Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2

80

:

뤥«¥­¨¥ ®¡ê¥¬­®£® ¬­®¦¨â¥«ï ¢ ä㭪樮­ «ì­®¬ ¨­â¥£à «¥.

¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâ७¨î ­¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ⥮਩. «ï ®¯à¥¤¥«¥­­®áâ¨

à áᬮâਬ á«ãç © ¯®«¥© ­£	- ¨««á á ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯®© SU (2). £à ­-
¦¨ ­ â ª®© ⥮ਨ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

1		F a F a a = 1; 2; 3
L = ;			(3.16)
	16
£¤¥
F a = @ Aa ; @ Aa + g"abcAb Ac			(3.17)

¤¥áì g { ï­£-¬¨««á®¢áª ï ª®­áâ ­â á¢ï§¨. ந§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ®¯à¥¤¥«¨¬, ª ª ®¡ëç­®, ¢ ¢¨¤¥:

~	~	~ ~	(x)]
Z[J] = Z	DA exp i Z	dx[L(x) + J A		(3.18)

¥©á⢨¥ ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï:

			~	~
			A ! A								(3.19)
£¤¥
~	~	~	~	1			1		1
A 2		= U( ) A 2		+ ig U;				( )@ U ( ) U;		( )	(3.20)
				~				~
		U( ) = exp i (x) 2									(3.21)

{ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ᯨ­®à­®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £à㯯ë SU(2). ¡«¨§¨ ¥¤¨­¨ç­®£® ¯à¥- ®¡à §®¢ ­¨ï U ( ) ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥:

~	~	2
U( ) = 1 + i	2	+ O(	)	(3.22)

~

¥«¨ç¨­ë (x) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯ à ¬¥âàë £à㯯ë, § ¢¨áï騥 ®â â®çª¨ ¯à®- áâà ­á⢠- ¢à¥¬¥­¨, ~ { ¬ âà¨æë 㫨 ¢ ¨§®â®¯¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥.

¥©á⢨¥ ­ 襩 ⥮ਨ ¯®áâ®ï­­® (¨­¢ ਠ­â­®) ­ ®à¡¨â¥ ª «¨¡à®¢®ç­®©

~

£à㯯ë, á®áâ®ï饩 ¨§ ¢á¥å A , ¯®«ã祭­ëå ¨§ ­¥ª®â®à®© 䨪á¨à®¢ ­­®© ª®­-

~

д¨£га ж¨¨ A ¯а¥®¡а §®¢ ­¨¥¬ U ( ), ¯а®¡¥£ ой¨¬ ¯® ¢б¥¬ н«¥¬¥­в ¬ £аг¯¯л SU (2). а¨ ¯а ¢¨«м­®¬ ª¢ ­в®¢ ­¨¨ дг­ªж¨®­ «м­®¥ ¨­в¥£а¨а®¢ ­¨¥ ¤®«¦­® ®бг- й¥бв¢«пвмбп ¯® \£¨¯¥а¯®¢¥ае­®бв¨" ¢ дг­ªж¨®­ «м­®¬ ¯а®бва ­бв¢¥, ª®в®а п ¯¥- а¥б¥ª ¥в ª ¦¤го ®а¡¨вг «¨им ®¤¨­ а §. ª¨¬ ®¡а §®¬, ¥б«¨ ¬л § ¯¨и¥¬ га ¢­¥- ­¨¥ нв®© £¨¯¥а¯®¢¥ае­®бв¨ ¢ ¢¨¤¥:

~	(3.23)
fa (A ) = 0 a = 1; 2; 3
â® ãà ¢­¥­¨¥
~	(3.24)
fa(A ) = 0
~	~

¤®«¦­® ¨¬¥âì ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥ ¯à¨ ¤ ­­®© ¯®«¥¢®© ª®­ä¨£ãà 樨 A . â® ãá«®¢¨¥ 䨪á¨àã¥â ¢ë¡®à ª «¨¡à®¢ª¨.

:

81

¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® ¯ à ¬¥âà ¬ ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯ë:

	3
~	Y	d a	(3.25)
[d ] =
	a=1
		~ ~	, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï
᫨ ¬ë ᮢ¥àè ¥¬ ¤¢ ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¨ 0
			~ ~
¬ âà¨æ ¨¬¥¥â ¢¨¤ U( )U ( 0 ) ¨ ¯ а ¬¥вал ¯а¥®¡а §®¢ ­¨п б㬬¨аговбп: + 0. ®-
í⮬㠮¯à¥¤¥«¥­­ ï ᮣ« á­® (3.25) ¬¥à	¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ï¥âáï ¨­¢ ਠ­â­®©

®â­®á¨â¥«ì­® ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©, ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ã£«ë ¯à®¡¥£ îâ

¯à¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¢á¥ ¬ë᫨¬ë¥ §­ 祭¨ï ¨ ᤢ¨£ ­ ª®­áâ ­âã 0 ­¨ç¥£® ­¥

~~ ~ ~

¬¥­ï¥â. ¨¬¢®«¨ç¥áª¨ íâ® § ¯¨áë¢ îâ ª ª d( 0) = d 00 = d .

¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®áâ㯨âì ª ª ¨ ¢ëè¥ (¯à¨ à áᬮâ७¨¨ ®¡ëç­®£® ¨­â¥-

~

£à « ), ¨ ¢¢¥á⨠f [A ]:

1	~		Z	~	~		)]	(3.26)
;	[A ] =			[d (x)] [fa(A
f
âáî¤ ¨¬¥¥¬:		~
				] = DetMf				(3.27)
	f [A
{ ¤¥â¥à¬¨­ ­â ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ , £¤¥
		(Mf )ab = fa						(3.28)
				b

®¤à®¡­¥¥ í⨠¢ëª« ¤ª¨ ¢ë£«ï¤ïâ â ª. ஢®¤ï ®¡ëç­ãî ¤¨áªà¥â¨§ æ¨î ¯à®áâà ­á⢠¨ ¯®á«¥- ¤ãî騩 ¯à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤, ¬®¦¥¬ ­ ¯¨á âì:

;

1

~

Z

YY

d a(x) [fa(x)] =

YYZ

dfa(x) [fa(x)]

@( 1(x); 2

(x); 3 (x))

=

[A ] =

f

@(f1(x); f2

(x); f3(x))

x a

x a

=

Y

Det

h

@ a(x)

i

= Det

h

a(x)

i

(3.29)

@fb(x)

fb(x)

x

f=0

f=0

¯®á«¥¤­¥¬ à ¢¥­á⢥ (¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤

ª ­¥¯à¥à뢭®¬ã x) ¢®§­¨ª ¥â ä㭪樮­ «ì­ë© ¤¥â¥à¬¨-

­ ­â (类¡¨ ­) ¬ âà¨æë á ­¥¯à¥à뢭묨 ¨­¤¥ªá ¬¨ a(x) , ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬

fb(y)

ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© í⮩ ¬ âà¨æë.

âà¨æ Mf á¢ï§ ­	á ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ë¬¨ ª «¨¡à®¢®ç­ë¬¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬¨
~
ä㭪樨 fa [A ]:
~	~	Z		fa(x)	2
f [A (x)] = fa [A (x)] +			dy	b(y)	b(y) + O( ) =
	~					2
= fa[A (x)] + Z		dy[Mf (x; y)]ab b(y) + O(					)	(3.30)
								~
®£¤ ¨§ âॡ®¢ ­¨ï ¥¤¨­á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (3.24) fa (A ) = 0 ®â­®á¨-

~	®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï. ®­ªà¥â­ë© ¢¨¤ Mf , ¥áâ¥á⢥­­®,
⥫쭮 á«¥¤ã¥â, çâ® DetMf
§ ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ⮣® ¨«¨ ¨­®£® ãá«®¢¨ï ª «¨¡à®¢ª¨ (¢¨¤ ä㭪樨 fa), ë¥
¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï á«ãç ï ª «¨¡à®¢ª¨ ®à¥­æ ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥­ë ­¨¦¥.
¥â¥à¬¨­ ­â ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢	~
	f [A ] ª «¨¡à®¢®ç­® ¨­¢ ਠ­â¥­. á ¬®¬ ¤¥«¥, § ¯¨è¥¬

1	~	Z	~	~ 0	(3.31)
;	[A ] =		[d 0	(x)] [fa(A ) ]
f

82

:

®£¤

Z

Z

f

1

~

] =

~

~ 0

~ ~

~

0

;

[A

[d 0

(x)] [fa(A )] =

[d (x) 0(x)] [fa(A )] =

=

Z

~

~ 00

1

~

]

(3.32)

[d 00(x)] [fa(A

)] = ;

[A

f

çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. â® ¢¯®«­¥ ­ «®£¨ç­® (3.12).

®¤áâ ¢¨¬ ⥯¥àì ¢®§­¨ª î饥 ¨§ (3.26) \¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¥¤¨­¨æë"

1 =

Z

~

~

~

(3.33)

[d (x)] f[A ] [fa

(A )]

¢ (3.18). ®£¤ , ®¡®§­ ç ï ¤«ï ¥¤¨­®®¡à §¨ï ¬¥àã ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® ¯®«ï¬ ­£ -

¨««á

~

ª ª [dA (x)], ¯®«ãç ¥¬:

Z

~

(x)] exp i Z dxL(x) =

Z

Z

[dA

~

~

~

~

Z

L

=

[d (x)]

[dA (x)] f [A ] [fa(A )] exp i

dx

(x)

=

= Z [d (x)]Z

~

~

~

i Z dxL(x)

[dA

(x)] f [A

(x)] [fa(A )] exp

(3.34)

ਠ¯®«ã祭¨¨ ¯®á«¥¤­¥£® à ¢¥­áâ¢

¬ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ¨­¢ ਠ­â­®áâìî ¢ë-

~

] ¨ exp

i

dxL(x)

®â­®á¨â¥«ì­® ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ -

à ¦¥­¨© ¤«ï f [A

~

!

