- •Предел последовательности
- •Определение и примеры
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые последовательности
- •Арифметические операции с последовательностями
- •Бесконечно большие последовательности
- •Подпоследовательности и их свойства
- •Критерий Коши
- •Частичные пределы последовательности
- •Верхний и нижний пределы последовательности
- •Задания для самостоятельной работы
- •Предел функции
- •Предельная точка множества
- •Определение предела функции
- •Свойства предела функции
- •Односторонние пределы функции
- •Теорема о пределе монотонной функции
- •Число e
- •Критерий Коши для функции
- •Сравнение функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Определение непрерывной функции
- •Точки разрыва функции, их классификация
- •Локальные свойства непрерывной функции
- •Глобальные свойства непрерывных функций
- •Показательная, логарифмическая и степенная функции
- •Некоторые замечательные пределы
- •Равномерная непрерывность функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Дифференцируемые функции
- •Понятие дифференцируемой в точке функции
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •Производная и дифференциал функции на множестве
- •Основные правила вычисления производной
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Свойства функций, дифференцируемых на промежутках
- •Дифференцирование параметрически заданных функций
- •Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей
- •Формула Тейлора
- •Исследование поведения функции на множестве
- •Экстремум функции
- •Направление выпуклости графика функции
- •Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Построение графика функции.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Неопределенный интеграл
- •Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные методы интегрирования
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки (замены переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Классы интегрируемых элементарных функций
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Задания для самостоятельной работы
Глава 2
Теория пределов
В этой главе изучается операция предельного перехода — основная операция математического анализа. Сначала рассмотрим предел функции натурального аргумента, поскольку все основные результаты теории пределов отчетливо видны в этой простой ситуации. Затем рассмотрим предел в точке функции действительной переменной.
2.1 Предел последовательности
2.1.1 Определение и примеры
Определение 2.1. Функция f : N → X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.
Значения f(n), n N, называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое происходит отображение, снабжая символ соответствующим индексом (аргументом функции f): xn = f(n). Элемент xn называется n-м членом последовательности. В связи с этим последовательность часто обозначают символом {xn} или {xn}+n=1∞, а также записывают в виде x1, x2, . . . , xn, . . . .
В дальнейшем в этой главе будем рассматривать только последовательность f : N → R действительных чисел.
Определение 2.2. Интервал, содержащий точку a R, называют окрестностью этой точки. Интервал (a − δ, a + δ), δ > 0, называют δ-окрестностью точки a и обозначают Ua(δ) или Va(δ) (часто пишут короче: Ua или Va).
Определение 2.3. Число a R называют пределом числовой последовательности {xn}, если для любой окрестности точки a существует номер N N такой, что все элементы xn последовательности, номера которых больше N, содержатся в Ua. При этом пишут
nlim→∞ xn = a или lim xn = a или xn → a при n → ∞.
24
В логической символике определение 2.3 имеет вид:
a R. a = lim xn Ua N = N(Ua) N : n > N xn Ua.
Поскольку Ua(ε) = (a − ε, a + ε) = {x R : |x − a| < ε}, то часто употребляют следующую равносильную формулировку определения 2.3
Определение 2.4. Число a называют пределом числовой последовательности {xn}, если для любого положительного числа ε найдется номер N = N(ε) такой, что все члены последовательности с номерами n > N удовлетворяют неравенству |xn − a| < ε.
Соответственно, в логической символике это определение имеет вид: a R, a = lim xn ε > 0 N = N(ε) N : n > N |xn − a| < ε
Замечание. Первые члены последовательности не влияют на существование и величину предела в случае его существования.
Иногда полезна следующая геометрическая интерпретация определения 2.3 предела последовательности:
Число a называется пределом последовательности {xn}, если вне любой окрестности точки a находится не более конечного числа членов последовательности {xn}.
Ясно, что если вне некоторой окрестности точки a находится бесконечное число членов {xn}, то a не является пределом {xn}.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2.1. Если {xn} : xn = c, то lim xn = c, так как все члены последовательности, начиная с первого, принадлежат любой окрестности
точки c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin n |
|
||||
|
|
Пример 2.2. Покажем, что последовательность {xn} : xn = |
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n + 5 |
|||||||||||||||||||||
имеет предел и lim xn = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Зафиксируем ε > 0. Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
= |
| sin n| |
|
|
1 |
, |
|
n |
|
N |
, |
|
|
|
|
||
|
|
| |
n| |
n + 5 |
≤ n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и |
|
< ε для n > |
|
, то, полагая N = max{1, [1/ε]}, получим: |
|
|
|||||||||||||||||
n |
ε |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|xn| ≤ |
|
< ε, |
n > N. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Следовательно, ε > 0 N = max{1, [1/ε]} N : n > N |xn| < ε. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
Замечание. Одновременно мы доказали, что lim |
1 |
= 0. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Пример 2.3. Покажем, что lim |
|
= 0, если q > 1. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
qn |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
Поскольку q > 1, то q = 1 + α, где α > 0. Поэтому n > 1 по формуле бинома Ньютона
qn = 1 + nα + n(n − 1)α2 + · · · + αn > nα.
