Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2

40

:

¨á. 2-7

çâ® £à ä¨ç¥áª¨ ¨§®¡à ¦ ¥âáï ¤¨ £à ¬¬ ¬¨, ¯®ª § ­­ë¬¨ ­ ¨á.2-7 ¨ ¤ ¥â ¬- ¯«¨âã¤ã à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¤¢ãå ᢮¡®¤­ëå ç áâ¨æ. ¤¥áì ç¥âëॠ¯à®áâà ­á⢥­­® { ¢à¥¬¥­­ë¥ â®çª¨ ¯à®á⮠ᮥ¤¨­¥­ë ¢á¥¬¨ ¢®§¬®¦­ë¬¨ ᯮᮡ ¬¨ «¨­¨ï¬¨ ᢮¡®¤- ­ëå ç áâ¨æ.

¥à¥å®¤ï ª n-â®ç¥ç­ë¬ äã­ªæ¨ï¬, ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¤«ï ­¥ç¥â­ëå n ¢á¥ ®­¨ ¯à®áâ® à ¢­ë ­ã«î:

(x1; x2; :::; x2n+1) = 0

(2.87)

«ï ç¥â­ëå n ª ¦¤ ï n-â®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï ä ªâ®à¨§ã¥âáï ­ á㬬㠯ந§¢¥¤¥­¨© 2-â®ç¥ç­ëå ä㭪権 (¯® ¢á¥¬ \ᯠਢ ­¨ï¬", â.¥. ¯® ¢á¥¢®§¬®¦­ë¬ ¯¥à¥áâ ­®¢ª ¬, ¢å®¤ïé¨å ¢ ­¨å ¯®¯ à­® ª®®à¤¨­ â):

(x1; x2; :::; x2n) =	X	(xp1	; xp2)::: (xp2k;1; xp2k)	(2.88)
	P
£¤¥
(x1; x2) = i F (x ; y)				(2.89)

⮠᢮¤¨âáï ª ¨§¢¥áâ­®© ­ ¬ ⥮६¥ ¨ª , ª®â®à ï ⥯¥àì ­ ¬¨ ¤®ª § ­ ¨ ¢ ä㭪樮­ «ì­®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï.

ந§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¤«ï ¢§ ¨¬®- ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯®«¥©.

® á¨å ¯®à à¥çì è« ® ⥮ਨ ᢮¡®¤­®£® (­¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饣® ¯®«ï). ª ¢á¥ íâ® ®¡®¡é¨âì ­ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî騥 ¯®«ï? áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 ¯à¨¬¥à â ª®© ⥮ਨ, § ¤ ¢ « £à ­¦¨ ­ ᪠«ïà­®£® ¯®«ï ¢ ¢¨¤¥:

1	m2			g
L = 2@ '@ ' ; 2 '2 ;					'4 = L0	+ Lint	(2.90)
				4!
£¤¥ g { ­¥ª®â®à ï ª®­áâ ­â	¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. â® â ª ­ §ë¢ ¥¬ ï ⥮à¨ï g'4 . -
£à ­¦¨ ­ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤«ï ­¥¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
	Lint = ;	g		4
		4!		'			(2.91)

:

41

à ¢­¥­¨ï £à ­¦ ¤«ï â ª®© ⥮ਨ 㦥 ­¥«¨­¥©­ë (¢ ­¨å 䨣ãà¨àã¥â á« - £ ¥¬®¥ g'3 ), çâ® ¨ ®âà ¦ ¥â ­ «¨ç¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (á ¬®¤¥©á⢨ï). ®¡é¥¬ á«ãç ¥ « £à ­¦¨ ­ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ­¥ª®â®àãî äã­ªæ¨î V (').¯à¨­æ¨¯¥, ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ¤ ¦¥ ­¥¯®«¨­®¬¨ «ì­ë¥ ä㭪樨, ®¤­ ª® ¬ë ®£à ­¨ç¨¬áï ¯à®á⥩訬¨ ¬®¤¥«ï¬¨.

âáâ㯫¥­¨¥ ® à §¬¥à­®áâïå ª®­áâ ­â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï.

ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¤¥©á⢨¥ S =					d4xL ¡¥§à §¬¥à­® (~ = 1). ®®â¢¥âá⢥­­®, à §¬¥à­®áâì
« £à ­¦¨ ­ [		L	] = l;4, £¤¥ l { ­¥ª®â®à ï ¤«¨­ . §¬¥à­®áâì í­¥à£¨¨ (¬ ááë): [E] = [m] = l;1.
§ ¢¨¤				R		1	. ®£¤	¨§ (2.91) ïá­®, çâ® ¢ ⥮ਨ g'	4	ª®­-
	« £à ­¦¨ ­ (2.90) ¯®­ïâ­®, çâ® ['] = l;
áâ ­â	¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï g ¡¥§à §¬¥à­ . â® ®ç¥­ì ¢ ¦­®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮! « £®¤ àï ¥¬ã ¤ ­­ ï