~

~

R

~

~

A

­¨© A

. ®£¤

¢¨¤¨¬, çâ® ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â (x) ¨

R

Q

~

[d (x)] =

x d (x) ¤ ¥â ¯à®áâ® ¡¥áª®­¥ç­ë© \®¡ê¥¬" ®à¡¨âë, ª®â®àë© ¬ë ¨ å®â¥«¨

¢ë¤¥«¨âì! ®í⮬ã, ®¯ã᪠ï íâ®â ­¥­ã¦­ë© ¬­®¦¨â¥«ì, ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ «

ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯®«ï A ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

~

~

~

~

~

~

] =

Z[J] = Z [dA

] f [A ] [fa(A )] exp i Z dx[L(x) + J

A

~

~

~

~

= Z [dA

](DetMf ) [fa(A )] exp i Z dx[L(x) + J A ]

(3.35)

í⮬ áãâì â ª ­ §ë¢ ¥¬®£® ­§ âæ

¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ , ¬ë ãáâà ­ï¥¬ ¢á¥ «¨è­¨¥

~

¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï, ¢¢®¤ï ¢ ä㭪樮­ «ì­ãî ¬¥àã ¬­®¦¨â¥«ì DetMf [f (A )].

¡¥«¥¢ ª «¨¡à®¢®ç­ ï ⥮à¨ï ( ).

áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 ¯à¨¬¥à { ª¢ ­â®¢ãî í«¥ªâத¨­ ¬¨ªã. í⮬ á«ãç ¥ ª - «¨¡à®¢®ç­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:

A	1
	= A (x) ; g	@ (x)	(3.36)

í⮬ á«ãç ¥, ¯à¨ «î¡®¬ ¢ë¡®à¥ ª «¨¡à®¢®ç­®£® ãá«®¢¨ï (3.23), «¨­¥©­®£® ¯® ¯®«î A (x), ¬ âà¨æ Mf (3.28) ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¯®«ï A (x). ®í⮬㠤¥â¥à¬¨­ ­â¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ­¥ áãé¥á⢥­ á 䨧¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï, ¥£® ¬®¦­® ¢ë­¥á⨠§

:	83
§­ ª ä㭪樮­ «ì­®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® A (x) ¨ ¯à®áâ® ®¯ãáâ¨âì3. ®£¤	¯à®¨§-
¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:
Z[J] = Z [dA ] [f(A )] exp i Z dx[L(x) + J (x)A (x)]	(3.37)

£¤¥ [f(A )] 䨪á¨àã¥â ª®­ªà¥â­ãî ª «¨¡à®¢ªã, ¯®á«¥ 祣® ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ®¡ëç­®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ .

¥©­¬ ­®¢áª¨¥ ¤¨ £à ¬¬ë ¢ ­¥ ¡¥«¥¢®© ⥮ਨ.

¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¯®¤à®¡­®¬ã à áᬮâ७¨î ¯®áâ஥­¨ï ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨ ¤«ï ­¥ ¡¥«¥¢®© ⥮ਨ. ¥à¥¯¨è¥¬ ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « (3.35) ¢ ¢¨¤¥:

~	~	~	~
Z[J] = Z [dA ] exp iSeff + i Z		dxJ	A	(3.38)
	~			~
£¤¥ ¬ë ¯à®áâ® ¯¥à¥¯¨á «¨ ¬­®¦¨â¥«ì DetMf [fa (A )] ¢ ¢¨¤¥ exp ln(DetMf [fa(A )]),

¢¥«¨ç¨­ã i ln(DetMf [fa (A )]) ¢ª«î稫¨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ íä䥪⨢­®£® ¤¥©á⢨ï

; ~

Seff . áâ¥á⢥­­®, çâ® ­ «¨ç¨¥ â ª®£® ç«¥­ ¢ íä䥪⨢­®¬ ¤¥©á⢨¨ ãá«®¦­ï¥â

§ ¤ çã ¯®áâ஥­¨ï ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨. 㦭® á­ ç « ¯®¯ëâ âìáï ¯à¥¤áâ ¢¨âì íâ®â ¢ª« ¤ ¢ ¡®«¥¥ ¥áâ¥á⢥­­®¬ ¢¨¤¥.

\ ãå¨" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ .

¥«¨ç¨­ã DetMf ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ íªá¯®­¥­âë, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ä®à¬ã«®©:

DetMf = exp[Sp lnMf ]

(3.39)

®ª § ⥫ìá⢮ (3.39) âਢ¨ «ì­®. ¢¥­á⢮ ln DetMf = Sp ln Mf ®ç¥¢¨¤­® ¤«ï «î¡®© ¬ - âà¨æë: DetMf ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢á¥å ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© Mf , ln DetMf ¤ ¥â ⮣¤ á㬬㠫®£ à¨ä¬®¢ ¢á¥å ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© Mf , â.¥. ª ª à § Sp ln Mf .

