Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2

10

					¨á. 1-3
ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­			¨á.1-3, çâ® á ¬­®£®ªà â­ë¬ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ (1.4), ¯®§¢®«ï¥â
§ ¯¨á âì ¬¯«¨âã¤ã ¯¥à¥å®¤					(¯à®¯ £ â®à) ¢ ¢¨¤¥:
j	Z		Z		j	j			j
< qf tf qiti >=		:::		dq1dq2:::dqn < qf tf		qntn >< qntn	qn;1tn;1	> ::: < q1t1		qiti >
										(1.15)

£¤¥ ¬­®£®ªà â­ë© ¨­â¥£à « ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ¢®§¬®¦­ë¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬, ᮥ¤¨­ïî-

騬 ­ ç «ì­ãî â®çªã qi á ª®­¥ç­®© qf . ¯à¥¤¥«¥ n ! 1 ¨«¨ ! 0 ¢ëà ¦¥­¨¥ (1.15) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯à®¯ £ â®à ª ª 䥩­¬ ­®¢áª¨© ¨­â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ (ª®­-

⨭㠫ì­ë© ¨«¨ ä㭪樮­ «ì­ë© ¨­â¥£à «). ¦¥ ­ í⮬ ã஢­¥ ¢¨¤­® ®á­®¢­®¥ ®â«¨ç¨¥ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ ®â ª« áá¨ç¥áª®©. « áá¨ç¥áª ï ç áâ¨æ à á¯à®áâà - ­ï¥âáï ¨§ ­ ç «ì­®© â®çª¨ ¢ ª®­¥ç­ãî, ¤¢¨£ ïáì ¯® ¥¤¨­á⢥­­®© âà ¥ªâ®à¨¨,

®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¯à¨­æ¨¯®¬ ­ ¨¬¥­ì襣® ¤¥©á⢨ï,						¢ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥ \à ¡®-
â ¥â" ª®­â¨­ã㬠¢á¥å ¬ë᫨¬ëå âà ¥ªâ®à¨©, ᮥ¤¨­ïîé¨å í⨠â®çª¨!
¥âà㤭® à ááç¨â âì ¯à®¯ £ â®à			­ ¬ «®¬ ᥣ¬¥­â¥ âà ¥ªâ®à¨¨. §								(1.10)
¨¬¥¥¬:
< qj+1tj+1jqjtj >=< qj+1je;iH =~jqj >=< qj+1j1 ;							i		H + O( 2)jqj >=
							~
			= (qj+1 ; qj) ;					i		< qj+1jHjqj >=	(1.16)
								~
	dp			i					i
= Z		exp			p(qj+1 ; qj) ; ~ < qj+1jHjqj >
	2 ~			~

£¤¥ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ®ç¥¢¨¤­ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬ -ä㭪樨 ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ãàì¥. ®¡é¥¬ á«ãç ¥, £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ H ï¥âáï ­¥ª®â®à®© ä㭪樥© q ¨ p. áᬮâਬ ­ ¨¡®«¥¥ ç áâ® ¢áâà¥ç î騩áï ­ ¯à ªâ¨ª¥ á«ãç © ¤¢¨¦¥­¨ï ç áâ¨æë ¢ ¯®â¥­æ¨- «ì­®¬ ¯®«¥, ª®£¤ , ¢ ®ç¥¢¨¤­ëå ®¡®§­ 祭¨ïå, ¨¬¥¥¬:

p2

H =

+ V (q)

2m

®£¤ ¤«ï ç«¥­ ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨ ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:

p2

p2

< qj+1j

jqj >= Z

dp0 Z dp < qj+1jp0

>< p0j

jp >< pjqj >

2m

2m

â ª çâ® ¨á¯®«ì§ãï

< qj+1jp0

1

exp

ip0qj+1

>= p

~

2 ~

(1.17)

(1.18)

11

¨á. 1-4

1

exp ;

ipqj

< pjqj >= p

~

2 ~

¯®«ã稬:

p2

dpdp0

i

p2

< qj+1j

jqj >= Z

Z

exp

(p0qj+1 ; pqj)

(p ; p0) =

2m

2 ~

~

2m

dp

i

p2

= Z

exp

p(qj+1

; qj)

(1.19)

2 ~

~

2m

¡à ⨬ ¢­¨¬ ­¨¥, çâ® ¢ «¥¢®© ç á⨠í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï p ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ®¯¥à â®- ஬, ¢ ¯à ¢®© í⮠㦥 ç¨á«®! ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ­¥âà㤭® ¯®«ãç¨âì:

< qj+1jV (q)jqj >= V

qj+1 + qj

< qj+1jqj >= V

qj+1 + qj

(qj+1

; qj

2

2

dp

i

= Z

exp

p(qj+1 ; qj ) V

2 ~

~

£¤¥ qj =

1

(qj+1 + qj). ¡ê¥¤¨­ïï (1.19) ¨ (1.20), ¨¬¥¥¬:

2

< qj+1jHjqj >= Z

dp

exp

i

; qj ) H(p; q)

p(qj+1

2 ~

~

â ª çâ® (1.17) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

) =

(qj)(1.20)

(1.21)

< qj+1tj+1jqjtj >= Z	dpj	exp	i	[pj (qj+1 ; qj) ; H(pj; qj)]	(1.22)
	2 ~		~

£¤¥ pj { ¨¬¯ã«ìá ¢ â®çª¥ ¬¥¦¤ã tj ¨ tj+1 (¬¥¦¤ã qj ¨ qj+1). ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ᥣ¬¥­âë âà ¥ªâ®à¨¨ ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¯®ª § ­ë ­ ¨á.1-4. ëà ¦¥­¨¥

