√

Графики (см.рисунок выше) функций y = xn и y = n x симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го квадрантов.

Пример 3.11. Функция f(x) = sin x, x [−π/2, π/2] возрастает и непрерывна. Поскольку f(±π/2) = ±1, то по теоремам 1.1, 3.9, 3.11 существует обратная функция f−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2], которая возрастает и непрерывна. Её называют функцией "арксинус"и обозначают arcsin. Следовательно, функция arcsin каждому числу x [−1, 1] ставит

в соответствие такое число из отрезка "−π2 , π2 #, синус которого равен x.

					y s6		y = arcsin x
					1 s
							y = sin x
s				s			sx
						s
−	π/		2	−1		1	π/
							-2
					−1 s
y = sin x
					s
				y = arcsin x

Графики (см. рисунок) функций y = sin x, x "−π2 , π2 # и y = arcsin x,

x [−1, 1] симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го квадрантов.

Замечание. Аналогично вводятся и рассматриваются непрерывная убывающая функция y = arccos x, которая действует из [−1, 1] в [0, π], и непрерывная возрастающая функция y = arctg x, которая действует из R

в (−π/2, π/2).

3.5Показательная, логарифмическая и степенная функции

Вшкольном курсе алгебры и начал анализа определена степень ar числа a > 0 с рациональным показателем r, то есть на множестве Q

81

рациональных чисел определена показательная функция f(r) = ar, выяснены некоторые ее свойства:

1)ar > 0, r Q,

2)f возрастает на Q, если a > 1; f убывает на Q, если a (0, 1),

3)ap · aq = ap+q, p, q Q,

4)(ap)q = ap·q, p, q Q,

5)(a · b)p = ap · bp, p Q, a > 0 b > 0.

Докажем следующие утверждения.

Лемма 3.2.

Если

f

:

Q

→ R

, f r

) =

ar,

то

lim f(r) = 1.

(

r→0

Для определенности будем считать a > 1. Так как

lim a1/n = 1,

lim a−1/n = 1,

n→∞

n→∞

то ε > 0 N = N(ε) N : n > N

|a1/n − 1| < ε, |a−1/n − 1| < ε.

Пусть n0 N и n0 > N. Тогда

1 −

ε < a−1/n0

< a1/n0 <

1 +

ε.

1

Следовательно, если δ =

, то

r

(−δ, δ) T Q

n0

1 −

ε < a−1/n0 < ar < a1/n0 <

1 +

ε.

1

Иными

r

ε > 0

δ =

> 0

: r (−δ, δ) T Q

n0

словами,

справедливо

неравенство |a

− 1| < ε, что завершает доказательство.

Случай a (0, 1) рассматривается аналогично.

Лемма 3.3. Пусть a > 0, {rn} — сходящаяся последовательность рациональных чисел. Тогда последовательность {arn } сходится.

Для определенности будем считать, что a > 1.

Покажем, что числовая последовательность {arn } является фундаментальной. Заметим, что n, m N

|arn − arm | = arm |arn−rm − 1|.

Так как последовательность {rn} сходится, то существует такое рациональное число A, что rn ≤ A, n N. Следовательно, n N

arn ≤ aA = B.

82

По лемме 3.2 ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : r (−δ, δ) T Q выполняется

неравенство

|ar − 1| < Bε .

Из фундаментальности последовательности {rn} получаем:

N = N(δ) N : n > N, m > N |rn − rm| < δ.

Отсюда n > N, m > N

|arn − arm | = arm |arn−rm − 1| < B · Bε = ε,

что означает фундаментальность последовательности {arn }.

Определение 3.12. Пусть a > 0, x0 R, {rn} — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x0. Положим

ax0 = lim arn .

n→∞

Лемма 3.4. Определение 3.12 корректно в том смысле, что ве-

личина предела lim arn не зависит от выбора последовательности

n→∞

рациональных чисел {rn}, сходящейся к x0.

Пусть {rn0}, {rn00} — произвольные последовательности рациональных чисел, сходящиеся к x0. Согласно лемме 3.3 соответствующие после-

довательности {arn0 }, {arn00 } сходятся. Докажем, что lim arn0 = lim arn00 .

n→∞ n→∞

Составим новую последовательность {rn} такую, что

rn = rk0 , если n = 2k − 1,

rk00, если n = 2k, k N.