⥮à¨ï ï¥âáï ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®©. ­âã¨â¨¢­®, íâ® ¬®¦­® ¯®­ïâì ¨§ á«¥¤ãîé¨å í«¥¬¥­â à­ëå á®®¡à ¦¥­¨©. áᬮâਬ ¡®«¥¥ ®¡é¨© á⥯¥­­®© « £à ­¦¨ ­ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï:

Lint = gk'4+k	k > 0	(2.92)
®£¤ à §¬¥à­®áâì ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ª®­áâ ­âë ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï [gk] = lk. ® à §«®¦¥­¨¥ ⥮ਨ

¢®§¬ã饭¨© ¢á¥£¤ ­ ¤® áâநâì ¯® ¡¥§à §¬¥à­®¬ã ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã. ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ â ª¨¬ ¯ à ¬¥â஬ ¡ã¤¥â ¢¥«¨ç¨­ :

gkmk gkEk (2.93)

àáâãé ï á à®á⮬ í­¥à£¨¨ E (¨«¨ ­ ¬ «ëå à ááâ®ï­¨ïå). â® ¯«®å® ¨, ª ª ®ª §ë¢ ¥âáï, ï- ¥âáï ®âà ¦¥­¨¥¬ ­¥¯¥à¥­®à¬¨à㥬®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ⥮ਨ. àã¡® ¬®¦­® ᪠§ âì, çâ® ¡¥§-

৬¥à­®áâì ª®­áâ ­âë ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ï¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ (­® ­¥ ¤®áâ â®ç­ë¬!) ãá«®¢¨¥¬ ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®á⨠¢ «î¡®© ⥮ਨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ. ®ç­¥¥, ­¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ª®­-

áâ ­â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¡ë« ¡ë ¡¥§à §¬¥à­®© ¨«¨ à §¬¥à­®áâì ¥¥ ¡ë« ¡ë ®âà¨æ ⥫쭮© á⥯¥-

		3
­ìî ¤«¨­ë: g		l;a; a > 0. ¯®á«¥¤­¥¬ á«ãç ¥, ¡¥§à §¬¥à­ë© ¯ à ¬¥âà ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© gE;a

¡г¤¥в ¢¯®«­¥ ¡¥§®¡¨¤­л¬ ¯а¨ ¢лб®ª¨е н­¥а£¨пе. нв®© в®зª¨ §а¥­¨п £®¤¨вбп ¨ в¥®а¨п g' , ­® б ­¥© ¤аг£¨¥ ¯а®¡«¥¬л { ®вбгвбв¢г¥в ¯®«®¦¨в¥«м­ п ®¯а¥¤¥«¥­­®бвм н­¥а£¨¨ (­¥в ®б­®¢­®£® б®бв®- п­¨п). ®н⮬г, в¥®а¨п g'4 ï¥âáï, ¯® áã⨠¤¥« , ¥¤¨­á⢥­­®© \à §ã¬­®©" ⥮ਥ© ᪠«ïà­®£® ¯®«ï ¢ ç¥âëà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ { ¢à¥¬¥­¨5.

«ï ᯨ­®à­®£® ¯®«ï (s = 1=2) ¬®¦­® à áá㦤 âì â ª¦¥. ¨à ª®¢áª¨© « £à ­¦¨ ­

L

i @

; m

, â ª çâ® [ ] = [ ] = l;

3=2

. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¥á«¨ à áᬮâà¥âì ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¤¨à -

ª®¢áª®£® ¯®«ï ᮠ᪠«ïà­ë¬ ¢¨¤ (¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª ¢ë):

Lint g '

(2.94)

⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ª®­áâ ­â

¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï g ¡¥§à §¬¥à­ ¨ ⥮à¨ï ¯¥à¥­®à¬¨à㥬 . ¥á«¨

¢§ïâì ç¥âëà¥åä¥à¬¨®­­®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ( ¥à¬¨) ¢¨¤ :

Lint G

(2.95)

â® ª®­áâ ­â

á¢ï§¨ G à §¬¥à­ : [G] = [m;2] = l2. ª ï ⥮à¨ï ¨¬¥¥â \¯«®å®¥" ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¯à¨

¡®«ìè¨å í­¥à£¨ïå ¨ ï¥âáï ­¥¯¥à¥­®à¬¨à㥬®©.

ᮢ६¥­­®© ⥮ਨ ¯à¨­ïâ® à áᬠâਢ âì ⮫쪮 ¯¥à¥­®à¬¨àã¥¬ë¥ â¥®à¨¨. ¥§à §¬¥à-

­®áâì ª®­áâ ­âë á¢ï§¨ ï¥âáï £àã¡ë¬ ªà¨â¥à¨¥¬ ®â¡®à

¢®§¬®¦­ëå « £à ­¦¨ ­®¢ ¢§ ¨¬®¤¥©-

á⢨ï.