2!
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Отсюда следует, что |
|
|
< |
|
|
, n > 1. Зафиксируем ε > 0, положим |
||||
qn |
nα |
|||||||||
N = max{1, [1/αε]} и получим, что |
|
|
||||||||
1 |
1 |
|
|
n > N. |
||||||
0 < |
|
< |
|
|
< ε, |
|||||
qn |
n α |
Итак, ε > 0 N = max{1, [1/εα]} N : n > N |1/qn| < ε.
Пример 2.4. Покажем, что последовательность {xn} : xn = (−1)n, не имеет предела.
Для любого числа a укажем такую окрестность, вне которой расположено бесконечное множество членов данной последовательности. Для этого зафиксируем точку a R и рассмотрим ee единичную окрестность Ua(1) = (a − 1, a + 1). Поскольку x2k = 1, x2k+1 = −1, k N, и хотя бы одно из чисел +1 или −1 не принадлежит Ua(1), то вне Ua(1) находится бесконечное множество членов последовательности {xn}. Следовательно, число a не является её пределом. В силу произвольности числа a заключаем, что @ lim xn.
Определение 2.5. Числовая последовательность, имеющая пределом число, называется сходящейся. Все остальные последовательности называются расходящимися.
В логической символике определение 2.5 имеет вид: {xn} сходится a R : lim xn = a.
{xn} расходится a R ε > 0 |
: |
N N n > N : |xn − a| ≥ ε. |
||||||||
Последовательности |
c |
, |
( |
sin n |
) |
, |
( |
1 |
) |
, если q > 1, являются схо- |
|
n |
|||||||||
|
{ } |
|
|
n + 5 |
|
|
q |
|
дящимися, а последовательность {(−1)n} — расходящейся.
2.1.2Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 2.1. Последовательность не может иметь двух различных пределов.
Пусть числовая последовательность {xn} имеет два различных предела a и b. Для определенности будем считать, что a < b. Положим
ε = b −2 a. По определению 2.4 предела последовательности найдем N1 и
26
|
2 |
|
|
|
| |
n − |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
||||||
N |
|
такие, что |
x |
|
|
a |
< ε = |
b − a |
, |
|
|
n > N , то есть |
|
|
n > N |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
− |
|
b − a |
|
< x |
|
< a + |
b − a |
|
= |
b + a |
, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
| n − |
| |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
и |
|
x |
b |
< ε = |
b − a |
, |
|
|
n > N |
, то есть |
|
|
n > N |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a + b |
= b |
− |
|
b − a |
< x |
|
< b + |
b − a |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
Тогда n > N = max{N1, N2} |
|
a + b |
< xn < |
a + b |
, чего быть не может. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
Определение 2.6. Числовая последовательность {xn} называется ограниченной сверху (соответственно, снизу или ограниченной), если множество X = {xn | n N} является ограниченным сверху (снизу или ограниченным). Если X — неограниченное множество, то {xn} называется неограниченной последовательностью.
C учетом определений 2.1 и 2.2 имеем:
{xn} ограничена сверху M R : n N xn ≤ M, {xn} ограничена снизу M R : n N xn ≥ M, {xn} ограничена M > 0 : n N |xn| ≤ M,
{xn} не ограничена M > 0 n N : |xn| > M.
Теорема 2.2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Пусть последовательность {xn} сходится и lim xn = d. Полагая в определении 2.4 ε = 1, найдем номер N такой, что |xn − d| < 1, n > N, то есть d − 1 < xn < d + 1, n > N. Введем обозначения:
a = min{x1, x2, . . . , xN , d − 1}, b = max{x1, x2, . . . , xN , d + 1}.
Тогда a ≤ xn ≤ b, n N.
Замечание. Ограниченность последовательности — необходимое, но недостаточное условие сходимости (см.пример 4).
Теорема 2.3. Если числовая последовательность {xn} сходится и lim xn = a, то последовательность {|xn|} сходится и lim |xn| = |a|.
Так как a = lim xn, то ε > 0 N = N(ε) N : n > N |xn − a| < ε.
Отсюда следует, что n > N ||xn| − |a|| ≤ |xn − a| < ε.
Замечание 1. Из теоремы 2.3 и примера 3 следует, что при |q| > 1
1
lim qn = 0.
Замечание 2. Обратное утверждение к теореме 2.3 не имеет места.
27