Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2

70	:
	«ï ®¡é¥£® n-¬¥à­®£® á«ãç ï ­ «®£ (2.223) ¨¬¥¥â ¢¨¤:
	f(C) = P0 + Pi(1)1 Ci1 + Pi(2)1i2Ci1Ci2 + ::: + Pi(1n:::in) Ci1:::Cin	(2.224)

£¤¥ ª ¦¤ë© ¨­¤¥ªá á㬬¨à®¢ ­¨ï ¯à¨­¨¬ ¥â §­ 祭¨ï ®â 1 ¤® n. §«®¦¥­¨¥ ®¡àë¢ ¥âáï ¡« £®-

¤àï (2.221).

áᬮâਬ ¯®­ï⨥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï ¯® £à áᬠ­®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬. ãé¥- áâ¢ã¥â ¤¢ ⨯ â ª®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï | «¥¢®¥ ¨ ¯à ¢®¥. ¥¢ ï ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï C1C2 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª:

	@L
		(C1C2) = i1C2 ; i2C1									(2.225)
	@Ci
à ¢ ï ¯à®¨§¢®¤­ ï, ᮮ⢥âá⢥­­®, à ¢­ :
	@R
		(C1C2) = i2C1 ; i1C2									(2.226)
	@Ci
®âॡ㥬 â ª¦¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï à ¢¥­áâ¢:
			@			; Cj = ij					(2.227)
			@Ci
			@			;	@			= 0	(2.228)
			@Ci					@Cj
ç áâ­®áâ¨, ¤«ï ®¤­®¬¥à­®© «£¥¡àë:
					d		; C = 1				(2.229)
				dC
¨ ¢á¥£¤							2
			@
									= 0
											(2.230)
					@Ci
ᥠí⨠ᮮ⭮襭¨ï ¨¬¥îâ ¤®¢®«ì­® ¥áâ¥á⢥­­ë© ¢¨¤.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® £à áᬠ­®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬, ­ ¯à®â¨¢, ¢¢®¤¨âáï ¤®áâ â®ç­® ä®à¬ «ì­ë¬ ®¡à §®¬. ç áâ­®áâ¨, íâã ®¯¥à æ¨î ­¥«ì§ï ¢¢¥á⨠ª ª ®¡à â­ãî ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨î. ¥ ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì, ⥬ ­¥ ¬¥­¥¥, â ª, çâ®¡ë ®­ ®¡« ¤ « ­¥ª®â®à묨 ®¡é¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨, ¨­âã¨â¨¢­® ¯à¨áã騬¨ ®¡ëç­®¬ã ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¨­â¥£à « . ¯à¨¬¥à, ¬®¦­® ¯®âॡ®¢ âì, çâ®¡ë ¨­â¥£à « ¡ë« ¨­¢ -

ਠ­â¥­ ¯à¨ ᤢ¨£¥ ¯¥à¥¬¥­­®© ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ­ ª®­áâ ­âã:
Z dCf (C) = Z dCf(C + )	(2.231)

â® ¢á¥£¤ â ª á ®¡ëç­ë¬ ¨­â¥£à «®¬ ¢ ¡¥áª®­¥ç­ëå ¯à¥¤¥« å, ­® ­ ¤® ïá­® ¯®- ­¨¬ âì, çâ® ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ­¨ç¥£® ®¡é¥£® á ®¡ëç­ë¬ ¨­â¥£à «®¬ ­¥â (ªà®¬¥ ®¡®§­ 祭¨ï R ), ­¥â âãâ ¨ ­¨ª ª¨å ¯à¥¤¥«®¢ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï. ᯮ«ì§ãï ï¢­ë© ¢¨¤ f(C) (2.223), ¯®«ãç ¥¬:

Z	dC (a + bC) = Z	dC[a + b(C + )]	â ª çâ®
		Z dCbC = Z	dCb(C + )	(2.232)

:		71
®âªã¤ á«¥¤ã¥â:	Z dCb = 0
¨«¨, ¢¢¨¤ã ¯à®¨§¢®«ì­®á⨠b,		(2.233)
	Z dC = 0
		(2.234)
¤¥áì { ¤à㣮© í«¥¬¥­â «£¥¡àë à áᬠ­ , ­¥ § ¢¨áï騩 ®â C ¨		­â¨ª®¬¬ãâ¨àã-
î騩 á C. áâ î騩áï ¥é¥ ¨­â¥£à « R dCC ¬®¦­® ¯à®áâ® ¤®®¯à¥¤¥«¨âì ãá«®¢¨¥¬:
	Z dCC = 1	(2.235)

á«®¢¨ï (2.234) ¨ (2.235) ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¯¥à æ¨î ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï.áâ¥á⢥­­®, çâ® â ª ®¯à¥¤¥«¥­­®¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ­¥ ¨¬¥¥â ­¨ª ª®£® ®¡ëç­®£®

£¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® á¬ëá« . ®«¥¥ ⮣®, ¢ á«ãç ¥ ®¤­®¬¥à­®© «£¥¡àë à áᬠ­ ¬ë ¨¬¥¥¬ dCdf = b, ­® ¨ R dCf (C) = b, â ª çâ® ®¯¥à æ¨ï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¤¥©áâ¢ã¥â ­ äã­ªæ¨î â ª ¦¥, ª ª ¨ ®¯¥à æ¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï!

n-¬¥à­®¬ á«ãç ¥ ¯®« £ ¥¬:

	Z dCi = 0	Z	dCiCi = 1	(2.236)
ãáâì ⥯¥àì ¨ { ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ £à áᬠ­®¢ë ¯¥à¥¬¥­­ë¥, â ª çâ®:
Z	d = Z d = 0	Z	d = Z d = 1	(2.237)
®áª®«ìªã 2 = 2 = 0, ¨¬¥¥¬:
â ª çâ® ¯®«ãç ¥¬:	e; = 1 ;			(2.238)
Z d d e	; = Z d d ; Z	d d = 0 + Z d d = 1		(2.239)
©¤¥¬ ⥯¥àì ®¡®¡é¥­¨¥ í⮩ ä®à¬ã«ë ­			á«ãç © ¡®«ì襣® ç¨á«	¨§¬¥à¥­¨©.
áᬮâਬ ¤¢ã¬¥à­ë© á«ãç ©, ¢¢®¤ï, ¤«ï 㤮¡á⢠, ®¡®§­ 祭¨ï:
	1		1
	= 2	= 2		(2.240)
®ª § ⥫ì íªá¯®­¥­âë (â®ç­¥¥ T ) ¨¬¥¥â ¢¨¤:
	= 1 1 + 2 2			(2.241)
«¥¤®¢ ⥫쭮:
( )2 = ( 1 1 + 2 2)( 1 1 + 2 2 ) =
	= 1 1 2 2 + 2 2 1 1 = 2 1 1 2 2			(2.242)

£¤¥ ã竨, çâ® 12 = 22 = 12 22 = 0. ®«¥¥ ¢ë᮪¨¥ á⥯¥­¨ à ¢­ë ­ã«î ¨ ¬ë, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥¬:

e; = 1 ; ( 1 1 + 2 2) + 1 1 2 2

(2.243)

72	:
	ਬ¥­ïï ¢¢¥¤¥­­ë¥ ¢ëè¥ ¯à ¢¨«		¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï, ¢¨¤¨¬, çâ®:
	Z d d e; = Z		d 1d 2d 1d 2 1 1 2 2 = 1				(2.244)
	ª ª ¨ ¢ ®¤­®¬¥à­®¬ á«ãç ¥. ஢¥¤¥¬ ⥯¥àì § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï:
		= M			= N		(2.245)
	£¤¥ M ¨ N { ¬ âà¨æë 2 2,	¨ ­®¢ë¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ £à áᬠ­®¢ë ¯¥à¥¬¥­­ë¥.
	®£¤ ¨¬¥¥¬:
	1 2 = (M11 1 + M12 2)(M21 1 + M22 2) =
	= (M11M22 ; M12M21) 1 2 = (DetM) 1 2						(2.246)
	£¤¥ ã竨 ­â¨ª®¬¬ãâ ⨢­®áâì £à áᬠ­®¢ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå. ⮡ë á®åà ­¨âì ¯à -
	¢¨« ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï
	Z	d 1d 2 1 2 = Z d 1d 2 1 2					(2.247)
	­ã¦­® ¯®âॡ®¢ âì:
		d 1d 2 = (DetM );1d 1d 2					(2.248)
	çâ® ®â«¨ç ¥âáï ®â ®¡ëç­®£® ¯à ¢¨«		§ ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­­ëå á⥯¥­ìî ¤¥â¥à¬¨­ ­â .
	ç¨âë¢ ï
	= N M = N MT = ; MT N = MT N						(2.249)
	§ ¯¨è¥¬ (2.244) ¢ ¢¨¤¥:
	(DetMN);1 Z d d e; MT N = 1						(2.250)
	®áª®«ìªã DetMN = DetMT N , ®âáî¤				á«¥¤ã¥â ®¡é¨© १ã«ìâ â:
		Z d d e; A = DetA					(2.251)
	çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© £ ãáᮢ ¨­â¥£à « ¯® £à áᬠ­®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬.
	â®¡ë ®¯¨áë¢ âì ä¥à¬¨¥¢áª¨¥ ¯®«ï ᮢ¥à訬 ⥯¥àì ¯¥à¥å®¤ ª ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à-
	­®© £à áᬠ­®¢®© «£¥¡à¥, £¥­¥à â®àë ª®â®à®© ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì C(x):
		fC(x); C(y)g = 0					(2.252)
		@L;RC(x)			= (x ; y)		(2.253)
		@C(y)
	Z dC(x) = 0				Z dC(x)C(x) = 1		(2.254)
	१ã«ìâ ⥠㠭 á ¢®§­¨ª îâ ä㭪樮­ «ì­ë¥ ¨­â¥£à «ë ¯® £à áᬠ­®¢ë¬ (ä¥à-
	¬¨¥¢áª¨¬) ¯®«ï¬.
	£à ­¦¨ ­ ¨à ª , ª ª ¨§¢¥áâ­®, ¨¬¥¥â ¢¨¤:
		L = i		@ ; m
							(2.255)