®à¬¨à®¢ ­­ë© ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¤«ï ⥮ਨ á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ®¯à¥-

¤¥«¨¬ â ª¦¥ ª ª ¨ ¤«ï ­¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饩 ⥮ਨ (áà.(2.1), (2.61)):

' exp iS + i

dxJ'

£¤¥ S = d

4

Z[J] = R D

R;D'eiS R

(2.96)

xL { ¤¥©á⢨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ, á ãç¥â®¬ ¢ª« ¤

®â « £à ­¦¨-

­

¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. à¨

L

int

= 0 (2.96), ¥áâ¥á⢥­­®, ᢮¤¨âáï ª à áᬮâ७­ë¬

R

¢ëè¥ ¢ëà ¦¥­¨ï¬ ¤«ï ᢮¡®¤­®© ⥮ਨ. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ S = S0 + Sint, £¤¥

Sint = R d4xLint.

5 ®«¥¥ ¯®¤à®¡­® í⨠¢®¯à®áë, ¢ª«îç ï § ¢¨á¨¬®áâì ®â à §¬¥à­®á⨠¯à®áâà ­á⢠, ¡ã¤ãâ ®¡áã- ¦¤ âìáï ¯®§¤­¥¥.

42

:

¥¯®á।á⢥­­® ¯à®¢®¤ï ä㭪樮­ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥, ¨¬¥¥¬:

1 Z

=

D' exp

iS + i

dxJ' '(x)

(2.97)

R

; R

'eiS

i J(x)

1

2

Z

D

R

=

D' exp

iS + i

dxJ' '(x)'(y)

(2.98)

i2 J(x) J (y)

;

'eiS

R

DR

¨ â. ¤. ®« £ ï ¢ íâ¨å ¢ëà ¦¥­¨ïå

J = 0 £¥­¥à¨à㥬 ¢á¥ £à¨­®¢áª¨¥ ä㭪樨

⥮ਨ:

R

< 0jT '(x)'(y)j0 >= R

D

' exp (iS) '(x)'(y)

(2.99)

D'eiS

' exp (iS) '(x

1

)'(x

)'(x

)'(x

)

< 0jT '(x1)'(x2 )'(x3)'(x4)j0 >= R D

R

2

3

4

(2.100)

D'eiS

¨ â. ¤. ¨¤¨¬, çâ® ä㭪樨 ਭ

¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ä㭪樮­ «ì­ë¥ \á।-

­¨¥" ®â ¯à®¨§¢¥¤¥­¨© ç¥â­®£® ç¨á«

¯®«¥©, ¯à¨çR¥¬ \ãá।­¥­¨¥" ¯à®¢®¤¨âáï á

\¢¥á®¬" eiS. ᫨ ¢ íâ¨å ¢ëà ¦¥­¨ïå § ¯¨á âì S = S0 + Sint ¨ ¯à®¢¥áâ¨ à §«®- ¦¥­¨¥ íªá¯®­¥­â ¢ àï¤ ¯® á⥯¥­ï¬ Sint, в.¥., д ªв¨з¥бª¨ ¢ ап¤ в¥®а¨¨ ¢®§¬гй¥­¨© ¯® бв¥¯¥­п¬ ª®­бв ­вл ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨п, в® ¯®«м§гпбм ¤®ª § ­­®© ¢ли¥ в¥®а¥¬®©¨ª , ¬®¦­® ¯®бва®¨вм ¤¨ £а ¬¬­го в¥е­¨ªг ¤«п ¢лз¨б«¥­¨п «о¡ле дг­ªж¨©а¨­ , а бб¬ ва¨¢ ¥¬®© в¥®а¨¨ ¯®«п, ­ «®£¨з­® ⮬г, ª ª нв® ¤¥« «®бм ¢ ®¯¥а - в®а­®¬ ¯®¤е®¤¥. ®§­¨ª ой¨¥ ¯а¨ н⮬ \ба¥¤­¨¥" ®в ¯ а­ле ¯а®¨§¢¥¤¥­¨© ¯®«¥© ¢ а §­ле в®зª е ¡г¤гв \гба¥¤­пвмбп" c eiS0 . в¨ \ба¥¤­¨¥" «¥£ª® ¢лз¨б«повбп (£ гбб®¢л ¨­в¥£а «л!) ¨, ª ª ¬л ¢¨¤¥«¨, б¢®¤пвбп ª б®®в¢¥вбв¢гой¨¬ б¢®¡®¤­л¬ дг­ªж¨п¬ а¨­ . л, ®¤­ ª®, ¯®©¤¥¬ ­¥бª®«мª® ¨­л¬, ¡®«¥¥ д®а¬ «м­л¬, ¯гв¥¬, ®б­®¢ ­­л¬ ­ а бᬮва¥­¨¨ ®¡й¨е б®®в­®и¥­¨© ¤«п ¯а®¨§¢®¤пй¥£® дг­ªж¨®­ « ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢гой¥© в¥®а¨¨ (2.96).