(1.22) ¨ § ¤ ¥â ¯à®¯ £ â®à ­ ¬ «®¬ ᥣ¬¥­â¥ ®¤­®£® ¨§ ¯ã⥩ (®â१ª¥ âà ¥ªâ®à¨¨).®«­ë© ¯à®¯ £ â®à ¯®«ãç ¥âáï ¯®¤áâ ­®¢ª®© (1.22) ¢ (1.15), â ª çâ®:

< qf tf qiti >=

lim

Z

n

dqj

n

dpi

exp

i

n

[pl(ql+1

ql)

H(pl; ql)] (1.23)

Y

Y

X

j

n!1

2 ~

; ;

)

j=1

i=0

(~ l=0

£¤¥ q0 = qi ¨ qn+1 = qf . ªâ¨ç¥áª¨ §¤¥áì á⮨⠡¥áª®­¥ç­®ªà â­ë© ¨­â¥£à «.¡ëç­® (1.23) § ¯¨áë¢ îâ ¢ á«¥¤ãî饬 ᨬ¢®«¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥:

j		Z	2 ~			tf		;
				~ Zti
< qf tf	qiti >=		Dq(t)Dp(t) exp		i		dt [pq		H(p; q)]		(1.24)

12

£¤¥ q(ti) = qi ¨ q(tf ) = qf . â

§ ¯¨áì, ä®à¬ «ì­® ¢¢®¤ïé ï ¬¥àã ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï

¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ (q(t); p(t)) ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ç áâ¨æë, ­¥ ¨¬¥¥â ­¨ª -

ª®£® ¨­®£® á¬ëá« , ªà®¬¥ ¢¢¥¤¥­¨ï ª®¬¯ ªâ­®© ä®à¬ë § ¯¨á¨ (1.23). ¨âã æ¨ï

§¤¥áì ¢¯®«­¥ ­ «®£¨ç­

®¯à¥¤¥«¥­¨î ®¡ëç­®£® ¨­â¥£à «

ç¥à¥§ ¯à¥¤¥« ਬ ­®-

¢ëå á㬬. ¡®§­ 祭¨¥ (1.24) ¢¢®¤¨â ¯®­ï⨥ ä㭪樮­ «ì­®£® (ª®­â¨­ã «ì­®£®)

¨­â¥£à « ¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ (¯ãâï¬) ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥. ਠí⮬ ¢å®¤ï-

騥 ¢ (1.24) ¯¥à¥¬¥­­ë¥ p(t) ¨ q(t) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© c-ç¨á«®¢ë¥ ä㭪樨.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à®¯ £ â®à

¢ ¢¨¤¥ ª®­â¨­ã «ì­®£® ¨­â¥£à «

¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®-

à¨ï¬ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (1.24) ï¥âáï ᮢ¥à襭­® ®¡é¨¬ ¨, ¢ ç áâ­®áâ¨,

®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ H(p; q). á«ãç ¥ £ ¬¨«ì-

â®­¨ ­

¢¨¤ (1.17) ¬®¦­® ¯à®¢¥á⨠¤ «ì­¥©è¨¥ ã¯à®é¥­¨ï ¨ ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤áâ -

¢«¥­¨î ¯à®¯ £ â®à

¢ ¢¨¤¥ ª®­â¨­ã «ì­®£® ¨­â¥£à «

¯® ¢á¥¬ ¯ãâï¬ ¢ ®¡ëç­®¬

ª®®à¤¨­ â­®¬ ¯à®áâà ­á⢥. «ï í⮣® § ¯¨è¥¬

n

n

dpi

i

n

p2

< qf tf

qiti >=

lim

dqj

exp

pl(ql+1

ql)

l

V (ql)

j

Z

2 ~

(~ l=0

;

;

2m

;

)

n!1

j=1

i=0

Y

Y

X

(1.25)

­â¥£à «ë ¯® pj

§¤¥бм «¥£ª® ¢лз¨б«повбп б ¯®¬®ймо бв ­¤ ав­ле д®а¬г«, ª®в®-

àë¥ ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥­ë çãâì ­¨¦¥. १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬:

m

n+1

n

i

n

m

ql+1 ; ql

2

< qf tf

qiti >=

lim

2

dqj exp

V (ql)

( ~

l=0 "

;

j

n!1

2 i~

j=1

2

#)

Z Y

X

(1.26)

â ª çâ® ¢ ­¥¯à¥à뢭®¬ ¯à¥¤¥«¥ ¬®¦­® § ¯¨á âì:

				Dq(t) exp		i	tf	m
	< qf tf jqiti >= N Z						Zti dt h 2 q2 ; V (q)i =
						~
	= N Z Dq(t) exp		i	tf	dtL(q; q) = N Z Dq(t) exp				i	S
				Zti							(1.27)
f			~						~
	;
£¤t¥ L = T		V { ª« áá¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï £à ­¦						à áᬠâਢ ¥¬®© ç áâ¨æë,			S =

Rti dtL(q; q) { ª« áá¨ç¥áª®¥ ¤¥©á⢨¥, à ááç¨â ­­®¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© âà ¥ªâ®à¨¨

q(t), ᮥ¤¨­ïî饩 ­ ç «ì­ãî â®çªã q(ti ) á ª®­¥ç­®© q(tf ). ®­â¨­ã «ì­ë© ¨­â¥£à «

(1.27) ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ¬ë᫨¬ë¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬, ᮥ¤¨­ïî騬 ­ ç «ì­ãî â®çªã á ª®­¥ç­®©. ¢¥¤¥­­ë© §¤¥áì ¬­®¦¨â¥«ì N ä®à¬ «ì­® à á室¨âáï ¢ ¯à¥¤¥«¥ n ! 1, ­® íâ® ­¥áãé¥á⢥­­®, ¯®áª®«ìªã, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¤ «¥¥, ®­ ¢á¥£¤ ᮪à é ¥âáï ¯à¨ à áᬮâ७¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ­®à¬¨à®¢ ­­ëå ¬¯«¨â㤠¯¥à¥å®¤ .