Z0[ ; ] =

®£¤ :

:				73
®£¤ ­®à¬¨à®¢ ­­ë© ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¤«ï ᢮¡®¤­®£® ¯®«ï ¨à ª
¨¬¥¥â ¢¨¤:
1		Z D D exp i Z dx[ (x)(i @ ; m)	(x) + (x) (x) + (x) (x)]
Z0[ ; ] =
	N
				(2.256)
£¤¥ ­®à¬¨à®¢®ç­ë© ¬­®¦¨â¥«ì
		N = Z D D exp i Z dx (x)(i @ ; m) (x)		(2.257)
¤¥áì ¬ë ¢¢¥«¨ £à áᬠ­®¢ ¨áâ®ç­¨ª (x) ¤«ï ¯®«ï			(x) ¨ (x) ¤«ï ¯®«ï (x).

«ï ᮪à 饭¨ï § ¯¨á¨ 㤮¡­® ¢¢¥á⨠®¡®§­ 祭¨¥

S;1 = i @ ; m

1 Z D D exp i Z dx( S;1 + + )

N

áᬮâਬ ª¢ ¤à â¨ç­ãî ä®à¬ã:

Q( ; ) = S;1 + +

©¤¥¬ §­ 祭¨¥ , ª®â®à®¥ ¥¥ \¬¨­¨¬¨§¨àã¥â" ¨§ ãá«®¢¨ï:

(2.258)

(2.259)

(2.260)

@LQ	= S;1 + = 0	@RQ = S;1	+ = 0	(2.261)
@		@
çâ® ¤ ¥â:		m = ; S
	m = ;S			(2.262)
£¤¥ ¯à¥¤¯®«®¦¨«¨ áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ®¯¥à â®à , ®¡à â­®£® S;1. \¬¨­¨¬ã¬¥" ¨¬¥¥¬:
	Q = Qm = Q(	m; m) = ; S		(2.263)

®£¤ ­ èã ª¢ ¤à â¨ç­ãî ä®à¬ã ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:

					Q = Qm + ( ; m)S;1 ( ; m)	(2.264)
®®â¢¥âá⢥­­®:
Z0[ ; ] =	1	Z	D D exp i Z dx[Qm + ( ; m)S;1( ; m)] =
	N
			=	1	exp ;i Z dx Z dy (x)S(x ; y) (y) Det(;iS;1 )	(2.265)
				N

£¤¥ ¯à¨ ¯®«ã祭¨¨ ¯®á«¥¤­¥£® ¢ëà ¦¥­¨ï ¬ë ¢ë­¥á«¨ ¬­®¦¨â¥«ì eiQm § §­ ª
¨­â¥£à « , ¯®áª®«ìªã Qm ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¨	, ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ®ç¥¢¨¤­ë¬ äã­ª-
樮­ «ì­ë¬ ®¡®¡é¥­¨¥¬ (2.251):
Z D D e; A	= DetA	(2.266)

74	:
	­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦­® ¯®ª § âì, çâ® N = Det(iS;1 ), â ª çâ® ®ª®­ç ⥫쭮
	¯®«ãç ¥¬ ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ᢮¡®¤­®£® ¤¨à ª®¢áª®£® ¯®«ï ¢ ¢¨¤¥:
	Z0 [ ; ] = exp ;i Z dx Z dy (x)S(x ; y) (y)	(2.267)
	¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ®¯¥à â®à S ¤¥©á⢨⥫쭮 áãé¥áâ¢ã¥â. ­ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
	S(x) = (i @ + m) F (x)	(2.268)
	£¤¥ F (x) { å®à®è® ¨§¢¥áâ­ë© ­ ¬ 䥩­¬ ­®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à ᪠«ïà­®£® ¯®«ï.
	á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨á¯®«ì§ãï (2.258) ¨¬¥¥¬:

S;1S = (i @ ; m)(i @ + m) F (x) = (;2 ; m2) F (x) = (x)¥¯¥àì ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ᢮¡®¤­ë© ¯à®¯ £ â®à ¤¨à ª®¢áª®£® ¯®«ï ª ª:

(x; y) = ; 2Z0[ ; ] j = =0 =(x) (y)

= ; (x) (y) ;i Z dx Z dy (x)S(x ; y) (y) j = =0	= iS(x ; y)

(2.269)

(2.270)

£¤¥ ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ exp(; S ) = 1 ; S .

