Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2

130

¤àã£¨å ®¡« áâïå ⥮à¥â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ®í⮬㠧¤¥áì ¬ë ¯à®¢¥¤¥¬ ¡®«¥¥ ¯®- ¤à®¡­®¥ ¥£® ®¡á㦤¥­¨¥. ¤® § ¬¥â¨âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â æ¥«ë© àï¤ (ä ªâ¨ç¥áª¨ íª¢¨¢ «¥­â­ëå) ä®à¬ã«¨à®¢®ª í⮣® ¬¥â®¤ . ¯à¨¬¥à ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I ¯à¥®¡à - §®¢ ­¨ï ७®à¬ - £à㯯ë á¢ï§ë¢ «¨áì á ¯¥à¥å®¤®¬ ®â ®¤­®£® §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ­¨ï à á室ïé¨åáï ¨­â¥£à «®¢ ª ¤à㣮¬ã, ¢ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥­¨© ç - áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï [14] ä®à¬ã«¨à®¢ª ¨«ìá®­ , á¢ï§ ­­ ï á ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì­ë¬ ¨­- ⥣à¨à®¢ ­¨¥¬ ¯® ®¡« áâï¬ ¨¬¯ã«ìá­®£® ¯à®áâà ­á⢠, á ¯¥à¥å®¤®¬ ª ãç¥â㠢ᥠ¡®«¥¥ ¤«¨­­®¢®«­®¢ëå ä«ãªâã 権 ¨ â. ¯. ¤¥áì ¬ë ¯à¨¤¥à¦¨¢ ¥¬áï ­ ¨¡®«¥¥ ç - á⮠㯮âॡ«ï¥¬®£® ¢ ᮢ६¥­­®© «¨â¥à âãॠ¯® ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï (å®âï ¨ ­¥áª®«ìª® ä®à¬ «ì­®£®) ¯®¤å®¤ , ®á­®¢ ­­®£® ­ ¬¥â®¤¥ à §¬¥à­®© ॣã«ïਧ 樨 [8].

à ¬ª å ⥮ਨ à §¬¥à­®© ॣã«ïਧ 樨 ¬ë ¢¢¥«¨ ¢ ⥮à¨î ¯à®¨§¢®«ì­ë©

¯à ¬¥âà à §¬¥à­®á⨠¬ ááë. ¢¨á¨¬®áâì ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­®© 1 -ä㭪樨 ®â ®¯à¥¤¥«ï¥âáï, ᮣ« á­® (5.64), ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 -§ ¢¨á¨¬®áâìî ¯¥à¥­®à¬¨-

஢®ç­®£® ¬­®¦¨â¥«ï Z'. ­ë¬¨ á«®¢ ¬¨ (áà.(5.65), (5.78)) ­¥¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ ï (\£®« ï") äã­ªæ¨ï ;(n) ­¥ § ¢¨á¨â ®â :

;(n)(p	; g; m) = Z;n=2 (g ");(n)(p				; g	; m	; )			(5.79)
i		'	r	i	r	r
¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨­¢ ਠ­â­ ®â­®á¨â¥«ì­® £àã¯¯ë ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©:
! es	¨«¨	= es 0		â.¥.		s = ln				(5.80)
								0

⨠¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¨ ®¡à §ãîâ ७®à¬ «¨§ 樮­­ãî £à㯯ã (७®à¬ - £à㯯ã,

	£à㯯㠯¥à¥­®à¬¨à®¢®ª). ¢®¤ï ¡¥§à §¬¥à­ë© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë© ®¯¥à â®à							@	,
	¯®«ã稬:						@
					@
						;(n) = 0	(5.81)
				@
	¨«¨, ãç¨âë¢ ï (5.79):
		@	[Z;n=2	(g ");(n) (pi; gr; mr; )] = 0			(5.82)
		@
			'			r

£¤¥ gr ¨ mr § ¢¨áïâ ®â . ஢®¤ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ ¨ 㬭®¦ ï १ã«ìâ â ­

n=2

, ¯®«ãç ¥¬:

Z'

@

@

@gr @

@mr @

;n

@

lnpZ' +

@

+ @

@gr

+

@

@mr

;(rn) = 0

(5.83)

¤ «ì­¥©è¥¬, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ¡ã¤¥¬ ¢¥§¤¥ ¯¨á âì g ¢¬¥áâ® gr ¨ m ¢¬¥áâ® mr ,

¯®¤à §ã¬¥¢ ï, çâ® ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ⮫쪮 á ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ë¬¨ ¢¥«¨ç¨­ ¬¨. ®®¡é¥,
¢ (5.83) ¢å®¤ïâ ⮫쪮 ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¢ëà ¦¥­¨ï, ª®­¥ç­ë¥ ¯à¨ " ! 0.
¯à¥¤¥«¨¬ á«¥¤ãî騥 ä㭪樨:
			@m
m m(g) = @
	@
(g) =		ln		Z'
@			p@g
(g) = @						(5.84)

									131
®£¤ ãà ¢­¥­¨¥ (5.83) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤:
		@	+ (g)	@	; n (g) + m m (g)		@	;(n) = 0	(5.85)
		@		@g			@m
â® ®á­®¢­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ७®à¬ «¨§ 樮­­®© £à㯯ë, ­ §ë¢ ¥¬®¥ ¨­®£¤									ãà ¢­¥-
­¨¥¬ «« ­ - ¨¬ ­§¨ª . ­® ¢ëà ¦ ¥â ¨­¢ ਠ­â­®áâì ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­®©
ä㭪樨 ;(n) ®â­®á¨â¥«ì­® § ¬¥­ë ¯ à ¬¥âà ॣã«ïਧ 樨 .
¯¨è¥¬ ⥯¥àì ­ «®£¨ç­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ¢ëà ¦ î饥 ¨­¢ ਠ­â­®áâì ä㭪樨
;(n)	®â­®á¨â¥«ì­® ¨§¬¥­¥­¨ï ¬ áèâ ¡					¨¬¯ã«ìᮢ (¬ ááë). ãáâì ¯à®¨§¢®¤¨âáï § -
¬¥­	pi ! tpi, m ! tm, ! t . ã­ªæ¨ï ;(n) ¨¬¥¥â ¬ áᮢãî à §¬¥à­®áâì D,
®¯à¥¤¥«ï¥¬ãî ᮣ« á­® ¯à¨¢¥¤¥­­®© ¢ëè¥ â ¡«¨æ¥ à §¬¥à­®á⥩, á«¥¤ãî騬 ¢ë-
à ¦¥­¨¥¬:
					d		n
		D = d + n 1 ; 2				= 4 ; n + " 2 ; 1			(5.86)
£¤¥ d = 4 ; ". ®£¤ ¨¬¥¥¬:
			;(n)(tpi; tm; t ) = tD ;(n) (pi; m; )						(5.87)
çâ® ¯®á«¥ ¯à®áâëå § ¬¥­ ¯¥à¥¬¥­­ëå tm ! m;~ m ! m=t;~ m~ ! m ¨ t ! ~; !
~=t; ~ ! ; m~ ! m, ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:
			;(n)(tpi; m; ) = tD ;(n)(pi; m=t; =t)						(5.88)

ã­ªæ¨ï ;(n) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¤­®à®¤­ãî äã­ªæ¨î ᢮¨å ¯¥- ६¥­­ëå á® á⥯¥­ìî ®¤­®à®¤­®á⨠D.

