Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2

160

m (GeV)

1.8
1.6
1.4			Ξ	Ω
			Σ	Ξ*
1.2	φ	Λ	Σ*
1.0	N		∆
	K*
0.8			GF11 infinite volume K−input
	K		CP−PACS K−input
0.6			CP−PACS φ−input

0.4

¨á. 6-6

᫨ { å à ªâ¥à­ë© ¬ áèâ ¡ ¨¬¯ã«ìᮢ, å à ªâ¥à¨§ãî騩 ¯¥à¥å®¤ ª ᨬ¯â®- â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤­®¬ã ¯®¢¥¤¥­¨î, â® ¯à¨ T ¯¥à¥¤ ¢ ¥¬ë© ¨¬¯ã«ìá ¢ ¯à®æ¥áá å ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¡ã¤¥â (¯®ç⨠¢á¥£¤ ) 㤮¢«¥â¢®àïâì ­¥à ¢¥­áâ¢ã Q2 2 . ®®в- ¢¥вбв¢¥­­®, ¡г¤¥в ¯а¨¬¥­¨¬ в¥®а¨п ¢®§¬гй¥­¨©. ® ¢ ¯¥авга¡ в¨¢­®¬ ¯®¤е®¤¥ ª ª¢ аª¨ ¨ £«о®­л п¢«повбп д¨§¨з¥бª¨¬¨ б®бв®п­¨п¬¨ в¥®а¨¨. в® ®§­ - з ¥в, зв® ¯а¨ T ¬л ¨¬¥¥¬ ¯®зв¨ ¨¤¥ «м­л© £ § ª¢ аª®¢ ¨ £«о®­®¢ (ª¢ аª { £«о®­­го ¯« §¬г). ­ з¥­¨¥ в ª®£® д §®¢®£® ¯¥а¥е®¤ ®з¥­м ¢¥«¨ª® ¤«п а¥и¥­¨п ап¤ § ¤ з бва®д¨§¨ª¨ ­¥©ва®­­ле §¢¥§¤ ¨ ª®б¬®«®£¨¨. ªб¯¥а¨¬¥­в «м­® нв® п¢«¥­¨¥ ¬®¦¥в ­ ¡«о¤ вмбп ¯а¨ бв®«ª­®¢¥­¨пе вп¦¥«ле п¤¥а, ¢ з бв­®бв¨, ¯¥а- ¢л¥ гª § ­¨п ­ ¥£® ­ ¡«о¤¥­¨¥ ¡л«¨ ¯®«гз¥­л ¢ нªб¯¥а¨¬¥­в е ¢ CERN ¢ 2000 £®¤г. ¥«¨з¨­г Tc ¢ëç¨á«ï«¨ ¬¥â®¤®¬ ®­â¥ - à«® ¢ à¥è¥â®ç­®© . ¨¯¨ç- ­ë¥ §­ 祭¨ï, ¯®«ãç î饥áï ¢ â ª¨å à áç¥â å, ᢮¤ïâáï ª Tc, «¥¦ 饩 ¢ ¨­â¥à¢ «¥ 0.15-0.20 MeV . ¥â «ì­ë© ®¡§®à ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ ¢ ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [56].

ä䥪⨢­ë© ¯®â¥­æ¨ « ¨ ¯¥â«¥¢®¥ à §- «®¦¥­¨¥.

®­ï⨥ íä䥪⨢­®£® ¯®â¥­æ¨ « ï¥âáï ¢¥áì¬ ¯®«¥§­ë¬ ¯à¨ à áᬮâ७¨¨ ⥮਩ ᮠᯮ­â ­­® ­ àã襭­®© ᨬ¬¥âਥ©. ­® ¤ ¥â ¢®§¬®¦­®áâì à áᬠâà¨- ¢ âì í⨠⥮ਨ ¯® áãé¥áâ¢ã â ª ¦¥, ª ª ⥮ਨ á ­¥­ àã襭­®© ᨬ¬¥âਥ©, ¨ ¢ëç¨á«ïâì ª¢ ­â®¢ë¥ ¯®¯à ¢ª¨ ª ª« áá¨ç¥áª®© ª à⨭¥ ᯮ­â ­­®£® ­ àã襭¨ï ᨬ¬¥âਨ, à áᬮâ७­®© ¢ëè¥.

¯ïâì à áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 á«ãç © ᪠«ïà­®£® ¯®«ï:

L =	1	(@ ')2 ; V (')	V (') =	m2	'2 +	g		'4 S['] = Z d4xL	(6.61)
	2			2		4!

	161
£à ­¦¨ ­ ¨­¢ ਠ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® ' ! ;', ®¤­ ª® ¢ á«ãç ¥ ᯮ­â ­­®£® ­ -
àã襭¨ï ᨬ¬¥âਨ â ª¨¬ ᢮©á⢮¬ ­¥ ®¡« ¤ ¥â à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï
dV
d' j'='0 = 0;	(6.62)
6
£¤¥ '0 = 0. â® ¢¨¤­® 㦥 ¨§ ¯à®¢¥¤¥­­®£® ¢ëè¥ ª« áá¨ç¥áª®£® ­ «¨§ .
¢ ­â®¢ë¥ ¯®¯à ¢ª¨, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ¢®§­¨ª îâ ¨§ ¯¥â«¥¢®£® à §«®¦¥­¨ï,	à á-

室¨¬®áâ¨, ª®â®àë¥ ®­¨ ᮤ¥à¦ â, ¤¥« îâ ­¥®¡å®¤¨¬®© ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã. á«®¢¨ï ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨ ä®à¬ã«¨à®¢ «¨áì ¢ëè¥ ¢ â¥à¬¨­ å 1 -ä㭪権 ;(n). ந§¢®- ¤ï騬 ä㭪樮­ «®¬ ¤«ï ä㭪権 ;(n)(x1; :::; xn) ï¥âáï íä䥪⨢­®¥ ¤¥©á⢨¥ ;('), ®¯à¥¤¥«¥­­®¥ ¢ (2.149). ¬ëá« í⮣® ­ §¢ ­¨ï ¯à®ïá­¨âáï ­¨¦¥.

