Теорема 3.16. Степенная функция f(x) = xα непрерывна на интервале (0, +∞).

Утверждение следует из теоремы 3.4 о непрерывности суперпозиции функций, так как f(x) = eα ln x.

При α > 0 полагают 0α = 0 и доопределяют степенную функцию в точке x = 0, то есть при α > 0 считают, что степенная функция определена на множестве [0, +∞). При этом

lim xα = lim eα ln x = 0 = 0α.

x→+0 x→+0

Следовательно, функция xα, α > 0, непрерывна на множестве [0, +∞).

Теорема 3.17. Пусть функции u(x) и v(x) определены и непрерывны на множестве X. Если u(x) > 0 для всех x X, то функция (u(x))v(x) непрерывна на X.

Утверждение справедливо, так как (u(x))v(x) = ev(x) ln u(x), x X.

3.6 Некоторые замечательные пределы
Лемма 3.5.	Если	a > , a	lim	loga(1 + x)				= log		e.
		0	6= 1, то x→0		x				a
Пусть f : X = (−1, 0) (0, +∞) → R,						loga(1 + x)
					f(x) =						, x X.
								x

Поскольку f(x) = loga(1 + x)1/x, x X, (1 + x)1/x → e при x → 0 и

функция loga x непрерывна в точке x = e, то

1

lim loga(1 + x) = lim loga (1 + x)x = loga e.

x→0 x x→0

Cледствие 1. Если a > 0, a 6= 1, то loga(1 + x) x loga e при x → 0.

Cледствие 2. lim ln(1 + x) = 1, ln(1 + x) x при x → 0.

x→0 x

Лемма 3.6. Если a > 0, a 6= 1, то lim ax − 1 = ln a.

x→0 x

Положим ax − 1 = t, x R. Тогда x = loga(1 + t) — непрерывная на множестве (−1, +∞) функция. Поэтому при t → 0, x(t) → 0 и

lim	ax − 1		= lim	t		=		1		= ln a.
				loga(1 + t)				loga e
x→0	x		t→0
Cледствие. Если a > 0, a 6= 1, то ax −							1 x ln a при x → 0.
В частности, ex − 1 x при x → 0.

86

Лемма 3.7. Если µ R\{0}, то lim (1 + x)µ − 1 = µ.

x→0 x

Утверждение верно, так как (1 + x)µ = eµ ln(1+x). Cледствие. Если µ R\{0}, то (1 + x)µ − 1 µx при x → 0.

3.7Равномерная непрерывность функции

Определение 3.15. Функция f : X → R называется равномерно непрерывной на множестве X, если для любого числа ε > 0 найдется такое δ = δ(ε) > 0, что для любых точек x0 и x00 из X таких, что |x0 − x00| < δ, выполняется неравенство |f(x0) − f(x00)| < ε.

С помощью символики это определение записывается так: функция f : X → R равномерно непрерывна на X

( ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : x0, x00 X, |x0 − x00| < δ |f(x0) − f(x00)| < ε.)

Очевидно, что если функция f равномерно непрерывна на множестве X, то она непрерывна на нем, то есть непрерывность — необходимое условие равномерной непрерывности. Однако непрерывность функции на множестве, вообще говоря, не влечет ее равномерной непрерывности на этом множестве, поскольку

f C(X) x0 X, ε > 0 δ = δ(x0, ε) > 0 :

|f(x) − f(x0)| < ε, x X : |x − x0| < δ.

В этом определении число δ зависит не только от ε, но и от точки x0 X. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3.12. Покажем, что функция f(x) = x1 равномерно непрерывна на множестве [1, +∞), но не является равномерно непрерывной на

множестве (0, 1].

). Для любых двух точек x0 и x00 из [1, +

)

1) Пусть X = [1, +

∞

∞

f(x0)

f(x00)

=

1

1

=

|x0 − x00|

x0

x00

.

|

−

|x0

− x00 |

x0x00

−

|

|

≤ |

Зафиксируем ε > 0 и положим δ = ε. Тогда

x0, x00 [1, +∞) |x0 − x00| < δ |f(x0) − f(x00)| ≤ |x0 − x00| < δ = ε.

Поэтому функция f

равномерно непрерывна на множестве [1, +∞).

87

Учитывая, что f(xn) = sin

2) Теперь покажем, что функция f(x) = x1 не является равномерно непрерывной на промежутке (0, 1], хотя и непрерывна на нём. В связи с этим запишем отрицание свойства равномерной непрерывности функции:

функция f : X → R не является равномерно непрерывной на Xε > 0 : δ > 0 x0δ, x00δ X : |x0δ − x00δ | < δ, но |f(x0δ) − f(x00δ )| ≥ ε.