¤­®à®¤­ë¥ ä㭪樨. ¥®à¥¬ ©«¥à .

¯®¬­¨¬ ®á­®¢­ë¥ ä ªâë ®¡ ®¤­®à®¤­ëå äã­ªæ¨ïå. ã­ªæ¨ï u = f(x1; x2; :::; xm) ­ §ë¢ ¥âáï ®¤­®à®¤­®© ä㭪樥© á⥯¥­¨ p, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå t ¢ë¯®«­ï¥âáï:

u = f(tx1; :::; txm) = tpf(x1; :::; xm)

(5.89)

«ï ®¤­®à®¤­ëå ä㭪権 ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६ ©«¥à :

x1	@u	+ ::: + xm	@u	= pu
	@x1		@xm

á ¬®¬ ¤¥«¥, à áᬮâਬ u = f(tx01; :::; tx0m), £¤¥ (x01; :::; x0m) ¯à®¨§¢®«ì­ ï â®çª ¤¥«¥­¨ï ä㭪樨. ®£¤ ¨¬¥¥¬:

	du	@u			@u
	dt jt=1 =		x10 + ::: +			xm0
		@x1			@xm
¤à㣮© áâ®à®­ë
du	= ptp;1f(x10; :::; xm0 )			â ª çâ®
dt
	du	= pf (x10; :::; xm0 ) = pu
	dt jt=1

à ¢­¥­¨¥ (5.91) á (5.92) ¨ ¤ ¥â (5.90).

§ (5.88), ¯® ⥮६¥ ©«¥à , ¯®«ãç ¥¬:

t	@		+ m	@	+	@	; D ;(n)(tpi; g; m; ) = 0
	@t			@m		@

(5.90)

¨§ ®¡« á⨠®¯à¥-

(5.91)

(5.92)

(5.93)

132

᪫îç ï			@;(n)		¨§ (5.85) ¨ (5.93), ¯®«ãç ¥¬ ¤àã£ãî § ¯¨áì ãà ¢­¥­¨ï «« ­ -
			@
¨¬ ­§¨ª :
;t	@	+		@		; n (g) + m( m (g) ; 1)	@	+ D ;(n)(tpi; g; m; ) = 0	(5.94)
	@t			@g			@m

ª®â®à ï ­¥¯®á।á⢥­­® ¢ëà ¦ ¥â १ã«ìâ â ¨§¬¥­¥­¨ï ¬ áèâ ¡ ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ;(n) ¢ t à §. ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ (g) = (g) = m (g) = 0, â® íâ®â १ã«ìâ â ¯à®áâ®

¡г¤¥в ®¯а¥¤¥«пвмбп ª ­®­¨з¥бª®© а §¬¥а­®бвмо D, ª ª ¨ б«¥¤®¢ «® ¡л ®¦¨¤ вм, ¨бе®¤п ¨§ \­ ¨¢­®£®" а §¬¥а­®£® ­ «¨§ . ¥®¡е®¤¨¬®бвм а бᬮва¥­¨п ¯¥а¥­®а- ¬¨а®¢®ª ¨, б«¥¤®¢ в¥«м­®, ®в«¨з­ле ®в ­г«п дг­ªж¨© (g); (g); m(g), á¢ï§ ­ á ­ «¨ç¨¥¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ª®â®à®¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥­¨î ­®¬ «ì­ëå à §¬¥à­®- á⥩.

©¤¥¬ ⥯¥àì à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (5.94). â® ãà ¢­¥­¨¥ ¢ëà ¦ ¥â â®â ä ªâ, çâ® ¨§¬¥­¥­¨¥ ¢¥«¨ç¨­ë t ¬®¦¥â ¡ëâì ᪮¬¯¥­á¨à®¢ ­® § áç¥â ¨§¬¥­¥­¨ï ¢¥«¨ç¨­ m ¨ g ¨ ®¡é¥£® ¬­®¦¨â¥«ï. ।¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ä㭪樨 g(t), m(t) ¨ f(t),

â ª¨¥, çâ®:

;(n)(tp; m; g; ) = f (t);(n)(p; m(t); g(t); )

(5.95)

¨ää¥à¥­æ¨àãï ¯® t, ¯®«ãç ¥¬:

@

df (t)

@m @;(n)

@g @;(n)

;(n)(tp; m; g; ) =

;(n)(p; m(t); g(t); ) + f(t) @t

+

(5.96)

@t

dt

@t

@t @g

¨«¨, á ãç¥â®¬ (5.95):

@

df(t)

@m

@

@g @

t

;(n)(tp; m; g; ) =

t dt

+ f(t)t

+ f(t)t @t

;(n)(p; m(t); g(t); ) =

@t

@t

@m

@g

df(t)

@m

@

@g @

1

= t

+ tf (t)

+ tf(t) @t @g

;(n)(tp; m; g; )

dt

@t @m

f (t)

(5.97)

çâ®, ¯®á«¥ ¯¥à¥­®á «¥¢®© ç á⨠­ ¯à ¢®, ᢮¤¨âáï ª:

@

t df(t)

@m

@

@g @

;t

+

dt

+ t

+ t

@t

;(n) (tp; m; g; ) = 0

(5.98)

@t

f (t)

@t

@m

@g

à ¢­¨¬ ⥯¥àì ãà ¢­¥­¨ï (5.94) ¨ (5.98). à¨à ¢­¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ @=@g ¯®«ãç ¥¬ â ª ­ §ë¢ ¥¬®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¥««- ­­ { ®ã:

t	@g(t)	= (g)	(5.99)
	@t

¥«¨ç¨­ g(t) ­ §ë¢ ¥âáï \¡¥£ã饩" ª®­á⠭⮩ á¢ï§¨, äã­ªæ¨ï (g) ­ §ë¢ ¥âáï ä㭪樥© ¥««- ­­ { ®ã. â® ãà ¢­¥­¨¥ ¨£à ¥â äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî à®«ì ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ­ ï äã­ªæ¨î (g)

¬®¦­® ­ ©â¨ g(t). á®¡ë© ¨­â¥à¥á, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â	ᨬ¯â®â¨ª g(t)
¯à¨ t ! 1. ª ç¥á⢥ ­ ç «ì­®£® ãá«®¢¨ï ¤«ï (5.99) ¨¬¥¥¬ ãá«®¢¨¥ g(1) = g.
à ¢­¥­¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¯à¨ @=@m ¢ (5.94) ¨ (5.98) ¤ ¥â:
t @m@t = m[ m (g) ; 1]	(5.100)

133

¨á. 5-13

¨§ áà ¢­¥­¨ï ®áâ ¢è¨åáï ç«¥­®¢ á«¥¤ã¥â:

t df (t)

= D

; n (g)