¬¥â¨¬, çâ®

1

i

R

dxJ'

i

R

dxJ'

i

e

= '(x)e

(2.101)

J(x)

®áª®«ìªã J ¨ ' §¤¥áì ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ (ä㭪樮­ «ì­ë¥) ¯¥à¥¬¥­­ë¥,

­ «®£¨ç­®¥

à ¢¥­á⢮ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¤«ï «î¡®© ä㭪樨 ®â ':

1

i

dxJ'

i

dxJ'

V i

e

R

= V ('(x)) e

R

(2.102)

J(x)

çâ® «¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥âáï à §«®¦¥­¨¥¬ V (') ¢ àï¤ í©«®à . ®£¤

¨¬¥¥¬:

1

e;i R dxV (')ei R dxJ'

= e;i R dxV

;i J(x) ei R dxJ'

(2.103)

®í⮬ã, ¨á¯®«ì§ãï ¢ ª ç¥á⢥ V (') « £à ­¦¨ ­ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï Lint('), ¬®¦­®

§ ¯¨á âì ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ⥮ਨ á® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¢ ¢¨¤¥:

i

dx[

1

@ '@ ';

1

(m2;i")'2+Lint(')+J']

2

2

Z[J ] = N Z D'e

R

=

= N Z D'ei R dxLint(')ei R dx[

1

@ '@ ';(m2;i")'2+J']

=

2

1

= Nei R dxLint;i J(x) Z0

[J]

(2.104)

:				43
¨«¨, ¨á¯®«ì§ãï (2.20):			Z dxdyJ(x) F (x ; y)J(y)
Z [J] = N exp i Z dxLint i J(x) exp ;2				(2.105)
1		i

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ã稫¨ ®¡é¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®¤ï饣® ä㭪樮­ « ⥮ਨ á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬, ª®â®à®¥ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ ­® ¯à¨ ¯®áâà®- ¥­¨¨ ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨.

¥®à¨ï '4.

â ª ¢¥à­¥¬áï ª à áᬮâ७¨î ⥮ਨ á « £à ­¦¨ ­®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï:

	g	4
Lint = ;4!		'	(2.106)

®à¬¨à®¢ ­­ë© ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¤«ï í⮩ ⥮ਨ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

Z[J] =

h R

1

i

i

R

1

i

exp

i

dzLint

i J(z)

exp

;2

dxdyJ(x) F (x ; y)J(y)

nexp hi R dzLint

iexp ;

R dxdyJ(x) F (x ; y)J(y) o jJ=0

i

J(z)

2

(2.107)

¥®à¨ï ¢®§¬ã饭¨© áâநâáï à §«®¦¥­¨¥¬ í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï ¢ àï¤ ¯® á⥯¥­ï¬ ª®­áâ ­âë á¢ï§¨ g. 믨襬 ¯¥à¢ë¥ ç«¥­ë à §«®¦¥­¨ï ¤«ï ç¨á«¨â¥«ï:

ig

1

4

i

"1 ; 4! Z

dz i

+ O(g2)#exp

;

Z dxdyJ(x) F (x ; y)J(y)

J(z)

2

¨ää¥à¥­æ¨àãï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬:

1

exp ;

i

dxdyJ(x) F (x ; y)J(y) =

i

Z

J(z)

2

= ;Z dx F (z ; x)J(x) exp ;

i

Z dxdyJ (x) F (x ; y)J(y)

2

1

2

i

i

exp

;

Z dxdyJ(x) F (x ; y)J (y) =

J(z)

2

= (i F (0) + Z

2

) exp ;2 Z dxdyJ(x) F (x ; y)J(y)

dx F (z ; x)J (x)

i

(2.108)

(2.109)

(2.110)

1			3		i
i				exp ;			Z dxdyJ (x) F (x ; y)J(y) =
	J(z)				2

44

:

¨á. 2-8

= (3[;i F (0)] Z dx F (z ; x)J(x) ; Z dx F (z ; x)J(x) 3)

	exp ;		i	Z	dxdyJ(x) F (x ; y)J (y)
			2
								(2.111)
1		4			i
i		exp		;			Z dxdyJ(x) F (x ; y)J(y) =
	J(z)				2

= (;3[ F (0)]2 + 6i F (0) Z dx F (z ; x)J(x) 2	+ Z dx F (z ; x)J (x) 4)
exp ;	i		Z	dxdyJ(x) F (x ; y)J(y)
	2
				(2.112)