Зафиксируем произвольно δ

(0, 1). Пусть x0 — произвольная точка из

x0

δ

интервала (0, δ)

(0, 1), а x00

=

δ

. Тогда x0

, x00

(0, 1],

2

δ

δ

δ

x0

x00

x0

δ

x0

x00

1

1

1

1

δ

<

< δ, но

f

f

>

> .

|

|

−

= |xδ0 − xδ00 |

= xδ0

δ −

δ | =

2

2

(

δ)

(

δ )|

δ

1

Следовательно, для числа ε = 1 и для любого δ > 0 xδ0 , xδ00 (0, 1] :

x0

x00

< δ, но f

x0

f x00

1

1

>

ε,

|

−

(

− x00

|

1 =

δ

δ |

|

δ) −

(

δ )| = |x0

δ

δ

то есть f не является равномерно непрерывной на промежутке (0, 1].

Пример 3.13. Покажем, что функция f(x) = sin x1 не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1), хотя является ограниченной и непрерывной на нем.

Для доказательства рассмотрим последовательность точек

	xn =			1	, n N.
		π		+ nπ
			2

Очевидно, что xn (0, 1), n N, и xn → 0 при n → +∞. Поэтому

δ (0, 1), n0 N : |xn| < δ, n > n0.

!

π2 + nπ = (−1)n, получим, что

|f(xn) − f(xn−1)| = 2, n > N.

Следовательно, ε0 = 2 : δ (0, 1), x0δ = xn, x00δ = xn+1, n > n0 :

|x0δ − x00δ | = |xn − xn+1| < δ, но |f(x0δ) − f(x00δ )| ≥ ε0.

Это означает, что рассматриваемая функция не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1).

Пример 3.14. Докажем, что функция f(x) = x2 не является равномерно непрерывной на множестве [1, +∞).

88

√

Рассмотрим последовательность точек xn = n, n N. Очевидно, что xn [1, +∞), и

√

√

1

1

, n N.

|xn − xn+1| = | n − n + 1| =

√

+ √

≤

√

n + 1

n

n

В то же время, |f(xn) − f(xn+1)| = |n − (n + 1)| = 1.

Так как

1

→ 0 при n → +∞, то

√

n

δ > 0

n0 = max (1, "

1

#) :

1

< δ,

n > n0,

2

δ

√n

значит, |xn − xn+1| <

1

< δ для n > n0. Пусть ε = 1, δ — произвольное

√

n

положительное число. Положим x0

√

, x00 = √

, n > n0. Тогда

=

n

n + 1

δ

δ

δ > 0 x0δ, x00δ [1, +∞) : |x0δ − x00δ | < δ, |f(x0δ) − f(x00δ )| = 1 = ε.

Следовательно, функция f(x) = x2 не является равномерно непрерывной на [1, +∞).

Теорема 3.18 (Кантора). Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нем.

Предположим, что f C([a, b]), но не является равномерно непре-

рывной на отрезке [a, b]. Тогда cуществует ε0 > 0	такое, что для любого
δ > 0 найдутся точки xδ0 , xδ00 [a, b], |xδ0 −xδ00 | < δ,	но |f(xδ0 )−f(xδ00 )| ≥ ε0.

Возьмем, например, последовательность чисел δn = n1 , n N. Тогда найдутся последовательности {x0n}, {x00n} [a, b] такие, что

|x0n − x00n| < n1 , |f(x0n) − f(x00n)| ≥ ε0.

Поскольку последовательность {x0n} ограничена, по лемме Больцано–

Вейерштрасса она имеет сходящуюся подпоследовательность {xn0				k }. Пусть
lim x0	= γ. Очевидно, что γ		[a, b]. Далее, в силу выбора последова-
k→∞ nk

тельностей,

|x0nk − x00nk | < n1 , k N.

k

Поскольку lim nk = +∞, то подпоследовательность {x00nk } сходится к той

же точке γ. Далее, f(x0nk ) → f(γ), f(x00nk ) → f(γ) при k → ∞, поэтому разность f(x0nk ) − f(x00nk ) обязана быть бесконечно малой. С другой

стороны, в силу выбора элементов x0n, x00n, |f(x0nk ) − f(x00nk )| ≥ ε0, k N. Следовательно, число 0 не является пределом последовательности

{f(x0nk ) − f(x00nk )}. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

89