ந§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¤«ï á¢ï§­ëå ¤¨ £à ¬¬ W [J] ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮣ« á­®

(2.130) ª ª:
eiW[J] =< 0j0 >J	(6.63)
®£¤ ª« áá¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ 'c (¢ ¯а¨бгвбв¢¨¥ ¨бв®з­¨ª	J) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ (2.150):

'c(x) =	W [J]	=	< 0j'(x)j0 >J
	J(x)		< 0j0 >J

ªã㬭®¥ á।­¥¥ §­ 祭¨¥ < ' > ¥áâì, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î:

< ' >= lim 'c

J!0

®£« á­® (2.149) íä䥪⨢­®¥ ¤¥©á⢨¥ ;['c] à ¢­®: ;('c) = W [J ] ; Z dxJ (x)'c (x)

¨, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (2.150), ®­® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î:

;['c] = ;J(x)

'c(x)

(6.64)

(6.65)

(6.66)

(6.67)

ਠJ(x) !	0 ¢¥«¨ç¨­					'c ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ª®­áâ ­âã, à ¢­ãî < ' >, â ª çâ®
¢ ªã㬭®¥ á।­¥¥ ®â ' ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ãà ¢­¥­¨ï:
									d;['c]	j<'> = 0	(6.68)
									d'c
¡ëç­®¥ à §«®¦¥­¨¥ ä㭪樮­ « ;['c] ¯® á⥯¥­ï¬ 'c § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
					1	1		Z
	;['c] =				X				dx1:::dxn;(n)(x1; :::; xn)'c(x1):::'c(xn)		(6.69)
					n=0 n!
¨«¨, çâ® íª¢¨¢ «¥­â­®, ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨:
	1	1		Z
;['c] =	X				dp1:::dpn (p1 + ::: + pn);(n)(p1; :::; pn)'c(p1 ):::'c(pn)						(6.70)
	n=0 n!

«ìâ¥à­ ⨢­ë¬ ï¥âáï à §«®¦¥­¨¥ ;['c] ¯® ¯®«î 'c ¨ ¥£® ¯à®¨§¢®¤­ë¬ ¢¨¤ :

;['c] = Z	dx f;U ('c (x))g +	1	(@ 'c )2Z('c (x))	(6.71)
		2

162

í⮬ á«ãç ¥, äã­ªæ¨ï (­¥ ä㭪樮­ «!) U ('c) ­ §ë¢ ¥âáï íä䥪⨢­ë¬ ¯®- â¥­æ¨ «®¬. ¨¦¥ ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à¥¤¥«¥ ®­ ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®â¥­æ¨ «®¬ V ('). á«ãç ¥, ª®£¤ 'c(x) =< ' >= ' = const, ¢á¥ ç«¥­ë ¯®á«¥¤­¥£® à §«®¦¥­¨ï, § ¨áª«î祭¨¥¬ ¯¥à¢®£®, ®¡à é îâáï ¢ ­ã«ì, â ª çâ®:

;['] = ; U(')

(6.72)

£¤¥ { ¯®«­ë© ®¡ê¥¬, § ­¨¬ ¥¬ë© ¯®«¥¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ { ¢à¥¬¥­¨. à ¢­¨¢ ï (6.70) ¨ (6.71), ¨¬¥¥¬:

X
U(') = ; 1		'n;(n)(pi		= 0)	(6.73)
n=0
á«®¢¨ï ­®à¬¨à®¢ª¨, ­ ª« ¤ë¢ ¥¬ë¥ ­			¢¥«¨ç¨­ë ;(2)(pi = 0) ¨ ;(4)(pi = 0) ¬®£ãâ
¡ëâì ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ ­ë ¢ â¥à¬¨­ å ¯®â¥­æ¨ «				U :
d2U('c )	j<'> = m2				(6.74)
d2'c
d4U('c)			j<'> = g		(6.75)
d4'c
஬¥ ⮣®, ãá«®¢¨¥ (6.68) ¤«ï ¢ ªã㬭®£® á।­¥£® ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤:
dU('c)		j<'> = 0			(6.76)
d'c

楫ìî ¨§ã祭¨ï ᢮©á⢠⥮ਨ ᮠᯮ­â ­­ë¬ ­ àã襭¨¥¬ ᨬ¬¥âਨ, 㤮¡­® ®¯à¥¤¥«¨âì ­®¢®¥ ¯®«¥ '0:

'0 = '; < ' >

(6.77)

¢ªã㬭®¥ á।­¥¥ ®â ª®â®à®£® à ¢­® ­ã«î.

¬¥â¨¬, çâ® ¯®áª®«ìªã ¢á¥ à á室¨¬®á⨠⥮ਨ ¯®£«®é¥­ë ª®­âàç«¥­ ¬¨ ¤® ⮣®, ª ª ¡ë«¨ ­ «®¦¥­ë ãá«®¢¨ï ­®à¬¨à®¢ª¨ (6.74), (6.75), ®ç¥¢¨¤­®, çâ® ¢ â¥- ®à¨¨ ᮠᯮ­â ­­ë¬ ­ àã襭¨¥¬ ᨬ¬¥âਨ ­¥ ᮤ¥à¦ âáï ­®¢ë¥ à á室¨¬®áâ¨, ᢥàå â¥å, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâáï ¢ ⥮ਨ á ­¥­ àã襭­®© ᨬ¬¥âਥ©, â ª çâ® áâàãª-

âãà à á室¨¬®á⥩ ¢ ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®© ⥮ਨ ¯®«ï ­¥ § âà £¨¢ ¥âáï ᯮ­â ­­ë¬

­àã襭¨¥¬ ᨬ¬¥âਨ.

