sin αx sin βx =		1		cos(α − β)x − cos(α + β)x ,
		2
cos αx cos βx =		1			cos(α + β)x + cos(α − β)x .
			2
Интегралы вида
Z	sinm x cosn x dx, m, n Q,					(5.21)

с помощью подстановок sin x = t или cos x = t сводятся к интегралам от дифференциального бинома. Например, выполняя в этом интеграле замену sin x = t, получаем, что dt = cos x dx и

Z Z

sinm x cosn x dx = ± tm(1 − t2)(n−1)/2 dt.

Если m и n — целые неотрицательные четные числа, то для вычисления интегралов вида (5.21) используют формулы понижения степени

sin2 x =

1 − cos 2x

, cos2 x =

1 + cos 2x

.

2

Z

2

Z

Пример 5.32. Вычислить интеграл

Z

sin2 x cos4 x dx.

2

dx =

sin2 x cos4 x dx = 4

Z

sin2 2x cos2 x =

4

1 −

2

·

1

1

cos 4x

1 + cos 2x

=161 Z (1 + cos 2x − cos 4x − cos 2x cos 4x) dx =

=161 x + 321 sin 2x − 641 sin 4x − 321 Z (cos 2x + cos 6x) dx =

=161 x + 321 sin 2x − 641 sin 4x − 641 sin 2x − 1921 sin 6x + C =

=161 x + 641 sin 2x − 641 sin 4x − 1921 sin 6x + C.

5.6Задания для самостоятельной работы

1.Пусть функции f(x) и g(x), определенные на отрезке [a, b], имеют одну и ту же первообразную F (x). Доказать, что f(x) = g(x) на

[a, b].

2.Пусть функция f(x) положительна на отрезке [a, b] и F (x) — ее первообразная на нем. Доказать, что F (x) возрастает на [a, b].

3.Пусть функция F (x) дифференцируема на [a, b] и F (a) = F (b), а функция f не имеет нулей на [a, b]. Доказать, что функция F (x) не может быть первообразной для функции f(x) на [a, b].

176

4.Пусть функция F (x) дифференцируема на [a, b], а функция f, определенная на [a, b] такова, что(b − a)f(x) 6= F (b) − F (a), x [a, b]. Доказать, что функция F (x) не может быть первообразной для функции f(x) на [a, b].

5. Пусть функция F (x) является первообразной функции f(x) на [a, b], а Φ(x) — на [b, c] (a < b < c). Можно ли утверждать, что функция

Ψ(x) =		F (x),	если x	[a, b],
		Φ(x),	если x		(b, c],

является первообразной функции f(x) на [a, c]?

6. Доказать, что следующие функции не имеют первообразных на отрезке [−1, 1].

а) f(x) =		1/x,	если x [−1, 1] \ {0},
		0,	если x = 0.
b) f(x) =		1,	если x [−1, 1]					Q,
		0,	если x		[	−	1, 1] T Q.
								\

x, если x [−1, 0),

c) f(x) = 1 + x, если x [0, 1].

7.Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. Доказать, что функция f(x) не имеет первообразной на отрезке [a, b].

8.Пусть функции F (x) и Φ(x) являются первообразными для функции f(x) на интервалах (a, b) и (b, c). Можно ли утверждать, что

[

C0 R : F (x) = Φ(x) + C0, x (a, b) (b, c)?

9. Пусть функция f(x) дифференцируема на промежутке D, F (x) — её первообразная на D. Доказать, что для всех x из D

Z

xf0(x) dx = xf(x) − F (x) + C.

10.Пусть нечетная (четная) функция F (x) является первообразной функции f(x) на интервале (−a, a). Доказать, что f(x) является четной (соответственно, нечетной) функцией.

11.Пусть периодическая функция F (x) является первообразной функции f(x) на R. Доказать, что f(x) — периодическая функция. Верно ли обратное утверждение?

177

12.Пусть функция f(x) имеет на промежутке D первообразную F (x). Доказать, что при a 6= 0

Zf(ax + b) dx = a1 F (ax + b) + C.

13.Пусть четная функция F (x) является первообразной функции f(x) на отрезке [−1, 1]. Можно ли утверждать, что функция F (x) sgn x является первообразной функции f(x) sgn x на [−1, 1]?

14.Пусть функции f(x) и g(x) дважды дифференцируемы на промежутке D, функция f00(x)g(x) имеет первообразную F (x) на нем. Доказать, что функция f(x)g00(x) имеет на промежутке D первообразную, причем

Z

f(x)g00(x) dx = f(x) g0(x) − f0(x) g(x) + F (x) + C.

15.Пусть функция F : [a, b] → R непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на [a, b] \{x0}, x0 (a, b), и существует конечный предел

lim F 0(x). Доказать, что функция F (x) является первообразной для

x→x0

некоторой функции на [a, b].

16.Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты, чтобы следующие интегралы представляли собой рациональную функцию:

		Z	ax2 + bx + c		b) Z	ax2 + bx + c
	a)			dx;				dx, α 6= 0, β2 − αγ) 6= 0.
			x3(x − 1)2			(αx2 + βx + γ)2
	Через какие функции может быть выражен интеграл Z									P (x)
17.											dx, где
										Q(x)
	P (x) и Q(x) — многочлены, причем Q(x) имеет: a) только действи-
	тельные корни, b) только комплексные корни.
18.	Указать, при каких a, b, c, d интеграл Z						ax + b
									dx
							cx + d

a)является рациональной функцией;

b)имеет вид R1(x)+α ln R2(x)+C, где R1(x), R2(x) — рациональные функции, α — вещественное число, C — произвольная константа;

c)имеет вид α ln R(x) + C, где α — число, R(x) — рациональная функция, C — произвольная константа.

