Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

15.4. Квантование	23
ãäå HM — плотность гамильтониана материи:
HM ≡ πl∂0ψl − LM .	(15.4.12)

Следуя общим правилам, выведенным в разделе 9.2, можно с помощью полученной плотности гамильтониана вычислять матричные элементы как функциональные интегралы по Aαi, Παi, ψl è πl ñ âåñî-

вым множителем exp(iI), где

I = z d4x Παi∂0Aαi + πl∂0ψl − H + слагаемые с ε , (15.4.13)

а слагаемые с ε служат только для получения в знаменателях про-

пагаторов правильных бесконечно малых мнимых добавок (см. раздел 9.2). Заметим, что формулы (15.4.7) и (15.4.9) определяют Aα0 как функционал от канонических переменных, линейный по Παi è πl.

Тогда анализ формулы (15.4.11) показывает, что подынтегральное выражение в полном действии (15.4.13) не более чем квадратично по Παi è πα (при условии, что LM не более чем квадратичен по Dμψ).

Поэтому с помощью обычных правил гауссовского интегрирования можно вычислить функциональный интеграл по каноническим «импульсам». Проблема, связанная с такой процедурой, состоит в том, что коэффициенты в квадратичных по Παi слагаемых в (15.4.13) являются функциями Aαi, так что гауссовский интеграл приводит к

неприятным множителям, содержащим зависящие от поля детерминанты. Кроме того, весь описанный формализм выглядит безнадежно лоренц-неинвариантным.

Вместо того, чтобы продолжать такой путь, применим трюк, аналогичный использованному в разделе 9.6 при формулировке электродинамики на языке функциональных интегралов. Заметим, что если попытаться рассматривать Aα0 как независимую переменную, то действие (15.4.13) очевидно квадратично по Aα0, при- чем коэффициент при слагаемом второго порядка Aα0(x)Aβ0(y) равен не зависящему от полей ядру (∂3)2δ4(x – y). Как было показано в приложении к гл. 9, интеграл от такого гауссиана по Aα0(x)

с точностью до постоянного множителя равен значению подынтегрального выражения в стационарной «точке» показателя экспоненты. Но стационарная точка действия есть решение уравнения связи (15.4.7), поскольку вариационная производная действия в данном случае равна

24			Глава 15. Неабелевы калибровочные теории
	δI	= -	∂H	= Jα0 + ¶iPαi + Cβαγ Pβi Aγi - ¶32Aα0 .
	dAα0
			¶Aα0

Отсюда, вместо того, чтобы использовать для Aα0 решение уравне-

ния (15.4.7), можно с тем же успехом считать эту величину независимой переменной интегрирования.

Итак, если рассматривать Aα0 как независимую переменную, гамильтониан òd3xH очевидно квадратичен по Pαi, причем коэффициент при слагаемом второго1 порядка Pαi(x)Pβj(y) определяется не зависящим от поля ядром d4(x – y)dij. Предполагая, что это же верно и для материальной переменной pl, можно с точностью до постоянного множителя вычислить интегралы по путям по pl è Pαi, просто взяв pl è Pαi в стационарных точках действия, соответству-

ющих лагранжиану (15.4.1):

	0 =	δI	= ¶0yl		-	∂HM	,
		dpl				¶pl
	0 =	dI		= ¶0 Aαi - Pαi - ¶iAα0 + Cαβγ Aβ0 Aγi = Fα0i - Pαi .
		dPαi

Подстановка этих выражений обратно в (15.4.13) дает

		X		L		21 Fα0iFα0i
	I = Y d4xMLM				+
		Z		N
		1			1			1	O
	-		FαijFαij -			¶3Aαi¶3Aαi	+		(¶3Aα0 )2 P	=
		2			2			2
									Q

X

(15.4.14)

Y d4x L ,

Z

где L — лагранжиан (15.3.1), с которого мы начинали! Иными словами, мы должны брать функциональные интегралы по yl(x) и всем четырем компонентам Aαμ(x) с явно ковариантным весовым

множителем exp(iI), определяющимся выражениями (15.4.14) и (15.3.1), а условие аксиальной калибровки обеспечивается включе- нием множителя

∏	δbAα3	(x)g .	(15.4.15)
x,α

Åñëè OA, OB ... калибровочно-инвариантны, то

15.4. Квантование

25

T O

O

B

. . .