¬¥ç ⥫ì­ë© १ã«ìâ â (1.27) ¯®§¢®«ï¥â, ¢ ç áâ­®áâ¨, ª ç¥á⢥­­® ¯®­ïâì ä¨- §¨ç¥áª®¥ ¯à®¨á宦¤¥­¨¥ ª« áá¨ç¥áª®£® ¯à¨­æ¨¯ ­ ¨¬¥­ì襣® ¤¥©á⢨ï. á ¬®¬ ¤¥«¥, ª« áá¨ç¥áª¨© ¯à¥¤¥« ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ~ ! 0. ®£¤ ¢ 䥩­¬ ­®¢áª®¬ ¨­â¥£à «¥ (1.27) ¢®§­¨ª ¥â ª®­â¨­ã㬠¢ª« ¤®¢ ¡ëáâà® ®á樫«¨àãîé¨å ¬­®¦¨â¥«¥© exp(iS=~), ª®â®àë¥ ¢ á।­¥¬ \£ áïâ" ¤à㣠¤à㣠. \ 릨¢ ¥â" ¯à¨ í⮬ ⮫쪮 ¢ª« ¤ ­ ¨¡®- «¥¥ ¬¥¤«¥­­® ¬¥­ïî饣®áï ¬­®¦¨â¥«ï, ¢ ª®â®à®¬ á⮨â Smin , çâ® ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢ª« ¤ã ¥¤¨­á⢥­­®© âà ¥ªâ®à¨¨, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ¯à¨­æ¨¯®¬ ­ ¨¬¥­ì襣® ¤¥©áâ¢¨ï ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨ ¨ ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ìîâ®­ .

âáâ㯫¥­¨¥: ¯®«¥§­ë¥ ¨­â¥£à «ë.

ਢ¥¤¥¬ ­¥ª®â®àë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ®¡ëç­ëå ¨­â¥£à «®¢, ç áâ® ¢áâà¥ç îé¨åáï ¯à¨ ¯à ªâ¨ç¥- áª¨å ¢ëç¨á«¥­¨ïå, á¢ï§ ­­ëå á ä㭪樮­ «ì­ë¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬. ç­¥¬ á® ¢á¥¬ ¨§¢¥áâ­®£®

¨­â¥£à « ã áá®­	{ ãáá :	1
			2
	Z;1 dxe; x			= q
â®â १ã«ìâ â ¯®«ãç ¥âáï áà §ã, ¥á«¨ § ¬¥â¨âì, çâ® ¥£® ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª:
	1 dx	1 dye; (x2 +y2) =
	Z;1	Z;1
çâ®, ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤	ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ¢ ¯«®áª®á⨠(x; y), ᢮¤¨âáï ª:

13

(1.28)

(1.29)

2	Z0					Z0	1 d(r2)e; r2 =
Z0					=					(1.30)
d	1 drre; r2
®á«¥¤­¥¥ à ¢¥­á⢮ ®ç¥¢¨¤­®, çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â (1.28).
áᬮâਬ ⥯¥àì ¨­â¥£à « ®â ª¢ ¤à â¨ç­®© ä®à¬ë:
	1	2						1
	Z;1 dxe;ax			+bx+c Z;1 eq(x)						(1.31)
£¤¥ ¯®« £ ¥¬ a > 0. ®£¤ ¨¬¥¥¬ q0(x) = ;2ax + b; q00(x) = ;2a; q000(x) = 0:::, ¨ ¬ë «¥£ª® ­ 室¨¬
x | §­ 祭¨¥ x, ¯à¨ ª®â®à®¬ q(x) ¬¨­¨¬ «ì­ :
	x =	b			q(x) =		b2	+ c		(1.32)
		2a					4a

¥¯¥àì «¥£ª® ¯à¥¤áâ ¢¨âì q(x) ¢ ¢¨¤¥ (¢ë¤¥«ïï ¯®«­ë© ª¢ ¤à â):

q(x) = q(x) ; a(x ; x)2

®£¤ :

1 dxeq(x) = eq(x) 1 dxe;a(x;x)2 = eq(x)

;1

Z

;1

q

â ª çâ® ®ª®­ç ⥫쭮 ¨¬Z¥¥¬:

1

1

b2

2

Z;1 dxe;ax

+bx+c Z;1 eq(x) = exp 4a + c qa

â ä®à¬ã« ¨ ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¯à¨ ¯®«ã祭¨¨ (1.26), (1.25).

ਢ¥¤¥¬ ¥é¥ ®¡®¡é¥­¨¥ (1.35) ­

á«ãç © n ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï [8]:

Z

1 dx1:::

Z

1 dxn exp i [(x1 ; a)2 + (x2 ; x1)2 + ::: + (b ; xn)2] =

;1

;1

in n

1=2

= h

i

i

exp h

(b ; a)2i

(n + 1) n

n + 1

çâ® ¯à¨£®¤¨âáï ­ ¬ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬.