⨬ ¢ëà ¦¥­¨ï¬ ¬®¦­® ᮯ®áâ ¢¨âì ¤¨ £à ¬¬ë. 㤥¬ ¨§®¡à ¦ âì äã­ªæ¨îF (x ; y) (¯à®¯ £ â®à) ᯫ®è­®© «¨­¨¥©, ᮥ¤¨­ïî饩 â®çª¨ x ¨ y. ¥«¨ç¨­ãF (0) = F (x ; x) ¡ã¤¥¬ ¨§®¡à ¦ âì § ¬ª­ã⮩ ¯¥â«¥©, á¢ï§ ­­®© á â®çª®© x.®£¤ ¢ëà ¦¥­¨¥ (2.112) £à ä¨ç¥áª¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­ ¨á.2-8.நá宦¤¥­¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ 3, 6, 1 ¬®¦­® ¯®­ïâì ¨§ á®®¡à ¦¥­¨© ᨬ¬¥âਨ.¯à¨¬¥à, ª®íää¨æ¨¥­â 3 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â६ ᯮᮡ ¬ ᮥ¤¨­¨âì ¤¢¥ ¯ àë «¨- ­¨© ¢ ¤¨ £à ¬¬ã á ¤¢ã¬ï ¯¥â«ï¬¨. ­ «®£¨ç­®, ¢® ¢â®à®¬ á« £ ¥¬®¬ ¨¬¥¥âáï 6 ᯮᮡ®¢ ᮥ¤¨­¨âì ¤¢¥ «¨­¨¨, â ª çâ®¡ë ¯®«ã稫 áì ¨§®¡à ¦¥­­ ï ­ ¨á.2-8 ¤¨ £à ¬¬ . ⨠ª®íää¨æ¨¥­âë ­ §ë¢ îâáï ä ªâ®à ¬¨ ᨬ¬¥âਨ, ¬ë ¥é¥ ®¡áã- ¤¨¬ ®¡é¨© «£®à¨â¬ ¨å ¯®«ã祭¨ï ­¨¦¥. ¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¢ë© ç«¥­ ¢ (2.112) ¨ ­ ¨á.2-8 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⨯¨ç­ë© ¢ ªãã¬­ë© ¢ª« ¤ (£à 䨪) ¡¥§ ¢­¥è­¨å «¨­¨©.

áᬮâਬ ⥯¥àì §­ ¬¥­ ⥫ì (2.107). «ï í⮣® ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâ® ¯®«®¦¨âì J = 0 ¢ (2.112), çâ® ¨áª«îç ¥â ¢â®à®© ¨ âà¥â¨© ç«¥­ë ­ ¨á.2-8. ª¨¬ ®¡à §®¬, á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯®à浪 g, ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à ä¨- ª ¬¨ ¨á.2-9, £¤¥ ¢â®à®¥ à ¢¥­á⢮ ¯®«ã祭® à §«®¦¥­¨¥¬ §­ ¬¥­ ⥫ï á ⮩ ¦¥

:

45

¨á. 2-9

â®ç­®áâìî. ਠí⮬ ¢ ªãã¬­ë© £à 䨪 ¨§ §­ ¬¥­ ⥫ï \¯®¤­ï«áï ­ ¢¥àå" ¨ ¢ â®ç­®á⨠᮪à ⨫áï á ¢ ªãã¬­ë¬ £à 䨪®¬ ç¨á«¨â¥«ï. í⮬ ¯à®ï¢«ï¥âáï 㦥 ¢áâà¥ç ¢è¥¥áï ¢ëè¥ ®¡é¥¥ ¯à ¢¨«® ᮪à 饭¨ï ¢ ªã㬭ëå £à 䨪®¢, ª®â®à®¥ ¢ë- ¯®«­ï¥âáï ¨ ¤«ï ­®à¬¨à®¢ ­­ëå ¯à®¨§¢®¤ïé¨å ä㭪樮­ «®¢ ¢ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï.

2-â®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï.

¢ãåâ®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª:

2Z[J]

(x1; x2) =

jJ=0

(2.113)

J(x1) J(x2)

§ ¨á.2-9 ïá­®, çâ® ¢ª« ¤ ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£® ä㭪樮­ «

Z[J] ¢ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï

(x1; x2) à ¢¥­ ¯à®áâ® i F (x1 ;x2), â.¥. ᢮¡®¤­®¬ã ¯à®¯ £ â®àã. ¨ £à ¬¬

¨á.2-9

á ç¥âëàì¬ï \墮áâ ¬¨" ᮤ¥à¦¨â ç¥âëॠ¬­®¦¨â¥«ï J ¨ ­¥ ¤ ¥â (J = 0) ¢ª« ¤ ¢

2-â®ç¥ç­ãî äã­ªæ¨î. ª« ¤ ®â ¤¨ £à ¬¬ë á ¯¥â«¥© ¢ Z[J ] à ¢¥­:

g

dxdy F (z ; x)J (x) F (z ; y)J(y) exp ;

i

Z J F J

4 F (0)Z

(2.114)

2

¨ää¥à¥­æ¨àãï íâ® ¢ëà ¦¥­¨ï ¤¢

à § , ¯®«ãç ¥¬:

1

ig

(z ; x1) F (z ; y)J(y) exp ;

i

Z J F J + :::

(:::) = ; 4 F (0)2 Z dydz F

i J(x1)

2

(2.115)

1

1

g

i

(:::) = ; 2 F (0) Z dz F (z ;x1 ) F (z ; x2) exp ;

Z J F J +:::

i J(x2) i J(x1)

2

(2.116)

£¤¥ ®¯ã饭ë ç«¥­ë, ®¡à é î騥áï ¢ ­ã«ì ¯à¨ J ! 0. ¨â®£¥, ¨¬¥¥¬:

g

(x1; x2) = i F (x1 ; x2) ; 2 F (0) Z dz F (z ; x1) F (z

; x2) + O(g2)

(2.117)

46

:

