и a = b = +∞. Аналогично показывается, что если b = −∞, то a = −∞.

Учитывая определения 2.9 и 2.12, можно сказать, что бесконечно большая последовательность имеет предел в R и он равен одному из бесконечных символов ∞, −∞, +∞.

Далее, говоря о сходящихся последовательностях, мы будем иметь в виду последовательности, имеющие конечный предел, а выражение "последовательность стремится к . . . " или "имеет предел, равный . . . " будем использовать и тогда, когда будем иметь дело и с бесконечно большими последовательностями.

2.1.7Подпоследовательности и их свойства

Определение 2.13. Если {xn}+n=1∞ — последовательность, {nk}+k=1∞

— возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность {xnk }+k=1∞ называется подпоследовательностью последовательности {xn}.

Из определения следует, что подпоследовательность есть суперпозиция последовательностей {xn} и {nk}.

Замечание. Если {nk} — возрастающая последовательность натуральных чисел, то она является положительной бесконечно большой. Действительно, n1 ≥ 1; n2 > n1 ≥ 1, поэтому n2 ≥ 2; n3 > n2 ≥ 2, поэтому n3 ≥ 3. Методом математической индукции можно показать, что nk ≥ k, k N. Отсюда по лемме 2.5 получаем нужное.

Рассмотрим последовательности {xn}, {2k} и 4, 2, 6, 8, 10, . . . .

Последовательность {2k} — подпоследовательность последовательности {n} (здесь nk = 2k, k N), а последовательность 4,2,8,10,. . . не является подпоследовательностью последовательности {n}, хотя последовательно-

сти {2k}+k=1∞ и 4, 2, 6, 8, 10, . . . состоят из одних и тех же чисел. Последовательность {xn+n0 } является подпоследовательностью последовательно-

сти {xn}, если n0 N. Сама последовательность {xn} может рассматриваться как подпоследовательность самой себя (при этом nk = k, k N).

Теорема 2.16. Если точка a R является пределом последовательности {xn}, то любая подпоследовательность последовательности {xn} имеем предел и он равен a.

Пусть {xnk } — подпоследовательность последовательности {xn}. Зафиксируем некоторую окрестность Ua точки a. По определению 2.12 найдётся номер N = N(Ua) такой, что xn Ua, n > N. Но lim nk = +∞. Поэтому существует номер k0 такой, что nk > N, k > k0. Следовательно, xnk Ua, k > k0 и lim xnk = a.

36

Cледствие. Если две подпоследовательности последовательности {xn} имеют не совпадающие пределы, и хотя бы один из двух пределов — число, то последовательность {xn} предела не имеет.

Если бы последовательность {xn} имела предел, то тот же предел имели бы и все её подпоследовательности, но это противоречит условию теоремы.

Определение 2.14. Последовательность множеств {Xn}+n=1∞ называется системой вложенных множеств, если Xk Xk+1, k N.

Очевидно, что последовательность отрезков {[an, bn]+n=1∞} является системой вложенных отрезков, если выполнены условия:

1)an ≤ bm, n N, m N.

2){an} — неубывающая последовательность.

3){bn} — невозрастающая последовательность.

Лемма 2.6 (o вложенных отрезках). Пусть {[an, bn]+n=1∞} — система вложенных отрезков и последовательность {bn − an} длин отрезков системы является бесконечно малой, тогда существуют единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, и lim an = lim bn = c.

Поскольку {[an, bn]+n=1∞} — система вложенных отрезков, то для числовых множеств A = {an | n N}, B = { bn | n N } выполнены условия аксиомы полноты множества R. В силу этого найдётся число c R такое, что an A, bm B выполнены неравенства an ≤ c ≤ bm. В частности,

an ≤ c ≤ bn, n N,

то есть существует точка c, принадлежащая всем отрезкам системы. Докажем её единственность. Пусть c и c1 — две точки, принадле-

жащие отрезкам [an, bn], n N. Тогда

0 ≤ |c − c1| ≤ bn − an, n N.

(2.6)

По условию леммы bn − an → 0 при n → ∞. Применяя к (2.6) теоремы 2.1, 2.6 получим, что c = c1. Аналогично, поскольку 0 ≤ c − an ≤ bn − an

и 0 ≤ bn − c ≤ bn − an, n N, то lim an = lim bn = c.

Замечание. Доказанную лемму o вложенных отрезках (часто её называют принципом Коши–Кантора) можно взять в качестве аксиомы полноты при аксиоматическом введении множества R действительных чисел.

37

Теорема 2.17 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Пусть последовательность {xn} ограничена, то есть существует такой отрезок [a, b], что a ≤ xn ≤ b для всех n N.

Разделим отрезок [a, b] пополам. По крайней мере, один из получившихся отрезков содержит бесконечное множество элементов последовательности {xn}. Обозначим его через [a1, b1] и зафиксируем произволь-

ный элемент xn1 [a1, b1].

Разделим отрезок [a1, b1] пополам. Снова один из получившихся отрезков содержит бесконечное множество элементов последовательности {xn}. Обозначим его через [a2, b2]. В силу того, что на отрезке [a2, b2] бесконечно много членов последовательности {xn}, фиксируем такой член xn2 , что xn2 [a2, b2] и n2 > n1. Продолжая этот процесс, получим систе-

му вложенных отрезков {[ak, bk]+k=1∞}, длины которых bk − ak = b 2−k a, k N, образуют бесконечно малую последовательность, и такую последова-

тельность {xnk }, что ak ≤ xnk ≤ bk и nk+1 > nk, k N. Поэтому {xnk } является подпоследовательностью последовательности {xn}.

Система вложенных отрезков {[ak, bk]+k=1∞} удовлетворяет условиям леммы 2.6. Поэтому существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам системы, lim ak = lim bk = c, а в силу теоремы 2.6 после-

довательность {xnk } сходится и lim xnk = c.

k→∞

Аналогом теоремы Больцано-Вейерштрасса для неограниченных последовательностей является следующее утверждение.

Лемма 2.7. Из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность: положительную, если последовательность не ограничена сверху, отрицательную, если последовательность не ограничена снизу.

Прежде всего заметим, что если у неограниченной сверху (снизу) последовательности отбросить конечное число первых её элементов, то получится неограниченная сверху (снизу) последовательность.

Пусть последовательность {xn} не ограничена сверху. Тогда найдётся такой элемент xn1 этой последовательности, что xn1 > 1. Учитывая, что последовательность xn1+1, xn1+2, ... не ограничена сверху, в ней найдётся элемент xn2 , удовлетворяющий неравенству xn2 > 2, при этом n2 > n1. Продолжая эти рассуждения далее, получим такую подпоследовательность {xnk } последовательности {xn}, что xnk > k, k N. Очевидно, что {xnk } является положительной бесконечно большой последовательностью.

38

Из теоремы Больцано-Вейерштрасса и леммы 2.7 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.18 (обобщённая теорема Больцано-Вейерштрасса).

Из произвольной последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую предел в R.

2.1.8 Критерий Коши

При изучении вопроса сходимости конкретной последовательности {xn} с помощью определения сходящейся последовательности приходится изучать величину |xn − a|. В этом разделе устанавливается критерий сходимости последовательности, который позволяет сделать заключение о её сходимости по величинам |xn − xm|, n, m N.

Определение 2.15. Последовательность {xn} называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что все элементы последовательности с номерами n > N, m > N удовлетворяют условию |xn − xm| < ε.

Условие фундаментальности последовательности {xn} обычно называют условием Коши.

Определение 2.15 равносильно следующему определению.

Определение 2.16. Последовательность {xn} называется фундаментальной, если

ε > 0 N = N(ε) : n > N p N |xn+p − xn| < ε.

Лемма 2.8. Фундаментальная последовательность ограничена.

Пусть {xn} — фундаментальная последовательность. По определению 2.16 для любого ε > 0 и, в частности, для ε = 1, найдётся номер N такой, что для всех n > N и любого p N |xn+p −xn| < 1. Пусть n0 N, n0 > N. Тогда для любого p N справедливы неравенства

xn0 − 1 < xn0+p < xn0 + 1.

Положим M = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn0−1|, |xn0 −1|, |xn0 +1|}, тогда |xn| ≤ M

для всех n N.

Замечание. Ограниченность числовой последовательности является необходимым, но не достаточным условием фундаментальности. Для подтверждения этого высказывания рассмотрим ограниченную последовательность чисел xn = (−1)n. Так как |xn+1 − xn| = 2, n N, то последовательность {xn} не является фундаментальной.

39