(5.101)

f(t) dt

®á«¥¤­¥¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¬®¦­® ¯à®¨­â¥£à¨à®¢ âì ¨ ¯®«ãç¨âì:

t

n (g(t))

f(t) = tD exp ;Z0

dt

(5.102)

t

¯®¤áâ ¢«ïï ª®â®à®¥ ¢ (5.95) ¨ ãç¨âë¢ ï D = 4 ; n +

"

;

n

; 1 , ¢ ¯à¥¤¥«¥ " ! 0

2

¯®«ãç ¥¬:

t

(g(t))

;(n)(tp; m; g; ) = t4;n exp ;n Z0

dt

;(n)(p; m(t); g(t); )

(5.103)

t

â® ¨ ¥áâì à¥è¥­¨¥ (5.94), ¢ëà ¦¥­­®¥ ç¥à¥§ \¡¥£ãéãî" ª®­áâ ­âã á¢ï§¨ g(t) ¨ \¡¥- £ãéãî" ¬ ááã m(t). ªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë© ç«¥­ ®¯à¥¤¥«ï¥â ­®¬ «ì­ãî à §¬¥à­®áâì.ª¨¬ ®¡à §®¬, 䨧¨ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìá å ®¯à¥¤¥«ï¥âáï äã­ªæ¨ï¬¨ g(t) ¨ m(t). ®®â­®è¥­¨ï ⨯ (5.103), ¢ ­¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥, ¯®§¢®«ïîâ ­ «¨§¨à®¢ âì á¨âã æ¨î ¨ ¢­¥ ®¡« á⨠¯à¨¬¥­¨¬®á⨠⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©.

¯à¥¤¥«¥ ®ç¥­ì ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¬ áá ¬¨ ç áâ¨æ ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì. ®- í⮬ã, ®¡ëç­® ¢¥áì ­ «¨§ ¯à®¢®¤¨âáï ⮫쪮 á ãà ¢­¥­¨¥¬ ¥««- ­­ { ®ã (5.99). áᬮâਬ å à ªâ¥à­ë¥ ¢®§¬®¦­®áâ¨, ª®â®àë¥ âãâ ¢®§­¨ª îâ. á ¡ã¤¥â

¨­â¥à¥á®¢ âì ¯®¢¥¤¥­¨¥ g(t) ¯à¨ t ! 1. à ¢­¥­¨¥ ¥««- ­­			{ ®ã ¨¬¥¥â ¢¨¤:
t	@g(t)	= (g)	(5.104)
	@t

®§¬®¦­ë¥ ¢ ਠ­âë ª ç¥á⢥­­®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï ä㭪樨 (g), ª®â®àë¥ ¨áç¥à¯ë- ¢ îâ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢á¥ ¢®§¬®¦­®á⨠¯®ª § ­ë ­ ¨á.5-13. á«®¢¨¥ (g = 0) = 0 ¢ë¯®«­ï¥âáï ¢á¥£¤ , í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⥮ਨ ¡¥§ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ¥®à¨ï ¢®§¬ã- 饭¨© ¯®§¢®«ï¥â, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ­¨¦¥, ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®¢¥¤¥­¨¥ (g) ¢¡«¨§¨ g = 0, ®­® ª¢ ¤à â¨ç­® ¯® g. ¯à¨­æ¨¯¥ ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì ¨ ­ã«¨ (g) ¯à¨ ª®­¥ç­ëå g, ­ ¬ ¤®áâ â®ç­® à áᬮâà¥âì «¨èì ®¤¨­ { ¯à¨ g = g0, çâ®¡ë ¯®­ïâì ª ª ª¨¬ á«¥¤áâ¢¨ï¬ ¯à¨¢¥¤¥â ¥£® áãé¥á⢮¢ ­¨¥. áᬮâਬ á­ ç « (g), ¯®ª § ­­ãî ­

¨á.5-13( ). 㫨 í⮩ ä㭪樨 ¯à¨ g = 0 ¨ g = g0 ­ §ë¢ îâáï 䨪á¨à®¢ ­­ë¬¨ â®çª ¬¨. ¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯à¨ t ! 1 ¨ ­ ç «ì­ëå §­ 祭¨ïå g ¢¡«¨§¨ g0

134

¢¥«¨ç¨­ g(t), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ¨§ (5.104), áâ६¨âáï ª g0 . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨ ­ ç «ì- ­®¬ g < g0 ¨¬¥¥¬ (g) > 0, â ª çâ® g à áâ¥â á à®á⮬ t ¨ áâ६¨âáï ª g0 (£¤¥ à®áâ ®áâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï). ­ «®£¨ç­®, ¯à¨ ­ ç «ì­®¬ g > g0 ¨¬¥¥¬ (g) < 0 ¨ g ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ t, â.¥. â ª¦¥ áâ६¨âáï ª g0, ¤¢¨£ ïáì ¢ ®âà¨æ ⥫쭮¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨. ª¨¬ ®¡à §®¬ g(1) = g0 { ¨¬¥¥¬ ã«ìâà 䨮«¥â®¢® ãá⮩稢ãî 䨪á¨à®¢ ­­ãî â®çªã { 䨪á¨à®¢ ­­®¥ §­ 祭¨¥ ª®­áâ ­âë á¢ï§¨ (§ àï¤ ) ¯à¨ ®ç¥­ì ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ì- á å. ਠ¬ «ëå ­ ç «ì­ëå §­ 祭¨ïå g ¢ ¯à¥¤¥«¥ t ! 0 ¢á¥£¤ ¨¬¥¥¬ g = 0 { ¨­äà ªà á­® ãá⮩稢ãî 䨪á¨à®¢ ­­ãî â®çªã (\¬®áª®¢áª¨© ­ã«ì"). ᫨ ­ã«ï ä㭪樨 ¥««- ­­ { ®ã ¯à¨ ª®­¥ç­ëå g ­¥â, ãà ¢­¥­¨¥ (5.104) ¤ ¥â ­¥¯à¥àë¢- ­ë© à®áâ g ¯à¨ t ! 1, 䨪á¨à®¢ ­­®£® §­ 祭¨ï § àï¤ ­¥ ¢®§­¨ª ¥â. ᫨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå à£ã¬¥­â (g) g ¨ > 1, ⮠⥮à¨ï áâ ­®¢¨âáï ¢­ãâ७­¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®© { ­¥¨§¡¥¦­® ¢®§­¨ª ¥â à á室¨¬®áâì g ¯à¨ ª®­¥ç­ëå §­ 祭¨ïå t.ਠ1 ¨¬¥¥¬ ¬®­®â®­­ë© à®áâ g ¯à¨ t ! 1 { ⥮à¨ï ­¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ , ­® ¯à¨ t ! 1 ¨¬¥¥¬ ¯¥à¥å®¤ ¢ ®¡« áâì \ᨫ쭮© á¢ï§¨".