©¬¥¬áï ¢ëç¨á«¥­¨¥¬ íä䥪⨢­®£® ¯®â¥­æ¨ « . ᯮ«ì§ã¥¬ (6.66) ¨ ­ ç­¥¬ á ¢ëç¨á«¥­¨ï ä㭪樮­ « W [J] ¬¥â®¤®¬ ¯¥à¥¢ « . ¯®¬­¨¬, çâ® â ª®¥ ¬¥â®¤

¯¥à¥¢ « , ­ ¯à¨¬¥à¥ ®¡ëç­®£® ¨­â¥£à « ¢¨¤ :

1
I = Z;1 dxe;f(x)						(6.78)
ãáâì äã­ªæ¨ï f (x) ¨¬¥¥â ¬¨­¨¬ã¬ ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥ x0. ®£¤						¨¬¥¥¬:
1
f(x) = f(x0) + 2(x ; x0)2f			00(x0) + :::			(6.79)
â ª çâ® ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:
1	1
I e;f(x0) Z;1 dxe;		(x;x0)f		00	(x0)
						(6.80)
	2

163

¨ § ¤ ç ᢥ« áì ª ¨§¢¥áâ­®¬ã ­ ¬ £ ãáᮢ㠨­â¥£à «ã, ª®â®àë© ã¦¥ «¥£ª® áç¨â -

¥âáï.

®ááâ ­ ¢«¨¢ ï ¯®áâ®ï­­ãî « ­ª

¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ä㭪樮­ «

W [J], ¨¬¥¥¬:

e

i

W[J]

= Z D'e

i

S[';J]

(6.81)

~

~

£¤¥

S['; J] = Z d4x[L(') + ~'(x)J(x)]

(6.82)

§ (6.61) ¨ (6.62) á«¥¤ã¥â à ¢¥­á⢮:

S['; J]

j'0

= ~J (x)

(6.83)

'(x)

ਠJ ! 0 í⮠᢮¤¨âáï ª ãá«®¢¨î íªáâ६ «ì­®á⨠¤¥©á⢨ï. §«®¦¨¬ ¤¥©á⢨¥

¢ ®ªà¥áâ­®á⨠'0:

S['; J ] = S['0; J] + Z dx['(x); '0]

S

j'0 +

'(x)

+

Z

1 Z

1

2S

2S

dx

dy 2['(x) ; '0] '(x) '(y)j'0 ['(y) ; '0] + ::: =

= S['0] + ~ Z

dx['(x); '0]J (x) + 2 Z dx Z dy['(x) ; '0]

j'['(y) ; '0 ] + :::

'(x) '(y)

(6.84)

£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (6.83). 믮«­ïï ä㭪樮­ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥, ¬®¦­®

ã¡¥¤¨âìáï, çâ®:

2S

j'0

= ;[2 + V 00('0 )] (x ; y)

(6.85)

'(x) '(y)

᫨ ¯®«®¦¨âì '0 = ' ; '0, â® à §«®¦¥­¨¥ (6.84) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤:

S['; J] = S['0; J] + ~ Z dx'0(x)J (x) ;

1

Z dx'0(x)[2 + V 00('0)]'0(x) + :::

(6.86)

2

®¤áâ ­®¢ª

í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï ¢ (6.81) ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ¬¥â®¤

¯¥à¥¢ «

¤ ¥â

(¯¨è¥¬ §¤¥áì ¢¬¥áâ® '0 ¯à®áâ® '):

;~ 2 Z dx'[2 + V 00('0)]'

exp ~ W = exp

~ S['0; J] Z D' exp

(6.87)

i

i

i 1

£¤¥ ®¯ã饭 ¢ª« ¤ ¢â®à®£® ç«¥­

¨§ (6.86), ¯®áª®«ìªã ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï

¯¥à¥å®¤ ª ¯à¥¤¥«ã J

!

0. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¯¥â«¥¢®¥ à §«®¦¥­¨¥ (íª¢¨¢ «¥­â­®¥,

1=2

', ¨áª«îç ï â ª¨¬ ®¡à -

ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, à §«®¦¥­¨î ¯® ~), § ¬¥­¨¬ ' ! ~

§®¬ ~ ¨§ ¢â®à®© íªá¯®­¥­âë ¢ (6.87). ¥à¥©¤¥¬ ¢ ¨­â¥£à «¥ ¢ í⮩ íªá¯®­¥­â¥ ª

¥¢ª«¨¤®¢ã ¯à®áâà ­áâ¢ã, â ª çâ® ¨á祧­¥â ¥é¥ ¨ ¬­¨¬ ï ¥¤¨­¨æ

i. ¥¯¥àì ¯à¨

¢ëç¨á«¥­¨¨ ä㭪樮­ «ì­®£® ¨­â¥£à «

¨á¯®«ì§ã¥¬ ®¡ëç­ãî ä®à¬ã«ã £ ãáᮢ

¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¨ ¯®«ã稬:

exp

i

W = exp

i

S['0; J ] (Det[2 + V 00('0)]);1=2

(6.88)