X L∏ dψ

(x)OL

∏ dA

(x)O

l A

q

Y M

l

PM

αμ

P

VACUUM

Y Ml,x

PMα,μ,x

P

Z N

QN

∏ δ

Q

(15.4.16)

× O

A

O

B

. . . exp

l

iI +

слагаемые с ε

A

(x)

g

,

q

b

α3

x,α

где калибровочно- и лоренц-инвариантное действие I дается фор-

мулой (15.4.14).

* *

*

Для будущих ссылок заметим, что элемент объема

∏ dAαμ (x)

α,μ,x

для инегрирования по калибровочным полям в (15.4.16) калибровоч-

но-инвариантен в том смысле, что

∏ dAΛ αμ (x) = ∏ dAαμ (x) ,

(15.4.17)

α,μ,x

α,μ,x

ãäå AΛαμ(x) есть результат действия калибровочного преобразования с параметрами Λα(x) íà Aαμ(x). Достаточно показать, что это

верно для преобразований близких к единичному, например, с инфинитезимальными параметрами λα(x). В этом случае

Aμ

= Aμ + ∂μλ

α

+ C Aμλ

γ

,

λα

α

αβγ

β

так что элементы объема связаны соотношением

∏ dAλ αμ (x) = Det(N ) ∏ dAαμ (x)

α,μ,x

α,μ,x

где N — «матрица»:

N

αμx,βνy

=

δAλαμ (x)

= δ4 (x

− y)δν

δ

αβ

+ C

λ

γ

(x)

.

δAβν (y)

μ

αβγ

Детерминант N равен единице в первом порядке по λg, òàê êàê ñëåä Ñααγ равен нулю.

26	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

В этой главе будем предполагать, что элемент объема интегрирования по полям материи ∏n,x dψ n (x) также калибровочно-

инвариантен. Этот пункт таит много тонкостей, к которым мы еще вернемся в гл. 22, однако там показано, что наше предположение оказывается верным для рассматриваемых сейчас неабелевых калибровочных теорий сильных и электрослабых взаимодействий.

15.5. Метод де Витта–Фаддеева–Попова

Формула (15.4.16) для функционального интеграла была полу- чена в калибровке, удобной для канонического квантования, однако фейнмановские правила, которые можно было бы из нее вывести, скрывали бы лежащую в основе теории вращательную и лоренц-инвариантность. Чтобы получить явно лоренц-инвариантные фейнмановские правила, следует изменить калибровку.

Прежде всего, заметим, что формула (15.4.16) является (с точ- ностью до несущественного постоянного множителя) частным слу- чаем общего класса функциональных интегралов вида

X L	∏ dϕ		O
J = Y M		n	(x)P G[ϕ] B	f[ϕ]	Det F [ϕ],	(15.5.1)
Y M			P
Z Nn,x			Q

Здесь ϕn(x) — набор калибровочных полей и полей материи, ∏n,x dϕn (x) — элемент объема, G [ϕ] — функционал от ϕn(x), óäîâ-

летворяющий условию калибровочной инвариантности

G[ϕλ ]∏ dϕλn (x) =	S [ϕ]∏ dϕn	(x) ,	(15.5.2)
n,x	n,x

ãäå ϕλn(x) — результат действия на ϕ калибровочного преобразования с параметрами λα(x). (Обычно, когда это условие выполняется,

функционал G и элемент объема инвариантны по-отдельности, но нам понадобится только формула (15.5.2).) Кроме того, fα[ϕ;x] ÿâëÿ-

ется калибровочно неинвариантным «фиксирующим калибровку функционалом» этих полей, также зависящим от x и α, B[f] —

некоторый числовой функционал, определенный для произвольных функций fα(x) îò x è α, F — «матрица»

