MatAnal2

Программа курса	XI

ПРОГРАММА КУРСА

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

Модуль I

Тема 1. Действительные числа. Верхние и нижние грани множеств.

1.Существование иррациональных чисел.

2.Способы определения множества действительных чисел.

3.Аксиоматическое определение множества действительных чисел.

4.Индуктивные множества, множество натуральных чисел, принцип математической индукции.

5.Ограниченные множества, верхняя и нижняя грани, теорема об их существовании.

6.Целые числа, принцип Архимеда, плотность множества рациональных чисел.

7.Теорема о существовании корня.

8.Модуль числа и его свойства.

Тема 2. Пределы последовательностей.

1.Определение предела последовательности и его геометрический смысл, примеры.

2.Свойства сходящихся последовательностей (единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, свойства, связанные

снеравенствами, теорема о трех пределах).

3.Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

4.Бесконечно малые последовательности и их свойства.

5.Бесконечно большие последовательности и их связь с бесконечно малыми последовательностями.

XII	Вводная часть

6.Лемма Кантора о вложенных отрезках.

7.Подпоследовательности, лемма Больцано – Вейерштрасса.

8.Фундаментальность и критерий Коши сходимости последовательности, примеры.

9.Монотонные последовательности, критерий сходимости монотонной последовательности, примеры.

10.Сходимость последовательности ¡1 + n1 ¢n и число e.

11.Два определения частичных пределов последовательности и их эквивалентность, верхний и нижний пределы последовательности, их существование, примеры.

12.Критерий сходимости последовательности в терминах верхнего и нижнего пределов.

Модуль II

Тема 3. Пределы функций.

1.Определение функции.

2.Эквивалентные множества, конечные, счетные и несчетные множества, счетность множества рациональных чисел, несчетность множества действительных чисел.

3.Определение предела функции по Коши и его геометрический смысл, примеры.

4.Единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел.

5.Определение предела функции по Гейне и его эквивалентность определению по Коши, примеры применения.

6.Пределы функций и арифметические операции.

7.Предельный переход и неравенства, теорема о трех пределах.

8.Предел функции sinx x при x → 0.

9.Односторонние и бесконечные пределы, пределы на бесконечности

иих геометрический смысл.

10.Критерий Коши существования предела функции.

Программа курса	XIII

11.Монотонные функции, критерий существования предела монотонной функции.

12.Теорема о замене переменной в пределах, примеры применения.

13.Частичные пределы, верхний и нижний пределы функции, их существование.

Тема 4. Непрерывные функции.

1.Определение непрерывности в смысле Коши и в смысле Гейне, их эквивалентность, геометрический смысл непрерывности.

2.Примеры непрерывных и разрывных функций.

3.Классификация точек разрыва, примеры.

4.Непрерывность и арифметические операции, непрерывность элементарных функций.

5.Теорема о непрерывности композиции.

6.Непрерывность и разрывы монотонной функции, теорема о множестве точек разрыва монотонной функции.

7.Непрерывность монотонной функции, множество значений которой является промежутком.

8.Свойство промежуточных значений, теорема Больцано – Коши о корне и следствие из нее, примеры применения, критерий непрерывности монотонной функции.

9.Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции.

10.Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней граней.

11.Обратная функция, теорема о непрерывности обратной функции, обратные тригонометрические функции.

12.Определение и свойства показательной функции, непрерывность показательной функции.

13.Логарифмическая функция и ее свойства.

14.Степень с действительным показателем.

15.Предел функции (1 + x)1/x при x → 0, следствия.

XIV	Вводная часть

16.Сравнение логарифмической, степенной и показательной функций.

17.Эквивалентные функции и их применение при нахождении преде-

лов.

18.Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций, символы Ландау.

19.Равномерная непрерывность, теорема Кантора, примеры.

Модуль III

Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной пере-

менной.

1.Определение производной и определение дифференцируемости функции в точке, их эквивалентность.

2.Непрерывность дифференцируемой функции.

3.Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции.

4.Односторонние производные.

5.Дифференцируемость и арифметические операции.

6.Производная композиции.

7.Производная обратной функции.

8.Производные основных элементарных функций.

9.Теорема Ферма о корне производной.

10.Теорема Ролля о корне производной.

11.Теорема Лагранжа о среднем значении и следствия из нее.

12.Теорема Коши (обобщенная теорема о среднем значении).

13.Теорема Дарбу о промежуточном значении производной.

14.Два правила Лопиталя о раскрытии неопределенностей.

15.Производные высших порядков.

16.Формула Тейлора с остатком в форме Пеано, единственность многочлена Тейлора.

17.Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

18.Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа, примеры ее применения.

Программа курса	XV

19.Условия постоянства функции в терминах производной.

20.Условия монотонности функции в терминах производной.

21.Экстремумы функции, необходимые и достаточные условия существования экстремумов.

22.Применение формулы Тейлора для нахождения экстремумов.

23.Глобальные экстремумы и методы их нахождения.

24.Выпуклые функции и их свойства, критерий выпуклости.

25.Точки перегиба и методы их нахождения.

26.Исследование функций и построение их графиков с помощью производных.

ВТОРОЙ СЕМЕСТР

Модуль I Тема 6. Неопределенный интеграл.

1.Определение первообразной, примеры. Торема о разности двух первообразных. Неопределенный интеграл и его элементарные свойства (интегрирование производной, линейность, линейная замена переменной).

2.Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла, примеры.

3.Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле, приме-

ры.

4.Интегрирование элементарных рациональных функций в общем виде (4 типа). Теорема об интегрировании рациональной функции.

5.Метод Остроградского интегрирования рациональных функций.

6.Методы вычисления неопределенных интегралов от функций, рациональных относительно sin x и cos x, примеры.

7.Интегрирование функций вида R ¡xp1/q1 , . . . , xpn/qn ¢, примеры.

µ³ ´1/m¶

8.Интегрирование функций вида αx+β , примеры.R x,

γx+δ

9. Интегрирование биномиального дифференциала, примеры.

XVI	Вводная часть

Тема 7. Интеграл Римана.

1.Определение интегральной суммы и ее предела. Определение интеграла Римана.

2.Ограниченность интегрируемой по Риману функции. Пример ограниченной неинтегрируемой по Риману функции.

3.Интегрируемость тождественной постоянной, функции f (x) = x на

[0, 1], ступенчатой функции.

4.Интегрируемость функции Римана на [0, 1].

5.Суммы Дарбу и их свойства.

6.Интегралы Дарбу и связь между ними. Интегралы Дарбу для функции Дирихле.

7.Критерий интегрируемости по Риману в терминах сумм Дарбу.

8.Критерий интегрируемости по Риману в терминах колебаний.

9.Интегрируемость по Риману непрерывной функции.

10.Интегрируемость по Риману монотонной функции.

11.Интегрируемость по Риману функции, имеющей конечное число точек разрыва.

12.Примеры интегрируемых по Риману функций, имеющих бесконечное множество точек разрыва.

13.Критерий Дарбу интегрируемости по Риману в терминах верхнего

инижнего интегралов (без доказательства). Множество лебеговой меры нуль и критерий Лебега интегрируемости по Риману (без доказательства).

14.Интегрируемость модуля интегрируемой функции и линейной комбинации интегрируемых функций.

15.Интегрируемость произведения интегрируемых по Риману функ-

ций.

16.Интегрируемость на подынтервалах интегрируемой функции.

17.Линейность интеграла Римана.

18.Аддитивность интеграла Римана.

19.Монотонность интеграла Римана, следствия. Интеграл от положительной функции.

Программа курса	XVII

20.Элементарный вариант теоремы о среднем значении и следствие для непрерывной функции.

21.Первая теорема о среднем значении и следствие для непрерывной функции.

22.Равномерная непрерывность интеграла с переменным верхним пре-

делом.

23.Вторая теорема о среднем значении. Формулы Бонне.

24.Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом

вточке непрерывности подынтегральной функции. Пример разрывной функции, у которой интеграл с переменным верхним пределом имеет производную.

25.Теорема Ньютона – Лейбница.

26.Обобщенная теорема Ньютона – Лейбница.

27.Понятие обобщенной первообразной и теорема о ее существовании.

28.Дифференцирование интегралов, у которых пределы интегрирования являются функциями.

29.Формула интегрирования по частям для интеграла Римана.

30.Теорема о замене переменной в интеграле Римана от непрерывной функции.

31.Формула Валлиса.

32.Теорема о замене переменной в интеграле Римана от интегрируемой функции.