~

~

164
ᯮ«ì§ãï ᮮ⭮襭¨¥ DetA = expSp ln A, ¯®«ãç ¥¬:
	W[J ] = S['0] + ~ dx'0(x)J (x) +					i~	Sp ln[2 + V 00('0 )]			(6.89)
					2
	Z
â® ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤ ¥â W [J] á ãç¥â®¬ ®¤­®¯¥â«¥¢®© ª¢ ­â®¢®© ¯®¯à ¢ª¨, ç«¥­ë O(~2)
®¯ã饭ë. ¥¯¥àì ¬®¦­® ¯®¤áâ ¢¨âì (6.89) ¢ (6.66). ® á­ ç « ¢ëà §¨¬ S['c] ç¥à¥§
S['0 ]. ®« £ ï '0 = 'c ; '1, ¨¬¥¥¬:
	S['0] = S['c ; '1] = S['c] ; Z dx'1(x)							S
									j'c + :::
								'(x)
		= S['c] ; ~ Z			dx'1(x)J(x) + :::					(6.90)
®£¤	¯®¤áâ ­®¢ª (6.89) ¨ (6.90) ¢ (6.66) ¢ ¯à¥¤¥«¥ J ! 0 ¤ ¥â:
			i~
	;['c] = S['c] +			Sp ln[2 + V 00('0)]						(6.91)
			2

{ íä䥪⨢­®¥ ¤¥©á⢨¥ á ãç¥â®¬ ®¤­®¯¥â«¥¢®© ª¢ ­â®¢®© ¯®¯à ¢ª¨. ãáâì â¥-

¯¥àì 'c(x) = ' = const. ®£¤ ;[']		®¯à¥¤¥«ï¥âáï (6.72),	¨§ (6.61) á«¥¤ã¥â
S['] = ; V ('). ®®â¢¥âá⢥­­®, ¨§ (6.91) ¯®«ãç ¥¬ íä䥪⨢­ë© ¯®â¥­æ¨ « ¢¨¤ :
U (') = V (') ;	i~	;1Sp ln[2 + V 00(')]	(6.92)
	2

âáî¤ ¢¨¤¨¬, çâ® ¯à¨ ~ ! 0 (¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à¥¤¥«¥) íä䥪⨢­ë© ¯®â¥­æ¨ « ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ª« áá¨ç¥áª¨¬ ¯®â¥­æ¨ «®¬ V ('), íä䥪⨢­®¥ ¤¥©á⢨¥ (6.91) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ª« áá¨ç¥áª®¥ (6.61). ®áª®«ìªã è¯ãà ®¯¥à â®à ᢮¤¨âáï ª á㬬¥ (¨­- â¥£à «ã) ¯® ¢á¥¬ ᮡá⢥­­ë¬ §­ 祭¨ï¬, ¬®¦­® (¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¥¢ª«¨¤®¢ã ¨¬- ¯ã«ìá­®¬ã ¯à®áâà ­áâ¢ã) ¯¥à¥¯¨á âì (6.92) ¢ ¢¨¤¥:

U (') = V (') +

= V (') + ~2 Z

~			4	kE
		d				ln[kE2 + V 00(')] =
2 Z		(2 )4
d4kE			ln			kE2	+ m2 +	1g'2		(6.93)
(2 )4
								2

ëà ¦¥­¨ï â ª®£® ⨯ ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¨§ã祭¨ï ¢®¯à®á ® ᯮ­â ­­®¬ ­ àã襭¨¨ ᨬ¬¥âਨ á ãç¥â®¬ ª¢ ­â®¢ëå ¯®¯à ¢®ª. ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¥¬áï ­ ¬¨ ¢ëè¥ ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¯à¨ m2 > 0 ¢ ªã㬠¡ë« ­¥¢ë஦¤¥­­ë¬, ¯à¨ m2 < 0 ¢®§­¨ª «® ¢ë஦¤¥­¨¥ ¨ ᯮ­â ­­®¥ ­ àã襭¨¥ ᨬ¬¥âਨ (ä §®¢ë© ¯¥à¥- 室). â® ¡ã¤¥â á ãç¥â®¬ ª¢ ­â®¢ëå ¯®¯à ¢®ª, ¢ ç áâ­®á⨠¯à¨ m2 = 0? § ®¤­®- ¯¥â«¥¢®£® ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï íä䥪⨢­®£® ¯®â¥­æ¨ « á«¥¤ã¥â ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¥ ­¥âà¨-

¢¨ «ì­®£® ¬¨­¨¬ã¬ ¯à¨ ' 6= 0 ¨ ¯à¨ m2 = 0 { ¯à®¨á室¨â ᯮ­â ­­®¥ ­ àã襭¨¥, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­®¥ ª¢ ­â®¢ë¬¨ ¯®¯à ¢ª ¬¨. ᮦ «¥­¨î, ®¤­®¯¥â«¥¢®¥ ¯à¨¡«¨¦¥- ­¨¥ ­¥¤®áâ â®ç­® ¤«ï ¯®«­®£® ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï í⮩ § ¤ ç¨ [8, 11]. ®«¥¥ ¯®¤à®¡­® á ä®à¬ «¨§¬®¬ íä䥪⨢­®£® ¯®â¥­æ¨ « , ¥£® á¢ï§ìî á £à㯯®© ¯¥à¥­®à¬¨à®¢®ª ¨

¤à㣨¬¨ ᯥªâ ¬¨ ⥮ਨ ¬®¦­® ¯®§­ ª®¬¨âìáï ¯® ®¡§®àã [57].