㬬¨à㥬 ⥯¥àì ä®à¬ã«ë, ®â­®áï騥áï ª ᢮¡®¤­ë¬ ᪠«ïà­®¬ã ¨ ᯨ­®à- ­®¬ã ¯®«ï¬. «ï ᪠«ïà­®£® ¯®«ï ¨¬¥¥¬:

L0 =	1	1	1
	2	@ '@ ' ; 2m2'2	= ;2	'(2	+ m2)'

ë ­ 諨 ¢ëè¥

(x; y) = i F (x ; y)

£¤¥ F { 䥩­¬ ­®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ãà ¢­¥­¨î: (2 + m2 ) F (x ; y) = ; (x ; y)

«ï ᯨ­®à­®£® (¤¨à ª®¢áª®£®) ¯®«ï ¨¬¥¥¬:

(2.271)

(2.272)

(2.273)

L0 = i @ ; m = S;1	(2.274)
(x; y) = iS(x ; y)	(2.275)

®¡®¨å á«ãç ïå ¢¨¤¨¬, çâ® ¯à®¯ £ â®à ¥áâì ®¯¥à â®à, ®¡à â­ë© ª®íää¨æ¨¥­â㠯ਠª¢ ¤à â¨ç­®¬ ç«¥­¥ ¢ « £à ­¦¨ ­¥. ®¦­® ¢®®¡é¥ ¯à¨­ïâì íâ® ¢ ª ç¥á⢥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à®¯ £ â®à ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¯®«ï.

ந§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¤«ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä¥à¬¨ { ¯®«¥© ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ ¢¯®«­¥ ­ «®£¨ç­® ¡®§¥¢áª®¬ã á«ãç î:

Z[ ; ] = exp i Z	dxLint i	; i Z0[ ; ]		(2.276)
	1	1

âáî¤ ¬®¦­® ¢ë¢¥á⨠¢á¥ ¯à ¢¨« ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨ ¤«ï ä¥à¬¨¥¢áª¨å ¯®«¥©, ¢¯®«­¥ ­ «®£¨ç­® ⮬ã, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« ­® ¢ëè¥ ¢ ᪠«ïà­®¬ á«ãç ¥. ¤¨­- á⢥­­®© áãé¥á⢥­­®© ®á®¡¥­­®áâìî, á¢ï§ ­­®© á £à áᬠ­®¢®© ¯à¨à®¤®© ä¥à¬¨- ¥¢áª¨å ¯®«¥©, ï¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬®áâì ᮯ®áâ ¢«¥­¨ï ¤®¯®«­¨â¥«ì­®£® ¬­®¦¨â¥«ï

:

75

(-1), ª ¦¤®© ä¥à¬¨®­­®© ¯¥â«¥17. ë ­¥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¯®¤à®¡­® ä®à¬ã- «¨à®¢ªã ¤¨ £à ¬¬­ëå ¯à ¢¨« ¢ ¬®¤¥«ïå ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ®¤­¨å ⮫쪮 ä¥à¬¨®­®¢, ¯®áª®«ìªã ¢ ç¥âëà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¨­ª®¢áª®£® ¢á¥ ®­¨, ª ᮦ «¥­¨î, ï-

îâáï ­¥¯¥à¥­®à¬¨à㥬묨.

ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¬®¤¥«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© ä¥à¬¨®­®¢, ª®â®à ï ॠ«ì­® ¯à¨¬¥­ï¥âáï ¤«ï ®¯¨á ­¨ï ¯à®æ¥áᮢ á í«¥¬¥­â à­ë¬¨ ç áâ¨æ ¬¨, ¯à¨¢¥¤¥¬ â ª ­ §ë¢ ¥¬®¥ 4-ä¥à¬¨®­­®¥ ¢§ ¨¬®- ¤¥©á⢨¥ ¥à¬¨. ­® ¬®¦¥â ¡ëâì ãᯥ譮 ¨á¯®«ì§®¢ ­® ¤«ï ®¯¨á ­¨ï ­¨§ª®í­¥à£¥â¨ç¥áª¨å ¯à®- æ¥áᮢ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨﫥¯â®­®¢. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 « £à ­¦¨ ­ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï(¤«ï ¤¢ãå ¯¥à¢ëå ¯®ª®«¥­¨© «¥¯â®­®¢) § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬 áâ ­¤ àâ­®¬ ¢¨¤¥ [27]:

			G
	Lint = p				jw+jw			(2.277)
				2
£¤¥ jw { ®¯¥à â®à á« ¡®£® ⮪ «¥¯â®­®¢:
jw =	e;		e + ;
jw+ = e;			e + ;					(2.278)
£¤¥	1
;			; 5) (1 + )
	= 2	(1						(2.279)

­¨¦­¨¥ ¨­¤¥ªáë ¯®«¥¢ëå ®¯¥à â®à®¢ ®¡®§­ ç îâ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ç áâ¨æë (í«¥ªâà®­ e, ¬î®­, í«¥ªâà®­­®¥ ­¥©âਭ® e, ¬î®­­®¥ ­¥©âਭ® ).