15.5. Метод де Витта–Фаддеева–Попова

27

F	αx,βy	[ϕ] ≡ δfα [ϕλ ; x]	.	(15.5.3)
		δλβ (y)
			λ =0

(В соответствии с нашими обычными обозначениями для функционалов от функций или функционалов считается, что B[f[ϕ]] зависит от значений, принимаемых функционалом fα[ϕ;x] для всех значе- ний не указанных явно переменных α и x, но при фиксированной выписанной явно переменной — функции ϕn(x).) Выражение (15.5.1)

не является самым широким из возможных обобщением выражения(15.4.16). В разделе 15.7 мы увидим, что существует дальнейшее обобщение, требуемое в ряде случаев. Начнем все же с (15.5.1), так как это поможет обосновать формализм раздела 15.7, и вполне достаточно для работы с неабелевыми калибровочными теориями в большинстве удобных калибровок.

Нам следует проверить, что интеграл по путям (15.4.16) является на самом деле частным случаем выражения (15.5.1). Поля ϕn(x) в (15.4.16) включают как Aαμ(x), так и поля материи ψl(x), причем

fα [A, ψ; x] = Aα3 (x),

B[ f] = ∏ δb fα (x)g ,

x,α

G[A, ψ] = exp{iI + слагаемые с ε} OÀOB . . . ,

∏ dϕ		L		O L	∏ dAμ		O
	n	(x) = M∏ dψ		(x)P M			(x)P .
		M	l	P Mα μ		α	P
n,x		Nl,x		Q N	,	,x	Q

(15.5.4)

(15.5.5)

(15.5.6)

(15.5.7)

(Мы опускаем различие между верхними и нижними индексами α, β, ...) Сравнение (15.4.16) с выражениями (15.5.1)–(15.5.3) показыва-

ет, что эти интегралы по путям действительно одинаковы, если не считать множителя Det F [ϕ]. В частном случае фиксирующего ка-

либровку функционала (15.5.4) этот множитель не зависит от поля. Действительно, если Aα3(x) = 0, тогда изменение Аα3(x) под действием калибровочного преобразования с параметрами λα(x) равно

Aλα3 (x) = ∂3λα (x) = z d4y λα (y) ∂3δ4 (x − y) ,

28	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

так что в данном случае (15.5.3) — не зависящая от поля «матрица»

Fαx,βy[ϕ] = δαβ∂3δ4 (x − y) .

Поэтому в такой калибровке детерминант в (15.5.1) тоже не зависит от поля. Как обсуждалось в гл. 9, не зависящие от поля множители в функциональном интеграле влияют только на ту часть средних и матричных элементов S-матрицы, которые связаны с вакуумными флуктуациями и несущественны при вычислении связных частей S-матрицы.

Чтобы увидеть, что функциональный интеграл (15.4.16) для неабелевых калибровочных теорий является частным случаем общего интеграла по путям (15.5.1), следует заметить, что в этом выражении мы можем свободно изменять калибровку. Конкретнее, справедлива теорема, что интеграл (15.5.1) действительно не зависит (в широких пределах) от фиксирующего калибровку функционала fα[ϕ;x] и зависит от выбора функционала B[f] только че-

рез несущественный постоянный множитель.

Доказательство. Заменим везде в (15.5.1) переменную интегрирования ϕ на новую переменную ϕΛ, ãäå Λα(x) — произвольный

(но фиксированный) набор параметров калибровочного преобразования:

X L	∏ dϕΛ		O
J = Y M		n	(x)P G[ϕΛ ] B	f[ϕΛ ]	Det F [ϕΛ ],	(15.5.8)
Y M			P
Z Nn,x			Q

(Этот шаг математически тривиален, напоминая замену интеграла
z∞ f(x)dx íà	z∞ f(y)dy, и пока что не использует наши предполо-
-∞	-∞
жения о калибровочной инвариантности.) Затем используем пред-

полагаемую калибровочную инвариантность (15.5.2) меры Πdϕ, умноженной на функционал G [ϕ], чтобы переписать это выражение в виде