¨á. 2-10

çâ® ¨§®¡à ¦¥­® ¤¨ £à ¬¬ ¬¨ ­ ¨á.2-10 «ï ᢮¡®¤­®© ç áâ¨æë ¨¬¥¥¬:

(x) = i F (x) = i Z	d4k		e;ikx	(2.118)
	(2 )4 k2 ; m2 + i"

¨ äãàì¥-®¡à § ᢮¡®¤­®£® ¯à®¯ £ â®à ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨ k2 = m2 , çâ® ¤ ¥â ᯥªâà ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ç áâ¨æë. ¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¬ áá ç áâ¨æë áâ ­®¢¨âáï ®â«¨ç­®© ®â m. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢â®à®© ç«¥­ ­ ¨á.2-10 ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

g

F (0)Z

;2

dz F (x1 ; z) F (x2 ; z) =

g

d4pd4qdz

e;ip(x1;z) e;iq(x2;z)

= ;

2 F (0)Z

=

(2 )8

p2 ; m2 + i" q2

; m2 + i"

g

d4pd4q e;ip(x1;x2)

= ;2 F

(0)Z (2 )4

(p + q) =

(p2 ; m2 + i")2

g

d4p

e;ip(x1;x2)

= ;2 F (0) Z

(2.119)

(2 )4

(p2 ; m2 + i")2

â ª çâ® (2.117) ᢮¤¨âáï ª:

d4p e;ip(x1;x2)

i

F (0)

(x1; x2) = i Z

1 +

g

(2.120)

(2 )4

p2 ; m2 + i"

2

p2 ; m2 + i"

ਠg 1 ç«¥­ ¢ 䨣ãà­ëå ᪮¡ª å ¢ (2.120) ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì (á ⮩ ¦¥ â®ç­®-
áâìî) ª ª:
	g		F (0)		;1
1 ; i					(2.121)
	2 p2		; m2 + i"
®®â¢¥âá⢥­­®:

(x1; x2) = i Z	d4p		e;ip(x1;x2)
	(2 )4 p2 ; m2 ;			i	g F (0) + i"
				2

¨¤¨¬, ç⮠⥯¥àì äãàì¥-®¡à § (x1; x2) ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨:

p2 = m2 +	i	g F (0)				m2	+ m2	= m2r
2
£¤¥				i
m2			= ;		g F (0)
				2

(2.122)

(2.123)

(2.124)

¢¥«¨ç¨­ mr ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© 䨧¨ç¥áªãî (¨«¨ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ãî) ¬ ááã ç áâ¨æë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¨§¬¥­ï¥â ¬ ááã. ᮦ «¥­¨î, ¢¥«¨ç¨­

:										47
	2		­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à ááç¨â ­ , ä®à¬ «ì­® ®­ ¡¥áª®­¥ç­ , ¯®áª®«ìªã F (0)
m4
R	d	k		R	3	2		R
	k2				dkk =k				dkk, ¨ íâ®â ¨­â¥£à « ª¢ ¤à â¨ç­® à á室¨âáï ­	¢¥àå­¥¬ ¯à¥-
¤¥«¥. â® á­®¢						¯à¨¬¥à ⨯¨ç­®© \ã«ìâà 䨮«¥â®¢®©" à á室¨¬®á⨠¢ ª¢ ­â®¢®©
⥮ਨ ¯®«ï. ¨âã æ¨ï §¤¥áì â ª ï ¦¥, ª ª ¨ ¢ ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥. ¨-
§¨ç¥áª ï ¯à¨ç¨­ à á室¨¬®á⨠{ â®ç¥ç­ë© å à ªâ¥à ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï («®ª «ì­ ï

⥮à¨ï ¯®«ï). ¬ ­¥¨§¢¥áâ­®, áãé¥áâ¢ã¥â { «¨ ª ª®© - ­¨¡ã¤ì \ॠ«¨áâ¨ç¥áª¨©" ¬¥å ­¨§¬ \®¡à¥§ ­¨ï" â ª¨å à á室¨¬®á⥩. ¯à¨¬¥à, ¢ ⥮ਨ ª®­¤¥­á¨à®¢ ­- ­®£® á®áâ®ï­¨ï, ¢ ­ «®£¨ç­ëå á¨âã æ¨ïå, ¢¥àå­¨© ¯à¥¤¥« ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ®¡ëç­®1=a, £¤¥ a { ­¥ª®â®à ï \¬¨­¨¬ «ì­ ï" ¤«¨­ ¯®à浪 á।­¥£® ¬¥¦ ⮬­®£® à á- áâ®ï­¨ï ¨«¨ ¯®áâ®ï­­®© à¥è¥âª¨. ­ «®£ â ª®© ¤«¨­ë ¢ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ­¥ ¨§¢¥á⥭, ¡®«¥¥ ⮣®, ¥£® ¢¢¥¤¥­¨¥ (­ ¯à¨¬¥à ¯ã⥬ ¢¢¥¤¥­¨ï à¥è¥â®ç­®© áâàãªâãàë ¯à®áâà ­á⢠- ¢à¥¬¥­¨ ­ ¬ «ëå à ááâ®ï­¨ïå) ® ­ àãè ¥â ५ï⨢¨áâáªãî ¨­- ¢ ਠ­â­®áâì ⥮ਨ. ஡«¥¬ à¥è ¥âáï ¤«ï ¯¥à¥­®à¬¨à㥬ëå ⥮਩, ª®£¤ 㤠- ¥âáï ¢á¥ â ª¨¥ à á室¨¬®á⨠\§ £­ âì" ¢ ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ¯ à ¬¥â஢, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ¨§ íªá¯¥à¨¬¥­â (¬ áá , ª®­áâ ­â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨ â. ¯.). «ï ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®© ⥮ਨ g'4 ¬ë ¥é¥ ¢¥à­¥¬áï ª ®¡á㦤¥­¨î íâ¨å ¢®¯à®á®¢.

