- •Введение в анализ
- •Множества и операции над ними
- •Логическая символика
- •Функция
- •Простейшая классификация функций
- •Композиция функций и обратное отображение
- •Сужение функции
- •Действительные числа
- •Важнейшие подмножества действительных чисел
- •Функции действительной переменной
- •Функция и способы её задания
- •Монотонные функции
- •Свойства числовых множеств
- •Ограниченные числовые множества
- •Неограниченные числовые множества
- •Счетные и несчетные множества
- •Задания для самостоятельной работы
- •Теория пределов
- •Предел последовательности
- •Определение и примеры
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые последовательности
- •Арифметические операции с последовательностями
- •Бесконечно большие последовательности
- •Подпоследовательности и их свойства
- •Критерий Коши
- •Частичные пределы последовательности
- •Верхний и нижний пределы последовательности
- •Задания для самостоятельной работы
- •Предел функции
- •Предельная точка множества
- •Определение предела функции
- •Свойства предела функции
- •Односторонние пределы функции
- •Теорема о пределе монотонной функции
- •Число e
- •Критерий Коши для функции
- •Сравнение функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Определение непрерывной функции
- •Точки разрыва функции, их классификация
- •Локальные свойства непрерывной функции
- •Глобальные свойства непрерывных функций
- •Показательная, логарифмическая и степенная функции
- •Некоторые замечательные пределы
- •Равномерная непрерывность функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Дифференцируемые функции
- •Понятие дифференцируемой в точке функции
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •Производная и дифференциал функции на множестве
- •Основные правила вычисления производной
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Свойства функций, дифференцируемых на промежутках
- •Дифференцирование параметрически заданных функций
- •Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей
- •Формула Тейлора
- •Исследование поведения функции на множестве
- •Экстремум функции
- •Направление выпуклости графика функции
- •Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Построение графика функции.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Неопределенный интеграл
- •Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные методы интегрирования
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки (замены переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Классы интегрируемых элементарных функций
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Задания для самостоятельной работы
Во вторую строку поместим все несократимые рациональные числа со знаменателем 2 в порядке не убывания их абсолютных величин, причем вслед за каждым положительным числом следует ему противоположное:
1/2, −1/2, 3/2, −3/2, 5/2, −5/2, . . . .
Аналогично, в n-ую строку выпишем все несократимые рациональные числа со знаменателем n, упорядоченные по абсолютной величине и вслед за каждым положительным числом вписано ему противоположное. В результате получим таблицу всех рациональных чисел, состоящую из счетного множества строк, каждая из которых содержит счетное множество элементов. При этом среди выписанных элементов нет одинаковых. По теореме 8 множество Q счетно.
Определение 1.34. Конечные и счетные множества называют не более чем счетными.
1.7Задания для самостоятельной работы
1.Пусть f : X → Y, ϕ : Y → Z — биективные функции. Доказать, что ϕ ◦ f : X → Z — биективная функция и
(ϕ ◦ f)−1(z) = (f−1 ◦ ϕ−1)(z), z Z.
( )
2.Доказать, что множество рациональных чисел X = n +n 1 , n N
имеет минимальный элемент 1/2, не имеет максимального элемента, но sup X = 1.
3.Пусть X и Y — непустые числовые множества, причем X ограничено сверху, Y X. Доказать, что Y ограничено сверху и sup Y 6 sup X.
4.Пусть X R, X 6= , X ограничено сверху. Доказать, что множество −X = {−x : x X} ограничено снизу и inf (−X) = − sup X.
5.Пусть X R, X 6= , X ограничено снизу. Доказать, что множество −X = {−x : x X} ограничено сверху и sup(−X) = − inf X.
6.Пусть X и Y непустые ограниченные сверху числовые множества. Доказать, что множество Z = {z = x+ y : x X, y Y } ограничено сверху и sup Z = sup X + sup Y .
7.Пусть множество X ограничено сверху, X1 R, и
x0 X1 x X : x0 6 x.
Доказать, что множество X1 ограничено сверху.
22
8. Числовые множества X и Y ограничены сверху. Доказать, что множество Z = X S Y ограничено сверху и sup Z = max{sup X, sup Y }.
9.Привести пример такого множества X R, которое не имеет максимального элемента, а множество Y = {y = |x| , x X} имеет максимальный элемент.
10.Доказать, что если n N, то множество X = {p N : n < p} имеет минимальный элемент, равный n + 1.
11.Пусть X и Y — непустые, ограниченные сверху подмножества положительных чисел, а Z = {z = xy : x X, y Y }. Доказать, что множество Z ограничено сверху и sup Z = sup X · sup Y .
12.Найти sup X, inf X, если
(a) X = (1 + |
n |
|
cos |
nπ |
: n |
|
N) , (b) X = |
( |
n − 1 |
cos |
nπ |
: n |
|
N) . |
n + 1 |
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
n + 1 3 |
|
|
13.Доказать, что множество X = Q ∩ (0, 1) не имеет максимального и минимального элементов.
23