(1.33)

(1.34)

(1.35)

(1.36)

¢ëà ¦¥­¨¨ (1.27), ä ªâ¨ç¥áª¨, ᮤ¥à¦¨âáï ¢áï ª¢ ­â®¢ ï ¬¥å ­¨ª ç áâ¨æë, ®­® è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ à¥è¥­¨¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç [37]. ®á¬®âਬ, ª ª ¨§ ­¥£® ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ®¡ëç­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ।¨­£¥à . ¯¨è¥¬ ®á­®¢­®¥ á®®â- ­®è¥­¨¥ (1.1) ¢ ¢¨¤¥, á¢ï§ë¢ î饬 ¢®«­®¢ãî äã­ªæ¨î ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t2 á ¥¥ §­ 祭¨¥¬ ¢ ¬®¬¥­â t1:

1

(x2; t2) = Z;1 dx1K(x2t2; x1t1)

(x1t1)

(1.37)

ãáâì ¬®¬¥­âë t2

¨ t1 ®ç¥­ì ¡«¨§ª¨, â ª çâ® t2 = t1 + ", £¤¥ " ! 0. ®£¤

¯à®¯ £ -

â®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ª« ¤®¬ ⮫쪮 ®¤­®£® ¬ «®£® ᥣ¬¥­â âà ¥ªâ®à¨¨ ¨, ¯®«ì§ãïáì

(1.26), ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì (1.37) ¢ ¢¨¤¥:

(x; t + ") = A

1 exp

i

m(x ; y)2

exp

i

"V

x + y ; t

(y; t)dy

(1.38)

;~

Z;1

~ 2"

2

14

£¤¥ A =

;

m

1=2

. §-§ ­ «¨ç¨ï ¯¥à¢®© íªá¯®­¥­âë, áãé¥á⢥­­ë© ¢ª« ¤ ¢ ¨­â¥-

2 i~"

£à « ¤ îâ ⮫쪮 §­ 祭¨ï y ¡«¨§ª¨¥ ª x. ¤¥« ¥¬ § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­®© y = x + ¨

¯¥à¥¯¨è¥¬ (1.38) ¢ ¢¨¤¥:

1

im 2

i"

(x; t + ") = A Z;1 exp 2~" exp ; ~ V

(1.39)

x + 2

; t (x + ; t)d

ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® ®á­®¢­®© ¢ª« ¤ âãâ ¤ îâ ¬ «ë¥ §­ 祭¨ï , à §«®¦¨¬ ®¡¥ ç áâ¨

(1.39) ¢ àï¤:

@

1

im 2

i"

@

1

@2

(x; t) + "

@t

= A Z;1 exp 2~" 1 ;

~ V (x; t)

(x; t) + @x

+ 2 2

@x2 d

(1.40)

ç⥬ ⥯¥àì, çâ®

1

2

~

A Z;1 eim

=2

"d = 1

(1.41)

1

2

~

A Z;1 eim

=2

" d = 0

(1.42)

Z;1

=2~"

2

i~"

1

im 2

A

e

d =

m

(1.43)

®£¤ (1.40) ᢮¤¨âáï ª:

@

;

i"

; ;

~" @2

(x; t) + "

@t =

~ V

(1.44)

2im @x2

â® à ¢¥­á⢮ 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï (¯à¨ "

! 0), ¥á«¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î à¥-

¤¨­£¥à

¤«ï ®¤­®¬¥à­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï:

i~

@

= ;

~2 @2

@x2 + V (x; t)

(1.45)

@t

2m

¥®à¨ï ¢®§¬ã饭¨©.

ãáâì ¯®â¥­æ¨ « V (x) ï¥âáï ¬ «ë¬ ¢®§¬ã饭¨¥¬. ®ç­¥¥ £®¢®àï, ¯ãáâì ¬ « (¯®

áà ¢­¥­¨î á ~) ¨­â¥£à « ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®â V (x; t). ®£¤

¬®¦­® ­ ¯¨á âì à §«®¦¥­¨¥:

tf

dtV (x; t)

tf

dtV (x; t) ; 2!~2

tf

dtV (x; t)

2

+ ::: (1.46)

exp ;~ Zti

1 ; ~ Zti

Zti

i

i

1

ᯮ«ì§ãï â ª®¥ à §«®¦¥­¨¥ ¢ (1.27), ¯®«ã稬 à §«®¦¥­¨¥ ¯à®¯ £ â®à

K(xf tf ;xiti)

¢ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饭¨©:

K = K0 + K1 + K2 + :::

(1.47)

«¥­ ­ã«¥¢®£® ¯®à浪 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¯ £ â®à ᢮¡®¤­®© ç áâ¨æë:

	Dx exp	i			1
K0 = N Z			Z	dt	2mx2		(1.48)
		~

15

⮡ë á®áç¨â âì ¥£® ¢ ®¬ ¢¨¤¥, ¢¥à­¥¬áï ª ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¨­â¥£à «

¯® âà ¥ªâ®-

à¨ï¬ (1.23) ¨ § ¯¨è¥¬ (1.48) ¢ ¢¨¤¥ ¯à¥¤¥« ¤«ï ¬­®£®ªà â­®£® ¨­â¥£à « :

m

n+1

1

n

im

n

K0 = lim

2

dxj exp

(xl+1

xl )2

(1.49)

2 i~

"2~

;

#

n!1

j=1

l=0

Z;1 Y

X

¡®§­ ç ï áâ®ï騩 §¤¥áì ¬­®£®ªà â­ë© ¨­â¥£à « ª ª I, ¢ëç¨á«ï¥¬ ¥£® á ¯®¬®éìî

(1.36) ¨ ¯®«ãç ¥¬:

1

i2 ~

n=2

im

I =

exp

(xf ; xi)2

(1.50)

(n + 1)1=2

m

2~(n + 1)

®« £ ï (n+1) = tf ;ti , ¯®«ãç ¥¬ ¨§ (1.49) ¯à®¯ £ â®à ᢮¡®¤­®© ç áâ¨æë ¢ ¢¨¤¥:

				m		1=2			im(xf ; xi)2
K0 (xf tf ; xiti) = (tf		ti)					exp				(1.51)
	;		i~(tf ; ti)
									2~(tf ; ti)

£¤¥ ¬ë ¥é¥ ¤®¡ ¢¨«¨ ¬­®¦¨â¥«ì (tf ; ti), ®¡¥á¯¥ç¨¢ î騩 ¢ë¯®«­¥­¨¥ ¯à¨­æ¨¯ ¯à¨ç¨­­®áâ¨. ¡®¡é¥­¨¥ í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï ­ á«ãç © ¤¢¨¦¥­¨ï ᢮¡®¤­®© ç áâ¨æë ¢ âà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¢¯®«­¥ ®ç¥¢¨¤­®: ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯à®¯ £ â®à ᢮¤¨âáï ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ¯à®¯ £ â®à®¢ ᢮¡®¤­®£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï (1.51) ¯® ¢á¥¬ â६ ª®- ®à¤¨­ â­ë¬ ®áï¬ x; y; z.

« ¢¥ 4 ç á⨠I ¬ë 㦥 ¢¨¤¥«¨, çâ® ¯à®¯ £ â®à ç áâ¨æë 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢- ­¥­¨î, ।áâ ¢«ïî饬ã ᮡ®© ãà ¢­¥­¨¥ ।¨­£¥à á { ¨áâ®ç­¨ª®¬ ¢ ¯à ¢®©

ç áâ¨:

i~

@

; H(xf ) K(xf tf ;xiti) = i~ (tf ; ti ) (xf ; xi)

(1.52)

@tf

~2 2

«ï á«ãç ï ®¤­®¬¥à­®£® ᢮¡®¤­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï H(xf ) = ;

@

. ®®â¢¥âá⢥­­®,

2m

@xf2

᢮¡®¤­ë© ¯à®¯ £ â®à 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î:

"i~

@

~2 @2

# K0 (xf tf ; xiti) = i~ (tf ; ti) (xf ; xi)

;

(1.53)

@tf

2m

@x2f

í⮬, ªáâ â¨, ¬®¦­® ã¡¥¤¨âìáï ­¥¯®á।á⢥­­®© ¯®¤áâ ­®¢ª®© (1.51) ¢ ¢ ¤ ­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥.

᫨ ¢ (1.51) ¨ (1.53) ᤥ« âì § ¬¥­ã t ! ;it ¨ 2~m ! D, â® ãà ¢­¥­¨¥ (1.53) ¯¥à¥©¤¥â ¢:

@			@2
		; D		K0(xf tf ; xiti) = (tf ; ti) (xf ; xi)	(1.54)
	@tf		@xf2

â ª çâ® K0(xf tf ; xiti) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© äã­ªæ¨î ਭ ãà ¢­¥­¨ï ¤¨ää㧨¨ [32]	á ª®íää¨-
樥­â®¬ ¤¨ää㧨¨ D. ਠí⮬ ¢á¥ ¬­¨¬®á⨠¨§ (1.51) ¨á祧 îâ ¨ íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥	®¯¨áë¢ ¥â

¤¨ää㧨î ç áâ¨æ ¨§ â®ç¥ç­®£® ¨áâ®ç­¨ª . ªâ¨ç¥áª¨, ª®­â¨­ã «ì­ë¥ ¨­â¥£à «ë ¯® âà ¥ªâ®- à¨ï¬ ¢®§­¨ª«¨ ¢¯¥à¢ë¥ ¢ ⥮ਨ ¤¨ää㧨®­­ëå ¯à®æ¥áᮢ, £¤¥ ®­¨ ­ §ë¢ îâáï ¨­â¥£à « ¬¨¨­¥à . á祧­®¢¥­¨¥ ®á樫«ï権 ¢ (1.51) (§ ¬¥­ ¨å ­ ¡ëáâà® § âãå î騥 íªá¯®­¥­âë ⥮ਨ ¤¨ää㧨¨) ç१¢ëç ©­® 㤮¡­® á â®çª¨ §à¥­¨ï ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢, ¢ ç áâ­®á⨠áãé¥á⢥­­® ®¡«¥£ç îâáï ¢ëç¨á«¥­¨ï ª®­â¨­ã«ì­ëå ¨­â¥£à «®¢ ¬¥â®¤®¬ ®­â¥- à«®. ®®¡é¥, ä®à¬ «ì- ­ë© ¯¥à¥å®¤ ª ¬­¨¬®¬ã ¢à¥¬¥­¨ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ à¥è¥­¨¨ à §«¨ç­ëå § ¤ ç ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ ¨ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¨¦¥ ¬ë ¥é¥ ­¥ à § á í⨬ á⮫ª­¥¬áï.

¥à¥å®¤ ª ¬­¨¬®¬ã ¢à¥¬¥­¨ ¨¬¥¥â ¥é¥ ®¤¨­ ᯥªâ, ¤ ¦¥ ¡®«¥¥ £«ã¡®ª¨© á â®çª¨ §à¥­¨ï

䨧¨ª¨. ¢­®¢¥á­ ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï¬¥å ­¨ª	楫¨ª®¬ ®á­®¢ ­ ­			¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ª ­®­¨ç¥áª®£®
à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨¡¡á , ª®£¤ ¬ âà¨æ ¯«®â­®á⨠á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ [35]:
=		1	e; H	(1.55)
		Z

16
	£¤¥ H { £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ á¨á⥬ë, Z { áâ â¨áâ¨ç¥áª ï á㬬 ,			=	1	{ ®¡à â­ ï ⥬¯¥à âãà . ¥£ª®
					T
	¢¨¤¥âì, çâ®
		@
			= ;H			(1.56)
		@

® (1.56) (­ §ë¢ ¥¬®¥ ¨­®£¤ ãà ¢­¥­¨¥¬ «®å ) ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ®¡ëç­®£® ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à :

		i~@	= H	(1.57)
		@t
¯®á«¥ ä®à¬ «ì­®© § ¬¥­ë	! , t	! ;i~ . ®í⮬㠬®¦­® ᪠§ âì, çâ® ¢áï à ¢­®¢¥á­ ï áâ -
â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ­¨ª íâ® â	¦¥ ª¢ ­â®¢ ï ¬¥å ­¨ª			¢ \¬­¨¬®¬ ¢à¥¬¥­¨". ëç¨á«¥­¨¥ à ¢­®-

¢¥á­®© ¬ âà¨æë ¯«®â­®á⨠á¨áâ¥¬ë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ ¬®¦­® ¢¥á⨠à¥è ï ãà ¢­¥­¨¥ (1.56) ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¯à¨ í⮬ ä®à¬ «¨§¬ ¯à®¯ £ â®à®¢ (ä㭪権 ਭ ) ¢ ¬­¨¬®¬ (\¬ æ㡠஢- ᪮¬") ¢à¥¬¥­¨ [13]. ਠí⮬ ¬®¦­® ¯®«ì§®¢ âìáï ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬ íâ¨å ¯à®¯ £ â®à®¢ ¢ ¢¨¤¥

䥩­¬ ­®¢áª¨å ¨­â¥£à «®¢ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ (¨­â¥£à	«®¢ ¨­¥à ), ­ ®á­®¢¥ 祣® ¬®¦­® à §¢¨âì
ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ®¡é¨© ¯®¤å®¤ ª à¥è¥­¨î § ¤ ç áâ	â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ [38].

¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¢ëç¨á«¥­¨î K1 { ¯®¯à ¢ª¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪

¯® ¯®â¥­æ¨ «ã

V (x). § (1.26) ¨ (1.46) ¨¬¥¥¬:

i

m

n+1

n

im

n

K1 = ;

2

dx1:::dxnV (xi; ti) exp 8

=0(xj+1 ; xj)29

nlim!1

~

2 i~

i=1

2~ j

XZ

<

X

=

:

(1.58)

£¤¥ ¬ë § ¬¥­¨«¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® t

;

á㬬¨à®¢ ­¨¥¬ ¯® ti. ®áª®«ìªã V §¤¥áì

§ ¢¨á¨â ®â xi, à §®¡ì¥¬ á㬬㠯®¤ íªá¯®­¥­â®© ­

¤¢¥: ®¤­ã ®â j = 0 ¤® j = i ; 1

¨ ¢â®àãî ®â j = i ¤® j = n. 뤥«¨¬ â ª¦¥ ¨­â¥£à « ¯® xi. १ã«ìâ ⥠(1.58)

¯¥à¥¯¨è¥âáï ª ª:

;i

n

8

m

n;i+1

im

n

39

K1 = lim

dxi

2

dxi+1:::dxn exp

(xj+1

xj)2

2 i~

Z

22~ j=i

;

n!1

~ i=1

XZ

<

4

X

5=

:

m

i

im

i

;

1

;

2

V (xi; ti)8

Z

dx1:::dxi;1 exp 2

=0(xj+1

; xj )239

2 i~

2~ j

<

4

X

=

:

5;(1.59)

«¥­ë ¢ 䨣ãà­ëå ᪮¡ª å à ¢­ë K0(xf tf ;xt) ¨ K0(xt;xiti) ᮮ⢥âá⢥­­®, â ª

çâ® ¯®á«¥ § ¬¥­ë

dxi

­

R

dx

dt

¢ëà ¦¥­¨¥ (1.59) ᢮¤¨âáï ª:

Pi R i

tf

1R

K1

= ;

Zti

dt Z;1 dxK0(xf tf ; xt)V (x; t)K0(xt; xiti )

(1.60)

~

ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® K0(xf tf ;xt) = 0 ¤«ï t > tf ,

K0 (xt;xiti)

=

0 ¤«ï t < ti,

¢ëà ¦¥­¨¥ (1.60) ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

i

1

1

K1 = ;

Z;1 dt Z;1 dxK0

(xf tf ; xt)V (x; t)K0(xt; xiti)

(1.61)

~

çâ® ¨ ¤ ¥â ®ª®­ç ⥫ì­ë© ¢¨¤ ¯®¯à ¢ª¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪

ª ¯à®¯ £ â®àã (ä㭪樨

ਭ ) ­ 襩 ç áâ¨æë.

®¢¥à襭­® ­ «®£¨ç­®, ¯ã⥬ ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª¨å ¢ëç¨á«¥­¨©, ¬®¦­® ­ ©â¨ ¨ ¯®¯à ¢ªã ¢â®à®£® ¯®à浪 :

	i 2		1	1	1	1
K2(xf tf ; xiti) = ;			Z;1 dt1 Z;1 dt2 Z;1 dx1 Z;1 dx2K0				(xf tf ; x2t2)V (x2t2)
	~

17

K0(x2t2; x1t1)V (x1t1)K0 (x1t1;xiti) (1.62)

âàãªâãà ç«¥­®¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ áâ ­®¢¨âáï ⥯¥àì ®ç¥¢¨¤­®©. १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饭¨© ¤«ï ¯à®¯ £ â®à ¢ ¢¨¤¥:

				i
K(xf tf ;xiti) = K0(xf tf ;xiti) ;					Z dt1dx1K0	(xf tf ; xt)V (x1; t1)K0(x1t1; xiti) ;
				~
1		Z
;			dt1dt2dx1dx2K0(xf tf ;x2t2 )V (x2t2)K0(x2t2; x1t1)V (x1t1)K0(x1t1; xiti) + :::
	~2
						(1.63)

зв® ¯а®бв® б®¢¯ ¤ ¥в б ­ «®£¨з­л¬ а §«®¦¥­¨¥¬, ¢л¯¨б ­­л¬ ¢ли¥ ¢ « ¢¥ 4 з бв¨ I. ¬¥в¨¬, зв® ¢ ¢ла ¦¥­¨¨ (1.62) ®вбгвбв¢г¥в ¬­®¦¨в¥«м 1=2!, ¨¬¥ой¨©бп ¢

à §«®¦¥­¨¨ (1.46). ¥«® §¤¥áì ¢ ⮬, çâ® ¤¢				¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á V ¢ à §­ë¥ ¬®¬¥­âë
¢à¥¬¥­¨ ­¥à §«¨ç¨¬ë ¨ ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:
	1			1	1
			Z;1 dt0 Z;1 dt00V (t0)V (t00) =
1	1	2!
= Z;1 dt0	Z;1 dt00[ (t0 ; t00)V (t0)V (t00) + (t00 ; t0)V (t0)V (t00) =
	1			1
	= Z;1 dt1 Z;1 dt2V (t1)V (t2) (t1 ; t2)					(1.64)

® í⮩ ¦¥ ¯à¨ç¨­¥ ¢ ¯®¯à ¢ª¥ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¯®à浪 Kn ®вбгвбв¢г¥в ¬­®¦¨- в¥«м 1=n!. б­®, зв® ¢ а §«®¦¥­¨¨ (1.63) ᮤ¥а¦¨вбп ¯а®бв¥©и п ¤¨ £а ¬¬­ п в¥е­¨ª : ª ¦¤л© з«¥­ ап¤ ¬®¦­® «¥£ª® ¨§®¡а §¨вм ¤¨ £а ¬¬®©, ¥б«¨ б®¯®бв - ¢¨вм б¯«®и­го «¨­¨о ¯а®¯ £ в®аг з бв¨жл, ¢®«­¨бвл¬¨ «¨­¨п¬¨ ¨§®¡а §¨вм ¤¥©бв¢¨¥ ¯®в¥­ж¨ « ¢ б®®в¢¥вбв¢гой¨е в®зª е ¯а®бва ­бв¢ ¢ б®®в¢¥вбв¢гой¨¥ ¬®¬¥­вл ¢а¥¬¥­¨ (¯® ª®в®ал¬ ¢¥¤¥вбп ¨­в¥£а¨а®¢ ­¨¥).

®¤áâ ­®¢ª à §«®¦¥­¨ï (1.63) ¢ (1.1) ¤ ¥â:

			(xf tf ) = Z dxiK(xf tf ; xiti) (xiti) =
	i		= Z dxiK0(xf tf ; xiti) (xiti) ;
;		Z dt Z dx Z dxiK0	(xf tf ; xt)V (x; t)K0(xt; xiti ) (xiti) + :::	(1.65)
	~

ª« ¤ ­¥¢ë¯¨á ­­ëå §¤¥áì ç«¥­®¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ ᢮¤¨âáï, ®ç¥¢¨¤­®, ª § ¬¥­¥ ¯®á«¥¤­¥£® ¯à®¯ £ â®à K0 ¯®«­ë¬ ¯à®¯ £ â®à®¬ K. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¯®«ãç ¥¬ â®ç­®¥ ¨­â¥£à «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ¢®«­®¢®© ä㭪樨:

(xf tf ) = Z	i
	dxiK0(xf tf ; xiti) (xiti) ; ~ Z dt Z dxK0(xf tf ;xt)V (x; t) (xt) (1.66)

ª®â®à®¥, ª®­¥ç­®, ¢¯®«­¥ íª¢¨¢ «¥­â­® ãà ¢­¥­¨î ।¨­£¥à ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥. ।¯®« £ ï, çâ® ¯à¨ ti ! ;1 ¢®«­®¢ ï äã­ªæ¨ï ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ᢮- ¡®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à (¯«®áª®© ¢®«­®©!) ¨ ®¡®§­ ç ï ¥£® ª ª '(xt), ¬®¦­®

18
	¯¥à¥¯¨á âì (1.66) ¢ ¢¨¤¥:
		i
	(xf tf ) = '(xf tf ) ;		Z dt Z dxK0(xf tf ;xt)V (x; t) (xt)	(1.67)
		~

¯®áª®«ìªã ¯«®áª ï ¢®«­ ¢ ¯à®æ¥áᥠ᢮¡®¤­®£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï ®áâ ¥âáï ¯«®áª®© ¢®«­®©.

ਠà¥è¥­¨¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç ç á⮠㤮¡­¥¥ ¯®«ì§®¢ âìáï ¨¬¯ã«ìá­ë¬ ¯à¥¤-

áâ ¢«¥­¨¥¬. ãáâì K(p1t1; p0t0) { ¬¯«¨â㤠¢¥à®ïâ­®á⨠⮣®, çâ® ç áâ¨æ , ®¡« -
¤ ¢è ï ¨¬¯ã«ìᮬ p0 ¢ ¬®¬¥­â t0, ¡ã¤¥â § ॣ¨áâà¨à®¢ ­ ¢ ¡®«¥¥ ¯®§¤­¨© ¬®¬¥­â
t1 á ¨¬¯ã«ìᮬ p1. â ¬¯«¨â㤠¤ ¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬:
K(p1t1; p0t0) = Z dx0 Z dx1 exp ;~i p1x1 K(x1t1; x0t0) exp ~i p0 x0	(1.68)

£¤¥ ᢮¡®¤­ë© ¯à®¯ £ â®à K(x1t1 ;x0t0 ) ¤«ï ç áâ¨æë, ¤¢¨¦ã饩áï ¢ âà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¨¬¥¥â (¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á § ¬¥ç ­¨¥¬ ¯®á«¥ (1.51)) ¢¨¤:

m

3=2

im(x1 ; x0)2

K0 (x1t1

; x0t0) = (t1

t0)

exp

(1.69)

;

i~(t1 ; t0)

2~(t1 ; t0 )

®£¤ ¨¬¥¥¬:

m

3=2

i

K(p1t1;p0t0) = (t1 ; t0)

Z dx0 Z

dx1 exp

(p0 x0 ; p1x1 )

i~(t1 ; t0)

~

exp

im(x0 ; x1)2

(1.70)

2~(t1 ; t0)

¢¥¤¥¬ ­®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï:

x = x0 ; x1 X = x0 + x1 p = p0 ; p1

P = p0 + p1

(1.71)

â ª çâ® 2(p0x0

;

p1x1) = Px+pX. ª®¡¨ ­ í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯¥à¥¬¥­­ëå à ¢¥­

3

(1=2)

= 1=8. ®®â¢¥âá⢥­­®, (1.70) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:

3=2

1

i

i

i 2

K(p1t1; p0t0 ) = (t1 ; t0)

i

8

Z

dX exp

2~

pX Z dx exp

2~

Px e

(1.72)x

m

3

3

(p0 ; p1), â ª

£¤¥ = 2~(t1;t0) . ¥à¢ë© ¨­â¥£à « §¤¥áì à ¢¥­ 8(2 ~) (p) = 8(2 ~)

çâ®:

K(p1t1; p0t0) = (2 ~)3 (t1 ; t0) (p0 ; p1)

3=2 Z dx exp

i

px + i x2

(1.73)

i

2~

¨ ¨á¯®«ì§ãï (1.35) ¯®«ãç ¥¬

K(p1t1; p0t0) = (2 ~)3 (t1

;

t0) (p0

;

p1) exp

;

iP2(t1

; t0)

(1.74)

8m~

£¤¥ -äã­ªæ¨ï ¢ëà ¦ ¥â § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá . ç¨âë¢ ï ⥯¥àì, çâ® P2 =

4p2, ¯®«ãç ¥¬ ®ª®­ç ⥫쭮:

0

K (p1t1; p0t0) = (2 ~)3 (t1

;

t0 ) (p0

;

p1) exp

;

ip2

(t1 ; t0)

(1.75)

2m~

19

ª®­¥æ, ¢ëç¨á«¨¬ ¥é¥ ¨ äãàì¥-®¡à § ¯à®¯ £ â®à ¯® ¢à¥¬¥­­ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬:

K(p1E1;p0E0) = Z dt0 Z		dt1 exp		i	E1t1 K(p1t1;p0t0) exp ;					i	E0t0 =
				~						~
						ip2		i
3	; p1)Z dt0 Z		dt1 ( ) exp ;			1	exp		(E1t1 ; E0t0) (1.76)
= (2 ~) (p0						2m~		~

£¤¥ ¢¢¥«¨ = t1 ; t0. áᬠâਢ ï ¨ t0 ª ª ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¨­â¥£à¨à®-

¢ ­¨ï, ¯®«ã稬:

1

i

; E0)t0

K(p1E1;p0E0) = (2 ~)3 (p0 ; p1) Z;1 dt0 exp

(E1

~

1

i

p2

Z;1 d ( ) exp

(E1 ;

1

)

(1.77)

~

2m

¥à¢ë© ¨­â¥£à « §¤¥áì ¤ ¥â (2 ~) (E1

;

E0),

¢â®à®©, ¨§-§

­ «¨ç¨ï ( ), á«¥¤ã¥â

¯®­¨¬ âì ª ª 1:

1

2

~

i~

lim

d ei(E1;p1

=2m+i ) =

=

(1.79)

2

!+0 Z0

E1

; 2pm1

+ i

®í⮬㠮ª®­ç ⥫쭮 ¨¬¥¥¬:

K(p1E1; p0E0) = (2 ~)4 (p0 ; p1) (E0 ; E1)	ip12	(1.80)
	~

E1 ; 2m + i

çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© äãàì¥-®¡à § § ¯ §¤ë¢ î饩 ä㭪樨 ਭ ᢮¡®¤­®© ç - áâ¨æë, ¯à¨ç¥¬ -ä㭪樨 ¢ëà ¦ îâ § ª®­ë á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá ¨ í­¥à£¨¨. ¬¥- ⨬, çâ® ¯®«îá í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï, ä ªâ¨ç¥áª¨, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¥© ç áâ¨æë, ç⮠ï¥âáï ¯à®ï¢«¥­¨¥¬ ®¡é¥£® ᢮©á⢠ä㭪権 ਭ [13]: ¨å ¯®«îá ®¯à¥¤¥«ïîâ í­¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ (ª¢ §¨ç áâ¨æ).

᫨ ¢¢¥á⨠¥é¥ ¨ äãàì¥-®¡à § ¯®â¥­æ¨ « , § ¯¨á ¢ V (x; t) ¢ ¢¨¤¥:

V (x; t) = Z	d!	Z	d3q
				ei(qx;!t)V (q!)	(1.81)
	2		(2 )3

â® àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饭¨© (1.63) ¯®à®¦¤ ¥â áâ ­¤ àâ­ãî ¤¨ £à ¬¬­ãî ¢ ¨¬¯ã«ìá- ­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ â¥å­¨ªã ¤«ï ä㭪樨 ਭ ç áâ¨æë ¢® ¢­¥è­¥¬ ¯®«¥ [13].

1 ãàì¥-®¡à § (t) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à ¢¥­á⢠:

(t) =	lim	1 d!		e;i!t	i	(1.78)
	!+0 Z;1		2		! + i

¢ á¯à ¢¥¤«¨¢®á⨠ª®â®à®£® ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, ¯à®¢®¤ï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢¤®«ì ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ¨ § ¬ëª ï ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¢ ¢¥àå­¥© ¨«¨ ­¨¦­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠! ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â §­ ª t.