Как отмечалось выше, равенства, отмеченные в свойствах 1)–6), читаются слева направо, хотя могут оказаться верными и при чтении справа налево (например, 7), 6)).

2.3Задания для самостоятельной работы

1. Найти все предельные точки множеств a) X = {x R : sin πx = 0},

b) X = {2(−1)n n, n N},

c) X = {(−1)n + sinnn, n N}.

2. Привести пример множества X, для которого множество его предельных точек совпадает с множеством {1, 2, 3}.

3. Привести пример множества X, для которого множество его предельных точек совпадает с множеством {1/n, n N}.

4. Пусть множество X = {xn, n N} имеет единственную предельную точку a. Можно ли утверждать, что lim xn = a?

5. Пусть множество X имеет предельную точку a. Можно ли сказать, что множество Y = {|x| : x X} имеет предельную точку? Если имеет, найти ее.

6. Пусть f : X → R, a — предельная точка X и существует окрестность Ua такая, что f Ua∩X — не ограничена. Можно ли утверждать, что

lim f = ∞?

a

7.Пусть функция f имеет в каждой точке множества X конечный предел. Можно ли утверждать, что f ограничена на X? Привести соответствующие примеры.

8.Пусть отличная от постоянной функция f : R → R является T -пери-

одической. Доказать, что @ lim f(x).

x→+∞

9.	Пусть f(x) = x2 cos		π	и g(y) = sgn2 y. Показать, что @ lim g(f(x)),
			x								x→0
	хотя lim f(x) = 0, lim g(y) = 1. Почему к функции g									◦	f в точке x = 0
	x→0	y→0
	не применима теорема о пределе суперпозиции функций?
10.	Пусть функции f(x) и g(x) определены на множестве X, x0 – пре-
	дельная точка X и lim f(x) = A				R \ {	0	}	и	lim g(x). Доказать,
		x→x0							@ x→x0

что функции f + g и f · g не имеют предела в точке x0.

67

11.

Доказать, что

lim f(x) = A

R

lim f(x3) = A.

x→x0

x→x0

12.

Доказать, что

lim f(x) = A

R

lim f3(x) = A3.

x→x0

x→x0

lim f(x2) = A."

13.

Верно ли утверждение: " lim f(x) = A

x→x0

R x→x0

14.

Пусть f : X → R, X = X1 X2, X1 ∩ X2 = . Пусть в каждой

1

x→a

X1

точке a

X

существует

lim f

(x) = f(a), и в каждой точке

a

x→a

X2

(x) = f(a). Можно ли утверждать, что в

X2 существует lim f

каждой точке a

x→a

X существует

lim f(x) = f(a)?

x→0

"x

#

x→0

[x]

15.

Существуют ли пределы lim x

1

,

lim

1

x ?

16.

Пусть lim f(x) = 0. Доказать, что

lim (f(x) + f(2x)) = 0. Верно ли

x→x0

x→x0

обратное утверждение?

17.

Пусть f : (−δ, δ) → R, δ > 0 и выполняются условия

1) f(x) ≥ |x|

3/4

◦

для всех x Ua(δ);

◦

2) f(x) · f(2x) ≤ 2 |x| для всех x Ua(δ).

Доказать, что существует lim f(x) = 0.

x→x0

◦

18.

Найти lim f(x), если функция f определена в окрестности Ua точки

x→a

f(x) +

1

a

R и lim

= 0.

x→a

|f(x)|

19.

Пусть f

,

и для любого числа a >

0

lim f(a + n) = a.

: [0 +∞) → R

n→+∞

Можно ли утверждать, что существует

lim f(x)?

x→+∞

20.

1,

x Q

\ Q . Доказать, что эта функция имеет

Пусть f(x) = x2,

x

R

в точках

.

предел только

2

±1

x

Q

. Имеет ли эта функция предел в

21.

Пусть f(x) =

x ,

x2,

x

R \ Q

точках x R?

−

68