¥¯¥àì à áᬮâਬ (g), ¯®ª § ­­ãî ­ ¨á.5-13(¡). ­®¢ ¨¬¥¥¬ ¤¢¥ 䨪á¨à®- ¢ ­­ë¥ â®çª¨, ®¤­ ª® §­ ª (g) ⥯¥àì ¤à㣮©, â ª çâ® g = g0 ï¥âáï ¨­äà ªà á­® ãá⮩稢®© 䨪á¨à®¢ ­­®© â®çª®© (t ! 0), g = 0 { ã«ìâà 䨮«¥â®¢® ãá⮩稢®© 䨪á¨à®¢ ­­®© â®çª®© (t ! 1). ¯®á«¥¤­¥¬ á«ãç ¥ g ! 0 ¯à¨ t ! 1 ¨ ¢§ ¨¬®¤¥©- бв¢¨¥ г¬¥­ми ¥вбп ¯® ¬¥а¥ а®бв н­¥а£¨¨ (¨¬¯г«мб ), ®¡а й пбм ¢ ¯а¥¤¥«¥ ¢ ­г«м.в® п¢«¥­¨¥ ­ §л¢ ¥вбп б¨¬¯в®в¨з¥бª®© б¢®¡®¤®©. а¨ ®вбгвбв¢¨¨ ­г«п дг­ª- ж¨¨ (g) ¯а¨ ª®­¥з­ле §­ з¥­¨пе g §¤¥бм ¢®§­¨ª ов ¯а®¡«¥¬л ¢ ®¡« бв¨ ¬ «ле ¨¬¯г«мб®¢ (¡®«ми¨е а ббв®п­¨©) { ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨¥ а бв¥в ¨ ¬®¦¥в ¨¬¥вм ­¥д¨§¨- з¥бªго а б室¨¬®бвм. «о¡®¬ б«гз ¥, §¤¥бм ¯а®¨б室¨в ¯¥а¥е®¤ ª \б¨«м­®© б¢п§¨" ­ ¡®«ми¨е а ббв®п­¨пе (ª®­д ©­¬¥­в ?).

§«®¦¥­­ë¥ ¢®§¬®¦­®á⨠¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¨áç¥à¯ë¢ îâ ¢ ਠ­âë ᨬ¯â®â¨ç¥- ᪮£® ¯®¢¥¤¥­¨ï ¢ «î¡®© ¬®¤¥«¨ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ª ç¥á⢥ ª®­ªà¥â­®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ ⥮à¨î g'4 (g > 0). áᬮâਬ १ã«ìâ â ®¤­®¯¥â«¥¢®£® ¯à¨- ¡«¨¦¥­¨ï (5.55) ¤«ï ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­®© ª®­áâ ­âë á¢ï§¨. ¯ãáª ï ­¥áãé¥á⢥­- ­ë¥ ª®­¥ç­ë¥ ¯®¯à ¢ª¨ ¬®¦¥¬ ­ ¯¨á âì:

g1 = g " 1 +						3g			(5.105)
					16 2"
âáî¤ ¨¬¥¥¬:						3g2
	@g1	= "g	"	+				"	(5.106)
	@					16 2

ਠª®­¥ç­ëå " âã⠢ᥠª®­¥ç­® ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ (á ⮩ ¦¥ â®ç­®áâìî) ¯¥à¥¯¨á âì

	(5.106) ª ª:
		@g		3g2
		1	= "g1 " +	1	"	(5.107)
		@		16 2

¯®â®¬ ¯à®áâ® ®¯ãáâ¨âì ¨­¤¥ªá 1, áç¨â ï, çâ® à ¡®â ¥¬ á ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­®© (ä¨-

§¨ç¥áª®©) ª®­á⠭⮩ á¢ï§¨. ®£¤				¨§ (5.107), ¯à¨ " ! 0, ¯®«ãç ¥¬ äã­ªæ¨î ¥««-
­­ { ®ã:									3g2
						@g
		(g) =				@ =				(5.108)
								16 2
¢®¤ï s = ln t = ln		, â ª çâ®	@	= t	@	, ¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ (5.107) ¢ ¢¨¤¥:
	0				@s
		@
				@g			3g2
				@s =						(5.109)
							16 2

135

âáî¤

¨ ¡¥§ ¢á类£® áç¥â ¢¨¤­®, çâ® \¡¥£ãé ï" ª®­áâ ­â

á¢ï§¨ ⥮ਨ '4 ¢®§à -

áâ ¥â á à®á⮬ s, â.¥. á à®á⮬ ¨¬¯ã«ìá , â ª ç⮠⥮à¨ï ­¥ ï¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨

᢮¡®¤­®©. ã­ªæ¨ï ¥««- ­­ { ®ã g2. «¥¬¥­â à­®¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ãà ¢-

­¥­¨ï (5.109) á ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ g(s = 0) = g0 ¤ ¥â:

g0

g =

=

1 ;

3

g0s

16 2

=

g0

=

g0

(5.110)

1 ;

3

g0 ln t

1 ;

3

g0 ln

16 2

16 2

0

à®á⮬ t (¨«¨ ) ª®­áâ ­â á¢ï§¨ à áâ¥â ¨, ¢ ª®­æ¥ ª®­æ®¢, ¬ë ­ â «ª¨¢ ¥¬áï

­ ­¥ä¨§¨ç¥áªãî ᨭ£ã«ïà­®áâì (\«®¦­ë©" ¯®«îá) 1 =

3

g0 ln(

), ç⮠ᮮ⢥â-

16

0

áâ¢ã¥â

= 0 exp

16 2

. ¨âã æ¨ï §¤¥áì ¢¯®«­¥ ­ «®£¨ç­ 㦥 ¢áâà¥ç ¢è¥©áï

3g0

­ ¬ ¢ ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I. â® ¦¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¯®¤à®¡­® à áᬠâਢ «®áì ­ ¬¨

¢ëè¥ ¢ « ¢¥ 2 ¯à¨ ®¡á㦤¥­¨¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥­¨©.

§ã¬¥¥âáï ¯®«ã祭­ë¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ä㭪樨 ¥««- ­­

{ ®ã 楫¨ª®¬ ®á­®-

¢ ­® ­

®¤­®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¨ ä®à¬ «ì­® á¯à ¢¥¤«¨¢® ⮫쪮 ¯à¨ ¤®áâ -

â®ç­® ¬ «ëå §­ 祭¨ïå ª®­áâ ­âë á¢ï§¨ g. ®¯à®á ® ¯®¢¥¤¥­¨¨ í⮩ ä㭪樨 ¯à¨

¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå ª®­áâ ­âë á¢ï§¨,

á ­¨¬ ¨ ¢®¯à®á ® ­¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®á⨠â¥-

®à¨¨ g'4 , ¢ §­ ç¨â¥«ì­®© ¬¥à¥, ®áâ ¥âáï ®âªàëâë¬. à拉 à ¡®â, ¤«ï g ! 1

¡ë«® ¯®«ã祭®

ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ (g), ­¥áãé¥á⢥­­® ®â«¨ç î饥áï ®â

१ã«ìâ ⮢ ®¤­®¯¥â«¥¢®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï, çâ® ®§­ ç «®-¡ë ¢­ãâ७­îî ¯à®â¨¢®à¥-

稢®áâì ⥮ਨ, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á® áâ ன â®çª®© §à¥­¨ï ­¤ ã, ®¡á㦤 ¢è¥©áï ¢

« ¢¥ 8 ç á⨠I. ⬥⨬, ¢¯à®ç¥¬, ­¥¤ ¢­îî à ¡®âã8 , ¢ ª®â®à®© ¡ë«® ¯®«ã祭®

¯®¢¥¤¥­¨¥ (g) g0:96, ª®â®à®¥, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ ᮠᤥ« ­­ë¬¨ ¢ëè¥ § ¬¥ç ­¨ï¬¨

®§­ ç ¥â, çâ® íâ

¯à®á⥩è ï ¬®¤¥«ì ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ï¥âáï ¢­ãâ७­¥

­¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®©.