áᬮâ७­®¥ ¢ëè¥ ¯¥â«¥¢®¥ à §«®¦¥­¨¥, ïî饥áï, ä ªâ¨ç¥áª¨, à §«®¦¥­¨¥¬ ¯® áâ¥-

¯¥­ï¬ ~, ­¥ ¯® á⥯¥­ï¬ ª®­áâ ­âë á¢ï§¨ g, ¯à¥â¥­¤ã¥â ¢ í⮬ á¬ëá«¥ ­					¢ë室 §	à ¬ª¨
⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©. ¤­ ª® íâ® ­¥ ᮢᥬ â ª! ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ g á ¬					¯® ᥡ¥ ­¥áãé¥-
á⢥­­ . à®é¥ ¢á¥£® íâ® ¯®­ïâì, ¥á«¨ ¯¥à¥©â¨ ª '0 = g'. ®£¤				« £à ­¦¨ ­ ⥮ਨ '4		¬®¦¥â
¡ëâì ¯¥à¥¯¨á ­ ª ª:
1		1	1
L =		2 @ '0@ '0	; 2m2'02 ; '04			(6.94)
	g2

165

ª¨¬ ®¡à §®¬ g ¢®®¡é¥ ­¥ ¯®ï¢«ï¥âáï ¢ ª« áá¨ç¥áª¨å ãà ¢­¥­¨ïå ¤¢¨¦¥­¨ï ¨, ª § «®áì ¡ë, ¥¥ §­ 祭¨¥ ­¥áãé¥á⢥­­®. â®, ª®­¥ç­®, ­¥ â ª ¢ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¨ ¤¥«® âãâ, ª ª à §, ¢ ¯®ï¢«¥­¨¨

~. ¥«® ¢ ⮬, çâ® ¢ ª¢ ­â®¢®¬ á«ãç ¥ ¢á¥£¤			䨣ãà¨àã¥â ®â­®è¥­¨¥:
1	1		1
~L =			2	@ '0@ '0 + :::	(6.95)
	g2~

¨ áãé¥á⢥­­ë¬ ¯ à ¬¥â஬ ï¥âáï g2~. ®í⮬ã, ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥ (¬ «ë¥ ~), ä ªâ¨ç¥áª¨, â¥á­® á¢ï§ ­® á ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥¬ á« ¡®© á¢ï§¨ (¬ «ë¥ g).

­áâ ­â®­ë ¢ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥.

¥âਢ¨ «ì­ë¥ ­¥¯¥àâãࡠ⨢­ë¥ íä䥪âë ¢ ª¢ ­â®¢®© ¬®£ãâ ¢®§­¨ª âì ¤ ¦¥ ¯à¨ ¬ «ëå §­ 祭¨ïå ª®­áâ ­âë á¢ï§¨, ª®£¤ , ª § «®áì ¡ë ­¨ª ª¨å ᮬ­¥­¨© ¢ ¯à¨¬¥- ­¨¬®á⨠⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ¡ëâì ­¥ ¬®¦¥â. ¤­ ª® íâ® ­¥ ¢á¥£¤ â ª! ¦¥ ¢ ®¡« - á⨠¬ «ëå §­ 祭¨© ª®­áâ ­âë á¢ï§¨ ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì ¥­¨ï, ¤«ï ®¯¨á ­¨ï ª®â®àëå ⥮à¨ï ¢®§¬ã饭¨© ᮢ¥à襭­® ­¥ ¤¥ª¢ â­ 6 . ਬ¥à®¬ ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ®¯¨á ­¨¥ íä䥪⮢ ª¢ ­â®¢®¬¥å ­¨ç¥áª®£® âã­­¥«¨à®¢ ­¨ï.

ç­¥¬ á ®¡ëç­®© ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨. áᬮâਬ ç áâ¨æã ¥¤¨­¨ç­®© ¬ ááë,

¤¢¨¦гйгобп ¢ ®¤­®¬¥а­®¬ ¯®в¥­ж¨ «¥:
H =	1	2	; V (x)
	2p			(6.96)

¨¦¥ ¬ë ¯®«ã稬 ¨§¢¥áâ­ë¥ १ã«ìâ âë ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨, ­® ¤®áâ â®ç­® ­¥- ®¡ëç­ë¬ ᯮᮡ®¬, ª®â®àë© ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ 㤮¡­® ®¡®¡é¨âì ­ á«ãç © ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï.

¢ª«¨¤®¢ë ¨­â¥£à «ë ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬.

áᬮâਬ ¥¢ª«¨¤®¢ã (¬­¨¬®¥ ¢à¥¬ï!) ¢¥àá¨î 䥩­¬ ­®¢áª®£® ¨­â¥£à « ¯® âà - ¥ªâ®à¨ï¬:

	< xf je;HT=~jxi >= N Z [dx]e;S=~				(6.97)
¤¥áì	jxi > ¨ jxf > { ᮡá⢥­­ë¥ á®áâ®ï­¨ï ®¯¥à â®à ª®®à¤¨­ âë ç áâ¨æë, H
{ ¥¥ £ ¬¨«мв®­¨ ­. ¥аг ¨­в¥£а¨а®¢ ­¨п, ®¡®§­ з ¢игобп ¢ли¥ ª ª Dx, ⥯¥àì
®¡®§­ ç ¥¬ [dx], ¢¥«¨ç¨­ã T áç¨â ¥¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­®©.
¢¥¤¥¬, ª ª ®¡ëç­®, ¯®«­ë© ­ ¡®à ᮡá⢥­­ëå á®áâ®ï­¨© £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ :
		Hjn >= Enjn >			(6.98)
¨ § ¯¨è¥¬:			X
	< xf je;HT=~jxi >=			e;En T=~ < xf jn >< njxi >	(6.99)
			n
®£¤	¢ ¯à¥¤¥«¥ T ! 1 §¤¥áì ®áâ	¥âáï ⮫쪮 ¢ª« ¤ ®á­®¢­®£® á®áâ®ï­¨ï.