।áâ ¢«ïï ¬ âà¨æã Mf ¢ ¢¨¤¥:
	Mf	= 1 + L			(3.40)
¨ à §« £ ï «®£ à¨ä¬ ¢ àï¤, ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:
1		1	1
exp[Sp lnMf ] = exp SpL +		2SpL2 + ::: +		SpLn + ::: =
			n
= exp Z dxLaa(x; x) + 2 Z dx Z dyLab(x; y)Lba (y; x) + :::					(3.41)

3 â®çª¨ §à¥­¨ï ¯®á«¥¤ãî饣® ¨§«®¦¥­¨ï ¬®¦­® ᪠§ âì, çâ® ¢ \¤ãå¨" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ­¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ á ¯®«¥¬ A , ¯®â®¬ã ­¥ áãé¥á⢥­­ë.

84

:

¨á. 3-2

®í⮬㠤¥â¥à¬¨­ ­â ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯¥â«¥¢®£® à §«®¦¥­¨ï4, ¯®ª § ­­®£® ­ ¨á.3-2, £¤¥ ᯫ®è­ë¥ «¨­¨¨ ®¡®§­ ç î⠯ய £ â®àë ­¥ª®â®àëå 䨪⨢­ëå ç áâ¨æ (\¤ã客" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ), ®¡à §ãîé¨å ¨§®â®¯¨- ç¥áª¨© âਯ«¥â ª®¬¯«¥ªá­ëå ᪠«ïà­ëå (¡¥áᯨ­®¢ëå) ¯®«¥© ~c(x). ⨠¯®«ï ¨ ¨å ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬®¦­® ®¯¨á âì ¯à®¨§¢®¤ï騬 ä㭪樮­ «®¬:

DetMf =	Z	[d~c][d~c+] exp(i	Z	dxdy	X	ca+(x)[Mf (x; y)]abcb (y))	(3.42)
					ab

¤¥áì ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢¥¤¥âáï ¯® £à áᬠ­®¢ë¬ ~c(x);~c+ (x), ¨­ ç¥ (¤«ï c-ç¨á«®¢ëå ¯®«¥©) ¬ë ¯®«ã稫¨ ¡ë (DetMf );1 ! ®í⮬ã ᪠«ïà­ë¥ ¯®«ï ~c(x);~c+(x) ¯®¤з¨­п- овбп бв в¨бв¨ª¥ ¥а¬¨. ª¨¬ ®¡а §®¬, \¤ге¨" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ п¢«повбп д¥а¬¨®­ ¬¨ б® б¯¨­®¬ 0! ¨ª ª®£® ¯а®в¨¢®а¥з¨п б в¥®а¥¬®© ® б¢п§¨ б¯¨­ ¨ бв - в¨бв¨ª¨ вгв, ª®­¥з­® ¦¥, ­¥в, ¯®бª®«мªг нв¨ \¤ге¨" п¢«повбп з¨бв® д¨ªв¨¢­л¬¨ з бв¨ж ¬¨, ª®в®ал¥ ¢¢®¤пвбп ¢ в¥®а¨о ¤«п \㤮¡бв¢ § ¯¨б¨". ®бª®«мªг ¨е ¢ª« ¤ ¢ ¯а®¨§¢®¤пй¨© дг­ªж¨®­ « б¢®¤¨вбп ª ¯¥в«¥¢®¬г ап¤г (3.41), ¢ в¥®а¨¨ ­¥ ¢®§­¨- ª ¥в ¤¨ £а ¬¬ б ¢­¥и­¨¬¨ «¨­¨п¬¨ \¤ге®¢".

«¥­ë 䨪á¨àãî騥 ª «¨¡à®¢ªã.

~

®¯ëâ ¥¬áï ⥯¥àì ¯à¥¢à â¨âì ¢ íªá¯®­¥­âã ç«¥­ [fa(A )]. «ï í⮣® á­ ç « ®¡®¡é¨¬ ãá«®¢¨¥, 䨪á¨àãî饥 ª «¨¡à®¢ªã, ¯¥à¥¯¨á ¢ ¥£® ¢ ¢¨¤¥:

~	(3.43)
fa[A ] = Ba (x)

£¤¥ Ba (x) { ¯à®¨§¢®«ì­ ï äã­ªæ¨ï ¯à®áâà ­á⢥­­® - ¢à¥¬¥­­®© â®çª¨, ­¥ § ¢¨áï-

~

é ï ®â ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯®«ï A . ®®â¢¥âá⢥­­®, ®¯à¥¤¥«¨¬ f ãá«®¢¨¥¬:

~	~	~
f [A ]Z [d (x)] [fa(A ) ; Ba (x)] = 1			(3.44)

~

祢¨¤­®, çâ® ¢¢¨¤ã ­¥§ ¢¨á¨¬®á⨠Ba(x) ®â A íâ® â ¦¥ á ¬ ï äã­ªæ¨ï f , çâ® ¨ ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ¢ (3.26)5, § ¢¨á¨¬®á⨠®â Ba(x) âãâ, ä ªâ¨ç¥áª¨, ­¥â! ®í⮬㠯ந§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « (3.35) ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