¬¥â¨¬, ç⮠⥮à¨î g'4 \«¥£ª® ᤥ« âì"

ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤­®©, ¥á«¨ áç¨â âì, çâ® g < 0.

®£¤ , ®ç¥¢¨¤­®, ᬥ­¨âáï §­ ª ¯¥à¥¤ «®£ à¨ä¬®¬ ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ (5.110) ¨ íä䥪⨢­ ï ª®­áâ ­â á¢ï§¨ ¡ã¤¥â ¯ ¤ âì á à®á⮬ t ¨ . ¤­ ª® â ª ï ⥮à¨ï ­¥ãá⮩稢 , ã ­¥¥ ­¥â ®á­®¢­®£® á®áâ®ï- ­¨ï (¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï ¯®«ï ¬®¦¥â ¡ëâì ᪮«ì 㣮¤­® ¡®«ì让 ®âà¨æ ⥫쭮© ¢¥«¨ç¨­®©), ¯®í⮬㠢 ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ®­ , ®¡ëç­®, ­¥ à áᬠâਢ ¥âáï. ¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨© ¢ ਠ­â â ª®© ¬®¤¥«¨, ᢮¤ï騩áï ª ®¡®¡é¥­­®¬ã ä㭪樮­ «ã ­¤ ã (2.159) á ç¨á«®¬ ª®¬¯®- ­¥­â ¯®«ï n = 0 (!), ®¯¨áë¢ ¥â, ª ª ®ª §ë¢ ¥âáï, ¤¢¨¦¥­¨¥ í«¥ªâà®­ ¢ á«ãç ©­®¬ ¯®«¥ ¯à¨¬¥á¥© á

â®ç¥ç­ë¬ ¯®â¥­æ¨ «®¬ V , å ®â¨ç¥áª¨ à §¡à®á ­­ëå ¢ ¯à®áâà ­á⢥ á® á।­¥© ¯«®â­®áâìî , ¥á«¨ ¢ (2.159) áç¨â âì g = ; V 2 ¨ = ;E, £¤¥ E { í­¥à£¨ï í«¥ªâà®­ . â § ¤ ç â¥á­® á¢ï§ ­ á ¥é¥

­¥ ¤® ª®­æ à¥è¥­­®© ¯à®¡«¥¬®© «®ª «¨§ 樨 í«¥ªâà®­®¢ ¢ ­¥ã¯®à冷祭­ëå á¨á⥬ å (®¤­¨¬ ¨§ ®á­®¢­ëå ¬¥å ­¨§¬®¢ ¯¥à¥å®¤ ¬¥â «« { ¤¨í«¥ªâਪ). ç áâ­®áâ¨, ¢®§­¨ª î騥 §¤¥áì ¯à®¡«¥¬ë ®ª §ë¢ îâáï â¥á­® á¢ï§ ­­ë¬¨ á ¯à®¡«¥¬®© ®¯¨á ­¨ï ¨­äà ªà á­®© ®¡« á⨠ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨á¢®- ¡®¤­ëå ¬®¤¥«¥© ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï (ª®­ä ©­¬¥­â). ¥ ¨¬¥ï ¢®§¬®¦­®á⨠¯®¤à®¡­® ®¡á㦤 âì íâã § ¤ çã ¢ ¤ ­­ëå «¥ªæ¨ïå, á®è«¥¬áï ⮫쪮 ­ ¨¬¥î騥áï ®¡§®àë9.

8	. . ãá«®¢. ¨áì¬ 71, 315 (2000)
9	. . ¤®¢áª¨©. 133, 223 (1981), . . ãá«®¢. 168, 503 (1998)

136

¨á. 5-14

¨á. 5-15

ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ᢮¡®¤ ⥮਩ ­£ {¨««á .

¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâ७¨î ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠ª «¨¡à®¢®ç­ëå ⥮਩. ¨âã- æ¨ï ¢ ¡ë« à áᬮâ७ ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I, £¤¥ ¡ë«® ¯®ª § ­®, ç⮠⥮à¨ï ­¥ ï¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤­®©, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®¡«¥¬¥ \­ã«ï § àï¤ " ¨ ¯ ⮫®£¨ç¥áª®¬ã ¯®¢¥¤¥­¨î ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìá å (í­¥à£¨ïå). ¬¥ç ⥫쭮, çâ® ¢ ­¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ⥮à¨ïå ¯®«®¦¥­¨¥ ᮢᥬ ¤à㣮¥. ¬¥­­®, ¢ ­¨å à¥- «¨§ã¥âáï ¯®¢¥¤¥­¨¥, ­ §¢ ­­®¥ ¢ëè¥ á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤­ë¬. âªàë⨥ í⮣® ¥­¨ï à®áᮬ ¨ ¨«ì祪®¬ ¢ ­ ç «¥ 70-å £®¤®¢ ®âªàë«® ¯ãâì ª ¯®áâ஥­¨î ª¢ ­â®¢®© å஬®¤¨­ ¬¨ª¨ ¨ ®¡¥á¯¥ç¨«® ¢®§¬®¦­®áâì ¯à®¢¥¤¥­¨ï ­ ¤¥¦­ëå à áç¥- ⮢ - íä䥪⮢ ¯à¨ ¢ë᮪¨å í­¥à£¨ïå ¯® ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©.