6 ¯®á«¥¤ãî饬 ¨§«®¦¥­¨¨ ¬ë á«¥¤ã¥¬, ¢ ®á­®¢­®¬, «¥ªæ¨ï¬ ®ã«¬í­ [58], ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­® á í⨬¨ ¯à®¡«¥¬ ¬¨ ¬®¦­® ¯®§­ ª®¬¨âìáï ¯® ¯à¥ªà á­®© ª­¨£¥ [59]

166

¯à ¢®© ç á⨠(6.97) á⮨⠥¢ª«¨¤®¢® ¤¥©á⢨¥:

T=2 1	dx		2
S = Z;T=2 dt "2	dt		+ V #	(6.100)

­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ [dx] ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬, ¯®¤ç¨­¥­­ë¬ £à ­¨ç-

­ë¬ ãá«®¢¨ï¬: x(;T=2) = xi, x(T=2) = xf . ®¤à®¡­¥¥, ¥á«¨ x(t) { ¤ ­­ ï äã­ªæ¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï â ª¨¬ ãá«®¢¨ï¬, â® ¯à®¨§¢®«ì­ ï äã­ªæ¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï

⥬ ¦¥ ãá«®¢¨ï¬, ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ¢ ¢¨¤¥:

x(t) = x(t) +

X

cnxn(t)

(6.101)

n

£¤¥ xn(t) ®¡à §ãîâ ¯®«­ãî á¨á⥬㠮àâ®­®à¬¨à®¢ ­­ëå ä㭪権, ®¡à é îé¨åáï ¢ ­ã«ì ­ £à ­¨æ å:

T=2
Z;T=2 dtxn(t)xm (t) = nm		xn( T=2) = 0	(6.102)
®£¤ ¬¥àã [dx] ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª:
[dx] = (2 ~);1=2dcn			(6.103)
	n
	Y
祢¨¤­®, çâ® â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë \¯¥à¥¡¥à¥¬" ¢á¥ âà ¥ªâ®à¨¨,			®â 䥩­¬ ­®¢áª®£®
®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤ ­­®¥ ®â«¨ç ¥âáï ⮫쪮 ­®à¬¨à®¢®ç­ë¬ ¬­®¦¨â¥«¥¬.

à ¢ãî ç áâì (6.97) ­¥âà㤭® á®áç¨â âì ¢ ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ (¬ - «ë¥ ~!). á­®¢­®© ¢ª« ¤ ¢ ¤¥©á⢨¥ ¤ îâ ⮣¤ â®çª¨ ¢¡«¨§¨ íªáâ६ «ì­®© âà - ¥ªâ®à¨¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¨§:

S	d2x	+ V 0(x) = 0
x	= ; dt2		(6.104)

{ ¥¢ª«¨¤®¢ ãà ¢­¥­¨ï ìîâ®­ . 롥६ xn ¢ ¢¨¤¥ ᮡá⢥­­ëå ä㭪権 ¢â®à®© ¢ ਠ樮­­®© ¯à®¨§¢®¤­®© ¤¥©á⢨ï S ­ x:

;	d2xn	+ V 00(x)xn = nxn	(6.105)
	dt2

뢮¤ (6.105) ᢮¤¨âáï ª á«¥¤ãî饬ã. ­ «®£¨ç­® à áᬮâ७¨î, ¯à®¢¥¤¥­­®¬ã ¢ á ¬®¬ ­ - ç «¥ « ¢ë 2 ç á⨠I, ¯¥à¢ ï ¢ ਠæ¨ï ¤¥©á⢨ï, ¯à¨ ¢ àì¨à®¢ ­¨¨ âà ¥ªâ®à¨¨ x ! x+a, ¢ ¤ ­­®© § ¤ ç¥ á¢®¤¨âáï ª:

		T=2			d2x	+ V 0(x) dt = 0
	S = ;a Z;T=2 dt ;m dt2						¯à¨ x = x	(6.106)
®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â § ª®­ ìîâ®­				(6.104). ᫨ §¤¥áì á­®¢ ¯à®¢ àì¨à®¢ âì x ! x + a, â® ¯®«ã稬:
	T=2	d2(x + a)				T=2
2
	S = ;a Z;T=2 dt dt2
					+ V (x + a) = ;a Z;T=2 dt[;x		; a + V 0(x) + V 00(x)a] =
							T=2
						= ;a Z;T=2 dt[;a + V 00(x)]		(6.107)

167

¨á. 6-7

£¤¥ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯®á«¥¤­¥¬ã à ¢¥­áâ¢ã ¨á¯®«ì§®¢ «¨ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï (6.104). ®£¤		ãá«®¢¨¥
2S > 0 (¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ a) ¤ ¥â
d2a	+ V 00(x)a > 0
; m dt2		(6.108)

çâ® íª¢¨¢ «¥­â­® (6.105).

®£¤ , ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¬ «ëå ~, ¯®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ (6.101) ¢ (6.100), ®£à ­¨ç¨¢ ¥¬áï ª¢ ¤à â¨ç­ë¬¨ ®âª«®­¥­¨ï¬¨ âà ¥ªâ®à¨© ®â ª« áá¨ç¥áª®© x, â ª çâ® ¨­â¥£à «ë ¯® cn áâ ­®¢ïâáï £ ãáᮢ묨, ¨ ¬ë ­ 室¨¬:

< xf	e;HT=~	xi >=		N	e;S(x)=~	Y	;1=2[1 + O(~)] =
j	j						n
						n
= Ne;S(x)=~			Det(;@t2 + V 00(x)) ;1=2 [1 + O(~)]					(6.109)

᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ­¥áª®«ìª® áâ 樮­ à­ëå â®ç¥ª ¤¥©á⢨ï, â® ¨å ¢ª« ¤ë ­ã¦­® ¯à®á㬬¨à®¢ âì.