§ ¯à®á⥩襣® à §¬¥à­®£® ­ «¨§ ïá­®, çâ® íâ®â « £à ­¦¨ ­ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ­¥¯¥à¥­®à¬¨àã-

¥¬®© ⥮ਨ { ª®­áâ ­â	á¢ï§¨ G ï¥âáï à §¬¥à­®© ¢¥«¨ç¨­®©, á à §¬¥à­®áâìî ª¢ ¤à â			¤«¨­ë
¨«¨ ®¡à â­®£® ª¢ ¤à â	¬ ááë. ¥ ç¨á«¥­­®¥ §­ 祭¨¥, å®à®è® ¨§¢¥áâ­®¥ ¨§ ®¡à ¡®âª¨ ¤ ­­ëå
¯® ­¨§ª®í­¥à£¥â¨ç¥áª¨¬ ¯à®æ¥áá ¬ (®¯¨áë¢ ¥¬ë¬ ¯¥à¢ë¬ ¯®à浪®¬ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ¯® G) á
«¥¯â®­ ¬¨, â ª¨¬, ª ª à ᯠ¤ ¬î®­ , à ¢­®:
	~3
	G = 1:0 10;5		= 1:43 10;49erg cm3	(2.280)
		mpc

£¤¥ mp { ¬ áá ¯à®â®­ , ¢¢¥¤¥­­ ï §¤¥áì ¯à®áâ® ª ª à §¬¥à­ë© ¯ à ¬¥âà. ¥ ¯®ï¢«¥­¨¥ ¢ (2.280) ¢¯®«­¥ ¯à®¨§¢®«ì­®, ¬ë ¥é¥ 㢨¤¨¬, ª ª â ª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¢®§­¨ª ¥â, ª ª íä䥪⨢­®¥, ¢ ­¨§ª®í­¥à£¥â¨ç¥áª®¬ ¯à¥¤¥«¥ ᮢ६¥­­®© ⥮ਨ í«¥ªâ஬ £­¨â­ëå ¨ á« ¡ëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©.

¢¨¤ã ­¥¯¥à¥­®à¬¨à㥬®á⨠⥮ਨ ¯®«ï á (2.277), íâ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ­¥«ì§ï à áᬠâਢ âì ¢ ª ç¥á⢥ äã­¤ ¬¥­â «ì­®£®, ¡¥áá¬ëá«¥­­® ¢ë¯¨áë¢ âì ¨ ¯®¯à ¢ª¨ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ ᮮ⢥â- áâ¢ãî饩 ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©.

ய £ â®àë ¨ ª «¨¡à®¢®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¢ ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥.

á«ãç ¥ ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¨ ¬ ªá¢¥««®¢áª®£® ¯®«ï, ¯à®¨§¢®¤ï騩 äã­ª- 樮­ « ¨¬¥¥â ¢¨¤:

Z[J] = Z DA exp i Z dx(L+ J A )			(2.281)
£¤¥ J { ¢­¥è­¨© ⮪®¢ë© ¨áâ®ç­¨ª,
1		F F
L = ;			(2.282)
	16

17 ¥âà㤭® ¯®ª § âì [8], çâ® ¯à®¨á宦¤¥­¨¥ í⮣® ¬­®¦¨â¥«ï á¢ï§ ­® á ä㭪樮­ «ì­ë¬ ®¡®¡-

2 2

饭¨¥¬ (2.227), ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤: (x) (y) = ; (y) (x) .

76 :

믮«­¨¢ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® dx ¯® ç áâï¬ ¨ ®â¡à®á¨¢ ¯®¢¥àå­®áâ­ë¥ ç«¥­ë ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì íâ®â « £à ­¦¨ ­ ¢ ¢¨¤¥:

L =	1			; @ @ ]A
	2A		[g 2			(2.283)

