Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2

120

­ á«ãç © d ¨§¬¥à¥­¨©. ®áª®«ìªã ¯®«¥ ' ¨¬¥¥â à §¬¥à­®áâì

d

; 1,

« £à ­¦¨ ­

2

L

4

d

{ à §¬¥à­®áâì d, ª®­áâ ­â á¢ï§¨ g ¡¥§à §¬¥à­ ¯à¨ d = 4 ¨ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ®­

®áâ ¢ « áì ¡¥§à §¬¥à­®© ¢ d ¨§¬¥à¥­¨ïå, ¥¥ ­¥®¡å®¤¨¬® 㬭®¦¨âì ­

; , £¤¥

{ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¯ à ¬¥âà à §¬¥à­®á⨠¬ ááë (¨¬¯ã«ìá )5 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤ «¥¥

¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ⥮à¨î á « £à ­¦¨ ­®¬:

1

m2

1

L = 2@ '@ ' ;

2 '2 ;

g 4;d'4

(5.18)

4!

ëç¨á«¨¬ ¯à®á⥩èãî ¯®¯à ¢ªã ª ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª®© ç áâ¨, ¨§®¡à -

¦¥­­ãî £à 䨪®¬ ¨á.5-1. ­ «®£¨ç­® (5.1) ®­

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨­â¥£à «®¬:

1

ddp

1

2g 4;d Z

(5.19)

(2 )d p2 ; m2

â® ¨­â¥£à « ­ã¦­® ¢ëç¨á«¨âì ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ d.

­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢ d-¨§¬¥à¥­¨ïå.

¡®â ¥¬ ¢ d-¬¥à­®¬ \¯à®áâà ­á⢥ ¨­ª®¢áª®£®" á ®¤­¨¬ ¢à¥¬¥­­ë¬ ¨ d ;1 ¯à®áâà ­á⢥­­ë¬¨

¨§¬¥à¥­¨ï¬¨ (d 4). á ¨­â¥à¥áãîâ ¨­â¥£à «ë ¢¨¤ :

Id(q) =

ddp

1

(5.20)

(p

2

+ 2pq ; m

2

)

£¤¥ p = (p0; r). ¢¥¤¥¬ ¯®«ïà­ë¥ ª®®à¤¨­Zâë (p0; r; '; 1; 2; :::; d;3), â ª çâ®:

d;3

ddp = dp0rd;2drd' sin 1 sin2 2d 2::: sind;3 d;3d d;3 =

= dp0rd;2drd' sink kd k

(

< p0 <

1

; 0 < r <

1

; 0 < ' < 2 ; 0 < k < )

(5.21)

k=1

;1

®£¤ :

Y

d;3 sink kd k

1

Id(q) = 2

drrd;2

k=1

(5.22)

0

(p2 + 2pq

m2)

Z

;1

Z

Q

;

®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥯¥àì ä®à¬ã«®©:

=2

Z0

d (sin )2n;1(cos )2m;1 =

1 ;(n);(m)

(5.23)

2 ;(n + m)

¨ ¯®«®¦¨¬ ¢ ­¥© m = 1=2. ®£¤ , á ãç¥â®¬ ;(1=2) = p , ¨¬¥¥¬:

d (sin )k = p

;

k+1

2

(5.24)

k+2

Z0

; ;

2

â ª çâ®:

d;1

1

;

d

2

r

2

dr

2

;

Id(q) =

Z;1

dp0

Z

(5.25)

;

d;1

(p02

;

r2

;

2pq

;

m2)

2

á⠢訥áï ¨­â¥£à «ë ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì, ¨á¯®«ì§ãï ५ï⨢¨áâáªãî ¨­¢ ਠ­â­®áâì (5.25) [8].

¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬:

;

d=2 ; ;

d

1

Id(q) = i

2

(5.26)

;;( )

[;q2 ; m2] ;d=2

ᯮ«ì§ãï (5.26), ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï (5.19):

ig

4 2

2;

d

d

2

;

m2

m2

; 1 ;

(5.27)

32 2

2

5 ந§¢®«ì­®áâì ¯ à ¬¥âà ®ç¥¢¨¤­ ¢¢¨¤ã ¯®á«¥¤ãî饣® ¯à¥¤¥«ì­®£® ¯¥à¥å®¤ d ! 4

121

;-äã­ªæ¨ï ¨¬¥¥â ¯®«îá ¢ ­ã«¥ ¨ ¢ ®âà¨æ ⥫ì­ëå 楫ëå â®çª å. ¨¤¨¬, çâ® à á-

室¨¬®áâì (5.27) ¯à®ï¢«ï¥âáï ª ª ¯à®á⮩ ¯®«îá ¯à¨ d ! 4. ®¦­® ¯®ª § âì, çâ®:
;(;n + ") = (;n1)! n "1 + 1(n + 1) + O(")	(5.28)

£¤¥ 1(z) = d ln;(z)=dz = ;0(z)=;(z) { «®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï ¯à®¨§¢®¤­ ï ;-ä㭪樨,
¤«ï ª®â®à®© ¨¬¥¥¬: 1(n+1) = 1+	1	+:::+	1	; , £¤¥ = ; 1(1) = 0:577 { ¯®áâ®ï­­ ï
	2		n
©«¥à . ®« £ ï " = 4 ; d ¯®«ãç ¥¬:

	d		"	2
; 1 ; 2		= ; ;1 + 2 = ;" ; 1 + + O(")						(5.29)
१ã«ìâ â¥, ¨á¯®«ì§ãï a" = 1 + " ln a + :::, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 à §«®¦¥­¨¥ (5.27)
¢¡«¨§¨ d = 4:
igm2	2			"		4 2	=
; 32 2 ;	" ; 1 + + O(") 1 +			2 ln		m2
= 16 2" +		32 2	1 ; + ln	m2	+ O(") =
igm2		igm2	4 2
		=	igm2
			16 2" + ®­¥ç­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥.					(5.30)