¬¥â¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¥¢ª«¨¤®¢® ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï (6.104) íª¢¨¢ «¥­â­® ®¡ëç- ­®¬ã ­ìîâ®­®¢áª®¬ã ãà ¢­¥­¨î ¤«ï ç áâ¨æë ¥¤¨­¨ç­®© ¬ ááë, ¤¢¨¦ã饩áï ¢ ¯®- â¥­æ¨ «¥ ¬¨­ãá V ! «ï â ª®£® ãà ¢­¥­¨ï ¨¬¥¥¬ ¨­â¥£à « ¤¢¨¦¥­¨ï:

	1	dx		2
E =	2	dt		; V (x)	(6.110)

áᬮâਬ ¯®â¥­æ¨ « V , ¨§®¡à ¦¥­­ë© ­ ¨á.6-7( ). ãáâì xi = xf = 0. ­¢¥àâ¨- ஢ ­­ë© ¯®â¥­æ¨ « ¨§®¡à ¦¥­ ­ ¨á.6-7(¡). 祢¨¤­®, çâ® ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥ ª« áá¨ç¥áª¨å ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï ¢ í⮬ ¯®â¥­æ¨ «¥, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 £à ­¨ç- ­ë¬ ãá«®¢¨ï¬, ¨¬¥¥â ¢¨¤:

			x = 0								(6.111)
{ ç áâ¨æ ¯®ª®¨âáï ­ ¢¥à設¥. «ï í⮣® à¥è¥­¨ï ¨¬¥¥¬ S = 0. ®£¤											¨§ (6.109)
¨¬¥¥¬:
< 0je;HT=~j0 >= N[Det(;@t2 + !2)];1=2 [1 + O(~)]											(6.112)
£¤¥ ­ã«¨ ®¡®§­ ç îâ ¯¥à¥å®¤ ¨§ ­ ç «				ª®®à¤¨­ â ¢ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â, !2 =
V 00(0) { ª¢ ¤à â ç áâ®âë ¬ «ëå ª®«¥¡ ­¨© ¢¡«¨§¨ ¬¨­¨¬ã¬ ¯®â¥­æ¨ «											V . ®¦­®
¯®ª § âì [58], çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å T :
	2		2 1=2			!		;1=2		!T=2
N	[Det(@t	+ ! )];		=		~			e;		(6.113)

168

¨á. 6-8

®£¤ ¨§ (6.112) ¨ à áá㦤¥­¨© ¢®ªà㣠(6.99) áà §ã ¢¨¤¨¬, çâ® í­¥à£¨ï ®á­®¢­®£® á®áâ®ï­¨ï, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥, ¥áâì:

E0 =	1~![1 + O(~)]	(6.114)
	2

â.¥. í­¥à£¨ï ®á樫«ïâ®à , ᮢ¥àè î饣® ­ã«¥¢ë¥ ª®«¥¡ ­¨ï ¢¡«¨§¨ ¬¨­¨¬ã¬ V .¥à®ïâ­®áâì ç áâ¨æ¥ ¯à¥¡ë¢ âì ¢ ­ ç «¥ ª®®à¤¨­ â, ª®£¤ ®­ ­ 室¨âáï ¢ ®á­®¢- ­®¬ á®áâ®ï­¨¨, à ¢­ :

	!			1=2
j < x = 0jn = 0 > j2	=			[1 + O(~)]	(6.115)
		~

â® ¢á¥¬ ¨§¢¥áâ­ë¥ १ã«ìâ âë ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ª¢ ­â®¢®© ¬¥å - ­¨ª¨. ®¡á⢥­­® £®¢®àï, ¨§ â ª®£® ᮮ⢥âá⢨ï áà §ã ïá­ á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì (6.113).¨§¨ª ¤¥« ⮦¥ ¢¯®«­¥ ïá­ { ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¬ «ëå ~ ç áâ¨æ ­ 室¨âáï ¢ ®á­®¢­®¬ á®áâ®ï­¨¨ £ ମ­¨ç¥áª®£® ®á樫«ïâ®à , ¢¡«¨§¨ ­ ç « á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â.

¢ãåêï¬­ë© ¯®â¥­æ¨ « ¨ ¨­áâ ­â®­ë.

áᬮâਬ ⥯¥àì ¡®«¥¥ ¨­â¥à¥á­ë© ¯à¨¬¥à { ¤¢ãåêï¬­ë© ¯®â¥­æ¨ «, ¨§®¡à ¦¥­-

						;	2
­ë© ­ ¨á.6-8(a). í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ V (x) = V (						x), ¯à¨ç¥¬ ¬¨­¨¬ã¬ë ¯®â¥­æ¨-
« à ᯮ«®¦¥­ë ¢ â®çª å x = a. ¢¥¤¥¬ â ª¦¥ !								= V 00( a) { ª¢ ¤à â ç áâ®âë
ª «áá¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ­¨© ç áâ¨æë ¢¡«¨§¨ ¬¨­¨¬ã¬®¢. ááç¨â ¥¬ á«¥¤ãî騥 ¬-
¯«¨âã¤ë ¯¥à¥å®¤ :
< ;aje;HT=~j ; a >=< aje;HT=~ja >									(6.116)
< a	e;HT=~	j ;	a >=<	;	a e;HT=~			a >	(6.117)
j					j		j