¤¥áì ¬ë ®£à ­¨ç¨¬áï ⥬, çâ® ¯à¨¢¥¤¥¬ ®á­®¢­ë¥ १ã«ìâ âë ¤«ï á«ãç ï SU (3) ª «¨¡à®¢®ç­®© ⥮ਨ ( ), â ª¦¥ ª ç¥á⢥­­ãî ¨­â¥à¯à¥â æ¨î á ¬®£® ¥­¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ᢮¡®¤ë, ®âáë« ï ç¨â â¥«ï § ¤¥â «ï¬¨ ¢ëç¨á«¥­¨© ª ¨¬¥î騬áï ã祡­¨ª ¬ [8, 9, 11]. «î箬 ª ­ 宦¤¥­¨î ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥- ­¨ï ï¥âáï á­®¢ äã­ªæ¨ï ¥««- ­­ { ®ã (g). ¤«ï ¥¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I à áᬠâਢ «áï ¯à®á⥩訩 ®¤­®¯¥â«¥¢®© £à 䨪 ¯®«ïਧ 樨 ¢ ªã㬠(ä¥à¬¨®­­ ï ¯¥â«ï). ®¤­®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¢®§­¨ª îâ ¤®¯®«- ­¨â¥«ì­ë¥ ¢®§¬®¦­®áâ¨, á¢ï§ ­­ë¥ á ­¥ ¡¥«¥¢ë¬ å à ªâ¥à®¬ ⥮ਨ (á ¬®¤¥©á⢨¥ ¯®«¥© ­£ - ¨««á ¨ ­¥®¡å®¤¨¬®áâì ãç¥â \¤ã客" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ). í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ¤®«¦­ë à ááç¨â âì ¢ª« ¤ ¢ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã § àï¤ ®â ¯à®á⥩襣® ¯¥- â«¥¢®£® £à 䨪 £«î®­ - £«î®­­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¯®ª § ­­®£® ­ ¨á.5-14, ®â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï £«î®­®¢ á \¤ãå ¬¨", ¯®ª § ­­®£® ­ ¨á.5-15 ¨ ­ «®£¨ç­®£® ¢ª« ¤ ®â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï £«î®­®¢ á ª¢ ઠ¬¨ ¨á.5-16. १ã«ìâ ⥠¤®¢®«ì­® £à®¬®§¤ª¨å à áç¥â®¢ [8], ¤«ï ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­®© ¢ ®¤­®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ª®­- áâ ­âë á¢ï§¨ ¯®«ãç ¥¬ ­ «®£ ¢ëà ¦¥­¨ï (5.105) ¢ ¢¨¤¥:

g1 = g "=2 1 +	g2		2nf
		;11 +			(5.111)
	4 "		3

£¤¥ nf { ç¨á«® ª¢ મ¢ëå \ ஬ ⮢" (ç¨á«® ⨯®¢ ª¢ મ¢). ­ «®£¨ç­ ï ®¤­®-
	2		4
¯¥â«¥¢ ï ¯®¯à ¢ª ®â í«¥ªâà®­®¢ ¢ ¨¬¥¥â ¢¨¤	e	;;		. ­ ª ä¥à¬¨®­­®£®
	4 "		3

137

¨á. 5-16

¢ª« ¤ §¤¥áì â®â ¦¥, çâ® ¨ ¢ . ¤­ ª® á㬬 à­ë© ¢ª« ¤ ¯à®æ¥áᮢ ¨á.5-14 ¨¨á.5-15 ¨¬¥¥â ¤à㣮© §­ ª!. ®®â¢¥âá⢥­­® ¯à¨ nf < 16 ®¡é¨© §­ ª ¯®«ïਧ æ¨- ®­­®© ¯®¯à ¢ª¨ ¢ (5.111) ¯à®â¨¢®¯®«®¦¥­ â ª®¢®¬ã ¢ (\ ­â¨íªà ­¨à®¢ª ").¨§¨ç¥áª ï ¯à¨à®¤ â ª®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï ¡ã¤¥â ®¡êïá­¥­ ­¨¦¥, ᥩç á, ¤¥©áâ¢ãï ­ «®£¨ç­® ¯¥à¥å®¤ã ®â (5.105) ª (5.108), ¯®«ãç ¥¬ ¢ ¯¥à¥¤¥«¥ " ! 0:

	@g		g3
(g) =		=		(;33 + 2nf )	(5.112)
	@		12 2

ਠnf < 16 ¨§ (5.112) á«¥¤ã¥â, çâ® (g) < 0 ¨ ª®­áâ ­â á¢ï§¨ g ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ ¬ áèâ ¡ ¨¬¯ã«ìᮢ (¬ áá), ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ª ç¥á⢥­­®© ª à⨭®©, ®¡á㦤 ¢- 襩áï ¢ëè¥. «¥¤®¢ ⥫쭮 â ª ï ⥮à¨ï ï¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤­®©.à¨à®¤¥, ª ª ¨§¢¥áâ­®, nf = 6.

®«ã稬 ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï \¡¥£ã饩" ª®­áâ ­âë á¢ï§¨. ¢®¤ï ®¯ïâì s = lnt =

ln

,

@

= t

@

, ¨¬¥¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¥««- ­­

{ ®ã:

@s

0

@

@g

=

g3

£¤¥

=

33 ; 2nf

(5.113)

@s

;

12

¥à¥¯¨è¥¬ íâ® ª ª:

d

(g;2 ) = 2

(5.114)

ds

¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤:

		1	=	1		+ 2 s				(5.115)
		g2		g2
					0
¨«¨		g2						g2
g2 =	0				=			0		(5.116)
	1 + 2g2 s						1 + 2g2 ln t
	0							0

¢®¤ï t = Q= ¨ ®¯à¥¤¥«ïï g0 ¯à¨ Q = , ¯®«ãç ¥¬ १ã«ìâ â, æ¨â¨à®¢ ¢è¨©áï ¢

« ¢¥ 8 ç á⨠I:			g2( )
g2(Q2) =					(5.117)
		g2( 2)	Q2
1 +		12	(33 ; 2nf ) ln 2

®«ìª® ¢ ¬¨à¥, £¤¥ nf > 16 §­ ª ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ (5.117) ¡ë« ¡ë â ª¨¬ ¦¥, ª ª ¢ ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥. ॠ«ì­®¬ ¬¨à¥ íä䥪⨢­ë© § àï¤ ­¥ à áâ¥â, ¯ ¤ ¥â á à®á⮬ Q2 ¨ áâ ­®¢¨âáï ¬ «ë¬ ­ ¬ «ëå à ááâ®ï­¨ïå! â® ¨ ¥áâì ᨬ- ¯â®â¨ç¥áª ï ᢮¡®¤ . ਠ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå Q2 (­ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå ¬¥¦¤ã ª¢ ઠ¬¨) íä䥪⨢­ ï ª®­áâ ­â á¢ï§¨ ­ ®¡®à®â áâ ­®¢¨âáï ¡®«ì让, çâ® íªá- ¯¥à¨¬¥­â «ì­® ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ¥­¨¨ ª®­ä ©­¬¥­â (\¨­äà ªà á­ ï âîàì¬ ").

138

¨á. 5-17

«ï §­ 祭¨ï Q2, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¢®§­¨ª ¥â \«®¦­ë©" ¯®«îá ¢ (5.117), ¢¢¥¤¥¬ ®¡®- §­ 祭¨¥ 2QCD:

	QCD2 = 2 exp					12					(5.118)
			;(33 ; 2nf )g2					( 2)
®£¤ (5.117) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:
	g2(Q2) =					12					(5.119)
							Q2
	(33			;		2nf ) ln		¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª¢ મ¢ ¨
							2
ਠQ2	2QCD íä䥪⨢­ ï ª®­áâ ­â					á¢ï§¨ ¬	«
£«î®­®¢ (­	¬ «ëå à ááâ®ï­¨ïå ¨«¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìá å) ¬®¦­® ®¯¨áë¢ âì

¯® ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©, ­ «®£¨ç­® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨î í«¥ªâà®­®¢ ¨ ä®â®­®¢ ¢

(­ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå ¨«¨ ¬ «ëå ¨¬¯ã«ìá å). ਠQ2						QCD2		â ª®¥ ®¯¨á ­¨¥
бв ­®¢¨вбп ­¥¢®§¬®¦­л¬, ª¢ аª¨ ¨ £«о®­л ®¡к¥¤¨­повбп ¢ б¨«м­® ¢§ ¨¬®¤¥©-
áâ¢ãî騥 ª« áâ¥àë {					¤à®­ë. ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­®¥ §­ 祭¨¥ «¥¦¨â ¢ ¨­â¥à¢ «¥ ®â
	2				¤«ï íªá¯¥à¨¬¥­â®¢, ¯à®¢®¤¨¬ëå ¯à¨ Q2		(30GeV )2 ¨§ (5.119)
0.1 ¤® 0.5 GeV . ®£¤
				2
¯®«ãç ¥¬ g			0:1, â ª ç⮠⥮à¨ï ¢®§¬ã饭¨ï ® ¯à¨¬¥­¨¬ , ª ª ¨ ¢ .
¯à¥¤¥«¥ ¡®«ìè¨å Q					¢á¥¬¨ ¬ áá ¬¨ ª¢ મ¢ ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì, ®¤­ ª® ¢ ⥮à¨î

¢á¥ à ¢­® ¢å®¤¨â ¬ áá®¢ë© ¬ áèâ ¡ 2 , ¢®§­¨ªè¨© ¢ ¯à®æ¥áᥠ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨.®¤ç¥àª­¥¬, ç⮠⥮à¥â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â (5.119) ¯®«­®áâìî ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥âáï ­

íªá¯¥à¨¬¥­â¥! ¨á.5-17 ¯à¨¢®¤¨âáï ¯®¤¡®àª íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¤ ­­ëå ¤«ï íä䥪⨢­®© ª®­áâ ­âë á¢ï§¨ , ª ª ä㭪樨 å à ªâ¥à­®£® ¬ áèâ ¡ í­¥à£¨¨

- ¨¬¯ã«ìá ¢ à §«¨ç­ëå ¯à®æ¥áá å à áá¥ï­¨ï, ¨§ãç ¢è¨åáï ­ à §«¨ç­ëå íªá¯¥à¨- ¬¥­â «ì­ëå ãáâ ­®¢ª å10. ¨¤¨¬ ¢¯¥ç â«ïî饥 ᮣ« ᨥ ⥮ਨ ¨ íªá¯¥à¨¬¥­â .

­â¨íªà ­¨à®¢ª { ¯ à ¬ £­¥â¨§¬ ï­£ - ¬¨««á®¢áª®£® ¢ ªã㬠.

ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ᢮¡®¤ á¢ï§ ­ á ᢮©á⢮¬ ­â¨íªà ­¨à®¢ª¨ § àï¤ ¢ ï­£ - ¬¨««á®¢áª®¬ ¢ ªã㬥. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® í⮠¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¤®¢®«ì­® ¯à®á⮥ 䨧¨ç¥áª®¥ ®¡êïá- ­¥­¨¥, ®á­®¢ ­­®¥ ­ ¨§¢¥áâ­ëå ­ «®£¨ïå á ⥮ਥ© ⢥म£® ⥫ . ®á«¥¤ãî饥 ¨§«®¦¥­¨¥, ¢

10M.Schmelling. ArXiv: hep-ex/9701002.

									139
®á­®¢­®¬, á«¥¤ã¥â à ¡®â¥11.
­â¨íªà ­¨à®¢ª						§ àï¤ ®§­ ç ¥â, çâ® ¢ ªã㬠¤¥©áâ¢ã¥â ª ª ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª ï á।			á ¤¨-
í«¥ªâà¨ç¥áª®© ¯®áâ®ï­­®© < 1. ਠí⮬ ¢ ªã㬠ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ®â«¨ç ¥âáï ®â ®¡ëç­®©
¯®«ïਧ㥬®© áà¥¤ë ¢ ®¤­®¬ ®ç¥­ì ¢ ¦­®¬ ¯ã­ªâ¥ { ®­ ५ï⨢¨áâ᪨ ¨­¢ ਠ­â¥­. â® ®§­ ç ¥â,
çâ® ¥£® ¬ £­¨â­ ï ¯à®­¨æ ¥¬®áâì á¢ï§ ­ á ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®© ¯à®­¨æ ¥¬®áâìî ᮮ⭮襭¨¥¬:
						= 1			(5.120)
¥©á⢨⥫쭮,				¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ ¢ª« ¤¥ ¢ ¤¥©á⢨¥ ®â í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï
~ ~		oi	,	;	1	~	~	1	FijF	ij	.
E D / FoiF						ï¥âáï ª®íää¨æ¨¥­â®¬ ¯à¨ ¢ª« ¤¥ ¬ £­¨â­®£® ¯®«ï B	H / ;
㬬	íâ¨å ¢ª« ¤®¢ ï¥âáï ५ï⨢¨áâ᪨ ¨­¢ ਠ­â­®© ⮫쪮 ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨ï

= ;1. â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¯®§¢®«ï¥â á¢ï§ âì í«¥ªâà¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠á।ë á ¥¥ ¬ £­¨â­ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¤¢ãå ⨯®¢:

1.¨ ¬ £­¥â¨§¬ ­¤ ã ( < 1). à殮­­ë¥ ç áâ¨æë ¢ á।¥ ¢ ®â¢¥â ­ ¢­¥è­¥¥ ¬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ ᮧ¤ îâ ⮪, ª®â®àë© á ¬ ¨­¤ãæ¨àã¥â ¬ £­¨â­®¥ ¯®«¥, ­ ¯à ¢«¥­­®¥ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­® ¢­¥è­¥¬ã ¯®«î.

2.à ¬ £­¥â¨§¬ 㫨 ( > 1). ᫨ ç áâ¨æë ®¡« ¤ îâ ¬ £­¨â­ë¬¨ ¬®¬¥­â ¬¨, â® ®­¨ áâ६ïâáï ¢ëáâநâìáï ¢¤®«ì ¢­¥è­¥£® ¯®«ï.

®£¤ ᢮©á⢮ ­â¨íªà ­¨à®¢ª¨ ï­£ - ¬¨««á®¢áª®£® ¢ ªã㬠¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ ª ª ãá«®- ¢¨¥ > 1, â.¥. ª ª ¥£® ¯ à ¬ £­¥â¨§¬12. ª®­¥ç­®¬ ¨â®£¥, ¢á¥ ¤¥«® §¤¥áì ¢ ⮬, çâ® ­¥ ¡¥«¥¢ë

ª «¨¡а®¢®з­л¥ ¯®«п ¯®¤з¨­повбп бв в¨бв¨ª¥ ®§¥, в ª¦¥, ¢ ®в«¨з¨¥ ®в ¡¥«¥¢ле д®в®­®¢ б ¬¨ ®¡« ¤ ов § а冷¬, б®®в¢¥вбв¢гой¨¬ ª «¨¡а®¢®з­®© б¨¬¬¥ва¨¨. ®¤з¥аª­¥¬, зв® в¥а¬¨­®«®£¨п в¥®а¨¨ н«¥ªв஬ £­¥в¨§¬ (§ ­¥¨¬¥­¨¥¬ «гзи¥£®) ¨б¯®«м§г¥вбп §¤¥бм в®«мª® ¯® ­ «®£¨¨ б U(1) ª «¨¡а®¢®з­®© в¥®а¨¥© ( ). ¤¥©бв¢¨в¥«м­®бв¨ ¬л, ª®­¥з­® ¦¥, ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤г § ап¤л, б®®в- ¢¥вбв¢гой¨¥ SU(3) ª «¨¡а®¢®з­®© б¨¬¬¥ва¨¨, в.¥. ж¢¥в®¢л¥ § ап¤л. ®¤ н«¥ªва¨з¥бª¨¬¨ ¨ ¬ £- ­¨в­л¬¨ б¢®©бв¢ ¬¨ ¬л ¯®¤а §г¬¥¢ ¥¬ ж¢¥в®¢л¥ н«¥ªва¨з¥бª¨¥ ¨ ¬ £­¨в­л¥ б¢®©бв¢ (¯®«п).®£¤ ¬л £®¢®а¨¬, зв® ¯®«п ­£ - ¨««б ¢ (£«о®­л) ®¡« ¤ ов § а冷¬ ¨ ¬ £­¨в­л¬ ¬®- ¬¥­в®¬, ¨¬¥¥вбп ¢ ¢¨¤г, зв® ®­¨ ®¡« ¤ ов ж¢¥в®¢л¬ § а冷¬ ¨ ж¢¥в®¢л¬ ¬ £­¨в­л¬ ¬®¬¥­в®¬.¤¥«¥ ¦¥ £«о®­л н«¥ªва¨з¥бª¨ ­¥©ва «м­л.

®à®è® ¨§¢¥áâ­ë© १ã«ìâ â ⥮ਨ ¬¥â ««®¢ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¤«ï ¨¤¥ «ì­®£® £ § í«¥ªâà®- ­®¢ ¤¨ ¬ £­¥â¨§¬ ­¤ ã, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¯¥à¥ªàë¢ ¥âáï ¯ à ¬ £­¥â¨§¬®¬ 㫨, â ª çâ® ¯®«­ë© ®âª«¨ª ï¥âáï ¯ à ¬ £­¨â­ë¬ [35]. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢ ⥮ਨ ­¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯®-

«¥© á¨âã æ¨ï ­ «®£¨ç­ ¨ á¢ï§ ­

á ¯ à ¬ £­¨â­ë¬ ®âª«¨ª®¬ ᯨ­®¢ ï­£ - ¬¨««á®¢áª¨å ¯®«¥©.

â ­¤ àâ­ë© ª« áá¨ç¥áª¨© « £à ­¦¨ ­ ­¥ ¡¥«¥¢®© ª «¨¡à®¢®ç­®© ⥮ਨ ¨¬¥¥¬ ¢¨¤:

1

Ga Ga + (i D ; m) + y(;D D ; 2) +

L = ;

¤à㣨¥ ¢ª« ¤ë,

(5.121)

16

£¤¥ ⥭§®à ­ ¯à殮­­®á⥩ ¯®«¥© ®¯à¥¤¥«¥­ ª ª Ga @ Aa ; @ Aa ; gfabcAb Ac ,

fabc {

a

áâàãªâãà­ë¥ ª®­áâ ­âë ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯ë, ª®¢ ਠ­â­ ï ¯à®¨§¢®¤­ ï D = @ + igAa

T a,

T

{ £¥­¥à â®àë £à㯯ë (­ ¯à¨¬¥à ¬ âà¨æë 㫨

¤«ï äã­¤ ¬¥­â «ì­®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï

2

SU(2), ¨«¨ ¬ âà¨æë ¥««- ­­

{ ®ã

¤«ï äã­¤ ¬¥­â «ì­®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï SU(3)). ®¤

2

\¤à㣨¬¨ ¢ª« ¤ ¬¨" ¯®¤à §ã¬¥¢ îâáï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ïîª ¢áª®£® ⨯

¨ á ¬®¤¥©á⢨¥ ᪠«ïà­ëå

¯®«¥©, ¢ ¦­®, çâ® ®­¨ ­¥ § ¢¨áï⠮⠪ «¨¡à®¢®ç­®£® ¯®«ï. ¤®¡­® ¯¥à¥®¯à¥¤¥«¨âì gA

! A, â ª

ç⮡ë ï­£ - ¬¨««á®¢áª ï ª®­áâ ­â

g ¢å®¤¨«

⮫쪮 ¢ \᢮¡®¤­ë©" « £à ­¦¨ ­ ª «¨¡à®¢®ç­®£®

¯®«ï:

1

Ga Ga + (i D ; m)

+ y(;D D ; 2) +

L

= ;

¤à㣨¥ ¢ª« ¤ë,

(5.122)

16 2g2

£¤¥ ⥯¥àì Ga

@ Aa ; @ Aa ; fabcAb Ac

and D = @ + iAa T a ¨ g ®áâ «®áì ⮫쪮 ¢ ¢¨¤¥

ª®íää¨æ¨¥­â

¢ ¯¥à¢®¬ á« £ ¥¬®¬.

⮡ë à ááç¨â âì ¬ £­¨â­ãî ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ¢ ªã㬠­ã¦­® §­ âì ¨§¬¥­¥­¨¥ ¯«®â­®á⨠¥£® í­¥à£¨¨ ¯à¨ ¨§¬¥­¥­¨¨ ¢­¥è­¥£® ¬ £­¨â­®£® ¯®«ï. ®¦¥â ¯®ª § âìáï, çâ® ¢á¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï

11F.Wilczek. Asymptotic Freedom. ArXiv: hep-th/9609099.

12 ¡ëç­ ï ¯®«ïਧ㥬 ï á।ë, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â í⮣®, ¬®¦¥â ®¤­®¢à¥¬¥­­® ®¡« ¤ âì ᢮©á⢠¬¨ ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®© íªà ­¨à®¢ª¨ ( > 1) ¨ ¯ à ¬ £­¥â¨§¬ ( > 1). ¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ­¥ª®â®à ï ¨áâ®à¨- ç¥áª ï ¨à®­¨ï á®á⮨⠢ ⮬, ç⮠䨧¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥, ¯à¨¢®¤ï饥 ª ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ᢮¡®¤¥, ¡ë«®, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¨§¢¥áâ­® ­¤ ã, ª®â®àë© ¢­¥á äã­¤ ¬¥­â «ì­ë© ¢ª« ¤ ¢ ª¢ ­â®¢ãî ⥮- à¨î ¬ £­¥â¨§¬ , ­®, ¢ ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¯®¤¢¥à£ « ᮬ­¥­¨î ®á­®¢ë ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï, ¨§-§ ¯ ⮫®£¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ ®¡« á⨠¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìᮢ.