Глава 4

Дифференцируемые функции

4.1 Понятие дифференцируемой в точке функции

Рассмотрим функцию f : X → R. Пусть a — некоторая фиксированная точка множества X, а x — такое не равное нулю число, что a + x X. Число x обычно называют приращением аргумента, а число f(a + x) − f(a) — приращением функции f в точке a, соответствующим приращению x аргумента, и обозначают fa(Δx) или, если из контекста ясно в какой точке проводится рассмотрение, f.

Известно, что если a X и является предельной точкой множества X, то функция f, определенная на X, непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда функция f имеет представление

f(x) = f(a) + o(1),	x → a,
то есть
fa(Δx) = o(Δx0),	x → 0.

Выделим класс функций, для которых можно уточнить характеристику приращений fa(Δx) функции f, соответствующих приращению x аргумента.

Определение 4.1. Пусть функция f определена на множестве X, a X и a — предельная точка множества X . Функция f называется дифференцируемой в точке a по множеству X, если существует такое число A, чтo

fa(Δx) = A x + o(Δx), a + x X, x → 0.

(4.1)

Иными словами, функция f дифференцируема в точке a, если существует линейная относительно x функция A x, которая отличается от приращения fa(Δx) функции в точке a, соответствующего приращению аргумента x, на бесконечно малую более высокого порядка малости по сравнению с x, когда x → 0, при этом x может принимать только такие значения, чтобы a + x X.

93

Учитывая представление функции вида o(Δx) при x → 0, заметим, что дифференцируемая в точке a по множеству X функция имеет вид

f(a + x) = f(a) + A x + α(Δx) x,

(4.2)

где a + x X и α(Δx) → o при x → o, или

f(x) = f(a) + A(x − a) + α(x − a) (x − a),

где x X и α(x − a) → o при x → a.

Определение 4.2. Пусть функция f дифференцируема в точке a по множеству X. Линейная функция A x, x R, из представления (4.2) называется дифференциалом функции f в точке a и обозначается dfa(Δx).

Из определения 4.1 следует

Лемма 4.1. Для того чтобы функция f была дифференцируемой в точке a по множеству X, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел

lim

f(x) − f(a)

,

(4.3)

x→a x − a

равный числу A из (4.1).

Cледствие. Если функция f дифференцируема в точке a по множеству X, то представление (4.2) единственно и дифференциал функции f в точке a определяется однозначно. (Утверждение верно в силу единственности предела функции в точке).

Определение 4.3. Пусть функция f определена на множестве X, a X и a — предельная точка множества X. Если существует в R предел (4.3), то его называют производной функции f в точке a

по множеству X и обозначают f0(a) (по Лагранжу) или dxdf (a) (по Лейбницу).

С учетом определения 4.3 лемма 4.1 принимает вид:

Лемма 4.2. Для того чтобы функция f была дифференцируемой в точке a по множеству X, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в точке a по множеству X.

Таким образом, если функция f дифференцируема в точке a по множеству X, то при a + x X и x → 0

fa(Δx) = f0(a)Δx + o(Δx), dfa(Δx) = f0(a)Δx.

94

Пример 4.1. Пусть f : R → R, f(x) = c0, x R. Доказать, что функция f дифференцируема в каждой точке a R по множеству R и f0(x) = 0, x R.

Пусть a — произвольная точка из R. Тогда

					fa(Δx) = 0, x R.
	Поэтому	fa(Δx)		= 0,	lim	fa(Δx)		= 0, а значит f0	(a) = 0 и функция
		x				x
					x→0

f дифференцируема в точке a по множеству R. Поскольку a — произвольная точка из R, то получили нужное.

Пример 4.2. Пусть h : R → R, h(x) = x, x R. Если a — некоторая

точка из R, то
	ha(Δx)		=	(a + x) − a	= 1,		x = 0.
	x			x
							6

Отсюда следует, что производная функции h в точке a по множеству R существует и равна 1. Таким образом, функция h дифференцируема в любой точке a R по множеству R, при этом dha(Δx) = 1 · x.

Как видим, для функции h(x) = x приращение функции в точке равно приращению переменной x, а поэтому и дифференциал этой функции в точке так же равен x, то есть, сокращая обозначение, можно написать, что dx = x. Поэтому для произвольной дифференцируемой в точке a функции f равенство dfa(Δx) = f0(a)Δx можно переписать в виде

	dfa(dx) = f0(a) dx или f0(a) =	dfa(dx)	,
		dx

что напоминает символику Лейбница производной функции f в точке a. Чтобы объяснить, как на дифференцируемость и значение производ-

ной влияет множество X, рассмотрим такой пример.							x, x X0
Пример 4.3. Пусть X0 =	x =	1	: n		N , f(x) =			.
(		n			)		0, x R \ X0
Тогда, как легко следует из определений и двух						предыдущих примеров,

функция f

• дифференцируема в точке a = 0 по множеству X0, при этом f0(0) = 1,

• дифференцируема в точке a = 0 по множеству R \ X0, при этом f0(0) = 0,

•не дифференцируема в точке a = 0 по множеству R.

Вдальнейшем мы не будем явно указывать, по какому множеству X выполняется дифференцирование, поскольку это будет ясно из контекста определения функции, но забывать о множестве X и его роли в определении дифференцируемости функции не следует.

95

Теорема 4.1 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция f дифференцируема в точке a, то она непрерывна в ней.

Доказательство очевидно, поскольку представление (4.2) влечет су-

ществование lim f(x) = f(a).

x→a

Замечание. Непрерывность функции в точке является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции в точке. Для примера рассмотрим функцию f(x) = |x| в точке a = 0. Она непрерывна в точке a = 0, но

	fa(Δx)		=	|	x|	= sgn		x,
	x				x
поэтому не существует предел отношения							fa(Δx)		при x → 0, то есть
								x

функция f не дифференцируема в точке a = 0.

В полной аналогии с понятием левого и правого предела функции в данной точке вводятся понятия левой и правой производной функции f в точке.

Определение 4.4. Пусть f определена на множестве X, a X, a — правосторонняя (левосторонняя) предельная точка X. Если в R существует

lim	f(a +	x) − f(a)	соответственно,	lim	f(a +	x)	− f(a)		,
x→+0		x		x→−0		x

то его называют правой (левой) производной функции f в точке a и обозначают f+0 (a) (соответственно, f−0 (a)).

Правая и левая производные функции f в точке a называются односторонними производными. Из сопоставления определений 4.3 и 4.4 и из теоремы о связи односторонних пределов функции с пределом вытекают следующие утверждения:

Теорема 4.2. Пусть функция f определена на множестве X и a X. Если a — односторонняя предельная точка множества X, то понятие производной функции f в точке a совпадает с односторонней производной функции f. Если же a — двусторонняя предельная точка X, то функция f имеет в точке a производную тогда и только тогда, когда существуют обе односторонние производные функции f в этой точке, равные между собой. В случае выполнения последних условий f0(a) = f+0 (a) = f−0 (a).

Возвращаясь к f(x) = |x|, заметим, что f+0 (0) = 1, f−0 (0) = −1.

96