£à ­¦¨ ­ í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï ¨­¢ ਠ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® £à ¤¨¥­â­ëå (ª - «¨¡à®¢®ç­ëå) ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© A ! A + @ . ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¨­â¥£à « ¢ (2.281) ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ A , ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¯® ⥬, ª®â®àë¥ á¢ï§ ­ë ¤àã£ á ¤à㣮¬ ª «¨¡à®- ¢®ç­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬. 祢¨¤­®, çâ® íâ® ¯à¨¢¥¤¥â ª ¡¥áª®­¥ç­®¬ã ¢ª« ¤ã ¢ Z ¨ ¢ ä㭪樨 ਭ . á­®, çâ® ­ã¦­® 䨪á¨à®¢ âì ­¥ª®â®àãî ç áâ­ãî ª «¨¡à®¢ªã â ª, çâ®¡ë ¨­â¥£à « ¯® A ­¥ ¡à «áï ¯® ¯®«ï¬, á¢ï§ ­­ë¬ ¤àã£ á ¤à㣮¬ ª «¨¡à®¢®ç- ­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬. ¤¥áì ¬ë áâ «ª¨¢ ¥¬áï á ¯à®¡«¥¬®©, ª®â®à ï áâ ­®¢¨âáï ®á®¡¥­­® ®áâன ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª § ¤ ç¥ ª¢ ­â®¢ ­¨ï ­¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯®«¥©. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢ à ¬ª å ä㭪樮­ «ì­®£® ¯®¤å®¤ ª ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï í⠯஡«¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 à¥è¥­ . ª íâ® ¤¥« ¥âáï ¡ã¤¥â

¤®áâ â®ç­® ¯®¤à®¡­® ¯®ª § ­® ¢ á«¥¤ãî饩 £« ¢¥, ¯®ª	®£à ­¨ç¨¬áï ­¥áª®«ìª¨¬¨
§ ¬¥ç ­¨ï¬¨ â¥å­¨ç¥áª®£® å à ªâ¥à .
᫨ ­ «®¦¨âì ­ ¢¥ªâ®à - ¯®â¥­æ¨ « ãá«®¢¨¥ ®à¥­æ	@ A = 0, â® « £à ­¦¨ ­
(2.283) ¯¥à¥©¤¥â ¢:
1
L = 2 A g 2A	(2.284)

¯¥à â®à, ®¡à â­ë© ¯® ®â­®è¥­¨î ª g 2 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¯ £ â®à ¥©­¬ ­ (á¬. ­ ¯à¨¬¥à « ¢ã 4 ç á⨠I):

	DF (x; y) = ;g F (x; y; m = 0)						(2.285)
¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨, ¢®§­¨ª î騩 ¨§ (2.284) ®¯¥à â®à					;	g k2	¨¬¥¥â
	;g		1
®¡à â­ë© ®¯¥à â®à ¢¨¤			k2 , â ª ç⮠䥩­¬ ­®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à í«¥ªâ஬ £-
­¨â­®£® ¯®«ï ¢ ª «¨¡à®¢ª¥ ®à¥­æ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
				g
				DF (k) = ; k2			(2.286)

®¡é¥¬ á«ãç ¥, ª « £à ­¦¨ ­ã ¬®¦­® ¤®¡ ¢¨âì ç«¥­, 䨪á¨àãî騩 ª «¨¡à®¢ªã á ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ª®íää¨æ¨¥­â®¬ :

1			1	1					1
L = ;		F F ;		(@ A )2 = 2A g 2 +					; 1 @ @ A		(2.287)
	16		2
¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ ª¢ ¤à ⥠¯®«ï ¨¬¥¥¬ ¢¨¤:
				1
				; k2g + 1 ;				k k			(2.288)
®¡à â­ë© ¥¬ã ®¯¥à â®à ¤ ¥â ¯à®¯ £ â®à ¢¨¤ :
				1		g + ( ; 1)			k k
		D (k) = ;									(2.289)
					k2				k2

ਠ! 1 ¯®«ãç ¥¬ ®âáî¤ ä¥©­¬ ­®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à (ª «¨¡à®¢ª ®à¥­æ -¥©­¬ ­ ). ਠ! 0 ¯®«ãç ¥¬ ¯à®¯ £ â®à ¢ ª «¨¡à®¢ª¥ ­¤ ã.

« ¢ 3

- :

¥ ¡¥«¥¢ë ª «¨¡à®¢®ç­ë¥ ¯®«ï ¨ ¬¥â®¤¤¤¥¥¢ { ®¯®¢ .

¥à¥©¤¥¬ ª ¯®áâ஥­¨î ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ­¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯®«¥©. - ¤ ç ª¢ ­â®¢ ­¨ï ¯®«¥© ­£ - ¨««á ¤®«£®¥ ¢à¥¬ï ®áâ ¢ « áì ­¥à¥è¥­­®© ¨§-§ âà㤭®á⥩, á¢ï§ ­­ëå á ­¥®¡å®¤¨¬®áâìî ª®à४⭮£® ãç¥â ª «¨¡à®¢®ç­®© ¨­¢ - ਠ­â­®áâ¨. ç áâ­®áâ¨, ­¥ 㤠¢ «®áì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 ¯à®¢¥á⨠ª¢ ­â®¢ ­¨¥ ¢ à ¬ª å ª ­®­¨ç¥áª®£® (®¯¥à â®à­®£®) ¯®¤å®¤ ª ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï, ­¥á¬®âàï ­ ¥£® ãᯥ譮¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ª ¡¥«¥¢®© ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥. ®«­®¥ à¥- 襭¨¥ í⮩ ¯à®¡«¥¬ë ¡ë«® ¤®á⨣­ãâ® ¤¤¥¥¢ë¬ ¨ ®¯®¢ë¬ á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ä㭪樮­ «ì­ëå ¬¥â®¤®¢. ¯®á«¥¤ãî饬 ¨§«®¦¥­¨¨ ¢ í⮩ £« ¢¥ ¬ë á«¥¤ã¥¬, ¢ ®á­®¢­®¬, ª­¨£¥ [11].

