Пусть F (x) — первообразная функции f(x) на промежутке D, то есть

Z

f(x) dx = F (x) + C. Тогда функция λF (x) дифференцируема на D и (λF (x))0 = λF 0(x) = λf(x), x D. Следовательно, λF (x) является первообразной функции λf(x) на D, то есть

Z

λf(x) dx = λF (x) + C1.

Левая часть формулы (5.2) — множество функций вида λF (x) + C1, а правая — множество функций вида λ(F (x) + C) = λF (x) + λC. Если λ 6= 0, то ввиду произвольности постоянных C и C1, эти множества совпадают, то есть имеет место (5.2).

Объединяя вместе эти две теоремы, получаем следующий результат.

Cледствие. Если функции f(x) и g(x) имеют на промежутке D первообразные, а λ, µ R, то функция λ f(x) ± µ g(x) также имеет первообразную на D, причем, если |λ| + |µ| 6= 0, то

Z Z Z

(λ f(x) ± µ g(x)) dx = λ f(x) dx ± µ g(x) dx. (5.3)

Замечание. Свойство, указанное в следствии из теорем 5.4 и 5.5, обычно называют свойством линейности неопределенного интеграла.

5.3Таблица основных неопределенных интегралов

Воснове построения приводимой ниже таблицы неопределенных интегралов лежит теорема 5.3 и таблица производных. Например, для лю-

бого промежутка D в R

ZZ

cos x dx = d(sin x) = sin x + C.

Для проверки правильности результатов интегрирования достаточно воспользоваться определениями 5.1, 5.2 и таблицей производных:

(sin x + C)0 = cos x, x R.

В приводимой ниже таблице речь идет о неопределенных интегралах на любом промежутке D, входящем в естественную область определения

подынтегральной функции.

Z

1)0 dx = C, D R.

Zxα+1

2)xα dx = α + 1 + C (α 6= −1). Формула имеет место на любом про-

межутке из области определения функции xα.

3) Z	x = ln |x| + C, D R \ {0}.
	dx

144