19. Указать, при каких a, b, c, (a 6= 0) интеграл Z	dx	имеет вид
	ax2 + bx + c

α arctg R(x) + C, где α — число, R(x) — рациональная функция, C

— произвольная константа.

178

Zq

20.Представляет ли интеграл 1 + xk dx элементарную функцию при

	a) k =	5	; b) k = 2; c) k =	3		; d) k =	9		?
		3		2			4

21. Построить рациональную функцию R(t) так, чтобы выполнялось од-

но из условий:	√
Z √

a)R( n x) dx = α ln R1( n x) + C;

Z √

√

b)R( n x) dx = α arctg R1( n x) + C.

где R1(t) — рациональная функция.

22. Построить рациональную функцию R(t) так, чтобы,

Z √ √ √

R( n x) dx = α ln R1( n x) + β arctg R2( n x) + C,

где R1(t) и R2(t) — рациональные функции.

179

Литература

[1]Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х., Математический анализ, т. 1. — М.: Изд–во МГУ, 1987.

[2]Зорич В. А., Математический анализ, т. 1. — М. : Наука, 1993.

[3]Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А., Задачи и упражнения по математическому анализу, т.1. — М. : Высшая школа, 2000.

[4]Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. — М. : Наука, 1966.

[5]Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. — М. : Наука, 1966.

[6]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, т.1. — М.: Высшая школа, 1988.

[7]Тер–Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. — М.: Изд-во МФТИ, 2000.

180

Оглавление

1 Введение в анализ			3
1.1	Множества и операции над ними . . . . . . . . . . . . . .		3
1.2	Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		5
1.3	Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		6
	1.3.1	Простейшая классификация функций . . . . . . . .	7
	1.3.2	Композиция функций и обратное отображение . . .	7
	1.3.3	Сужение функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
1.4	Действительные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		8

1.4.1 Важнейшие подмножества действительных чисел . 10

1.5Функции действительной переменной . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Функция и способы её задания . . . . . . . . . . . 13

1.5.2Монотонные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6Свойства числовых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.1Ограниченные числовые множества . . . . . . . . . 16

1.6.2Неограниченные числовые множества . . . . . . . . 19

1.6.3Счетные и несчетные множества . . . . . . . . . . . 20

1.7 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . .	22
2 Теория пределов	24

2.1Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1Определение и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2Свойства сходящихся последовательностей . . . . . 26

2.1.3Бесконечно малые последовательности . . . . . . . 28

2.1.4 Арифметические операции с последовательностями 30

2.1.5Бесконечно большие последовательности . . . . . . 32

2.1.6Определение предела в R . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.7Подпоследовательности и их свойства . . . . . . . . 36

2.1.8 Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.9Частичные пределы последовательности . . . . . . 40

2.1.10Верхний и нижний пределы последовательности . . 43

2.1.11Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . 46

2.2Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

181

2.2.1Предельная точка множества . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.2Определение предела функции . . . . . . . . . . . . 49

2.2.3Свойства предела функции . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.4Односторонние пределы функции . . . . . . . . . . 56

2.2.5Теорема о пределе монотонной функции . . . . . . 57

2.2.6Число e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2.7 Критерий Коши для функции . . . . . . . . . . . . 62

2.2.8 Сравнение функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 67

3 Непрерывные функции и их свойства

69

3.1Определение непрерывной функции . . . . . . . . . . . . . 69

3.2Точки разрыва функции, их классификация . . . . . . . . 71

3.3Локальные свойства непрерывной функции . . . . . . . . . 74

3.4Глобальные свойства непрерывных функций . . . . . . . . 75

3.5Показательная, логарифмическая и степенная функции . . 81

3.6 Некоторые замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . 86

3.7Равномерная непрерывность функции . . . . . . . . . . . . 87

3.8Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 90

4 Дифференцируемые функции

93

4.1Понятие дифференцируемой в точке функции . . . . . . . 93

4.2Геометрический смысл производной и дифференциала . . 97

4.3Производная и дифференциал функции на множестве . . . 98

4.4Основные правила вычисления производной . . . . . . . . 100

4.5Инвариантность формы первого дифференциала . . . . . . 104

4.6Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.7Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . 107

4.8Свойства функций, дифференцируемых на промежутках . 109

4.9Дифференцирование параметрически заданных функций . 115

4.10Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей . . . . . 116

4.11Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.12Исследование поведения функции на множестве . . . . . . 123

4.12.1Экстремум функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.12.2Направление выпуклости графика функции . . . . 127

4.12.3Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.12.4Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . 130

4.12.5Построение графика функции. . . . . . . . . . . . . 132

4.13Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 134

182

5 Неопределенный интеграл

140

5.1Первообразная функция и неопределенный интеграл . . . 140

5.2	Основные свойства неопределенного интеграла . . . . . .	142
5.3	Таблица основных неопределенных интегралов . . . . . .	144

5.4Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . 145

5.4.1Непосредственное интегрирование . . . . . . . . . . 146

5.4.2Метод подстановки (замены переменной) . . . . . . 146

5.4.3Метод интегрирования по частям . . . . . . . . . . 148

5.5 Классы интегрируемых элементарных функций . . . . . . 151

5.5.1Интегрирование рациональных функций . . . . . . 151

5.5.2Интегрирование иррациональных функций . . . . . 163

5.5.3Интегрирование тригонометрических функций . . . 173

5.6Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 176

Литература

180

183