33.Формула Тейлора с остатком в интегральной форме.

Тема 8. Приложения определенного интеграла.

1.Внешняя и внутренняя меры Жордана, измеримость по Жордану. Пример неизмеримого по Жордану множества.

2.Определение подграфика функции. Теорема об измеримости подграфика интегрируемой функции.

3.Вычисление площади области, заданной в полярных координатах, примеры.

XVIII	Вводная часть

4.Определение пути и его длины. Достаточное условие спрямляемо-

сти.

5.Формула вычисления длины гладкого пути.

6.Вычисление объема тела вращения.

7.Вычисление площади поверхности тела вращения.

Модуль II

Тема 9. Пространство Rn.

1.Пространство Rn и операции на нем. Скалярное произведение, ев-

клидова норма и их свойства.

2.Открытые множества и их свойства, примеры.

3.Замкнутые множества и их свойства, примеры. Теорема о дополнении для замкнутых и открытых множеств.

4.Компактные множества. Теорема о вложенных сегментах. Лемма и теорема Гейне – Бореля.

5.Лемма Больцано – Вейерштрасса.

Тема 10. Последовательности точек в Rn.

1.Определение предела, единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности.

2.Предельный переход и арифметические операции.

3.Критерий Коши сходимости последовательности точек из Rn.

Тема 11. Непрерывные отображения.

1.Определение предела функции по Коши и по Гейне и их эквивалентность.

2.Арифметические свойства пределов функций.

3.Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность функции и ее компонент.

4.Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности композиции.

Программа курса	XIX

5.Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях на компактных множествах.

6.Теорема о непрерывном образе компактного множества.

7.Равномерная непрерывность и теорема Кантора.

8.Связные множества. Теорема о непрерывном образе связного множества и следствие (теорема Больцано – Коши).

9.Связность и линейная связность и соотношение между ними.

Тема 12. Дифференцируемые действительные функции.

1.Линейные формы и их непрерывность, примеры. Гиперплоскости, примеры гиперплоскостей.

2.Определение дифференцируемой функции. Производная и ее геометрический смысл.

3.Теорема о дифференциале аффинной функции. Единственность дифференциала. Примеры.

4.Определение частной производной и ее геометрический смысл.

5.Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных, примеры.

6.Функции, дифференцируемые на множестве. Функции класса C1 и

теорема об их дифференцируемости.

7.Производная по направлению, примеры. Теорема о вычислении производной по направлению дифференцируемой функции.

8.Градиент функции и его геометрический смысл.

9.Теорема о среднем значении.

10.Связь между постоянством функции и равенством нулю ее дифференциала.

11.Определение производной векторной функции действительной переменной. Дифференцируемость функции и ее компонент.

12.Теорема о дифференцируемости композиции. Цепное правило, при-

меры.

13.Частные производные высших порядков, примеры.

14.Теорема Шварца и ее обобщения.

XX	Вводная часть

15.Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа.

16.Определение квадратичной формы. Знакоопределенные квадратичные формы, примеры.

17.Определение знака квадратичной формы по ее коэффициентам (случай n = 2). Критерий Сильвестра (без доказательства).

18.Определение локального экстремума, необходимое условие локального экстремума. Стационарные точки, примеры.

19.Достаточное условие экстремума в терминах квадратичных форм.

Модуль III

Тема 13. Дифференцируемые отображения.

1.Линейное отбражение, норма и ее свойства.

2.Теорема о равномерной непрерывности линейного отображения.

3.Композиция линейных отбражений. Аффинное отображение.

4.Дифференцируемые отображения. Дифференцируемость линейного отображения. Теорема о непрерывности дифференцируемого отображения.

5.Единственность производной дифференцируемого отображения.

6.Связь между дифференцируемостью отображения и его компонент.

7.Дифференцируемые на множестве отображения. Отображения класса C1. Теорема о дифференцируемости отображения класса C1.

8.Матрица Якоби и ее определитель.

9.Теорема о производной композиции. Цепное правило.

10.Теорема об обратимости линейного отображения.

11.Теорема об обратной функции.

12.Теорема о неявной функции.

Тема 14. Функции на многообразиях.

1.Аффинные и гладкие многообразия.

2.Касательные и нормальные векторы. Касательное пространство.

3.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

4.Зависмость функций.