Ясно, что она сходится к числу x0. По лемме 3.3 последовательность {arn } сходится. Учитывая, что последовательности {arn0 }, {arn00 } являются подпоследовательностями последовательности {arn }, получим

lim arn0 = lim arn00 = lim arn .

n→∞ n→∞ n→∞

Замечание. Если x0 = pq — рациональное число, то величина сте-

пени ax0 , найденная по определению 3.12, совпадает со значением ap/q в ранее известном из школьного курса алгебры смысле, поскольку среди последовательностей рациональных чисел, сходящихся к x0 = pq , есть

последовательность {rn} : rn = pq , n N, и arn = ap/q → ap/q.

83

Определение 3.13. Пусть a — некоторое положительное число и a 6= 1. Функцию, определенную законом

x R → ax,

называют показательной с основанием a.

Изучим некоторые свойства показательной функции.

Теорема 3.12. Если a > 1, то функция f(x) = ax возрастает на R. Если же a (0, 1), то функция f(x) = ax убывает на R.

Докажем первую часть утверждения.

Фиксируем произвольные числа x1, x2 R такие, что x1 < x2. По принципу Архимеда существуют рациональные числа r1, r2 такие, что x1 < r1 < r2 < x2. Пусть {rn0}, {rn00} — последовательности рациональных чисел, сходящиеся соответственно к x1 и x2, причем

rn0 < r1 < r2 < rn00, n N.

По свойству 2 показательной функции, определенной на множестве Q рациональных чисел,

arn0 < ar1 < ar2 < arn00 , n N.

Переходя в крайних неравенствах к пределу при n → ∞ и учитывая определение 3.12, получим

ax1 ≤ ar1 < ar2 ≤ ax2 .

Итак,

x1, x2 R : x1 < x2 ax1 < ax2 ,

что доказывает возрастание функции f(x) = ax на множестве R, если a > 1.

Случай a (0, 1) рассматривается аналогично.

Теорема 3.13. Показательная функция f(x) = ax на R принимает только положительные значения.

Для определенности рассмотрим показательную функцию с основанием a > 1.

Пусть x0 — произвольное действительное число. По принципу Архимеда найдется целое число n0 такое, что n0 ≤ x0 < n0 + 1. В силу возрастания функции f(x) = ax, имеем:

an0 ≤ ax0

Но по свойству 1 показательной функции, определенной на множестве Q рациональных чисел, an0 > 0. Поэтому ax0 > 0.

84

Теорема 3.14. Показательная функция f(x) = ax непрерывна на множестве R действительных чисел.

Функция f монотонна на множестве R, поэтому имеет конечные односторонние пределы в точке x = 0. Поскольку

lim a1/n = lim a−1/n = 1,
n→∞	n→∞
то f(+0) = f(−0) = 1. Следовательно, существует предел
lim f(x) = 1 = a0,
x→0
что означает непрерывность функции f в точке x = 0.
Фиксируем теперь произвольную точку x0 6= 0 и произвольное число
ε > 0. Заметим, что
|f(x) − f(x0)| = |ax − ax0 | = ax0 |ax−x0 − 1|.
Так как функция f непрерывна в точке x = 0, то
δ = δ(ε) > 0 : x R, |x − x0| < δ |ax			− 1| <	ε
					.
				ax0
Поэтому x R : |x − x0| < δ |ax − ax0 | < ax0 ·		ε	= ε, что доказывает
		ax0

непрерывность функции f в произвольной точке x0 R.

Теорема 3.15. Если f(x) = ax, то f(R) = (0, +∞).

Для определённости будем считать, что a > 1. В силу теоремы 3.12 функция y = ax возрастает на R. Далее, существуют следующие пределы

lim	ax,			lim	ax.
x→+∞				x→−∞
Но, как мы знаем, lim an = +	∞		,	lim	a−n = 0. Поэтому по теореме
n→+∞			n→+∞
Гейне о пределе функции
lim ax = +		∞		, lim	ax = 0.
x→+∞				x→−∞

По замечанию 2 к теореме 3.9 f(−∞, +∞) = (0, +∞).

Согласно теореме 3.11 о непрерывности обратной функции к монотонной на интервале, показательная функция f(x) = ax имеет обратную f−1 : (0, +∞) → R, которая непрерывна, возрастает, если a > 1, и убывает, если a (0, 1). Её называют логарифмической с основанием a (a > 0, a 6= 1) и обозначают loga : (0, +∞) → R. В случае, если a = e, логарифм называют натуральным и обозначают символом ln.

Определение 3.14. Пусть α — некоторое действительное число, отличное от нуля. Функция, которая каждому положительному x ставит в соответствие xα, называется степенной, α — её показателем.

85