- •Введение в анализ
- •Множества и операции над ними
- •Логическая символика
- •Функция
- •Простейшая классификация функций
- •Композиция функций и обратное отображение
- •Сужение функции
- •Действительные числа
- •Важнейшие подмножества действительных чисел
- •Функции действительной переменной
- •Функция и способы её задания
- •Монотонные функции
- •Свойства числовых множеств
- •Ограниченные числовые множества
- •Неограниченные числовые множества
- •Счетные и несчетные множества
- •Задания для самостоятельной работы
- •Теория пределов
- •Предел последовательности
- •Определение и примеры
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые последовательности
- •Арифметические операции с последовательностями
- •Бесконечно большие последовательности
- •Подпоследовательности и их свойства
- •Критерий Коши
- •Частичные пределы последовательности
- •Верхний и нижний пределы последовательности
- •Задания для самостоятельной работы
- •Предел функции
- •Предельная точка множества
- •Определение предела функции
- •Свойства предела функции
- •Односторонние пределы функции
- •Теорема о пределе монотонной функции
- •Число e
- •Критерий Коши для функции
- •Сравнение функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Определение непрерывной функции
- •Точки разрыва функции, их классификация
- •Локальные свойства непрерывной функции
- •Глобальные свойства непрерывных функций
- •Показательная, логарифмическая и степенная функции
- •Некоторые замечательные пределы
- •Равномерная непрерывность функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Дифференцируемые функции
- •Понятие дифференцируемой в точке функции
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •Производная и дифференциал функции на множестве
- •Основные правила вычисления производной
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Свойства функций, дифференцируемых на промежутках
- •Дифференцирование параметрически заданных функций
- •Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей
- •Формула Тейлора
- •Исследование поведения функции на множестве
- •Экстремум функции
- •Направление выпуклости графика функции
- •Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Построение графика функции.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Неопределенный интеграл
- •Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные методы интегрирования
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки (замены переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Классы интегрируемых элементарных функций
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Задания для самостоятельной работы
4) Z |
ax dx = |
ax |
|
|
+ C (a > 0, a 6= 1), D R. |
||
ln a |
|||
Z |
|
|
|
5)ex dx = ex + C, D R.
6) |
Z |
sin x dx = − cos x + C, D R. |
|
||
7) |
Z |
cos dx = sin x + C, D R. |
2 + πk, |
2 + πk), k Z). |
|
8) |
Z |
|
cos2 x = tg x + C, D ((− |
||
|
|
|
dx |
π |
π |
Zdx
9)sin2 x = − ctg x + C, D {(πk, π(k + 1), k Z}.
|
Z |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
10) |
√ |
|
|
|
= arcsin |
|
|
+ C = − arccos |
|
|
+ C, D (−a, a) (a > 0). |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||
a2 |
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
11) |
|
|
= |
|
arctg |
|
|
+ C = − |
|
arcctg |
|
+ C (a 6= 0), D R. |
|||||||||||||||||||||||
a2 + x2 |
a |
a |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||
12) |
Z |
|
dx |
|
= |
1 |
ln |
x − a |
+ C, D |
|
R |
\ {− |
a; a |
} |
(a > 0). |
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
a |
|
|
|
|
2a |
|
x + a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13) |
Z |
√ |
|
|
|
= ln(x + √x2 + a2) + C (a 6= 0), D R. |
|||||||||||||||||||||||||||||
x2 + a2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14) |
Z |
√ |
|
|
|
= ln |x + √x2 − a2| + C (a 6= 0), D { x R : |x| > |a|}. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 − a2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
15) |
Z |
sh x dx = ch x + C, D R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
16) |
Z |
ch x dx = sh x + C, D R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
17) |
Z |
dx |
|
= th x + C, D R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ch2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zdx
18)sh2 x = − cth x + C, D (R \ {0}).
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.
5.4Основные методы интегрирования
При вычислении производных обычно пользуются стандартным набором правил и формул, что превращает дифференцирование в единообразную, выполняемую по одним и тем же схемам, работу. Иначе обстоит дело с интегрированием функций. Не существует единого рецепта вычисления неопределенного интеграла, пригодного для всех элементарных
145
функций. Поэтому приходится рассматривать отдельные классы функций и для них разрабатывать правила или хотя бы рекомендации по вычислению интегралов.
5.4.1Непосредственное интегрирование
Использование теорем, приведенных в разделе 5.2, и таблицы основных неопределенных интегралов позволяет вычислять только простейшие интегралы. Рассмотрим несколько примеров.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
√x |
|
|
|
|
|||||
|
Пример 5.2. Вычислить интеграл |
|
x + |
|
1 |
|
2 |
dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + |
|
|
1 |
|
2 |
|
dx = x2 + 2√ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
√x |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= Z |
x2 dx + 2 Z |
x1/2 dx + Z |
dx |
|
|
4 |
x3/2 + ln |x| + C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 5.3. Вычислить интеграл Z |
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
dx = |
|
2(x2 |
2 |
|
− |
|
dx = 2 |
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
! dx = |
|
||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
+ 2) |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
√2 |
+ C. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 2 Z |
dx − 4 Z |
x2 + (√2)2 |
|
== 2x − 2√2 arctg |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 5.4. Вычислить интеграл Z |
|
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
sin2 x cos2 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2 x cos2 x |
= |
Z |
sin2 x cos2 x |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
sin2 x + cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
cos2 x + Z |
sin2 x = tg x − ctg x + C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4.2Метод подстановки (замены переменной)
Одним из основных методов интегрирования функций является метод подстановки (или метод замены переменной). Он основан на следующей теореме.
Теорема 5.6. Пусть D, T — промежутки в R, функция f : D → R имеет на D первообразную F (x), а функция ϕ : T → R дифференцируема на T и ϕ(T ) D, тогда
Z
f(ϕ(t))ϕ0(t) dt = F (ϕ(t)) + C. |
(5.4) |
146
Поскольку функция ϕ дифференцируема на T , ϕ(T ) D, a функция F дифференцируема на D, то по теореме о дифференцируемости суперпозиции (см. теорему 4.5) функция F ◦ ϕ дифференцируема на T и
(F ◦ ϕ)0(t) = F 0(ϕ(t))ϕ0(t) = f(ϕ(t))ϕ0(t), t T.
Следовательно, функция F (ϕ(t)) на промежутке T является первообразной для функции f(ϕ(t))ϕ0(t), и по определению 5.2
|
Z |
f(ϕ(t))ϕ0(t) dt = F (ϕ(t)) + C. |
|
|
|
то |
Итак, если выполнены условия теоремы 5.6 и Z |
f(x) dx = F (x) + C, |
|||
Z |
f(ϕ(t))ϕ0(t) dt = Z |
f(x) dx x=ϕ(t) . |
(5.5) |
||
|
|
|
|
|
|
Формула (5.5) называется формулой интегрирования посредством подстановки ϕ(t) = x. Её применение к вычислению интегралов состоит в том, что вместо вычисления интеграла, стоящего слева в формуле (5.5), вычисляется интеграл, стоящий справа, а затем, возвращаясь к переменной t, полагается x = ϕ(t). В ряде случаев формулу (5.5) це-
лесообразно использовать в обратном порядке. Именно, иногда удобно
Z
вычисление интеграла f(x) dx свести с помощью замены переменной
Z
x = ϕ(t) к вычислению интеграла f(ϕ(t))ϕ0(t) dt. Если допустить, что выполнены условия теоремы 5.6 и, кроме того, функция ϕ : T → D является биекцией, а значит существует обратная функция ϕ−1 : D → T ,
то формулу (5.5) можно переписать в виде |
t=ϕ−1 |
(x) . |
|
||
Z |
f(x) dx = Z |
f(ϕ(t))ϕ0(t) dt |
(5.6) |
||
|
|
|
|
|
|
Формула (5.6) называется формулой интегрирования заменой переменной x = ϕ(t).
При использовании метода интегрирования с помощью подстановки или замены переменной общих рекомендаций по определению нужной подстановки не существует. Такие рекомендации можно дать только для некоторых специальных видов подынтегральных функций. Эти замены будут рассматриваться ниже, а пока рассмотрим этот метод на простых
примерах. |
|
|
|
|
Пример 5.5. Вычислить интеграл Z |
sin(2x + 3) dx. |
|||
Выполним подстановку 2x + 3 = t. Тогда Z |
sin(2x + 3) dx = |
|||
= 2 |
Z sin(2x + 3) d(2x + 3) = |
2 |
Z sin t dt = |
|
1 |
|
|
1 |
|
147
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
cos t + C = |
− |
|
cos(2x + 3) + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Пример 5.6. Вычислить интеграл Z |
|
|
x dx |
|
|
(x < 1). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
− |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Выполним подстановку |
|
1 − x = t. Тогда x = 1 − t |
, dx = −2t dt и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x dx |
= |
|
1 − t2 |
( 2t) dt = |
|
2 (1 |
|
|
t2) dt = |
|
|
2 |
t |
|
|
t3 |
|
+ C = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Z √1 |
− |
x |
Z |
t |
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
Z |
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= − |
|
t 3 |
− t2 + C = − |
|
√1 |
− x (3 |
− 1 + x) + C = − |
|
(x + 2)√1 − x + C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 5.7. Вычислить интеграл Z |
√ |
|
dx (|x| ≤ 1). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 − x2 |
|
|
Сделаем замену переменной x = sin t (|t| ≤ π/2)). Тогда dx = cos t dt и
Z √1 − x2 dx = Z q1 − sin2 t cos t dt = Z |
cos2 t dt = |
2 Z |
|
(1 + cos 2t) dt = |
|||||||||||||||||
|
|
2 Z |
|
|
|
|
|
4 Z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
= 2 t + |
cos 2t dt = 2 t + |
cos 2t d(2t) = 2 t + |
4 sin 2t + C = |
||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
√ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
− x |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
t + |
|
sin t cos t = |
|
|
arcsin x + |
|
x |
1 |
|
+ C, |
|||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
так как t = arcsin x при |t| ≤ π2 .
5.4.3 Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям основан на следующей теореме.
Теорема 5.7. Пусть функции u, v : D → R дифференцируемы на промежутке D. Если функция u0(x) v(x) имеет первообразную на D, то функция u(x) v0(x) также имеет первообразную на D, причем
Z Z
u(x)v0(x) dx = u(x)v(x) − u0(x)v(x) dx. (5.7)
Так как функции u(x) и v(x) дифференцируемы на D, то функция u(x)v(x) также дифференцируема на D и
(u(x) v(x))0 = u0(x) v(x) + u(x) v0(x)
или
u(x) v0(x) = (u(x) v(x))0 − u0(x) v(x).
Z
По теореме 5.3 (u(x) v(x))0 dx = u(x) v(x)+C для всех x D. Поскольку на промежутке D существуют первообразные функций (u(x)v(x))0 и u0(x)v(x), то по теореме 5.4 на D существует первообразная функции u(x) v0(x) и
Z Z Z
u(x) v0(x) dx = (u(x) v(x))0 dx − u0(x) v(x) dx =
148
Z
= u(x) v(x) − u0(x) v(x) dx.
Определение дифференциала функции и свойство инвариантности его формы позволяют записать формулу (5.7) в виде
Z |
Z |
(5.8) |
u dv = u v − |
v du. |
Формулы (5.7),(5.8) называют формулами интегрирования по частям. Заметим, что, применяя метод интегрирования по частям, следует
предварительно представить подынтегральное выражение в виде произведения одной функции u на дифференциал другой функции dv. При этом функция v определяется неоднозначно. Обычно в качестве v(x) выбирается функция, записываемая в наиболее простой форме (не до-
бавляется константа C), поскольку для любого числа c из R |
|
|||||||||||
|
Z |
u dv = u (v + c) − Z (v + c) du = uv + cu − Z |
v du − Z |
c du = |
||||||||
|
= uv + cu − Z |
v du − c(u + c1) = uv − Z |
v du − cc1 = uv − Z |
v du. |
||||||||
Метод интегрирования по частям позволяет, например, вычислять |
||||||||||||
интегралы вида: |
Z |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
||
(A) Z |
P (x) sin x dx, |
P (x) cos x dx, |
P (x) ax dx (a > 0, a 6= 1), k N; |
|||||||||
(B) Z |
P (x) arcsin x dx, |
Z |
P (x) arctg x dx, |
Z |
P (x) ln x dx, k N0; |
ZZ
(C) ex sin x dx, ex cos x dx;
где P (x) — многочлен, а также подобные им интегралы. В случае (A) следует полагать u = P (x), в случае (B) — dv = P (x) dx, в случае (C)
— u = ex или u = sin x (u = cos x). При этом, для интегралов вида (A) требуется применить формулу (5.8) k раз, где k — степень многочлена P (x), для интегралов вида (B) — один раз, а затем использовать другие методы, а для интегралов вида (С) требуется двукратное интегрирование
по частям. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.8. Вычислить интеграл I = Z |
ln2 x dx. |
|
|||||
Положим u = ln2 x, dv = dx. Тогда du = 2 |
|
ln x |
|
и, используя |
|||
|
|
dx, v = x |
|||||
|
x |
||||||
формулу (5.8), получим |
2 x x dx = x ln2 x − 2 Z |
|
|
||||
I = x ln2 x − Z |
ln x dx. |
|
|||||
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
Чтобы вычислить последний интеграл, еще раз применим формулу (5.8), полагая u = ln x, dv = dx. Тогда du = dx/x, v = x и
I = x ln2 x − 2 x ln x − Z xx1 dx! = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C.
149
Пример 5.9. Вычислить интеграл |
Z √ |
|
|
|
|
dx, a 6= 0. |
|
||||||||||||||
x2 + a |
|
||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Положим u = |
x |
|
|
+ a, dv = dx. Тогда du = |
√ |
|
|
, v = x и |
|
||||||||||||
|
|
x2 + a |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + a a |
|
|||
Z √x2 + a dx = x√x2 + a − Z |
= x√x2 + a − Z |
|
|||||||||||||||||||
√ |
|
√ |
− |
|
dx = |
||||||||||||||||
x2 + a |
x2 + a |
√ √ Z √
= x x2 + a + a ln |x + x2 + a| − x2 + a dx.
Получили уравнение относительно исходного интеграла. Перенося его
из правой части уравнения в левую, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z √x2 + a dx = 2 √x2 |
+ a + 2 ln |x + √x2 + a| + C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Аналогично можно доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Z √a2 − x2 dx = |
|
|
√a2 − x2 |
+ |
|
|
arcsin |
|
|
|
+ C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 5.10. Вычислить интеграл Jn = Z |
|
|
dx |
|
, n N \ {1}. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x2 + 1)n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Положим u = |
|
1 |
|
|
|
|
|
, dv = dx. Тогда du = |
|
−2nx dx |
, v = x и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(x2 + 1)n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 1)n+1 |
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
+ 2n Z |
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
+ 2n Z |
x2 + 1 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||
Jn = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
dx = |
||||||||||||||||||||||||||
(x2 + 1)n |
|
(x2 + 1)n+1 |
(x2 + 1)n |
(x2 + 1)n+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= (x2 + 1)n + 2n Z |
(x2 |
+ 1)n − 2n Z |
|
(x2 + 1)n+1 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||
Таким образом, Jn = |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
+ 2nJn − 2nJn+1, откуда |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x2 + 1)n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n+1 = |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
1 |
! |
|
|
n, |
n |
|
|
|
N. |
(5.9) |
||||||||||||||
|
|
|
J |
|
|
|
|
2n(x |
+ 1) |
|
|
|
|
|
− 2n |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученная рекуррентная формула сводит вычисление интеграла с показателем степени n к вычислению интеграла с показателем степени n −1. Так как интеграл J1 является табличным,
J1 = Z |
x2 + 1 = arctg x + C, |
|
dx |
то применяя рекуррентная формулу к вычислению, например, интеграла
J2, получим |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
J2 = |
|
+ |
|
arctg x + C. |
(5.10) |
2(x2 + 1) |
2 |
150