¢à¨áâ¨ç¥áª®¥ à áᬮâ७¨¥ ®á­®¢­®© ¨¤¥¨.

ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¢¥«¨ç¨­ ®¡ëç­ë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«¥­­®£® ¯à®¨§¢®¤ï饣® ä㭪樮­ « Z ¢ ª «¨¡à®¢®ç­®© ⥮ਨ (¤ ¦¥ ¢ í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥), ¢®®¡é¥ £®- ¢®àï, ï¥âáï ¡¥áª®­¥ç­®©, ¯®áª®«ìªã ¢ ­¥¬ 䨣ãà¨àã¥â ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® ¢á¥¬

77

78

:

¨á. 3-1

¯®«ï¬ A , ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¯® ⥬, ª®â®àë¥ á¢ï§ ­ë ¤àã£ á ¤à㣮¬ ª «¨¡à®¢®ç­ë¬¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬¨, ®áâ ¢«ïî騬¨ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¨­¢ ਠ­â­ë¬.

०¤¥ 祬 ¯à¨áâ㯠âì ª ¢ëç¨á«¥­¨ï¬, ª®â®àë¥ ¯®§¢®«ïâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 ®â- ¤¥«¨âì ¡¥áª®­¥ç­ë© \®¡ê¥¬­ë©" ¬­®¦¨â¥«ì ¨§ (¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®£®) ä㭪樮­ «ì- ­®£® ¨­â¥£à « ¯® ª «¨¡à®¢®ç­®¬ã ¯®«î, à áᬮâਬ, ¤«ï ¨««îáâà 樨 ®á­®¢­®© ¨¤¥¨ ¬¥â®¤ , ®¡ëç­ë© ¤¢ã¬¥à­ë© ¨­â¥£à « ¢¨¤ :

W = Z dx Z dyeiS(x;y)	= Z	dreiS(r)	(3.1)
£¤¥ r = (r; ) § ¤ ¥â ¯®«ïà­ë¥ ª®®à¤¨­ âë â®çª¨ ­		¯«®áª®áâ¨. ।¯®«®¦¨¬, çâ®
( ­ «®£ ¤¥©á⢨ï!) äã­ªæ¨ï S(r) ¨­¢ ਠ­â­	®â­®á¨â¥«ì­® ¢à 饭¨© ¢ ¤¢ã¬¥à­®¬
¯à®áâà ­á⢥:
S(r) = S(r )			(3.2)
¯à¨ r = (r; ) ! r = (r; + ). â® ®§­ ç ¥â, çâ® S(r) ¯®áâ®ï­­ ­			®ªà㦭®áâïå
(\®à¡¨â å") ¢ ¯«®áª®á⨠(x; y), ¯®ª § ­­ëå ­	¨á.3-1( ). ᫨ ¢ í⮬ âਢ¨ «ì-

­®¬ ¯à¨¬¥à¥ ¬ë å®â¨¬ ãç¨âë¢ âì ¢ª« ¤ ¢ ¨­â¥£à « ⮫쪮 ®â ­¥íª¢¨¢ «¥­â­ëå §­ 祭¨© S(r), â® ­ã¦­® ¢ë¤¥«¨âì \®¡ê¥¬­ë© ¬­®¦¨â¥«ì", ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¨­- ⥣à¨à®¢ ­¨î ¯® 㣫®¢®© ¯¥à¥¬¥­­®©1 d = 2 . ⮡ë ᤥ« âì íâ® ä®à¬ «ì­ë¬

¯ã⥬, à áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ¯à¨¥¬, ª®â®àë© ¤ «¥¥ ¡ã¤¥â ®¡®¡é¥­ ­ ¡®«¥¥ á«®¦-
­ë¥ á«ãç ¨. ®¤áâ ¢¨¬ ¢ ­ è ¨­â¥£à «R1, § ¯¨á ­­ãî ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥2:
1 = Z d ( ; )		(3.3)
®£¤ ¨¬¥¥¬:
W = Z d Z dreiS(r) ( ; ) = Z d W		(3.4)
£¤¥	dr ( ; ')eiS(r)
W =		(3.5)
¢ëç¨á«ï¥âáï ¤«ï ¤ ­­®£® §­ 祭¨ïZ㣫 = . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë á­ ç «		¢ëç¨-

á«ï¥¬ W ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ §­ 祭¨¨ 㣫 = (á¢ï§ì!), § ⥬ ¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ¢ª« ¤ ¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¢á¥¬ §­ 祭¨ï¬ (á¬. ¨á.3-1( )). ᯮ«ì§ãï ¨­¢ à¨-

­â­®áâì ä㭪樨 S (3.2), ¨¬¥¥¬:
W = W 0	(3.6)

1 ­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® 㣫®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ¢ ¯à¥¤¥« å ®â 0 ¤® 2 , ᮮ⢥â-

á⢥­­® ¯à¥¤¥«ë ® ­¥ ¢ë¯¨áë¢ ¥¬.