X L

J = Y M∏

Y M

Z Nn,x

O

dϕΛn (x)P G[ϕ] B f[ϕΛ ] Det F [ϕΛ ] . (15.5.9)

PQ

Òàê êàê Λα(x) было произвольным, выражение в левой части не может от него зависеть. Интегрируя по Λα(x) с некоторым подходящим весовым функционалом ρ[Λ] (он будет выбран ниже), получим:

15.5. Метод де Витта–Фаддеева–Попова

29

X L	∏ dΛα		O
J = Y M			(x)P	ρ[Λ] =
Y Mα		x	P
Z N	,		Q

X L Y M∏ Y M Z Nn,x

O

dϕn (x)P G[ϕ] C[ϕ] , (15.5.10)

PQ

ãäå

X L	∏ dΛα		O
C[ϕ] ≡ Y M			(x)P	ρ[Λ] B	f[ϕΛ ]	Det F [ϕΛ ] .	(15.5.11)
Y Mα			P
Z N		,x	Q

Теперь выражение (15.5.3) принимает вид

F	[ϕ ] =	δfα [(ϕΛ )λ ; x]	.	(15.5.12)
αx,βy	Λ	δλβ (y)
			λ =0

Мы предполагаем, что рассматриваемые преобразования образуют группу. Это означает, что результат осуществления калибровочного преобразования с параметрами Λα(x), за которым следует калибровочное преобразование с параметрами λα(x), можно

записать как действие одного калибровочного преобразования, являющегося «произведением» предыдущих, с параметрами Λ~α (x; Λ, λ) :

(ϕ	Λ	)	λ	= ϕ ~	.	(15.5.13)
				Λ(Λ,λ)

Используя цепное правило частного (функционального) дифференцирования, имеем

Fαx,βy[ϕΛ ] = z Jαx,γz [ϕ, Λ]Rγzβy[Λ]d4z,

(15.5.14)

ãäå

δf

[ϕ ~ ; x]

δ

ϕ

Jαx,γz

[ϕ, Λ] ≡

α Λ

=

fα [

Λ ; x]

(15.5.15)

~γ

γ

δΛ (z)

~

δΛ (z)

è

Λ = Λ

~γ

Rγzβy[Λ]

=

δΛ

(z; Λ, λ)

.

(15.5.16)

δλβ (y)

λ =0

30	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории
Отсюда следует, что
	Det F [ϕΛ ] = Det J [ϕ, Λ] Det R[Λ] .	(15.5.17)

Заметим, что Det J [ϕ,Λ] есть не что иное, как якобиан преобразования переменных интегрирования от Λα(x) ê fα[ϕΛ;x] (при фиксированном ϕ). Поэтому если выбрать весовую функцию ρ[Λ] â âèäå

		ρ(Λ) = 1 Det R[Λ],				(15.5.18)
òî
X L	∏ dΛα		O
C[ϕ] = Y M			(x)P Det J [ϕ,			Λ] B	f[ϕΛ ]
Y Mα		,x	P
Z N			Q
X L	∏ dΛα		O			(15.5.19)
= Y M			(x)P B	f	≡ C,
Y Mα		,x	P
Z N			Q

что очевидно не зависит от ϕ. (Читатель может узнать в формуле

(15.5.18) определение инвариантной меры (меры Хаара) на пространстве групповых параметров.) Имеем окончательно

J =	Cz			∏n,x dϕn (x)			G[ϕ]	.	(15.5.20)
	z		∏α,x dΛα (x)			ρ[Λ]

Это выражение явно не зависит от нашего выбора fα[ϕ;x], который

полностью свелся к изменению переменной интегрирования, и зависит от выбора B[f] только через константу С, что и требовалось доказать.

Прежде чем описывать приложения этой теоремы, следует сделать паузу и отметить неясное место в доказательстве. Интегралы в числителе и знаменателе выражения (15.5.20) плохо определены по одной и той же причине. Так как предполагается, что G [ϕ] калибровочно инвариантно, интеграл от этой величины по ϕ íå ìî-

жет, вероятно, сходиться. Подынтегральное выражение равно константе вдоль всех «орбит», получаемых калибровочным преобразованием ϕ â ϕλ со всеми возможными λα(x). Аналогично, подынтегральное выражение в знаменателе расходится, так как ρ(Λ)ΠdΛ

15.5. Метод де Витта–Фаддеева–Попова

31

есть не что иное, как обычный инвариантный элемент объема при интегрировании по группе, и он тоже постоянен вдоль «орбит» Λ → Λ~ (Λ, λ). Такую расходимость в числителе и знаменателе (15.5.20)

можно устранить, переформулировав теорию на конечной простран- ственно-временной решетке. В этом1 случае объем калибровочной группы равен просто объему самой глобальной группы Ли, умноженной на число узлов решетки. Поскольку фиксирующий калибровку множитель B[f] устраняет эту расходимость в исходном определении (15.5.1) для левой части равенства (15.5.20), мы вправе считать, что при устремлении числа узлов решетки к бесконечности расходимости в числителе и знаменателе в правой части (15.5.20) сокращаются.

Теперь к делу. Мы видели, что среднее по вакууму (15.4.16) в аксиальной калибровке задается функциональным интегралом общего вида (15.5.1). Вооруженные доказанной выше теоремой, мы заключаем, что

		X L		O L	∏ dAμ		O
T{O O . . . }		Y M∏ dψ		(x)P M			α (x)P
A B	V	Y M	l	P Mα μ			P
						,x
		Z Nl,x		Q N	,		Q

× OAOB . . . exp{iI + cлагаемые с ε} B f[A, ψ] Det F [A, ψ] .

(15.5.21) для (почти) любого выбора fα[A,ψ;x] и B[f]. Поэтому мы вправе те-

перь использовать (15.5.21) для вывода фейнмановских правил в более удобной калибровке.

Мы умеем вычислять функциональные интегралы от гауссианов, умноженных на полиномы, так что в общем случае выберем

	F		i	I
	B[f] = expG	−		z d4x fα (x)fα (x)J	(15.5.22)
			2ξ
	H			K

с произвольным действительным параметром ξ. При таком выборе

влияние множителя B[f] в (15.5.21) заключается просто в добавлении к эффективному лагранжиану слагаемого

1

LEFF = L − ξ fα fα . (15.5.23)

2

32	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

Простейший лоренц-инвариантный выбор фиксирующей калибровку функции fα совпадает с выбором в электродинамике:

f	= ∂	m	Aμ .	(15.5.24)
a			a

В этом случае голый пропагатор калибровочного поля может быть вычислен так же, как в электродинамике. Часть эффективного действия, отвечающая свободному векторному бозону, можно записать в виде

I

= −X d4xL

1

(∂

A

− ∂

n

A

)(∂m A

n − ∂nA

m )

0A

Y

M

m an

am

a

a

Z

N

4

1

A m )(∂nA

n )

O

+

(∂

+ слагаемые с εP

m

2ξ

a

a

Q

= −

1

d4xD

A m (x)A n (y) ,

2 z

amx,bny

a

b

ãäå

Dam bn = ηmn ∂2 δ4 (x − y) x, y ∂xl∂yl

F			1I			∂2
− G1	−			J					δ4 (x
						m	∂y	n
H			ξ K ∂x
				X			L
= (2π)		-4 Y d4pMηmn (p2
				Y			M
				Z			N

− y) + слагаемые с ε

F		1I		O
− iε) − G1	−		J pmpn P eip×(x- y) .
H		ξK		P
				Q

Находя обратную матрицу к матрице в квадратных скобках, находим пропагатор

am,bn(x, y) = (D−1)amx,bny

X	L
= (2π)-4 Y d4pMηmn + (ξ − 1)
Z	N

pmpn OP eip×(x- y) . (15.5.25)

p2 Q p2 − iε

Это обобщение калибровок Ландау и Фейнмана, которые соответствуют значениям ξ = 0 è ξ = 1, соответственно. При ξ → 0 функци-