®­¥ç­ë© ¢ª« ¤ ­¥ ¨£à ¥â âã⠮ᮡ¥­­® ¢ ¦­®© ஫¨, § ¬¥â¨¬, ¢á¥ ¦¥, çâ® ®­ § ¢¨á¨â ®â ¯à®¨§¢®«ì­®£® ä ªâ®à . « ¢­®¥, çâ® ­ ¬ 㤠«®áì ª®à४⭮ ¢ë¤¥«¨âì à á室¨¬®áâì, ¯à¨ " > 0 íâ®â ¢ª« ¤ ª®­¥ç¥­ ¨ á ­¨¬ ¬®¦­® à ¡®â âì ®¡ëç­ë¬ ®¡à §®¬.

ëç¨á«¨¬ ⥯¥àì 4-â®ç¥ç­ãî äã­ªæ¨î, á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢

g2. ­ «®-

£¨ç­® (5.2) ¤«ï ¢ª« ¤ ¤¨ £à ¬¬ë ¨á.5-2 ¨¬¥¥¬:

1

ddp

1

;

2g2( 2)4;d Z

(5.31)

(2 )d p2

; m2

­ ¬¥­ ⥫¨ ¢ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¬ ¢ëà ¦¥­¨¨ ¬®¦­® ®¡ê¥¤¨­¨âì á ¯®¬®éìî ä®à-

¬ã«ë ¥©­¬ ­ :

1

1

dz

= Z0

(5.32)

â ä®à¬ã«

¢ë¢®¤¨âáï ¨§:

ab

[az + b(1 ; z)]2

1

1

1

1

1

b dx

=

a

; b

=

Za x2

(5.33)

ab

b ; a

b ; a

¥á«¨ ¯®«®¦¨âì x = az +b(1

;z), ¯à¨ç¥¬ a ¨ b á«¥¤ã¥â áç¨â âì ª®¬¯«¥ªá­ë¬¨, ç⮡ë

¨áª«îç¨âì ᨭ£ã«ïà­®áâì ¯à¨ a = b. ¬¥¥¬ ⥯¥àì:

1

1

1

dz

= Z0

(5.34)

p2 ; m2 (p ; q)2 ; m2

[p2 ; m2 ; 2pq(1 ; z) + q2(1 ; z)]2

®¢¥àè ï § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­ëå p0

= p

;

q

(1 z) ¢¨¤¨¬, çâ® §­ ¬¥­ â¥«ì ¯®¤¨­â¥£à «ì-

;

2

; m

2

2

d

p0

d

p,

­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï ï¥âáï ª¢ ¤à ⮬ ®â p0

+ q

z(1 ; z). ¤­ ª® d

= d

â ª çâ® ¯®á«¥ ¯¥à¥®¡®§­ 祭¨ï p0 ! p (5.31) ¯à¨®¡à¥â ¥â ¢¨¤:

1

1

ddp

1

; 2g2( 2)4;d Z0

dz Z

(5.35)

(2 )d [p2 ; m2 + q2z(1 ; z)]2

122

ᯮ«ì§ãï (5.26) ¨¬¥¥¬ ®âáî¤ :

ig2

( 2)4;d

1 d=2

;(2

; d=2)

1 dz[q2z(1

z)

m2]d=2;2

=

4

;

;

2

;(2)

Z0

d

;2

ig

2

d

1

2

2

2

=

( 2)2;d=2;

2

dz

q

z(1 ; z)

; m

; 2

32 2

Z0

4 2

¯à¥¤¥«¥ d ! 4 ¨§ (5.28) ¨¬¥¥¬:

;2 ; d2 = 2" ; + O(")

⪠çâ®, á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ a" 1 + " ln a, (5.36) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤:

ig2 " 2

;

+ O(")

1

"

Z0

1 ln

q2z(1 ; z) ; m2

=

32 2 "

; 2

4 2

=

ig2 "

ig2 "

+

1 ln

q2z(1 ; z)

; m2

16 2" ;

32 2

Z0

4 2

(5.36)

(5.37)

(5.38)

í⮬ ¢ëà ¦¥­¨¨ £« ¢­ë© (à á室ï騩áï) ç«¥­ § ¢¨á¨â ®â , ª®­¥ç­ ï ç áâì

®â ª¢ ¤à â á㬬 à­®£® ¨¬¯ã«ìá (p1 + p2 )2 = q2 = s (¯¥à¥¬¥­­®© ­¤¥«áâ ¬ ).¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î:

		Z0
	F (s; m; ) =	1 dz ln			sz(1	; z) ; m2		(5.39)
						4 2
®£¤ ¨â®£®¢®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¢ª« ¤			¤¨ £à ¬¬ë ¨á.5-2				¨¬¥¥â ¢¨¤:
ig2 "	ig2 "		ig2 "
; 16 2" +	32 2 [ + F (s; m; )] = ; 16 2" + ®­¥ç­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥.							(5.40)