2 ¤¥áì ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® ¯®¯ ¤ ¥â ¢ ¨­â¥à¢ « (0; 2 ).

:	79
«¥¤®¢ ⥫쭮, \®¡ê¥¬" ®à¡¨âë ¬®¦­® ¢ë¤¥«¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¬­®¦¨â¥«ï:
W = Z d W = W Z d = 2 W	(3.7)

®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®¦­® ¢ë¡à âì ¡®«¥¥ á«®¦­ãî á¢ï§ì, 祬 = , ª®â®àãî ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ãà ¢­¥­¨¥¬ ­¥ª®â®à®© ªà¨¢®© g(r) = 0, ¯¥à¥á¥ª î饩 ª ¦¤ãî ®à¡¨âã ⮫쪮 ®¤¨­ à §, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­ ¨á.3-1(¡), â ª çâ® ãà ¢­¥­¨¥ g(r ) = 0 ¤®«¦­® ¨¬¥âì ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥ ¤«ï ¤ ­­®£® §­ 祭¨ï r. áᬠâਢ ï â ªãî á¢ï§ì ®¡é¥£® ¢¨¤ , ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢¬¥áâ® ¯à®á⮣® ãà ¢­¥­¨ï (3.3), \¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¥¤¨­¨æë" ¢¨¤ :

1 = g(r)Z d [g(r )]	(3.8)
­ ç¥ £®¢®àï, ®¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î g (r) ª ª:

[ g (r)];1 = Z d [g(r )]

ᯮ«ì§ãï ®¡é¥¥ ¯à ¢¨«®:

Z	dx [f (x)] = Z dz	1	(z) =		1	jz=0
		df=dx			df=dx
¯®«ãç ¥¬:		@g(r )
	g(r) =			jg=0
		@

¯à¨ç¥¬ g (r) ¨­¢ ਠ­â­ ®â­®á¨â¥«ì­® ¤¢ã¬¥à­ëå ¢à 饭¨©:

[ g(r 0 )] = Z d [g(r + 0)] = Z d 00 [g(r 00 )] = [ g(r)];1

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

®£¤ , ¯®¢â®àïï à áá㦤¥­¨ï, ­ «®£¨ç­ë¥ ¯¥à¥å®¤ã ®â (3.4) ª (3.7), ¬®¦­® á­®¢ ¢ë¤¥«¨âì ¨§ ¨­â¥£à « \®¡ê¥¬­ë© ¬­®¦¨â¥«ì" 2 :

W = Z d Z dr g(r) [g(r )]eiS(r) = Z d W	(3.13)
£¤¥
W = Z dreiS(r) g (r) [g(r )]	(3.14)

¤¥áì-â® ¨ ᮤ¥à¦¨âáï ¢áï ­¥âਢ¨ «ì­ ï ç áâì ¨­â¥£à « . \ ¡ê¥¬­ë©" ¬­®¦¨- ⥫ì à ¢¥­, ª ª ¬ë ¯®­¨¬ ¥¬, ¯à®áâ® 2 , ç⮠ï¥âáï ä®à¬ «ì­ë¬ á«¥¤á⢨¥¬ ¨­¢ ਠ­â­®á⨠W ®â­®á¨â¥«ì­® ¢à 饭¨©:

W 0 = Z dreiS(r) g(r) [g(r 0 )] = Z dr0eiS(r0) g (r0 ) = W

(3.15)

£¤¥ ¢¢¥¤¥­ ¯¥à¥¬¥­­ ï r0 = (r; 0) ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ⥬, çâ® S(r), g(r) ¨ ¬¥à ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï dr ¨­¢ ਠ­â­ë ®â­®á¨â¥«ì­® ¢à 饭¨©. ª¨¬ ®¡à §®¬ \à¥æ¥¯â" ¢ë¤¥«¥­¨ï \®¡ê¥¬­®£®" ¬­®¦¨â¥«ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¯®¤ ¨­â¥£à « ¢¢®¤¨âáï ®£à - ­¨ç¨¢ îé ï -äã­ªæ¨ï, ª®â®à ï 㬭®¦ ¥âáï ­ g, ®¯à¥¤¥«¥­­ãî ãá«®¢¨¥¬ (3.9).