4-â®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï.

¬¥¥¬:

	4Z[J]
(x1; x2; x3; x4) =		jJ=0	(2.125)
	J(x1) J(x2) J (x3) J(x4)
«¥­ ¯®à浪 g0 ¡ë« à áᬮâ७ ¢ëè¥, ¨§ (2.86) ¨¬¥¥¬:
(x1; x2; x3; x4) = F (x2 ; x3 ) F (x1 ; x4 ) +
+ F (x2 ; x1) F (x3 ; x4) + F (x3 ; x1 ) F (x2 ; x4)			(2.126)

çâ® ¯®ª § ­® £à ä¨ç¥áª¨ ­ ¨á.2-7 ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᢮¡®¤­®¬ã à á¯à®áâà ­¥­¨î ¤¢ãå ç áâ¨æ ¡¥§ ¢á类£® à áá¥ï­¨ï. áᬮâਬ ¢ª« ¤ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® g. §

¢¨¤ ¯à®¨§¢®¤ï饣® ä㭪樮­ « , ¯à¨¢¥¤¥­­®£® ­	¨á.2-9, ïá­®, çâ® ®¤¨­ ¢ª« ¤
â ª®£® ⨯ , á¢ï§ ­­ë© á ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬ ¯¥â«¥¢®£® £à 䨪 ¢ Z[J] ¨§®¡à -
¦ ¥âáï ¨á.2-11 ¨ à ¢¥­:
g	4
4		J (x1) J (x2) J(x3) J(x4)
F (0)Z dx Z dy Z dz F (x ; z) F (y ; z)J(y)J(x) exp ;2 Z J F J jJ=0 =
			i

= ;ig2 F (0)Z dz[ F (z ; x1) F (z ; x2) F (x3 ; x4) + + F (z ; x1 ) F (z ; x3) F (x2 ; x4) + F (z ; x1) F (z ; x4) F (x2 ; x3) + + F (z ; x2 ) F (z ; x3) F (x1 ; x4) + F (z ; x2) F (z ; x4) F (x1 ; x2) + + F (z ; x3) F (z ; x4 ) F (x1 ; x2(2.127))]

çâ® £à ä¨ç¥áª¨ ¯®ª § ­® ¤¨ £à ¬¬®© ­ ¨á.2-12, § ¬¥­ïî饩 è¥áâì á« £ ¥¬ëå ¤ ­­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï. à㣮© ¢ª« ¤ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® g ¯®«ãç ¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨-

48

:

¨á. 2-11

¨á. 2-12

஢ ­¨¥¬ \ç¥âëà¥å墮á⮣®" £à 䨪 ¢ Z [J], çâ® ¤ ¥â:

ig	4	(Z	dx F (z ; x)J(x)		4	exp ;	i		Z J F J ) jJ=0
; 4!										=
	J(x1)::: J (x4)						2
	= ;ig Z			dz F (x1 ; z) F (x2 ; z) F (x3 ; z) F (x4 ; z)
										(2.128)

çâ® £à ä¨ç¥áª¨ ¬®¦­® ¨§®¡à §¨âì ¯à®áâ® â®çª®© á ç¥âëàì¬ï \墮áâ ¬¨", £¤¥ â®çª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â í«¥¬¥­â à­ãî (\§ âà ¢®ç­ãî") ¢¥à設㠢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï.

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«­ ï 4-â®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï, á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯®à浪 g, ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à 䨪 ¬¨ ¨á.2-13. ¤¥áì ¯¥à¢ë© ç«¥­ ¯®à浪 g0 , ª ª ¬ë 㦥 ®â¬¥ç «¨, ­¥ ¤ ¥â ¢ª« ¤ ¢ à áá¥ï­¨¥, ¢â®à®© ç«¥­ ®¯¨áë¢ ¥â á ¬®¤¥©á⢨¥ ®¤­®© ¨§ ç áâ¨æ, ᮡá⢥­­® à áá¥ï­¨¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ⮫쪮 âà¥â쨬 á« £ ¥¬ë¬.

