- •Введение в анализ
- •Множества и операции над ними
- •Логическая символика
- •Функция
- •Простейшая классификация функций
- •Композиция функций и обратное отображение
- •Сужение функции
- •Действительные числа
- •Важнейшие подмножества действительных чисел
- •Функции действительной переменной
- •Функция и способы её задания
- •Монотонные функции
- •Свойства числовых множеств
- •Ограниченные числовые множества
- •Неограниченные числовые множества
- •Счетные и несчетные множества
- •Задания для самостоятельной работы
- •Теория пределов
- •Предел последовательности
- •Определение и примеры
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые последовательности
- •Арифметические операции с последовательностями
- •Бесконечно большие последовательности
- •Подпоследовательности и их свойства
- •Критерий Коши
- •Частичные пределы последовательности
- •Верхний и нижний пределы последовательности
- •Задания для самостоятельной работы
- •Предел функции
- •Предельная точка множества
- •Определение предела функции
- •Свойства предела функции
- •Односторонние пределы функции
- •Теорема о пределе монотонной функции
- •Число e
- •Критерий Коши для функции
- •Сравнение функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Определение непрерывной функции
- •Точки разрыва функции, их классификация
- •Локальные свойства непрерывной функции
- •Глобальные свойства непрерывных функций
- •Показательная, логарифмическая и степенная функции
- •Некоторые замечательные пределы
- •Равномерная непрерывность функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Дифференцируемые функции
- •Понятие дифференцируемой в точке функции
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •Производная и дифференциал функции на множестве
- •Основные правила вычисления производной
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Свойства функций, дифференцируемых на промежутках
- •Дифференцирование параметрически заданных функций
- •Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей
- •Формула Тейлора
- •Исследование поведения функции на множестве
- •Экстремум функции
- •Направление выпуклости графика функции
- •Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Построение графика функции.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Неопределенный интеграл
- •Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные методы интегрирования
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки (замены переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Классы интегрируемых элементарных функций
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Задания для самостоятельной работы
Замечание 1. Приведенные примеры показывают, что в условиях теоремы Кантора нельзя заменить отрезок на промежуток другого вида.
Замечание 2. Из доказательства теоремы Кантора следует, что она остаётся в силе на ограниченном множестве X, содержащем все свои предельные точки.
3.8Задания для самостоятельной работы
1.Пусть функция f является локально ограниченной в точке a. Может ли функция f быть непрерывной в точке a? Может ли она иметь разрыв в точке a и какого рода?
2.Пусть функция f непрерывна в точке a и в любой окрестности ее принимает как положительные, так и отрицательные значения. Доказать, что f(a) = 0.
3.Пусть f(a) = 2 и в каждой окрестности точки a принимает значения, меньшие 1. Доказать, что функция f терпит разрыв в точке a.
4.Доказать, что функция
x, если x Q
f(x) = −x, если x R \ Q
непрерывна только в точке a = 0.
5. Доказать, что функция
x, если x Q
f(x) = x2, если x R \ Q
непрерывна только в двух точках a = 0 и a = 1.
6.Пусть функция f определена и не ограничена на отрезке [a, b]. Доказать, что на этом отрезке функция f имеет хотя бы одну точку разрыва 2-го рода.
7.Пусть функция f : X → R, a X и для любого εn = 1/2n, n N, найдётся число δn > 0 такое, что,
x X : |x − a| < δn |f(a) − f(x)| < εn.
Доказать, что функция f непрерывна в точке a.
8.Пусть функция f : X → R непрерывна в точке a. Доказать, что функция f(2x) непрерывна в точке a/2.
9.Пусть функция f является четной (нечетной) и непрерывной в точке a. Доказать, что функция f непрерывна в точке −a.
90
10. Пусть функция f : X → R является T –периодической и непрерывной в точке a. Доказать, что функция f непрерывна в любой точке a+kT ,
k Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Доказать, что функция Римана |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0, |
если x R \ Q, x = 0, |
|
|
|
|
|
|||
f(x) = |
|
1 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— несократимая дробь, m |
|
Z |
|
N |
|
|
|
|
|
n |
|
||||||
|
n |
|
, n |
|
, |
||||||
|
|
, |
если x = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна в нуле и в иррациональных точках, но не является непрерывной в остальных точках. Указать характер точек разрыва.