~	~ ~	~	~	~	1	~2	(x)]
Z [J] = Z [dA ][dB](DetMf ) [fa(A ) ; Ba ] exp i Z			dx[L(x) ; J	A ; 2 B
							(3.45)

£¤¥ ¬ë ¥é¥ ¢ª«î稫¨ ¢ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ª®­áâ ­âã ¢¨¤ :

~		i		~2
	exp ;2 Z				(x)
Z [dB]				dxB		(3.46)

4	â® à §«®¦¥­¨¥ ­ «®£¨ç­® ¯¥â«¥¢®¬ã à §«®¦¥­¨î ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ ¢ ⥮ਨ ª®­¤¥­á¨à®-
¢ ­­®£® á®áâ®ï­¨ï [13]
5	â® ¯à®áâ® ­ «®£ (3.6) ¢ á«ãç ¥ ®¡ëç­®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï.

~ ~ U ( ) = 1 + i (x) 2

:

85

£¤¥ { ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¯®áâ®ï­­ë© ª®íää¨æ¨¥­â, ¨¬¥­ã¥¬ë©, ®¡ëç­®, ª «¨¡à®¢®ç- ­ë¬ ¯ à ¬¥â஬. १ã«ìâ â¥, ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « (3.45) ®â«¨ç ¥âáï ®â (3.35) ­ ­¥áãé¥á⢥­­ë© ¯®áâ®ï­­ë© ¬­®¦¨â¥«ì, ª®â®àë© ¬®¦­® ¢ª«îç¨âì ¢ ­®à- ¬¨à®¢ªã. ® ⥯¥àì, á ¯®¬®éìî -ä㭪樨, ¢å®¤ï饩 ¢ (3.45), ¬®¦­® á­ïâì ¨­â¥-

~

£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® [dB(x)]. ¨â®£¥, ãç¨âë¢ ï ¥é¥ ¨ (3.42), ¯®«ãç ¥¬:

				~		~			+		~
	£¤¥:		Z[J ] = Z		[dA ][d~c][d~c ] exp(iSeff						[J])
					~	~
				Seff [J] = S[J] + Sfix + Sghost
	~	R	~	~
	£¤¥ S[J] =		dx[L(x) + J	A ] { ®¡ëç­®¥ ¤¥©á⢨¥ à áá¬							âਢ ¥¬®© ⥮ਨ,
							1		~	2
				Sfix = ;2 Z
									dxffa[A (x)]g

(3.47)

(3.48)

(3.49)

{ â ª ­ §ë¢ ¥¬ë© ç«¥­, 䨪á¨àãî騩 ª «¨¡à®¢ªã, ¨

Sghost =	Z	dxdy		X	ca+ (x)[Mf (x; y)]abcb(y)		(3.50)
				ab
{ ¤¥©á⢨¥ \¤ã客".
«¨¡à®¢ª ®à¥­æ .
«®à¥­æ¥¢áª®© ª «¨¡à®¢ª¥ ¨¬¥¥¬:
~		@		a
fa(A )				A	= 0	a = 1; 2; 3	(3.51)

ਠ¨­ä¨­¨â¥§¨¬ «ì­ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ïå

+ O( 2)

Aa = Aa(x) + "abc b(x)Ac (x) ; g1@ a(x)

®¤áâ ¢«ïï (3.53) ¢ (3.51) ¨¬¥¥¬:

~	~		"	abc b	c	1	a	(x) =
fa(A ) = fa(A ) + @					(x)A (x) ; g		@
				~				b
		= fa(A ) + Z				dy[Mf (x; y)]ab			(y)

(3.52)

(3.53)

(3.54)

£¤¥ ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ à ¢¥­á⢥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (3.30). ®£¤ ¢¨¤¨¬, çâ® ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥

1				ab	@ ; g"	abc c
[Mf (x; y)]ab = ;g @		[				A ] (x ; y)	(3.55)
®¤áâ ¢«ïï ¢á¥ íâ® ¢ (3.49) ¨ (3.50), ¯®«ãç ¥¬:
Sfix = ;	1			Z dx(@ A )2			(3.56)
	2

86 :

Sghost = 1

Z

dx

X

c+a

(x)@ [ ab@

;

g"abcAc ]cb(x)

(3.57)

g

ab

~

¨¤¨¬, çâ® ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ \¤ãå¨" ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ á ª «¨¡à®¢®ç­ë¬ ¯®«¥¬ A ,

çâ® ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢â®àë¬ ç«¥­®¬ ¢ ª¢ ¤à â­ëå ᪮¡ª å ¢ (3.57).

­ «®£¨ç­®¬

¢ла ¦¥­¨¨ ¢ в ª®© з«¥­ ¯а®бв® ®вбгвбв¢®¢ « 6.

