MatAnal2

Программа курса	XXI

ТРЕТИЙ СЕМЕСТР

Модуль I

Тема 15. Числовые ряды.

1.Сходящиеся и расходящиеся ряды. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости.

2.Элементарные свойства сходящихся рядов.

3.Ряды с неотрицательными слагаемыми. Гармонический ряд и обобщенный гармонический ряд.

4.Признак сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак.

5.Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница.

6.Признаки Абеля и Дирихле.

7.Абсолютная и условная сходимость. Перестановка ряда, теорема Римана.

8.Произведение рядов, теорема Коши.

9.Бесконечные произведения и их свойства.

Тема 16. Функциональные последовательности и ряды.

1.Равномерная сходимость последовательностей и рядов. Критерий Коши.

2.Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

3.Признаки Абеля и Дирихле.

4.Равномерная сходимость и непрерывность.

5.Равномерная сходимость и интегрирование.

6.Равномерная сходимость и дифференцирование.

7.Перестановка предельных переходов.

Тема 17. Степенные ряды.

1.Первая теорема Абеля. Понятие радиуса сходимости.

2.Вычисление радиуса сходимости. Теорема Коши – Адамара.

3.Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда. Вторая теорема Абеля.

XXII	Вводная часть

4.Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

5.Коэффициенты Тейлора, ряд Тейлора.

6.Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

7.Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

Модуль II

Тема 18. Несобственные интегралы.

1.Интегралы по неограниченному промежутку.

2.Интегралы от неограниченных функций.

3.Элементарные свойства несобственных интегралов.

4.Признаки сходимости несобственных интегралов. Критерий Коши.

5.Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

6.Признаки Абеля и Дирихле.

Тема 19. Интегралы, зависящие от параметра.

1.Собственные интегралы, зависящие от параметра, и их свойства (непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость).

2.Собственные интегралы, зависящие от параметра, у которых пределы интегрирования также зависят от параметра. Свойства.

3.Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость. Критерий Коши.

4.Признаки равномерной сходимости (Вейерштрасса, Абеля и Дири-

хле).

5.Связь между несобственными интегралами, зависящими от параметра, и функциональными рядами.

6.Основные свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра (непрерывность, дифференцируемость и интегрирование по параметру, перестановка порядка интегрирования).

7.Интегралы Эйлера – Пуассона и их свойства.

Программа курса	XXIII

Модуль III

Тема 20. Ряды Фурье.

1.Ортонормированные системы в евклидовых пространствах. Ряды Фурье по ортонормированным системам.

2.Минимальное свойство частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя.

3.Тригонометрические ряды. Теорема Римана о тригонометрических коэффициентах Фурье.

4.Замкнутые и полные ортонормированные системы. Равенство Парсеваля.

5.Тригонометрические ряды Фурье. Ядро Дирихле. Принцип локализации.

6.Условия сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Признак Дини. Следствия.

7.Суммируемость ряда Фурье методом Чезаро. Теорема Фейера.

8.Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими полиномами.

9.Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.

Тема 21. Интеграл Римана – Стилтьеса.

1.Интеграл Римана – Стилтьеса относительно монотонной функции

иего элементарные свойства. Примеры.

2.Функции ограниченной вариации и интеграл Римана – Стилтьеса.

ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР

Модуль I

Тема 22. Кратные интегралы.

1.Мера фигур и ее свойства.

2.Внешняя и внутренняя меры Жордана. Измеримые по Жордану множества, примеры.

3.Критерий измеримости по Жордану.

XXIV	Вводная часть

4.Свойства меры Жордана.

5.Определение интеграла Римана.

6.Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости по Риману

втерминах сумм Дарбу.

7.Критерий интегрируемости по Риману в терминах верхнего и нижнего интегралов и в терминах колебаний.

8.Интегрируемость по Риману непрерывной на компактном множестве функции и функции, разрывной на множестве жордановой меры нуль.

9.Критерий Лебега интегрируемости по Риману ограниченной функции (без доказательства).

10.Элементарные свойства интеграла Римана.

11.Сведение кратного интеграла Римана к повторному.

12.C1-диффеоморфизм и его свойства. Якобиан, его свойства и гео-

метрический смысл.

13.Замена переменной в кратном интеграле Римана.

Модуль II

Тема 23. Криволинейные интегралы.

1.Непрерывные, гладкие, простые кривые. Простой контур. Ориентированные кривые. Спрямляемые кривые.

2.Определение криволинейного интеграла первого рода и его элементарные свойства. Физический смысл. Примеры.

3.Векторное поле. Определение криволинейного интеграла второго рода и его элементарные свойства, примеры.

4.Формула Грина о связи криволинейных интегралов с двойными.

5.Потенциальные поля. Два критерия потенциальности.

Тема 24. Поверхностные интегралы.

1. Поверхности в трехмерном пространстве. Непрерывные, простые и

почти простые поверхности. Ориентируемые поверхности.

Программа курса	XXV

2.Площадь поверхности и ее свойства. Формулы для вычисления площади поверхности.

3.Поверхностные интегралы первого рода, их физическая интерпретация, примеры.

4.Поток вектор-функции через ориентированную поверхность и поверхностный интеграл второго рода, примеры.

Модуль III

Тема 25. Элементы теории поля.

1.Скалярные и векторные поля в трехмерном пространстве.

2.Дивергенция и вихрь векторного поля.

3.Формула Остроградского – Гаусса.

4.Формула Стокса.

5.Потенциалы в трехмерном пространстве.

6.Соленоидальные поля.

XXVI	Третий семестр

РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3-х т. М.: Наука, 1970.

2.Ландау Э. Основы анализа. М.: ИЛ, 1947.

3.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: в 2-х ч. М.: Наука, 1982.

4.Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. М.: Наука, 1988.

5.Никольский С. М. Курс математического анализа: в 2-х т. М.: Наука,

1990.

6.Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа: в 2-х т. М.: Наука, 1964.

7.Кудрявцев Л. Д. Математический анализ: в 2-х т. М.: Высшая школа, 1973.

8.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1977.

9.Кудрявцев Л. Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука, 1984.

10.Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Математический анализ в задачах и упражнениях. М.: Изд-во МГУ, 1991.

11.Ляшко И. И. и др. Математический анализ в примерах и задачах. Киев: Вища школа, 1974.

15. Числовые ряды

15.1Определения и простейшие свойства

Пусть задана числовая последовательность {an}∞n=1. Символ a1 +a2 +· · ·+

a + . . . , или, что то же самое,

∞

a , называется числовым рядом, а

n

n=1

n

слагаемыми или членами ряда.

сами числа an называются

P

n

Обозначим

S1 = a1, S2 = a1 + a2, . . . , Sn = a1 + a2

+ · · · + an =

P

k=1 ak (n = 1, 2, . . . ).

∞

∞

Числа Sn называются частичными суммами ряда Pn=1 an.

P

limn→∞ Sn

n

Определение.

Если существует

= S, то ряд

n=1 an

называется сходящимся, а число S называется суммой ряда

∞

a . Ес-

=1

n

ли же не существует конечного предела

последовательности частичных

P

P

сумм S

n

, то ряд

∞

a

n

называется расходящимся. Если ряд

∞

a

n=1

n=1

n

S, то это обозначают так:

сходится к суммеP

∞

X

S = a1 + a2 + · · · + an + · · · = an.

n=1

Таким образом, с каждым рядом

∞

a

n

мы связываем последова-

n=1

n

тельность его частичных сумм Sn =P k=1 ak, причем сходимость ря-

да мы определяем как сходимость

последовательности частичных сумм

P

этого ряда (понятие сходимости последовательности изучалось нами ранее). Обратно, если задана последовательность {Sn}∞n=1, то легко соста-

вить ряд, для которого эта последовательность будет последовательностью частичных сумм. Действительно, достаточно положить a1 = S1, a2 = S2 − S1, . . . , an = Sn − Sn−1 (n = 2, 3, . . . ). Ясно, что в этом случае будем иметь a1 + · · · + an = Sn, т. е. заданные числа Sn являются

P∞

частичными суммами построенного нами ряда n=1 an.

Пример 1 (геометрическая прогрессия). Геометрической прогрессией называется такая последовательность 1, q, q2, . . . , qn−1, . . . , т. е.

1

2									Третий семестр
©	qn−1		n∞=1, где q – фиксированное число. Ряд 1 + q + q2 + · · ·+ qn−1 + · · · ≡
		n=1	ª	−	1 называется суммой геометрической прогрессии. В этом случае
		∞	qn
слагаемые ряда равны							n	1
						an = q		− . Выведем формулу для суммы первых
P

n слагаемых геометрической прогрессии. Имеем

Sn = 1 + q + q2 + · · · + qn−2 + qn−1, qSn = q + q2 + q3 + · · · + qn−1 + qn.

Если q 6= 1, то вычитая второе равенство из первого, получим Sn = 11−−qqn . Если же q = 1, то, очевидно, Sn = 1 + 1 + · · · + 1 = n и Sn → ∞ (n → ∞), так что при q = 1 данный ряд расходится. Пусть q 6= 1. Тогда вопрос о

сходимости ряда P∞ qn−1 сводится к вопросу о сходимости последова-

n=1

тельности Sn = 11−−qqn . Ясно, что возможны такие случаи.

a) |q| < 1. При этом Sn → 1−1 q (n → ∞), т. е. наш ряд сходится и его сумма равна S = 1−1 q .

b) |q| > 1. Тогда последовательность Sn не имеет предела, т. е. ряд

расходится.

c) |q| = 1. Случай q = 1 уже рассмотрен. Если же q = −1, то, очевидно,

S2k = 0 и S2k+1 = 1, так что последовательность частичных сумм {Sn}

не имеет предела, т. е. ряд расходится. Окончательно,

∞

1

X

qn−1 =

−

при

|q| < 1,

n=1

1

q

∞

n

−

1

расходится.

а при |q| ≥ 1 ряд Pn=1 q

Пример 2. Рассмотрим ряд

1

1

1

+

+ · · · +

+ . . .

1 · 2

2 · 3

n(n + 1)

Имеем

1

1

1

Sn =

+

+ · · · +

=

= µ1 − 2

1 · 2

2 · 3

n(n + 1)

¶ + µ2 − 3 ¶

+ · · · + µn − n + 1 ¶

= 1 − n + 1 .

1

1

1

1

1

1

15. Числовые ряды								3
Теперь уже легко видеть, что limn→∞ Sn = limn→∞		1	1		= 1, а это
			n+1
означает, что наш ряд сходится и его сумма равна		³∞−		1	´		= 1.
	Pn=1 n(n+1)
Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Ряд					∞		a	схо-
					n=1			n
дится тогда и только тогда, когда для любого	ε > 0 найдется такой
				P

номер N = N (ε), что при любом n ≥ N и при любом натуральном p

справедливо неравенство		ak	¯
¯	n+p			< ε.
¯ X			¯
¯			¯
¯k=n+1			¯
Доказательство. Сумма¯	слева в		¯последнем неравенстве называется

отрезком Коши. По определению, сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности его частичных сумм Sn. В силу критерия Ко-

ши для числовых последовательностей, сходимость последовательности

{Sn} эквивалентна ее фундаментальности. Фундаментальность последовательности {Sn} означает, что для любого ε > 0 найдется такой номер

N , что для любого n ≥ N и для любого p N справедливо неравенство

|Sn+p − Sn| < ε. Но поскольку

Sn+p−Sn = a1+· · ·+an+an+1+· · ·+an+p−(a1 + · · · + an) = an+1+· · ·+an+p,

то тем самым теорема доказана.

Следствие (необходимое условие сходимости). Если ряд

∞

a

сходится, то limn→∞ an = 0.

∞

Pn=1

n

Доказательство. Если ряд

a

n

сходится, то, в силу критерия

ε > 0

n=1

N, что при любом n

N и

Коши, для любого

такое N

≥

найдетсяP

¯

¯P

при любом p N справедливо неравенство

n+p

< ε. В частности,

ε

¯

¯

¯> 0 найдется такой номер N ,

если p = 1, то получим, что для любого

¯

что при любом n ≥ N справедливо неравенство |an+1| < ε. Это и означает, что limn→∞ an = 0.

Другое доказательство необходимого условия сходимости.

Сходимость ряда		∞	a равносильна существованию следующего пре-
		n=1	n
дела: limn→∞ Sn	= S. Но тогда и			limn→∞ Sn−1	= S, откуда, в силу равен-
		P

4

Третий семестр

ства an = Sn − Sn−1, следует

nlim an = nlim (Sn − Sn−1) = nlim Sn − nlim Sn−1 = S − S = 0.

→∞

→∞

→∞

→∞

Итак, если ряд

∞

a , сходится, то его слагаемые стремятся к ну-

n=1

n

∞

утверждение неверно. Действительно, для ряда

1

лю. Обратное

P

P

n=1

√

n

имеем: an = √1n

. Тогда limn→∞ an = 0 и, вместе с тем,

1

1

1

√

Sn = 1 + √

+ · · · + √

≥ n · √

= n,

2

n

n

∞

1

откуда следует, что limn→∞ Sn = +∞, т. е. ряд Pn=1

√

расходится.

n

Пример. Гармоническим называется ряд

∞ 1

1 1

1

X

n=1 n = 1 + 2 + 3 + · · · + n + . . .

Отрезок Коши этого ряда можно оценить следующим образом:

n+p

k X

1

1

1

1

1

=

+

+ · · · +

≥

· p.

=n+1 k

n + 1

n + 2

n + p

n + p

2n

n

Если взять p = n, то получим, что

k=n+1 k1 ≥

= 21 . Это означает,

n+n

что найдется такое ε0 > 0

1

что для любого N

N существует

ε0 = 2

,P

существует такое p

N (p = n), при которых

n ≥ N (например, n = N ) и¡

¢

¯

справедливо неравенство

¯P

n+p

≥ ε0. В силу критерия Коши это

¯

k=n+1 k1

¯

означает, что

гармонический ряд расходится.

¯

¯

Как правило, на практике необходимое условие сходимости применяется в следующей форме: если предел слагаемых ряда не существует, либо существует, но отличен от нуля, то ряд расходится.

15.1.1Простейшие свойства сходящихся рядов

Пусть дан ряд

X∞

an

(15.1)

n=1