12. Пусть функция f ограничена на (a, b) и mf (x) = inf f(t). Доказать,
t (a,x)
что функция mf (x) непрерывна слева в любой точке x (a, b).
13.Пусть функции f и ϕ определены на множестве X R и непрерывны в точке a X. Доказать, что в точке a непрерывны функции
m(x) = inf{f(x), ϕ(x)}, M(x) = sup{f(x), ϕ(x)}.
14.Пусть в точке a функция f непрерывна, а функция ϕ терпит разрыв. Обязательно ли функции f + ϕ, f · ϕ имеют разрыв в точке a?
15.Верно ли утверждение: если функция f непрерывна в некоторой окрестности точки a, то она ограничена в ней?
16.Доказать, что если функция f имеет в двусторонней предельной точке a разрыв первого рода, то она локально ограничена в этой точке.
17.Пусть функция f : X → R непрерывна в точке a X. Доказать, что
в точке a непрерывны функции |
|
|
|
|
|||
f+(x) = |
f(x), |
если f(x) ≥ 0 |
, f−(x) = |
|
0, |
если f(x) ≥ 0 . |
|
|
|
0, |
если f(x) < 0 |
|
f(x), |
если f(x) < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.Пусть функция f : X → R непрерывна в точке a и f(a) 6= 0. До-
казать, что существует число c > 0 и окрестность Ua такие, что
|f(x)| > c, x X T Ua.
19.Пусть функция f : (a, b) → R, непрерывна и имеет конечные односторонние пределы при x → a и x → b. Доказать, что функция f ограничена на интервале (a, b).
20.Пусть функция f непрерывна на (a, b) и в точках x0, x00 (a, b) при-
нимает не равные значения. Доказать, что на (a, b) найдется точка γ такая, что f(γ) = 12(f(x0) + f(x00)).
91
21.Пусть функция f равномерно непрерывна на промежутке [0, 1). Доказать, что существует конечный предел lim f(x).
x→1−0
22.Показать, что уравнение x 2x = 1 имеет по меньшей мере один корень, не превосходящий 1.
23. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и положительна на нем. Доказать, что существует такое число c > 0, что f(x) ≥ c, x
[a, b].
24.Пусть функция f равномерно непрерывна на множестве X и X1 X. Доказать, что f равномерно непрерывна на множестве X1.
25.Пусть функция f равномерно непрерывна на множествах X и X1. Доказать, что f равномерно непрерывна на множестве X S X1.
26.Пусть функции f и ϕ равномерно непрерывны на множестве X. Доказать, что функция αf + βϕ (α, β R) является равномерно непрерывной на X.
27.Пусть функция f равномерно непрерывна на множестве X. Доказать, что функция y = |f(x)| равномерно непрерывна на X. Если множество X симметрично относительно начала координат, то равномерно непрерывной на X будет и функция y = f(|x|).
28.Пусть функция f непрерывна на [0, 1] и f(0) = f(1). Доказать, что функция v(x) = f(x − [x]) является 1-периодичной и равномерно непрерывной на R.
29.Пусть функция f : R → R является T -периодической и непрерывной на R. Доказать, что функция f(x) равномерно непрерывна на R.
30.Доказать, что функция f(x) = arctg x равномерно непрерывна на R.
31.Пусть для функции f : X → R существуют такие числа k > 0,
α (0, 1], что |f(x0) − f(x00)| ≤ k|x0 − x00|α. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на множестве X.
32. Пусть функция f непрерывна на |
[ |
a, |
+∞) |
и lim f(x) = A |
|
R |
. |
|
|
x→+∞ |
|
Доказать, что функция f равномерно непрерывна на [a, +∞).
33.Пусть функция f равномерно непрерывна на конечном интервале (a, b). Доказать, что функция f ограничена на (a, b).
92