¢¥¤¥¬ ¥é¥ £à áᬠ­®¢ë ¨áâ®ç­¨ª¨

+ ; ¤«ï \¤ã客ëå" ¯®«¥© c

a

; c+, § ¯¨è¥¬

a

a

a

¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ ¢ ¢¨¤¥:

~

+

] = Z

~

+

] exp i Z dx[L(x);

Z[J; ~; ~

[dA d~cd~c

1

(@ Aa )2 + c+a @ ( ab@ ; g"abcAc )cb + JaAa + a+ca + aca+]

;

(3.58)

2

£¤¥ ¬ë ¥é¥ ¯¥à¥®¯à¥¤¥«¨«¨, ®ç¥¢¨¤­ë¬ ®¡à §®¬, ¯®«ï ca; c+a , ¢ª«î稢 ¢ ­¨å ¬­®- ¦¨â¥«ì 1=g.

§«®¦¥­¨¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©.

¯¨è¥¬ ⥯¥àì ¤¥©á⢨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ ¢ ¢¨¤¥:

				Seff		= S0 + SI	(3.59)
£¤¥
	1			1
S0 = Z	dx ;		(@ Aa ; @ Aa )2	;		(@ Aa )2 + ca+@2ca + JaAa + a+ca + aca+
		16			2
							(3.60)

ç«¥­ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ᮤ¥à¦ 騩 á⥯¥­¨ ¯®«¥© ¢ëè¥ ¢â®à®©, ¨¬¥¥â ¢¨¤:

SI = Z

1

1

dx ;2

(@ Aa ; @ Aa )g"abcAb Ac

+ 4g2"abc"adcAb Ac Ad Ae ;

igca+@

"abcAc cb

(3.61)

;

ந§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¬®¦­® ⥯¥àì § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

(

"i J

#)

~

+

0

~

0

+

Z[J; ~; ~

] = exp iSI

~

; i ~

; i ~+

ZA[J ]Zc [~; ~

]

(3.62)

£¤¥

; @ A )

; 2 (@ A )

+ J A

(3.63)

ZA [J] = Z [dA ] exp i Z dx ; 16 (@ A

0 ~

~

1

a

a 2

1

a 2

a a

Z

;

Z

Zc0[~; ~+ ] =

[d~c+][d~c] exp

dx[ca+@2ca

;

a+ca

;

aca+

i

]

(3.64)

âáî¤ ®ç¥¢¨¤­ë¬ ®¡à §®¬ ¢ë¢®¤¨âáï à §«®¦¥­¨¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©. ë ­¥ ¡ã- ¤¥¬ ¯®¤à®¡­® ¯à®¢®¤¨âì íâ®â ¢ë¢®¤, ®£à ­¨ç¨¬áï ᢮¤ª®© ®á­®¢­ëå ¯à ¢¨« ¯®- áâ஥­¨ï ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨. ¥¤®áâ î騥 ¯®¤à®¡­®á⨠¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ 楫®¬ à拉 ª­¨£, ­ ¯à¨¬¥à ¢ [8, 9, 10, 11, 12].

6 ­¥ ¡¥«¥¢®¬ á«ãç ¥ â ª¦¥ ¬®¦­® ¢ë¡à âì á¯¥æ¨ «ì­ãî, â.­. ªá¨ «ì­ãî ª «¨¡à®¢ªã, ¢ ª®â®- ன \¤ãå¨" 㤠¥âáï ¯®«­®áâìî ¨áª«îç¨âì [11], ®¤­ ª® \¯« ⮩" § í⮠ï¥âáï ¢¥áì¬ £à®¬®§¤ª¨© ¢¨¤ ¯à®¯ £ â®à ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯®«ï.

:

87

ய £ â®àë.

~

0

â®¡ë ­ ©â¨ ¯à®¯ £ â®à ¯®«ï A , ¯¥à¥¯¨è¥¬ ZA ¢ ¢¨¤¥:

0 ~

Z

~

i

Z

dx

1

a

g

@

2

;

;

1

@

@

b

a

a

=

ZA[J ] =

[dA ] exp

A

abA + J A

2

= Z

~

i Z

dx

1

a

b

a

a

(3.65)

£¤¥

[dA ] exp

2A Kab

A + J A

K

=

g @2

1

1

@ @

ab

(3.66)

ab

; ;

~

­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ [dA ] ¬®¦­® ¢ë¯®«­¨âì, ¯®«ì§ãïáì ¨§¢¥áâ­®© ­ ¬ ä®à¬ã«®© ¤«ï

£ ãáᮢ

¨­â¥£à «

(2.47), ª®â®à ï, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­

¢ â ª®¬ ¢¨¤¥:

Z

1

[d'] exp ;2 < 'K' > + < J' > (DetK);1=2 exp < JK;1J >

(3.67)

£¤¥ 㣫®¢ë¬¨ ᪮¡ª ¬¨ ®¡®§­ 祭ë ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨­â¥£à «ë. ਬ¥­¥­¨¥ í⮩ ä®à¬ã«ë ª (3.65) ¤ ¥â:

0

~

i

a

b

ZA[J] = exp ;

2

Z

dxdyJ

(x)Gab

(x ; y)J

£¤¥

d4k

k k

k k

Gab (x ; y) = ab Z

e;ik(x;y) ; g

;

;

(2 )4

k2

k2

¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ®

ZdyKab (x ; y)Gbc (y ; z) = g ac (x ; z)

⪠çâ® G ¥áâì ¤¥©á⢨⥫쭮 ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à ¤«ï K.

­ «®£¨ç­® ­ 室¨¬:

1

k2 + i"

(3.68)

(3.69)

(3.70)

	;	Z				;
Zc0[~; ~+] = exp	i		dxdy a+(x)Gab(x				y) a(y)	(3.71)
£¤¥:				d4k e;ik(x;y)
Gab (x ; y) = ;Z
						ab		(3.72)
				(2 )4 k2 + i"

â® ¯àאַ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮬ã, çâ® \¤ãå" ï¥âáï ᪠«ïà­®© ç áâ¨æ¥© á ­ã«¥¢®©

¬áᮩ (­® ¯®¤ç¨­ïî饩áï áâ â¨á⨪¥ ¥à¬¨).

¨â®£¥ ¨¬¥¥¬:

1.ய £ â®à ¡¥§¬ áᮢëå ¢¥ªâ®à­ëå ¡®§®­®¢:

i ab (k) = ;i ab g ; (1 ; )		k k		1
						(3.73)
		k2			k2 + i"
®¡®§­ ç ¥¬ë© ­ £à 䨪 å ¢®«­¨á⮩ «¨­¨¥©.
2. ய £ â®à \¤ã客" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ :
1
i ab(k) = ;i ab						(3.74)
	k2 + i"

®¡®§­ ç ¥¬ë© ¯ã­ªâ¨à®¬ á® áâ५ª®© (\¤ãå" ®â«¨ç ¥âáï ®â \ ­â¨¤ãå "!).

i;abc = g"abck1

88

:

¨á. 3-3

¥à設ë í«¥¬¥­â à­ëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©.

­¥ ¡¥«¥¢ëå ⥮à¨ïå ¨¬¥¥âáï á ¬®¤¥©á⢨¥ ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯®«¥© ¤¢ãå ⨯®¢, çâ® § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

" (k1)" (k2)" (k3);abc (k1; k2; k3)															(3.75)
" (k	)" (k	2	)" (k	3	)" (k	4	);abcd	(k	1	; k ; k	3	; k	4	)	(3.76)
1										2

£¤¥ ¢ë¯¨á ­ë â ª¦¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢¥ªâ®à ¯®«ïਧ 樨. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¯à - ¢¨« ¥©­¬ ­ ¢ë⥪ îâ ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ (3.61). ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¯¥à¢ë© ç«¥­ ¢ (3.61) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ª ª:

		1		a	b		c	abc
	3!		A		(k1)A (k2)A			; (k1; k2; k3)	(3.77)
¥à設 ;abc	¤®«¦­ ¡ëâì ¯®«­®áâìî					­â¨á¨¬¬¥âà¨ç­ ¯à¨ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ ¯®«¥©
A. âàãªâãà , á¢ï§ ­­ ï á ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯®© SU(2) 㦥 䨪á¨à®¢ ­ :
	;abc (k1; k2; k3) = "abc; (k1; k2; k3)								(3.78)

«®à¥­æ¥¢ã áâàãªâãàã í⮩ ä㭪樨 ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. § (3.61) ïá­®, çâ® ; (k1; k2; k3 ) á®á⮨⠨§ ç«¥­®¢ ¢¨¤ k2 g . ®ç­ãî ª®¬¡¨­ - æ¨î íâ¨å ç«¥­®¢ ¬®¦­® ãáâ ­®¢¨âì ¨§ âॡ®¢ ­¨ï ­â¨á¨¬¬¥âਨ ; (k1; k2; k3)

®â­®á¨â¥«ì­® ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ ¨­¤¥ªá®¢: ; , 1; 2 ¨ â. ¤., á ãç¥â®¬ ¯®«­®© ­â¨á¨¬¬¥- âਨ ⥭§®à "abc. ª¨¬ ®¡à §®¬ ­ ©¤¥¬:

i;abc

= ig"abc[(k

1 ;

k

) g

+ (k

2 ;

k

) g

+ (k

3 ;

k ) g

]

(3.79)

2

3

1

£¤¥ k1 + k2 + k3 = 0. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 £à 䨪 ¤«ï \âன­®©" ¢¥àè¨­ë ¯®ª § ­ ­¨á.3-3.

­ «®£¨з­л¬ ®¡а §®¬ ¬®¦­® ­ ©в¨ ¢¥аи¨­г \з¥в¢¥а­®£®" ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨п ª - «¨¡а®¢®з­®£® ¯®«п, б®®в¢¥вбв¢гойго ¢в®а®¬г б« £ ¥¬®¬г ¢ (3.61):

i;abcd = ig2 ["abe"cde(g g ; g g ) +
+"ace"bde(g g ; g g ) + "ade"cbe(g g ; g g )]	(3.80)

çâ® ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à 䨪®¬ ­ ¨á.3-4. ¤¥áì k1 + k2 + k3 + k4 = 0.

«ï ¢¥à設ë, á¢ï§ë¢ î饩 \¤ãå¨" ¨ ª «¨¡à®¢®ç­ë¥ ¯®«ï á ¢¥ªâ®à®¬ ¯®«ïà¨- § 樨 " (q) ¨¬¥¥¬:

(3.81)

£¤¥ k1 = k2 + q. â ¢¥à設 ¨§®¡à ¦¥­ ­ ¨á.3-5, ®­ ­â¨á¨¬¬¥âà¨ç­ ¯® ¨§®- ᯨ­®¢ë¬ ¨­¤¥ªá ¬. ¯®¬­¨¬, çâ® \¤ã客ë¥" «¨­¨¨ ¢å®¤ïâ ¢ ¤¨ £à ¬¬ë ⮫쪮 ¢ ¢¨¤¥ ¯¥â¥«ì. àï¤ã á ª ¦¤®© ¤¨ £à ¬¬®©, ᮤ¥à¦ 饩 § ¬ª­ãâãî ¯¥â«î ª «¨- ¡à®¢®ç­®£® ¯®«ï, áãé¥áâ¢ã¥â íª¢¨¢ «¥­â­ ï ¥© ¤¨ £à ¬¬ á § ¬ª­ã⮩ \¤ã客®©"

:

89

¨á. 3-4

¨á. 3-5

«¨­¨¥© ¢ ⮬ ¦¥ ¬¥áâ¥. ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ®¡ëç­ëå ä¥à¬¨®­­ëå ¯®«¥©, ª ¦¤ ï \¤ã- 客 ï" ¯¥â«ï ¤®«¦­ 㬭®¦ âìáï ¤®¯®«­¨â¥«ì­® ­ (;1).

â ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯ à ¬¥âà § ¢¨á¨â ⮫쪮 ¯à®¯ £ â®à ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯®«ï (3.69), ¥£® §­ 祭¨¥ ¯®¤¡¨à ¥âáï ¨§ á®®¡à ¦¥­¨© 㤮¡á⢠¯à¨ à¥è¥­¨¨ ª®­- ªà¥â­ëå § ¤ ç. ¯à¨¬¥à = 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª «¨¡à®¢ª¥ â' ®®äâ - ¥©­¬ ­ ,= 0 ®â¢¥ç ¥â ª «¨¡à®¢ª¥ ­¤ ã.

¢¥¤¥­¨¥ ä¥à¬¨®­®¢ ¢ ç¨áâãî ⥮à¨î ­£ - ¨««á , à áᬮâ७­ãî ¢ëè¥, ­¥ ¢ë§ë¢ ¥â âà㤭®á⥩: ¤®áâ â®ç­® ¤®¡ ¢¨âì ª « £à ­¦¨ ­ã ª «¨¡à®¢®ç­® - ¨­¢ à¨-

­â­ë¥ ç«¥­ë ⨯ :
		D ; m)
Lf = (i			(3.82)
£¤¥
D = @	; igT aAa		(3.83)
¤¥áì T a { £¥­¥à â®à ª «¨¡à®¢®ç­®© £àã¯¯ë ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨.

¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ï¥âáï SU(2) ¤ã¡«¥â®¬, â® T a = a=2. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢®§­¨- ª î ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ¯à ¢¨« ¥©­¬ ­ ¤«ï ä¥à¬¨®­®¢ (á £à㯯®¢ë¬¨ ¨­¤¥ªá ¬¨ n; m; :::):

1. ¥à¬¨®­­ë© ¯à®¯ £ â®à ¨¬¥¥â áâ ­¤ àâ­ë© ¢¨¤:
1
i mn (k) = nm		(3.84)
	k ; m + i"

¨ ¨§®¡à ¦ ¥âáï ᯫ®è­®© «¨­¨¥©.

2.¥à設 , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨î ä¥à¬¨®­ á ª «¨¡à®¢®ç­ë¬ ¯®- «¥¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

i;nm = ig(T a)nm

(3.85)

à ä¨ç¥áª¨ íâ® ¯®ª § ­® ­ ¨á.3-6.

âàãªâãà ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨, ®¯¨á ­­ ï ¢ëè¥ á®åà ­ï¥âáï ¨ ¤«ï ¤àã£¨å ª «¨¡à®¢®ç­ëå £à㯯, â ª¨å, ª ª ­ ¨¡®«¥¥ ¢ ¦­ ï, á ¯à ªâ¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï, £à㯯 SU (3) 梥⮢®© ᨬ¬¥âਨ ª¢ મ¢. §­¨æ ⮫쪮 ¢ à §¬¥à­®á⨠ᮮ⢥â- áâ¢ãîé¨å ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ¨ ¢ ¢¨¤¥ ¬ âà¨æ £¥­¥à â®à®¢ £à㯯ë.

­ áâ®ï饬㠬®¬¥­âã ¬ë 㦥 ¤®áâ â®ç­® ¯®§­ ª®¬¨«¨áì á ®á­®¢ ¬¨ ᮢà¥- ¬¥­­®© ⥮ਨ ª¢ ­â®¢ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯®«¥©, «¥¦ 騬¨ ¢ ®á­®¢¥ áâ ­¤ àâ­®©