¨á. 2-13

:

49

¨á. 2-14

¨á. 2-15

¨á«¥­­ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë ­ ¨á.2-13, ¨ ¢ ¤àã£¨å ¯®¤®¡­ëå á«ãç ïå, ¬®¦­® ¯®­ïâì ¨§ ª®¬¡¨­ â®à­ëå á®®¡à ¦¥­¨©. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¤¨ £à ¬¬ã ¯®- à浪 gn ¤«ï 4-â®ç¥ç­®© ä㭪樨. ­ ᮤ¥à¦¨â n ¢¥à設 { ¨á.2-14. 4-â®ç¥ç­®© ä㭪樨 ¨¬¥¥âáï 4 ¢­¥è­¨å \墮áâ " { ¨á.2-15 (¯à¥¤¤¨ £à ¬¬ ). ¥¯¥àì ­ã¦­® ¢á¥¬¨ ᯮᮡ ¬¨ ᮥ¤¨­¨âì í⨠\墮áâë" á n ¢¥à設 ¬¨, ¯® ¯à ¢¨« ¬ á®áâ ¢«¥­¨ï ¤¨ £à ¬¬. ¯à¨¬¥à, ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® g áãé¥áâ¢ã¥â âਠ⮯®«®£¨ç¥áª¨ à §-

«¨ç­ëå ⨯ 䥩­¬ ­®¢áª¨å ¤¨ £à ¬¬, ¯®ª § ­­ë¥ ­	¨á.2-16. â®¡ë ¯®«ãç¨âì
¤¨ £à ¬¬ã ¨á.2-16( ) ­ã¦­® á­ ç « ᮥ¤¨­¨âì x1 ­	¯à¥¤¤¨ £à ¬¬¥ ¨á.2-15 á

®¤­¨¬ ¨§ ª®­æ®¢ ¢¥à設ë. ãé¥áâ¢ã¥â 4 ᯮᮡ í⮠ᤥ« âì. ®á«¥ í⮣® ®áâ ¥âáï 3 ᯮᮡ ᮥ¤¨­¨âì x2 á ®¤­¨¬ ¨§ ®áâ ¢è¨åáï ª®­æ®¢ ¨ â. ¤. ᥣ®, â ª¨¬ ®¡à - §®¬, ¨¬¥¥âáï 4! = 24 ᯮᮡ ¯®«ãç¨âì íâã ¤¨ £à ¬¬ã ¨§ ¯à¥¤¤¨ £à ¬¬ë, ®âáî¤ ¨ ¢®§­¨ª ¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ª®íää¨æ¨¥­â ­ ¨á.2-13. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¤¨ £à ¬¬ã¨á.2-16(¡), ᮥ¤¨­¨¬ x1 ­¥¯®á।á⢥­­® á ®¤­¨¬ ¨§ ¢­¥è­¨å ª®­æ®¢ x2; x3; x4, çâ® ¤ áâ ®¤­ã «¨­¨î. ãé¥áâ¢ã¥â 3 ᯮᮡ í⮠ᤥ« âì. «¥¥ ¢ë¡¥à¥¬ ®¤¨­ ¨å ª®­- 殢 ¢¥àè¨­ë ¨ ᮥ¤¨­¨¬ ¥£® á ®¤­®© ¨§ ¤¢ãå ®áâ ¢è¨åáï ¢­¥è­¨å â®ç¥ª. â® ¬®¦­® ᤥ« âì 4 2 ᯮᮡ ¬¨. «¥¥ ᮥ¤¨­¨¬ ®¤¨­ ¨§ âà¥å ®áâ ¢è¨åáï ª®­æ®¢ ¯ã­ªâ¨à- ­®© ¢¥à設ë á ¯®á«¥¤­¥© ®á⠢襩áï â®çª®©. «ï í⮣® ¨¬¥¥âáï 3 ᯮᮡ . ª®- ­¥æ, ᮥ¤¨­¨¬ ®á⠢訥áï ¤¢ ª®­æ ¤àã£ á ¤à㣮¬. ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥âáï ªà â­®áâì

3	4 2 3 = 12 6, çâ® ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª®íää¨æ¨¥­âã ¯¥à¥¤ í⮩ ¤¨ £à ¬¬®©
­	¨á.2-13. ®­ïâ­®, çâ® ªà â­®áâì ¤¨ £à ¬¬ë ¨á.2-16(¢) à ¢­ 3 3 = 9, ­® íâ
(¢ ªã㬭 ï) ¤¨ £à ¬¬ ­¥ 䨣ãà¨àã¥â ­ ¨á.2-13, ᮪à é ïáì á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬
¢ª« ¤®¬ ®â §­ ¬¥­ â¥«ï ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ä㭪樮­ «		Z [J].
	¨â®£¥ ¬®¦¥¬ áä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騥 ¯à ¢¨«	¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨ ¤«ï
⥮ਨ g'4 (¢ ª®®à¤¨­ â­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨):

¢®¡®¤­®¬ã ¯à®¯ £ â®àã F (x ;y) ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ᯫ®è­ ï «¨­¨ï, ᮥ¤¨­ï- îé ï â®çª¨ x ¨ y.

«¥¬¥­â à­ ï ¢¥à設 ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨§®¡à ¦ ¥âáï â®çª®©, ᮥ¤¨­¥­­®© á

¨á. 2-16