â ª, ¬ë ¯®«ã稫¨ ¢ ®¬ ¢¨¤¥ ¯®¯à ¢ª¨ ­¨§è¥£® ¯®à浪 ª 2-å ¨ 4-â®ç¥ç­®© äã­ªæ¨ï¬ ¢ ⥮ਨ '4. 믨襬 ⥯¥àì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 1 -¢¥à設ë ;(2)(p) ¨

;(4)(pi). ëà ¦¥­¨¥ (5.30) ᢮¤¨âáï ᮣ« á­® (5.1) ª 1i , â ª çâ® ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥
¯® g ¨¬¥¥¬:
gm2
(p) = ;16 2" + ®­¥ç­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥.	(5.41)

®®â¢¥âá⢥­­®, ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ;(2)(p) = G;1(p)G(p)G;1(p) = p2 ;m2 ; (p) ¨¬¥¥¬:

				g
		;(2)(p) = G;1(p) = p2 ; m2 1 ;				(5.42)
				16 2"
祢¨¤­®, çâ® ¯à¨	"	!	4 íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ à á室¨âáï.
			(4)
«¥¥, 4-â®ç¥ç­ ï ¢¥à設 ; (p1; :::; p4) ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¢ëà ¦ -
¥âáï ª ª:
;(4)(p1; p2; p3; p4) = G;1(p1)G;1(p2 )G(4)(p1; p2; p3; p4)G;1(p3)G;1(p4 )						(5.43)

¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï á㬬®© ¤¨ £à ¬¬, ¯®ª § ­­ëå ­ ¨á.5-4, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ãç¥âã ¢á¥å ªà®áᨭ£ ª ­ «®¢, ¢ª« ¤ ª®â®àëå ¯®«ãç ¥âáï ¨§ (5.40) ¨ ¥é¥ ¤¢ãå ­ «®£¨ç­ëå

123

	¨á. 5-4
ç«¥­®¢, ¯®«ãç ¥¬ëå ¨§ (5.40) § ¬¥­®© ¬ ­¤¥«áâ ¬®¢áª®© ¯¥à¥¬¥­­®© s ­			t ¨ u (á¬.
« ¢ã 5 ç á⨠I):
s = (p1 + p2)2	t = (p1 + p3 )2	u = (p1 + p4)2	(5.44)

¥©á⢨¥ ä㭪権 G;1(pi) ᢮¤¨âáï ¢ (5.43) ª \®¡àã¡ ­¨î" ¢­¥è­¨å ª®­æ®¢. ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬:

(4)" 3ig2 "

;(pi) = ;ig ; 16 2"

ig2 "

+ 32 2 [3 + F (s; m; ) + F (t; m; ) + F (u; m; )] =

= ;ig " 1 +	3g
	16 2" + ®­¥ç­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥.(5.45)

á­®¢­®© ¢ª« ¤ §¤¥áì â ª¦¥ ¡¥áª®­¥ç¥­ ¯à¨ " ! 0. â®¡ë ¢¥à設ë ;(2) ¨ ;(4) ¨¬¥«¨ 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«, ®­¨ ¤®«¦­ë ¡ëâì ª®­¥ç­ë. «ï í⮣® ¨ ­ã¦­® ¯à®¢®¤¨âì ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã!

¥â«¥¢®¥ à §«®¦¥­¨¥.

¬¥â¨¬, çâ® ¢ ­ è¨å ¢ëç¨á«¥­¨ïå à áᬠâਢ «¨áì ¤¨ £à ¬¬ë á ®¤¨­ ª®¢ë¬ ç¨á«®¬ ¯¥â¥«ì: ®­® ¡ë«® à ¢­® 1 (®¤­®¯¥â«¥¢®¥ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥). ãé¥áâ¢ãîâ á®®¡à ¦¥­¨ï, ¨§ ª®â®àëå ¢¨¤­®, çâ® à §«®¦¥­¨¥ ¯® ç¨á«ã ¯¥â¥«ì, ¢ ­¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥, ¤ ¦¥ ¡®«¥¥ ¨­â¥à¥á­®, 祬 ®¡ëç­®¥ à §«®¦¥­¨¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ¯® á⥯¥­ï¬ g. §«®¦¥­¨¥ ¯® ç¨á«ã ¯¥â¥«ì L íª¢¨¢ «¥­â­® à §«®¦¥­¨î ¯® á⥯¥­ï¬ ¯®áâ®ï­­®© « ­ª ~. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ ï ¢¥§¤¥ ~, ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì ¯à®¨§¢®- ¤ï騩 ä㭪樮­ « ⥮ਨ ¢ ¢¨¤¥:

			i
Z[J(x)] = Z D' exp				Z dx[L(x) + ~J(x)'(x)]			(5.46)
		~
¢®¤ï L = L0 + Lint, ¬®¦¥¬ ­ ¯¨á âì:
	i	1
Z[J] = exp n			Lint h i			ioZ0[J]	(5.47)
	~				J
£¤¥
1			dx Z dyJ(x) F (x ; y)J(y)
Z0[J] = N exp ;2 i~ Z							(5.48)

§ (5.47) á«¥¤ã¥â, çâ® ª ¦¤ ï ¢¥à設 ¤ ¥â ¬­®¦¨â¥«ì ~;1 ¢ ¯à®¨§¢®«ì­ë© £à 䨪 n-£® ¯®à浪 ®¡ëç­®© ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©, ¨§ (5.48) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ í⮬ ª ¦¤ë© ¯à®¯ £ â®à ¤ ¥â ¬­®¦¨â¥«ì ~. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤ ­­ë© £à 䨪 ᮤ¥à¦¨â ¬­®¦¨â¥«ì ~I;n = ~L;1 (£¤¥ ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¢ë¢¥- ¤¥­­®¥ ¢ëè¥ á®®â­®è¥­¨¥ (5.4): L = I ;n+1, £¤¥ I { ç¨á«® ¢­ãâ७­¨å «¨­¨© ¤ ­­®© ¤¨ £à ¬¬ë).®í⮬ã à §«®¦¥­¨¥ ¯® ç¨á«ã ¯¥â¥«ì ¤¥©á⢨⥫쭮 ï¥âáï à §«®¦¥­¨¥¬ ¯® á⥯¥­ï¬ ~, â.¥. à §«®¦¥­¨¥¬ \¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨" ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ.

124

¥à¥­®à¬¨à®¢ª ⥮ਨ '4.

è 楫ì ⥯¥àì { ᤥ« âì 䨧¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨­ë ª®­¥ç­ë¬¨! ®¤­®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã ­¥á«®¦­® ¢ë¯®«­¨âì ¢ ®¬ ¢¨¤¥. ®áª®«ìªã ¯®á«¥ ॣã«ïਧ 樨 ¢á¥ ¢¥«¨ç¨­ë ã ­ á ª®­¥ç­ë, â® ¬®¦­® ¤¥©á⢮¢ âì ¯àï¬ë¬ ¯ã⥬.§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 䨧¨ç¥áª®© ¬ ááë ç áâ¨æë ïá­®, çâ® ®¡à â­ë© ¯à®¯ £ â®à ¤®«¦¥­ ¨¬¥âì ¢¨¤:

G;1(p) = ;(2)(p) = p2 ; m12 ¨«¨ m12 = ;;(2)(0)	= ;G;1(0)	(5.49)
£¤¥ 䨧¨ç¥áª ï ¬ áá m1 ª®­¥ç­ . ¥à¢®­ ç «ì­ ï (\§ âà	¢®ç­ ï") ¬ áá	m, ¢å®-

¤ïé ï ¢ « £à ­¦¨ ­ ­¥ ¨¬¥¥â ­¥¯®á।á⢥­­®£® 䨧¨ç¥áª®£® á¬ëá« ¨, ¢ ¯à¥¤¥«¥ d ! 4 ¬®¦¥в ¡лвм ¨ ¡¥бª®­¥з­®©. в® ¬ бб , ª®в®а®© з бв¨ж ®¡« ¤ « -¡л ¢ ®в- бгвбв¢¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨п, в ª зв® нв® ­¥­ ¡«о¤ ¥¬ п ¢¥«¨з¨­ , в®«мª® m1 ¨¬¥¥â

䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá« ¨ ¤®«¦­			¡ëâì ª®­¥ç­ . § (5.42) ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï (5.49) ¨¬¥¥¬:
			m12 = m2		1			g			(5.50)
						; 16 2"
® ¢® ¢â®à®¬ á« £ ¥¬®¬ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï ¬®¦­®, á ⮩ ¦¥ â®ç­®áâìî
g, § ¬¥­¨âì m ­		m1, çâ® ¤ ¥â:						g
			m12 = m2
					;				m12		(5.51)
							16 "
®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬:								g
			m2 = m12	1 +							(5.52)
								16 2"
®â â ª®© ¤®«¦­	¡ëâì \§ âà ¢®ç­ ï" ¬ áá , çâ®¡ë ¢ ®¤­®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨
䨧¨ç¥áª ï ¬ áá	à ¢­ï« áì 䨪á¨à®¢ ­­®¬ã §­ 祭¨î m1. ¨¤¨¬, çâ® ¯à¨ " ! 0
¢¥«¨ç¨­ m à á室¨âáï, ­® ª®­¥ç­®áâì m1 ®¡¥á¯¥ç¥­ !
­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦­® à áᬮâà¥âì ¨ ¢¥à設ã ;(4). ¥à¥¯¨è¥¬ (5.45) ¢
¢¨¤¥:
		g2 " "	6
i;(4)(pi) = g "	+	32 2	" ; 3 ; F (s; m; ) ; F (t; m; ) ; F (u; m; )								(5.53)

¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ãî (ª®­¥ç­ãî!) ª®­áâ ­âã á¢ï§¨ g1 ᮮ⭮è¥- ­¨¥¬:

			g1 = i;(4)(pi = 0)							(5.54)
â.¥. ç¥à¥§ ¢¥à設㠢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ç áâ¨æ á ­ã«¥¢ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨. ®£¤										¨§ (5.53)
¯®«ãç ¥¬:				g2 "
						6
g1 = g " +								; 3 ; 3F(0; m; )		(5.55)
				32 2		"
ç¨â ï g1 䨪á¨à®¢ ­­®© ª®­¥ç­®© ¢¥«¨ç¨­®©, áà §ã ¢¨¤¨¬, çâ® \§ âà ¢®ç­ãî"
ª®­áâ ­âã á¢ï§¨ g ­ã¦­® ᤥ« âì ¡¥áª®­¥ç­®© (¯à¨ " !									0). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯¥à¥áâà -
¨¢ ï ¢ëà ¦¥­¨¥ (5.55) á ¯®¬®éìî § ¬¥­ g ­ g1 ¨ m ­									m1 â ¬ £¤¥ íâ® âॡã¥âáï
(çâ® ¢á¥£¤ ¬®¦­® ᤥ« âì á â®ç­®áâìî ¤® ¨­â¥à¥áãîé¨å ­ á ç«¥­®¢ g2), ¬®¦­®
¯®«ãç¨âì ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï g ç¥à¥§ g1, ­ «®£¨ç­®¥ (5.52):
	"		3g12 ;2"					2
g = g1 ;		;	32 2					" ; ; F (0; m1; )		(5.56)

125

		¨á. 5-5
®£¤	¬®¦­® ¢ëà §¨âì ;(4) (5.53) ç¥à¥§ g1 â ª:
(4)	(pi) = g1 ;	g12 ;"
i;		32 2 [F (s; m1; ) + F (t; m1; ) + F (u; m1; ) ; 3F (0; m1; )] (5.57)

âáî¤ ­¥¯®á।á⢥­­® á«¥¤ã¥â (5.54), ¯®áª®«ìªã ¯à¨ p1 = p2 = p3 = p4 = 0 ¨¬¥¥¬

s = t = u = 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, 䨧¨ç¥áª ï (¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ ï) ª®­áâ ­â á¢ï§¨ g1 ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢¥«¨ç¨­®© i;(4) ¢ â®çª¥, £¤¥ ¢á¥ ¢­¥è­¨¥ ¨¬¯ã«ìáë à ¢­ë ­ã«î6. ¥¯¥àì

¢á¥ ã ­ á áâ «® ª®­¥ç­ë¬! ë ¯®«­®áâìî ¯à®¢¥«¨ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã ¢ ®¤­®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨.

ª ¢á¥ íâ® ¢ë£«ï¤¨â ¢ ¤¢ã寥⫥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨? í⮬ á«ãç ¥ ­ ¤® à á-

ᬮâà¥âì ¤¨ £à ¬¬ë, ¯®ª § ­­ë¥ ­ ¨á.5-5. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ­ «¨§ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢¥«¨ç¨­ G;1(p) = ;(2)(p) ¯à¨®¡à¥â ¥â ¤®¯®«­¨â¥«ì­ãî à á室¨-

¬®áâì ®â ¤¨ £à ¬¬ë ¨á.5-5(¡). â à á室¨¬®áâì ­¥ ãáâà ­ï¥âáï ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª®© ¬ ááë ¨ ª®­áâ ­âë á¢ï§¨. ­ ¯®£«®é ¥âáï ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¬ ¬ã«ì⨯«¨ª ⨢­ë¬ ä ªâ®à®¬, ª®â®àë© ¢¢®¤¨âáï ¤®®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­®© 2-â®ç¥ç­®© äã­ª- 樨 ᮮ⭮襭¨¥¬:

G;1

= ;(2)

= Z

'

(g

; m

; );(2)(p; m

1

)

(5.58)

r

r

1

1

(2)

ï¥âáï ª®­¥ç­®©,

ä ªâ®à Z' { ¡¥áª®­¥ç¥­. ¥«¨ç¨­

1=2

¤¥áì ¢¥«¨ç¨­ ;r

Z'

­ §ë¢ ¥âáï ª®­á⠭⮩ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨ ¢®«­®¢®© ä㭪樨. «ï Z' ¬®¦­® ­ ¯¨-

á âì à §«®¦¥­¨¥ ¢ àï¤ ¯® ç¨á«ã ¯¥â¥«ì, ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

Z

'

= 1 + g

Z

1

+ g2Z

2

+ ::: = 1 + g2Z

2

+ :::

(5.59)

1

1

1

¯®бª®«мªг ®¤­®¯¥в«¥¢®© ¢ª« ¤ ®вбгвбв¢г¥в. ¥а¥­®а¬¨а®¢ª ¢®«­®¢®© дг­ªж¨¨ ( ¬¯«¨вг¤л ¯®«п) ­¥ ¬®¦¥в ¡лвм б®¢¥аи¥­­® ¯а®¨§¢®«м­®©. «п ¥¥ ®¯а¥¤¥«¥­¨п ­г¦­® ¯®ва¥¡®¢ вм, зв®¡л ¢ ­¥ª®в®а®© в®зª¥, бª ¦¥¬ p2 = 0, ¢ë¯®«­ï«®áì ãá«®¢¨¥:

@

G;1(p)

2

=

@

;(2)

2

= 1

(5.60)

@p2

@p2

r

p

=0

r

p =0

ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â G;1(p) = p2 + :::. ë¡®à â®çª¨ p2 = 0 ¤®áâ â®ç­® ¯à®¨§¢®«¥­.

r

á室¨¬®áâì Z'

®§­ ç ¥â, çâ® ¢

¤¢ã寥⫥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ à ­¥¥

®¯à¥¤¥-

«¥­­ ï ¢¥«¨ç¨­ m1

¡¥áª®­¥ç­

(¢ ¯à¥¤¥«¥

"

!

0). ¤­ ª® ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ ï

(2)

G;1(p) = ;r

¤ ¥â ª®­¥ç­®¥ §­ 祭¨¥ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­®© ¬ ááë mr :

r

mr2 = Z'm12

(5.61)

6 â®, ¢¯à®ç¥¬, ­¥ ¥¤¨­á⢥­­ë© ᯮᮡ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯¥à­®à¬¨à®¢ ­­®© ª®­áâ ­âë á¢ï§¨. ­®- £¤ g1 ®¯à¥¤¥«ïîâ ç¥à¥§ i;(4) ¢ â ª ­ §ë¢ ¥¬®© ᨬ¬¥âà¨ç­®© â®çª¥ p2i = m2; pipj = ;m2=3 (i 6= j), ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â s = t = u = 4m2=3.

126

¨á. 5-6

­ ç¥ £®¢®àï, à á室¨¬®á⨠Z' ¨ m21 ᮪à é îâáï. ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¨§¬¥­ï-

¥âáï ¨ §­ 祭¨¥ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­®© ª®­áâ ­âë á¢ï§¨. «ï ;(4) ¨¬¥¥â ¬¥á⮠ᮮ⭮-

r

襭¨¥, ­ «®£¨ç­®¥ (5.58):

;r(4) = Z'2 ;(4) (p; m1; )

(5.62)

¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ­®¢ ï ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ ï ª®­áâ ­â á¢ï§¨ gr, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï á®- ®â­®è¥­¨¥¬, ­ «®£¨ç­ë¬ (5.49), ¨¬¥¥â ¢¨¤:

i;(4)	(p	i	= 0) = g	r	= Z2 g	1	g	r	= Z2 g	1	(5.63)
r					'				'

ªâ®à Z' ï¥âáï ä㭪樥© ¯¥à¥¬¥­­®© ¯®«ãç ¥¬ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ãî n-ç áâ¨ç­ãî

g ", ¢ë¯¨áë¢ ï íâã § ¢¨á¨¬®áâì ®, ¢¥à設­ãî äã­ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥:

;r(n)(pi; gr; mr; ) = Z'n=2(g " );(n)(pi; g; m)							(5.64)
¨«¨
;(n)(p	; g; m) = Z;n=2	(g ");(n)(p		; g	; m	; )	(5.65)
i	'	r	i	r	r

ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨ ¢ ¤¢ã寥⫥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ⥮à¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ᤥ« ­ ª®- ­¥ç­®©. ®åà ­ï¥âáï - «¨ íâ® ¢ ¦­¥©è¥¥ ᢮©á⢮ ¢® ¢á¥å ¯®à浪 å? â® ¢®¯à®á ¤®ª § ⥫ìá⢠¯¥à¥­®à¬¨à㥬®áâ¨. ­® ¤®áâ â®ç­® £à®¬®§¤ª®, ­® ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¢¥¤¥­® ¢® ¢á¥å ¯®à浪 å ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ( ©á®­). ®¤à®¡­® á ¤®ª § ⥫ì- á⢮¬ ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®á⨠¢ à §­ëå ¬®¤¥«ïå ⥮ਨ ¯®«ï ¬®¦­® ¯®§­ ª®¬¨âìáï ¢ ª­¨£¥ [4]. ⬥⨬ ⮫쪮, çâ® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®á⨠¢ ⥮ਨ '4 á«®¦­¥¥, 祬 ­ «®£¨ç­®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤«ï , ª®â®à®¥ ®¡«¥£ç ¥âáï ¡« £®¤ àï ª «¨¡à®¢®ç­®© ¨­¢ ਠ­â­®á⨠(⮦¤¥á⢮ ®à¤ ).

®­âàç«¥­ë.

ãé¥áâ¢ã¥â «ìâ¥à­ ⨢­ ï â®çª §à¥­¨ï ­ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã, ª®â®à ï áâ « ¢¥áì¬ à á¯à®áâà ­¥­ , ®á®¡¥­­® ¯®á«¥ ¯®ï¢«¥­¨ï ª­¨£¨ [4]. ­ á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë à áᬠâਢ âì ¯ à ¬¥âàë m ¨ g ¢ ¨á室­®¬ « £à ­¦¨ ­¥ áà §ã ¢ ª ç¥á⢥ ä¨- §¨ç¥áª¨å ¬ ááë ¨ § àï¤ (ª®­áâ ­âë á¢ï§¨). § ⮣® ä ªâ , çâ® íâ®â « £à ­¦¨ ­ ­¥ ¤ ¥â ª®­¥ç­ëå ä㭪権 ਭ , ¢ë⥪ ¥â âॡ®¢ ­¨¥, çâ® ¢ « £à ­¦¨ ­ ­ã¦­® ¢¢¥á⨠¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ç«¥­ë, ᮪à é î騥 à á室¨¬®áâ¨. å ­ §ë¢ îâ ª®­âà- ç«¥­ë. ¥à¥­®à¬¨à㥬 ï ⥮à¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ᤥ« ­ ª®­¥ç­®© ¢¢¥¤¥­¨¥¬ ª®­¥ç­®£® ç¨á« ª®­âàç«¥­®¢. áᬮâਬ ªà ⪮, ª ª íâ® ¤¥« ¥âáï.

áᬮâਬ ®¯ïâì ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã ¬ ááë ¢ ®¤­®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨, ®¯à¥- ¤¥«ï¥¬ãî ᮮ⭮襭¨ï¬¨ (5.49) { (5.52). ¥ ¬®¦­® ®¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.

¤­®¯¥â«¥¢ ï ¯®¯à ¢ª ª ᢮¡®¤­®¬ã ¯à®¯ £ â®àã ¯®ª § ­ ­				¨á. 5-6 ¨ à áå®-
¤¨âáï ¯à¨ " ! 0. ®¡ ¢¨¬ ª ¨á室­®¬ã « £à ­¦¨ ­ã L ç«¥­ ¢¨¤ :
	gm2		1
L1 = ;		'2	; 2 m2'2	(5.66)
	32 2"

127

¨á. 5-7

¨á. 5-8

£® ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ª ª ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥, ª®â®à®¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨§®¡à ¦ âì ­

¤¨ £à ¬¬ å \ªà¥á⨪®¬":
igm2
= ;16 2" = ;i m2	(5.67)

®£¤ , á â®ç­®áâìî g, ¯®«­ë© ®¡à â­ë© ¯à®¯ £ â®à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï £à 䨪 ¬¨¨á.5-7 ¨ à ¢¥­:

	1		igm2	1	+ ®­¥ç­ ï ç áâì +	igm2
;(2)(p) = iG(p);1	= i i	(p2	; m2) ; 16 2	"		16 2" =
						= p2 ; m2
						(5.68)

£¤¥ ®¯ãá⨫¨ ª®­¥ç­ë© ¢ª« ¤ (¨«¨ ¢ª«î稫¨ ¥£® ¢ m2). ¤¥áì m2 áç¨â ¥âáï ª®­¥ç-

­®© ¢¥«¨ç¨­®©, 䨧¨ç¥áª®© ¬ áᮩ, ª®â®à ï ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© à ¢­ ;;(2)(0). £à ­¦¨ ­ ¨¬¥¥â ⥯¥àì ¢¨¤ L + L1, £¤¥ L1 { à á-

室ï騩áï ª®­âàç«¥­.

¬ëá« à áᬮâ७¨ï ¬ áᮢ®£® ç«¥­ ¢ « £à ­¦¨ ­¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©- áâ¢¨ï ¯à®áâ. áᬮâਬ ᢮¡®¤­ãî ⥮à¨î:

1			1	2
L = 2(@ ')(@			') ; 2 m		'	(5.69)
¨ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ®­ ®¯¨áë¢ ¥â ¡¥§¬ áᮢ®¥ ¯®«¥ (¯¥à¢ë© ç«¥­ ¢ « £à ­¦¨ ­¥) á ¢§ ¨¬®¤¥©-
á⢨¥¬, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ ¢â®àë¬ ç«¥­®¬. à ¢¨«	¥©­¬ ­			¯®ª § ­ë ­		¨á.5-8. ®«­ë© ¯à®¯ £ -

â®à ⮣¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £à 䨪 ¬¨, ¯®ª § ­­ë¬¨ ­

¨á.5-9. १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî

¯à®£à¥áá¨î:

i

i

i

i

i

i

i

G(p) =

+

(;im2)

+

(;im2)

(;im2)

+ ::: =

(5.70)

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2 ; m2

â.¥. ï¥âáï ®¡ëç­ë¬ ¯à®¯ £ â®à®¬ ¬ áᨢ­®£® ¯®«ï. â® ¨ ¡ë«® ¨á¯®«ì§®¢ ­® ¯à¨ à áᬮâ७¨¨

¬ áᮢ®£® ª®­âàç«¥­ ¢ « £à ­¦¨ ­¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¢®§¬ã饭¨ï.

­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦­® à áᬮâà¥âì ;(4) . § (5.45) ¢¨¤­®, çâ® ¢¥«¨ç¨­

;(4), ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï £à 䨪 ¬ g2 , ¯®ª § ­­ë¬ ­

¨á.5-10, à á室¨âáï ¯à¨

" ! 0. ®£¤ ¬®¦­® ¤®¡ ¢¨âì ª « £à ­¦¨ ­ã ª®­âàç«¥­ ¢¨¤ :

¨á. 5-9

128

¨á. 5-10

¨á. 5-11

	1	3g2 "	Bg "
L2 =		16 2"'4 =	4! '4	(5.71)
	4!

â ª çâ® ¨¬¥¥¬ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥, ¯®ª § ­­®¥ ­ ¨á.5-11. १ã«ì- â ⥠;(4) áâ ­®¢¨âáï ª®­¥ç­®©, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­ ¨á. 5-12. ª®­¥æ, à á室¨- ¬®áâì ;(2) ¢ ¤¢ã寥⫥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨, ª ç¥á⢥­­® ®¯¨á ­­ ï ¢ëè¥, ¨ ¯à¨¢®¤¨¢-

è ï ª ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠㬭®¦¥­¨ï ¢¥«¨ç¨­ ;(n) ­

n=2

, íª¢¨¢ «¥­â­

¤®¡ ¢«¥­¨î

Z'

ª « £à ­¦¨ ­ã ª®­âàç«¥­

¢¨¤ :

A

L3 =

2 (@ ')2

(5.72)

£¤¥ 1 + A = Z'.

â ª, ª®­¥ç­ë¥ ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï ä㭪権 ਭ

¨ ¢¥à設 ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì, ¤®-

¡ ¢«ïï ª « £à ­¦¨ ­ã:

1

1

1

L =

@ '@ '

;

2m2'2 ;

g 4;d'4

(5.73)

2

4!

ª®­âàç«¥­ë LCT :

A

1

1

LCT =

@ '@ '

;

2 m2'2 ;

Bg 4;d'4

(5.74)

2

4!

®«­ë© « £à ­¦¨ ­, ª®â®àë© ¯à¨­ïâ® ­ §ë¢ âì \£®«ë¬" « £à ­¦¨ ­®¬ LB, à ¢¥­:

LB = L + LCT =

1 + A

1

1

=

2

@ '@ ' ; 2(m2 + m2)'2 ;

4!

(1 + B)g 4;d'4

(5.75)

¨á. 5-12

129

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ª®­âàç«¥­®¢ íª¢¨¢ «¥­â­® 㬭®¦¥­¨î ¢¥«¨ç¨­ ', m ¨ g ­ ­¥ª®â®àë¥ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢®ç­ë¥ ¬­®¦¨â¥«¨ Z (¬ã«ì⨯«¨ª ⨢­ ï ¯¥à¥­®à¬¨- ஢ª ). ¨¬¥­­®, ¥á«¨ ¢¢¥á⨠¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î \£®«ë¥" ¢¥«¨ç¨­ë:

'B

=

Z''r

Z' = 1 + A

p

2

=

m2 + m2

mB = Zmmr

Zm

1 + A

gB = "Zggr

Zg =

1 + B

(5.76)

(1 + A)2

â® \£®«ë©" « £à ­¦¨ ­ (5.75)

¯à¨¬¥â ¢¨¤:

1

1

2

2

1

4

LB = 2

@ 'B@

' ; 2mB'B

;

4!

gB'B

(5.77)

¬¥â¨¬, çâ® §¤¥áì ­¥â ®© § ¢¨á¨¬®á⨠®â . ¥«¨ç¨­ë A,B ¨ m2 ¯®¤à §ã¬¥- ¢ îâáï ¯®¤®¡à ­­ë¬¨ â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë ä㭪樨 ਭ ⥮ਨ ¡ë«¨ ª®­¥ç­ë (¯à¨ " ! 0). ­ ï§ëª¥ ª®­âàç«¥­®¢ ⥮à¨ï ï¥âáï ¯¥à­®à¬¨à㥬®©, ¥á«¨ ª®­- âàç«¥­ë, ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ᮪à 饭¨ï à á室¨¬®á⥩ ¢ ª ¦¤®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©, ¨¬¥îâ â®â ¦¥ ¢¨¤, çâ® ¨ ç«¥­ë, ¢å®¤ï騥 ¢ ¨á室­ë© « £à ­¦¨ ­.᫨ íâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, â® \£®«ë¥" ¢¥«¨ç¨­ë ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ë ¯à¨ ¯®¬®é¨ (¡¥áª®­¥ç­ëå!) ¯¥à¥­®à¬¨à®¢®ç­ëå ¬­®¦¨â¥«¥©, ª ª í⮠ᤥ« ­® ¢ëè¥. ਠí⮬ \£®«ë©" « £à ­¦¨ ­ ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ¢¨¤, çâ® ¨ ¨á室­ë©.

£à ­¦¨ ­ LB ¯à¨¢®¤¨â ª ª®­¥ç­®© ⥮ਨ, ¨á室­ë© L { ­¥â. â® ®§­ ç ¥â, çâ® \§ ¯àïâ ¢" ¢á¥ à á室¨¬®á⨠¢ 'B, mB ¨ gB ¬®¦­® ᤥ« âì ⥮à¨î ª®­¥ç­®© { à á室¨¬®á⨠¯®£«®é îâáï ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª®©. ᥠ\£®«ë¥" ¢¥«¨ç¨­ë à á室ïâáï ¯à¨ " ! 0 7, ⮣¤ ª ª ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¯à¨­¨¬ î⠯ਠ" ! 0 ª®­¥ç­ë¥, ­® ¯à®¨§¢®«ì­ë¥, §­ 祭¨ï. å á«¥¤ã¥â ®â®¦¤¥á⢨âì á 䨧¨ç¥áª¨¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨ ⥮ਨ.

à ¢­¥­¨¥ (5.65) ®ç¥¢¨¤­® ¨ ¨§ ¯®¤å®¤ , ®á­®¢ ­­®£® ­ ª®­âàç«¥­ å. § (5.76)

¨(5.77) ïá­®, çâ® ¢§ï¢ (5.77) ¢ ª ç¥á⢥ ¨á室­®£® « £à ­¦¨ ­ , ¬ë ¤®«¦­ë ¢®

¢á¥å ä®à¬ã« å ¤«ï ä㭪権 ਭ § ¬¥­¨âì m ! mB , g ! gB , ' ! 'B. ® ⥯¥àì ¬®¦­® (¨ ­ã¦­®!) ¢ëà §¨âì \£®«ë¥" ¯ à ¬¥âàë ç¥à¥§ 䨧¨ç¥áª¨¥ mr, gr

¨'r ᮣ« á­® ä®à¬ã« ¬ (5.76). ®£¤ ¯®«ã稬:

;(n)(pi; gB; mB ) = Z;n=2		;(n)(pi; gr; mr; )	(5.78)
B	'	r

зв® нª¢¨¢ «¥­в­® (5.65) (¨­¤¥ªб B в¥¯¥ам ¬®¦­® г¡а вм). вбгвбв¢¨¥ п¢­®© § ¢¨- б¨¬®бв¨ «¥¢®© з бв¨ нв®£® га ¢­¥­¨п ®в ®з¥¢¨¤­ ¨§ д®а¬л « £а ­¦¨ ­ (5.77), £¤¥ ¥¥ в ª¦¥ ­¥в.

¥­®à¬ «¨§ 樮­­ ï £à㯯 .

« ¢¥ 8 ç á⨠I ¬ë 㦥 ªà ⪮ ®¡á㦤 «¨ £à㯯㠯¥à¥­®à¬¨à®¢®ª (७®à¬ - £à㯯ã) ¢ . ¥â®¤ ७®à¬ - £àã¯¯ë ¨£à ¥â ®£à®¬­ãî à®«ì ¢ ª¢ ­â®¢®© ⥮- ਨ ¯®«ï [4, 8, 10] ¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥ [14, 15], â ª¦¥, ª ª ¨ ¢ ­¥ª®â®àëå

7 ਠª®­¥ç­ëå " ¯à®¡«¥¬ë à á室¨¬®á⥩ ­¥â ¢®®¡é¥.