¯¯à®ªá¨¬¨àãï ¨­â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ª¢ §¨ª« áᨪ®©, ¢ ¤ãå¥ ¯à®¢¥¤¥­­®£® ⮫쪮 çâ® à áᬮâ७¨ï ç áâ¨æë ¢ ®¤­®© ﬥ. ª ç¥á⢥ ¯¥à¢®£® è £ ­ã¦­® ®¯ïâì ­ ©â¨ à¥è¥­¨ï ª« áá¨ç¥áª¨å ¥¢ª«¨¤®¢ëå ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï (6.104), 㤮- ¢«¥â¢®àïî騥 ­ã¦­ë¬ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬. ãé¥áâ¢ã¥â ¤¢ ®ç¥¢¨¤­ëå à¥è¥­¨ï { ª®£¤ ç áâ¨æ ¢á¥ ¢à¥¬ï ¯à¥¡ë¢ ¥â ­ ¢¥à設¥ ¯à ¢®£® ¨«¨ «¥¢®£® 宫¬ ¨á.6-

8(b). ¤­ ª® ¥áâì ¨ ¡®«¥¥	¨­â¥à¥á­®¥ à¥è¥­¨¥ { ª®£¤	ç áâ¨æ áâ àâã¥â á ®¤­®© ¨§
¢¥à設 (­ ¯à¨¬¥à «¥¢®©)	¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ ;T=2,	§ ⥬ ¯¥à¥ª âë¢ ¥âáï ­ ¯à -

¢ãî ¢¥à設㠪 ¬®¬¥­âã +T=2 (T ! 1). í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á à¥è¥­¨ï¬¨

169

¨á. 6-9

ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï á E = 0 (¯®áª®«ìªã E = 0 ¢ ­ ç «ì­®¬ á®áâ®ï­¨¨ x = a).®®â¢¥âá⢥­­® (á¬. (6.110)):

ddtx = p2V ; (6.118) ¨ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤:

	t = t1 + Z0x dx0	p	1			(6.119)
			2V
£¤¥	t1 { ª®­áâ ­â ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï (¢à¥¬ï, ¯à¨ ª®â®à®¬				x = 0).	â® à¥è¥-
­¨¥,	®ç¥¢¨¤­®, ¨¬¥¥â ¢¨¤, ¯®ª § ­­ë© ­ ¨á.6-9. ª®¥				à¥è¥­¨¥	­ §ë¢ ¥âáï

¨­áâ ­â®­®¬7, 業âà¨à®¢ ­­ë¬ ¢ â®çª¥ t1 . ¥àª «ì­® ᨬ¬¥âà¨ç­®¥ à¥è¥­¨¥ ¬®¦­® ­ §¢ âì ­â¨¨­áâ ­â®­®¬. ¦­® ¯®¤ç¥àª­ãâì, çâ® ¨­áâ ­â®­ ®¡« ¤ ¥â ª®- ­¥ç­ë¬ ¤¥©á⢨¥¬:

T=2 1	dx		2	T=2	dx		2	a
								= Z;a dxp2V
S0 = Z;T=2 dt "2	dt			+ V # = Z;T=2 dt dt						(6.120)

£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (6.118). ਠ¡®«ìè¨å t ¨¬¥¥¬ x ! a, â ª çâ® (6.118) ¬®¦­® ¯- ¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì ª ª:

	dx
		=	p	!2	(x ; a)2	= !(a ; x)	(6.121)
	dt
â ª çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å t:
			(a ; x) e;!t				(6.122)

{ ¨­áâ ­â®­ \«®ª «¨§®¢ ­ ¢® ¢à¥¬¥­¨" (­ ¢à¥¬¥­ å !1 ), çâ® ¨ ¯®ïá­ï¥â ¯à®¨áå®- ¦¤¥­¨¥ ­ §¢ ­¨ï.

б­®, зв® ¯а¨ ¡®«ми¨е T ­¥ в®«мª® ¨­бв ­в®­ ¨ ­в¨¨­бв ­в®­ п¢«повбп а¥- и¥­¨п¬¨ га ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨п, ­® ¯а¨¡«¨¦¥­­л¬¨ а¥и¥­¨п¬¨ п¢«повбп в ª¦¥ ¨

楯®çª¨ ¨§ å®à®è® à §¤¥«¥­­ëå ¨­áâ ­â®­®¢ ¨	­â¨¨áâ ­â®­®¢. ਬ¥à â ª®© ª®­-
䨣ãà 樨 ¯®ª § ­ ­ ¨á.6-10, £¤¥ ¨¬¥¥âáï n ®¡ê¥ªâ®¢ (¨­áâ ­â®­®¢ ¨«¨		­â¨¨­-
áâ ­â®­®¢), 業âà¨à®¢ ­­ëå ¢ â®çª å t1; :::; tn:
T	T
2 > t1 > t2 > ::: > tn > ; 2		(6.123)

®®â¢¥âá⢥­­®, ¢ ¨­â¥£à «¥ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ­¥®¡å®¤¨¬® ¯à®á㬬¨à®¢ âì ¢ª« ¤ë ®â ¢á¥å â ª¨å ª®­ä¨£ãà 権.

7 நá宦¤¥­¨¥ í⮣® ­ §¢ ­¨ï á¢ï§ ­® á ®ç¥¢¨¤­®© ­ «®£¨¥© á ᮫¨â®­®¬, ­® ¯®¤ç¥àª¨¢ ¥â, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® à¥è¥­¨¨ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï.