Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2

170

¨á. 6-10

¥à¥©¤¥¬ ª áç¥âã! «ï n å®à®è® ®â¤¥«¥­­ëå ®¡ê¥ªâ®¢, ®ç¥¢¨¤­®, ¨¬¥¥¬ ¢ª« ¤ ¢ ¤¥©á⢨¥ S = nS0, çâ® ¤ ¥â ¢ ä㭪樮­ «ì­®¬ ¨­â¥£à «¥ ¢ª« ¤ exp(;nS0).¥â¥à¬¨­ ­â á®áç¨â âì á«®¦­¥¥. áᬮâਬ ®¯¥à â®à ¢à¥¬¥­­®© í¢®«î樨 e;HT ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ®¯¥à â®à®¢, á¢ï§ ­­ëå á í¢®«î樥© ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨, £¤¥ 業âà¨- ஢ ­ë ¨­áâ ­â®­ë ¨ ­â¨¨­áâ ­â®­ë. ᫨ ¡ë ¨å ­¥ ¡ë«®, â® ­ ¢á¥© ¢à¥¬¥­­®© ®á¨ ¬ë ¨¬¥«¨ ¡ë V 00 = !2 ¨ ¯®«ã稫¨ ¡ë â®â ¦¥ १ã«ìâ â, çâ® ¨ ¢ëè¥, ¤«ï ®¤­®ï¬­®£® ¯®â¥­æ¨ « (6.113):

!					1=2
						e;!T=2	(6.124)
		~
­â¥à¢ «ë, ­ ª®â®àëå à ᯮ«®¦¥­ë ¨­áâ ­â®­ë ¨							­â¨¨­áâ ­â®­ë ¢­®áïâ ¯®-
¯à ¢ªã, ª®â®àãî § ¯¨è¥¬ ª ª:
!				1=2
						e;!T=2Kn	(6.125)
	~
£¤¥ K ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨§ ãá«®¢¨ï, ç⮡ë íâ						ä®à¬ã« ¤ ¢ « ¯à ¢¨«ì­ë© ®â¢¥â ¤«ï

á«ãç ï ®¤­®£® ¨­áâ ­â®­ . ®§¦¥ ¬ë ­ ©¤¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥.¯®ª § ¬¥â¨¬, ¤«ï ãç¥â ¢á¥å ¢®§¬®¦­ëå ¢ª« ¤®¢ ¢ ¨­â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ­ã¦­® ¯à®¨­â¥£à¨à®¢ âì ¯® ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ¯®«®¦¥­¨ï¬ 業â஢:

T=2	t1	tn;1	Tn
dt1	dt2:::	dtn =	n!	(6.126)
Z;T=2	Z;T=2	Z;T=2

㦭® ¥é¥ ãç¥áâì, çâ® ã ­ á ­¥â ¯®«­®© ᢮¡®¤ë ¤«ï à ááâ ­®¢ª¨ ¨­áâ ­â®­®¢ ¨ ­â¨¨­áâ ­â®­®¢. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¬ë áâ àâ㥬 á ;a, ¯¥à¢ë© ®¡ê¥ªâ, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¯®¢áâà¥ç âìáï, ¤®«¦¥­ ¡ëâì ¨­áâ ­â®­®¬, á«¥¤ãî騩 { ­â¨¨­áâ ­â®­®¬ ¨ â.¤. ᫨ ¯à¨ í⮬ ¬ë ¢®§¢à é ¥¬áï ¢ ;a, â® n ¤®«¦­® ¡ëâì ç¥â­ë¬, ­ ®¡®à®â, ¥á«¨ ¬ë å®â¨¬ ¯¥à¥©â¨ ¢ +a, n ¤®«¦­® ¡ëâì ­¥ç¥â­ë¬. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬:

	~			!		1=2	X		(Ke;S0=~T )n
	< ;aje;HT=	j ; a >=				e;!T=2		n		[1 + O(~)]; (6.127)
				~					n!
							¥â­ë¥

⮣¤ ª ª < aje;HT=~j;a > ¤ ¥âáï â ª¨¬ ¦¥ ¢ëà ¦¥­¨¥¬, ­® á á㬬®© ¯® ­¥ç¥â­ë¬ n. ã¬¬ë ¢¯®«­¥ âਢ¨ «ì­ë ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬:

~	!			1=2 1	~	~
< aje;HT=	j ; a >=				[exp(Ke;S0=	T ) exp(;Ke;S0=	T )] (6.128)
		~		2

171

ᯮ¬¨­ ï (6.99)

< xf je;HT=~jxi >=	X	e;EnT=~ < xf jn >< njxi >;	(6.129)
	n

¯®­¨¬ ¥¬, çâ® ¤¢ ­ ¨­¨§è¨å ã஢­ï á¨áâ¥¬ë ®¡« ¤ îâ í­¥à£¨ï¬¨:

E =	1	~! ~Ke;S0	=	~	(6.130)
	2

᫨ ®¡®§­ ç¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á®áâ®ï­¨ï j+ > ¨ j; >, ¢¨¤¨¬, çâ®:

j < +j a > j	2	= j < ;j a > j	2	=< aj; >< ;j;a >= ; < aj+ >< +j;a >=	1		!	;1=2
					2	~
						(6.131)

â® å®à®è® ¨§¢¥áâ­ë¥ १ã«ìâ âë ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ [29]: ¯à®¨á室¨â à á饯«¥- ­¨¥ ã஢­ï ¢ ¤¢ãåêשּׂ®¬ ¯®â¥­æ¨ «¥ § áç¥â âã­­¥«¨à®¢ ­¨ï (á­ï⨥ ¢ë஦¤¥­¨ï ¬¥¦¤ã ã஢­ï¬¨ ¢ ¤¢ãå ¬¨­¨¬ã¬ å). §­®áâì í­¥à£¨© ¯à¨ í⮬ e;S0=~. ¨¦­¥¥ á®áâ®ï­¨¥ j; > { ç¥â­ ï ª®¬¡¨­ æ¨ï ¢®«­®¢ëå ä㭪権, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ¥, «®ª «¨§®¢ ­­®© ¢ ª ¦¤®© ¨§ אַª (¯¥à¢®¥ ¢®§¡ã¦¤¥­­®¥ á®áâ®ï­¨¥ j; > { ­¥ç¥â­ ï ª®¬¡¨­ æ¨ï).

¥¯¥àì § ©¬¥¬áï à áç¥â®¬ ä ªâ®à K. «ï í⮣® ­ã¦­® ¨§ãç¨âì ᢮©á⢠à¥- 襭¨© ãà ¢­¥­¨ï (6.105):

;	d2xn	+ V 00(x)xn = nxn	(6.132)
	dt2

£¤¥ x ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¤­®¨­áâ ­â®­­®¥ à¥è¥­¨¥. ®áª®«ìªã ¨¬¥¥âáï ¨­¢ à¨- ­â­®áâì ®â­®á¨â¥«ì­® ᤢ¨£ ¯® ¢à¥¬¥­¨ (業âà ¨­áâ ­â®­ ¬®¦¥â ¡ëâì à ᯮ«®- ¦¥­ ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¥ ­ ®á¨ ¢à¥¬¥­¨), íâ® ãà ¢­¥­¨¥ ®¡ï§ ⥫쭮 ®¡« ¤ ¥â ᮡá⢥­­®© ä㭪樥© á ᮡá⢥­­ë¬ §­ 祭¨¥¬ à ¢­ë¬ ­ã«î (­ã«¥¢ ï âà ­á«ï- 樮­­ ï ¬®¤ ). ¢­ë© ¢¨¤ í⮩ ä㭪樨:

x1	;1=2 dx		(6.133)
	= S0	dt

®à¬¨à®¢®ç­ë© ä ªâ®à §¤¥áì ¢®§­¨ª ¥â ¨§ (6.120):

Z	dx	2
	dt dt	= S0	(6.134)

áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ­ã«¥¢®© ¬®¤ë «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ­áâ ­â®­ x(t) 㤮¢«¥â¢®- àï¥â ãà ¢­¥­¨î (6.104)

	d2x		+ V 0(x) = 0
	; dt2			(6.135)
® x(t + T ), £¤¥ T ¯à®¨§¢®«ì­®, ¥áâì á­®¢ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï:
	d2x(t + T )		+ V 0(x(t + T )) = 0	(6.136)
; dt2
¨ää¥à¥­æ¨àãï íâ® ãà ¢­¥­¨¥ ¯® T , ¯®«ãç ¥¬
	d2x1	+ V 00(x)x1 = 0
	; dt2			(6.137)

çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â ­ è¥ ã⢥ত¥­¨¥ ®â­®á¨â¥«ì­® (6.133).

172

ãé¥á⢮¢ ­¨¥ ­ã«¥¢®© ¬®¤ë á 1 = 0, ª § «®áì ¡ë, ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®¡«¥¬¥. ᫨ ¬ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì £ ãáᮢ ¨­â¥£à « ¢¡«¨§¨ íªáâ६ «ì­®© âà ¥ªâ®à¨¨ (¨­áâ ­â®­ ) â ª, ª ª íâ® ®¯¨á ­® ¢ á¢ï§¨ á (6.101), (6.103) ¨ (6.109), â® ¯à¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¯® c1 ¬ë ¯®«ã稬 à á室¨¬®áâì! ªâ¨ç¥áª¨, ®¤­ ª®, ¬ë 㦥 ¯à®¤¥« «¨ ᮮ⢥â- áâ¢ãî饥 ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥, ª®£¤ ¨­â¥£à¨à®¢ «¨ ¯® 業âà ¬ ¨­áâ ­â®­®¢ ( ­â¨¨­- áâ ­â®­®¢) ¢ (6.126). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§¬¥­¥­¨¥ x(t) ¯à¨ ­¥¡®«ì讬 ᤢ¨£¥ 業âà ¨­áâ ­â®­ t1 à ¢­®:

dx	dt1
dx = dt		(6.138)

⮦¥ ¢à¥¬ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¨§¬¥­¥­¨¥ § áç¥â ¨§¬¥­¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â à §-

«®¦¥­¨ï c1 ¢ (6.101) ¥áâì:

dx = x1dc1

(6.139)

dx

dt1 = p

x1dt1, ¨ áà ¢­¨¢ ï íâ® á (6.139), ¯®«ãç ¥¬

®£¤ , § ¯¨áë¢ ï ¢ (6.138)

S0

; dt

dc1 = p

dt1, ¨«¨:

S0

(2 ~);1=2dc1 =

S0

1=2

dt1

(6.140)

2 ~

£¤¥ ~ ¢¢¥¤¥­ ¤«ï ®¡¥§à §¬¥à¨¢ ­¨ï ­®à¬¨à®¢®ç­®£® ¬­®¦¨â¥«ï. ®í⮬㠯ਠ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¤¥â¥à¬¨­ ­â , á¢ï§ ­­®£® á £ ãáᮢ᪨¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬, ¢ ¢ëà ¦¥- ­¨¨ ⨯ (6.109) ­¥ ­ã¦­® ¢ª«îç âì ­ã«¥¢®¥ ᮡá⢥­­®¥ §­ 祭¨¥, ­® § â® ­ã¦­®

¢ª«îç¨âì ¢ K ¬­®¦¨â¥«ì ; S0 1=2. ®í⮬ã, ®¤­®¨­áâ ­â®­­ë© ¢ª« ¤ ¢ ¬ âà¨ç­ë©

2 ~

í«¥¬¥­â ¯¥à¥å®¤ ¤ ¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬:

	1=2
~		S0		~
< aje;HT=	j ; a >1inst= NT			e;S0=	[Det0(;@t2 + V 00(x))];1=2 (6.141)
		2 ~

£¤¥ èâà¨å ­ ¤ §­ ª®¬ ¤¥â¥à¬¨­ ­â ®§­ ç ¥â, çâ® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ í⮣® ¤¥â¥à¬¨- ­ ­â ®¯ã᪠¥âáï ­ã«¥¢®¥ ᮡá⢥­­®¥ §­ 祭¨¥. à ¢­¨¢ ï (6.141) á ®¤­®¨­áâ ­- â®­­ë¬ ¢ª« ¤®¬ ¢ (6.127),­ 室¨¬:

			1=2			Det(;@t2 + !2)	1=2
	K =		S0					(6.142)
		2 ~				Det0(;@t2 + V 00(x))
	â® § ¢¥àè ¥â ­ è à áç¥â!
	¤¥« ¥¬ ­¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ­¨ï ¯® ¯®¢®¤ã ¯à®¤¥« ­­ëå ¢ëç¨á«¥­¨©:

1.®¦­® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯®«ã祭­ë¥ १ã«ìâ âë ᮢ¯ ¤ îâ á® áâ ­¤ àâ­ë¬¨ ¢ë¢®¤ ¬¨ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ [29].

2.ë ¯®« £ «¨, çâ® ¢á¥ n > 0 (ªà®¬¥ 1 = 0). â® ¤¥©á⢨⥫쭮 â ª, ¯®- ᪮«ìªã ­ ¨­¨§è¥¥ á®áâ®ï­¨¥ x1, ª ª «¥£ª® ¢¨¤¥âì ¨§ ¥£® ®£® ¢¨¤ , ­¥ ¨¬¥¥â ­ã«¥©, ª ª ¨ ¤®«¦­® ¡ëâì ã ®¤­®¬¥à­®£® ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à . â®

ïá­® ¨§ ⮣®, çâ® à áᬮâ७­ë© ¨­áâ ­â®­ ï¥âáï ¬®­®â®­­® ¢®§à áâ î饩

( ­â¨¨­áâ ­â®­ { ã¡ë¢ î饩) ä㭪樥© t, ⮣¤ ¥£® ¯à®¨§¢®¤­ ï x1 ddtx ­¥ ¨¬¥¥â ­ã«¥©.

3.®íää¨æ¨¥­â K ¯à®¯®à樮­ «¥­ ~;1=2, çâ® á¢ï§ ­® á ¢ª« ¤®¬ ­ã«¥¢®© ¬®¤ë.

â®, ­ á ¬®¬ ¤¥«¥, ®¡é¥¥ ¯à ¢¨«® { ª ¦¤ ï ­ã«¥¢ ï ¬®¤ ( ¨å ¬®¦¥â ¡ëâì ¨ ­¥áª®«ìª®!) ¤ ¥â ¬­®¦¨â¥«ì ~;1=2.

173

¨á. 6-11

­ «®£¨з­л¬ ®¡а §®¬ ¬®¦­® ¯а® ­ «¨§¨а®¢ вм ¨ § ¤ зг ® з бв¨ж¥ ¢ ¯¥а¨®¤¨з¥бª®¬ ¯®- в¥­ж¨ «¥, ¯®ª § ­­®¬ ­ ¨б.6-11. в«¨з¨¥ ®в ¯а¥¤л¤гй¥£® б«гз п б®бв®¨в ¢ ⮬, зв® в¥¯¥ам ®вбгвбв¢г¥в гб«®¢¨¥ з¥а¥¤®¢ ­¨п ¨­бв ­в®­®¢ ¨ ­в¨¨­бв ­в®­®¢, зв® б¢п§ ­® б бгй¥бв¢®¢ ­¨¥¬ ¬­®¦¥бв¢ нª¢¨¢ «¥­в­ле ¬¨­¨¬г¬®¢¯®в¥­ж¨ « . ⮦¥ ¢а¥¬п, ¯®«­®¥ з¨б«® ¨­бв ­в®­®¢¬¨­гб ¯®«­®¥ з¨б«® ­в¨¨­бв ­в®­®¢ ¤®«¦­®, ¢ н⮬ б«гз ¥, а ¢­пвмбп ¨§¬¥­¥­¨о x ¬¥¦¤г ­ з «м­®© ¨ ª®­¥з­®© ª®®а¤¨­ в ¬¨. ®£¤ , ¢¬¥бв® (6.128), ¬®¦­® ­ ¯¨б вм:

< j+je;HT=

~

jj;

>=

!

1=2

e;!T=2

1 1

1

(Ke;S0=

~

T )n+n n;n;j++j;

(6.143)

~

n=0 n=0

n!n!

XX

£¤¥ n { ç¨á«® ¨­áâ ­â®­®¢,

n { ç¨á«®

­â¨¨­áâ ­â®­®¢. ᯮ«ì§ã¥¬ ⥯¥àì:

ab =

2 d ei (a;b)

(6.144)

Z0

2

çâ®¡ë ¯¥à¥¯¨á âì (6.143) ª ª:

~

!

1=2

2 d

~

< j+je;HT=

jj; >=

e;!T=2 Z0

2 exp[2KT K cos e;S0=

T )]

(6.145)

~

í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ¨¬¥¥¬ ª®­â¨­ã㬠ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© í­¥à£¨¨ ç áâ¨æë (§®­ã!), ¯ à ¬¥âà¨-

§®¢ ­­ëå \㣫®¬" :

E( ) = 1 ~! + 2Ke;S0=~ cos

(6.146)

2

âà¨ç­ë¥ í«¥¬¥­âë:

!

1=4

(2 );1=2eij

< jj >=

(6.147)

~

¯а¥¤бв ¢«пов б®¡®©, ¯® бгв¨ ¤¥« , б®®в¢¥вбв¢гойго

¡«®å®¢áªãî ¢®«­ã.

­áâ ­â®­ë ¨ ¬¥â áâ ¡¨«ì­ë¥ á®áâ®ï­¨ï.

бᬮва¨¬ ¯®в¥­ж¨ «, ¨§®¡а ¦¥­­л© ­ ¨б.6-12(a). б«¨ ¡л ¡л«® ¬®¦­® ¯а¥­¥- ¡а¥зм вг­­¥«¨а®¢ ­¨¥¬, в® бгй¥бв¢®¢ «® ¡л б¢п§ ­­®¥ б®бв®п­¨¥ ¢¡«¨§¨ ­ з « ª®®а¤¨­ в. ¥а¥¢¥а­гвл© ¯®в¥­ж¨ « ¯®ª § ­ ­ ¨б.6-12(b). « бб¨з¥бª¨¥ га ¢­¥- ­¨п ¤¢¨¦¥­¨п ¨¬¥ов ®з¥¢¨¤­®¥ а¥и¥­¨¥, б®®в¢¥вбв¢гой¥¥ з бв¨ж¥, бв авгой¥© ­ ¢¥аи¨­¥ е®«¬ ¯а¨ x = 0, ª®в®а п § в¥¬ ®ва ¦ ¥вбп ®в ª« бб¨з¥бª®© в®зª¨ ¯®¢®- а®в ¨ ¢®§¢а й ¥вбп ®¡а в­® ­ ¢¥аи¨­г, ª ª ¯®ª § ­® ­ ¨б.6-13. ®бз¨в ¥¬

174

¨á. 6-12

¨á. 6-13

¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â ¯¥à¥å®¤ ¨§ x = 0 ¢ x = 0, á㬬¨àãï ¯® ¢á¥¬ á®áâ®ï騬 ¨§

㤠«¥­­ëå ¤à㣠®â ¤à㣠¨­áâ ­â®­®¢ ¨á.6-13. ãâ, ¢à®¤¥ ¡ë, ­ ¤® ¤¥« âì ¢á¥ ª ª ¨ ¢ëè¥ (á ®ç¥¢¨¤­ë¬ ¯¥à¥®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ S0, !2 ¨ â.¯.), ®¤­ ª® ¡¥§ ®£à ­¨ç¥-

­¨© ­ ç¥â­®áâì ç¨á« ¨­áâ ­â®­®¢. ®£¤ ¯à¨ á㬬¨à®¢ ­¨¨ \­ ¡¨à ¥âáï" ¯®«­ ï íªá¯®­¥­â :

~	!			1=2	~
< 0je;HT=	j0 >=				e;!T=2 exp[KT e;S0 = ]	(6.148)
		~

¨ ᮡá⢥­­®¥ §­ 祭¨¥ í­¥à£¨¨ ®á­®¢­®£® á®áâ®ï­¨ï ¥áâì:

E0 =	1	~! + ~Ke;S0=~	(6.149)
	2

® íâ® ­¥¢¥à­®! ªâ¨ç¥áª¨, ¢ í⮩ á¨âã 樨 ¥áâì âã­­¥«¨à®¢ ­¨¥ ¨ ¢®§­¨ª ¥â ­¥- áâ ¡¨«ì­®¥ á®áâ®ï­¨¥! § ¢¨¤ ¨­áâ ­â®­ ¨á.6-13 ïá­®, ç⮠ᮡá⢥­­ ï äã­ªæ¨ï

x1 ddtx ¨¬¥¥â ­ã«ì ¨ ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ä㭪樥©, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ­ ¨­¨§è¥© í­¥à- £¨¨. ® ¥¥ â® í­¥à£¨ï à ¢­ ­ã«î, íâ® §­ ç¨â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¥é¥ á®áâ®ï­¨¥ á 0 < 0

¨ ᮡá⢥­­®© ä㭪樥©, ­¥ ¨¬¥î饩 ­ã«¥©. ®í⮬ã ä ªâ®à K, ¢ ª®â®àë© ¢å®¤¨â ª®à¥­ì ¨§ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨©, ¥áâì ¬­¨¬ ï ¢¥«¨ç¨­ . ®í⮬ã, ­ á ¬®¬ ¤¥«¥, â ª¨¬ ᯮᮡ®¬ ¯®«ãç ¥âáï:

ImE0 =	;	~jKje;S0=	~	(6.150)
	2

çâ® ®â¢¥ç ¥â è¨à¨­¥ ã஢­ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¬¥â áâ ¡¨«ì­®¬ã á®áâ®ï­¨î.

175

¨á. 6-14

­áâ ­â®­ë ¨ ­¥áâ ¡¨«ì­ë© ¢ ªã㬠¢ â¥- ®à¨¨ ¯®«ï.

áᬮâਬ ⥯¥àì ᪠«ïà­ãî ⥮à¨î ¯®«ï á ¥¢ª«¨¤®¢ë¬ ¤¥©á⢨¥¬:
S = Z	1	(@ )2 + U ( )
	d4x 2		(6.151)

£¤¥ ¯®â¥­æ¨ « U( ) ¯®ª § ­ ­ ¨á.6-14: ¨¬¥¥âáï ¤¢ ­¥íª¢¨¢ «¥­â­ëå ¬¨­¨¬ã¬+ ¨ ;, ¯à¨ç¥¬ ; { ¡á®«îâ­ë© ¬¨­¨¬ã¬. 롥६ ­ ç «® ®âáç¥â í­¥à£¨¨ â ª, ç⮡ë U ( +) = 0. ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¬¨­¨¬ã¬ ¯à¨ = + ¨£à ¥â ஫ì \«®¦­®£®" (¬¥â áâ ¡¨«ì­®£®) ¢ ªã㬠. ¯¨á ­¨¥ à ᯠ¤ â ª®£® \«®¦­®£®" ¢ ªã㬠¢® ¬­®- £®¬ ­ «®£¨ç­® ®¯¨á ­¨î ¯à®æ¥áá § தë襮¡à §®¢ ­¨ï ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥ (­ ¯à¨¬¥à, ¯à¨ ªà¨áâ ««¨§ 樨 ¯¥à¥áë饭­®£® à áâ¢®à ¨«¨ ¢áª¨¯ ­¨¨ ¯¥à¥£à¥â®© ¦¨¤ª®áâ¨). ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï íâ § ¤ ç ¨­â¥à¥á­ á â®çª¨ §à¥­¨ï ¯à¨¬¥­¥- ­¨© ª § ¤ ç ¬ ª®á¬®«®£¨¨ [43]. ⮠᪠§ «, çâ® ­ è ¢ ªã㬠ï¥âáï ãá⮩稢ë¬,

­¥ ¬¥â áâ ¡¨«ì­ë¬?
è § ¤ ç á®á⮨⠢ à áç¥â¥ ¢¥«¨ç¨­ë			;	{ ¢¥à®ïâ­®á⨠à ᯠ¤ ¬¥â áâ ¡¨«ì-
			V
­®£® ¢ ªã㬠¢ ¥¤¨­¨æ㠢६¥­¨ ¨ ¢ à áç¥â¥ ­ ¥¤¨­¨ç­ë© ®¡ê¥¬. ०¤¥ ¢á¥£®,
­ã¦­® ­ ©â¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¨­áâ ­â®­ , ª ª à¥è¥­¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ãà ¢­¥­¨©
¤¢¨¦¥­¨ï:
@ @					(6.152)
		= U	0( )
㤮¢«¥â¢®àïî饥 £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬:
lim					(6.153)
		(x; x4) = +
x4! 1
¥âà㤭® ¯®­ïâì, çâ® ¤«ï ®¡¥á¯¥ç¥­¨ï ª®­¥ç­®á⨠¤¥©áâ¢¨ï ­					¨­áâ ­â®­¥ ¤®«¦­®
в ª¦¥ ¢л¯®«­пвмбп гб«®¢¨¥:
lim					(6.154)
	(x; x4) = +
jxj!1

᫨ ¨­áâ ­â®­ ­ ©¤¥­, â® ¢ ¢¥¤ã饬 ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¯® ~ ¨¬¥¥¬:

	;	= Ke;S0	(6.155)
	V

£¤¥ S0 = S( ), ¯à¥¤íªá¯®­¥­â K ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¤¥â¥à¬¨­ ­â®¬.

176

	¨á. 6-15
		2S	­¥ ¨¬¥¥â ®âà¨æ ⥫ì­ëå
ਢ¨ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ = + ­¥¨­â¥à¥á­®, ¤«ï ­¥£®		2
ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨©, â ª çâ® ¢ª« ¤ ¢ à ᯠ¤ ¢ ªã㬠­¥ ¢®§­¨ª ¥â. à ¢­¥­¨ï

(6.152) { (6.154) ¨­¢ ਠ­â­ë ®â­®á¨â¥«ì­® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© £à㯯ë ç¥âëà¥å¬¥à­ëå
¢à 饭¨© O(4). ®« £ ¥¬, çâ® ¨­áâ ­â®­ ⮦¥ O(4) ¨­¢ ਠ­â¥­8 , â ª ç⮠ᮮ⢥â-
			ãà ¢­¥­¨¥
áâ¢ãî饥 ï¥âáï ä㭪樥© ⮫쪮 ®â à ¤¨ãá - ¢¥ªâ®à r. ®£¤
(6.152) ᢮¤¨âáï ª:
2
d	3 d
dr2	+ r dr	= U0( )	(6.156)
¨§ (6.153) ¨ (6.154) á«¥¤ã¥â:
			(6.157)
lim (r) = +
r!1
祢¨¤­® â ª¦¥, çâ® ­ã¦­® ¯®âॡ®¢ âì:
	d
	dr jr=0	= 0;	(6.158)

¨­ ç¥ ¡ã¤¥â ᨭ£ã«ïà­® ¢ ­ ç «¥ ª®®à¤¨­ â.

à ¢­¥­¨¥ (6.156) ¬®¦­® ¨­â¥à¯à¥â¨à®¢ âì, ª ª ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï (áç¨â ï r ¢à¥¬¥­¥¬!) ç áâ¨æë, ¤¢¨¦ã饩áï ¢ ¯®â¥­æ¨ «¥ ¬¨­ãá U , ¯®ª § ­­®¬ ­ ¨á.6- 15, ¨ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ § ¢¨áï饩 ®â ¢à¥¬¥­¨ ᨫë â७¨ï ( 1r ᪮à®áâì). áâ¨æ áâ àâã¥â ¨§ á®áâ®ï­¨ï ¯®ª®ï (áà.(6.158)) ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ r = 0 ¨, ¯à¨ ­ ¤«¥¦ - 饬 ¢ë¡®à¥ ­ ç «ì­®© ¯®§¨æ¨¨, ®áâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ¯à¨ r ! 1 ¢ â®çª¥ + { â ª®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨­áâ ­â®­ã. 祢¨¤­®, çâ® íâ® à¥è¥­¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â:

áâ¨æ , ®â¯ã饭­ ï ¯à ¢¥¥ 0 ­¥ ¤®¥¤¥â ¤® +, ¤«ï í⮣® ¥© ­¥ å¢ â¨â í­¥à- £¨¨ ¨§-§ â७¨ï.

᫨ ¬ë ¯à ¢¨«ì­® ¢ë¡¥à¥¬ ­ ç «ì­ãî â®çªã «¥¢¥¥ 0, ­® ¯à ¢¥¥ ;, ¬ë ¬®¦¥¬ ¤®¡¨âìáï, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å r ç áâ¨æ ¯®¤®©¤¥â ª + ¨ â ¬ ®áâ ­®¢¨âáï.

á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤«ï ¢¡«¨§¨ ; ¬ë ¬®¦¥¬ «¨­¥ ਧ®¢ âì ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ¨

§ ¯¨á âì ¥£® ¢ ¢¨¤¥:

d2

3 d

2

dr

r dr ;

;

2

+

(

;) = 0

(6.159)

£¤¥ 2 = U00( ;). â® ãà ¢­¥­¨¥ ¤®áâ â®ç­® «¥£ª® à¥è ¥âáï [58], ¨ à¥è¥­¨¥ ¢ë- à ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­ãî äã­ªæ¨î ¥áᥫï. ®£¤ ¢¨¤­®, çâ® ¥á«¨ ¬ë ¢ë¡¥à¥¬ (0) ¤®áâ â®ç­® ¡«¨§ª® ª ;, ¬ë ¬®¦¥¬ ¤®¡¨âìáï, çâ® ¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å

8 â® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ¬®¦­® áâண® ®¡®á­®¢ âì { áä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥âà¨ç­ë© ¨­áâ ­â®­ ®¡« ¤ ¥â ­ ¨¬¥­ì訬 ¤¥©á⢨¥¬.

177

r ç áâ¨æ ®áâ ­¥âáï ᪮«ì - 㣮¤­® ¡«¨§ª® ª ;. ® ¤«ï ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å r ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì â७¨¥¬, ¯®áª®«ìªã ®­® 1=r. ® ¥á«¨ â७¨ï ­¥â, â® ç áâ¨æ ¯¥à¥ª â¨âáï ç¥à¥§ £®àªã á ¢¥à設®© ¢ +. â® ®§­ ç ¥â, çâ® ¢ ­ 襩 § ¤ ç¥ ¢á¥£¤

áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ ï â®çª (¬¥¦¤ã ; ¨ 0), áâ àâãï á ª®â®à®© ç áâ¨æ ¯à¨
r ! 1 ®áâ ­®¢¨âáï ¢ +.
ãáâì U+( ) { ­¥ª®â®à ï ç¥â­ ï äã­ªæ¨ï :
U+( ) = U+(; )				(6.160)
á ¬¨­¨¬ã¬®¬ ¢ â®çª å a:
+
U0 (		a) = 0		(6.161)
¯à¥¤¥«¨¬
2 = U00			( a)	(6.162)
		+
®¡ ¢¨¬ ª U+ ¬ «¥­ìªãî ¤®¡ ¢ªã, ­ àãè îéãî ᨬ¬¥âà¨î ¬¨­¨¬ã¬®¢:
U = U+ + "( ; a)=2a " > 0				(6.163)

â® ¯à®áâ® ª®­ªà¥â¨§¨àã¥â ¢¨¤ ­ 襣® ¯®â¥­æ¨ « . ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® " ¨¬¥¥¬:

= a

(6.164)

¥«¨ç¨­ " ®¯à¥¤¥«ï¥â à §­®áâì í­¥à£¨© ¬¥¦¤ã ¨á⨭­ë¬ ¨ \«®¦­ë¬" ¢ ªã㬮¬.

롥६ ­ ç «ì­ãî ¯®§¨æ¨î ç áâ¨æë (0) ®ç¥­ì ¡«¨§ª® ª ;. ®£¤ ç áâ¨æ ®áâ - ¥âáï ¢¡«¨§¨ ; ¤® ª ª®£®-â® ¡®«ì讣® ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ r = R, ¯®á«¥ í⮣® ®­ ¡ëáâà® ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ¤®«¨­ã ¨ ¬¥¤«¥­­® ¯à¨¡«¨¦ ¥âáï ª + ¯à¨ r ! 1. ª¨¬ ®¡à §®¬ ­ è ¨­áâ ­â®­ ¢ë£«ï¤¨â ª ª ¡®«ì让 ç¥âëà¥å¬¥à­ë© áä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥- âà¨ç­ë© \¯ã§ëàì" à ¤¨ãá R á â®­ª®© á⥭ª®©, à §¤¥«ïî騩 \«®¦­ë©" ¢ ªãã¬

+ (¢­¥ ¯ã§ëàï) ¨ ¨á⨭­ë© ¢ ªã㬠; (¢­ãâਠ¯ã§ëàï). ®®â¢¥âá⢥­­®, ­ è ¯ã-
§ëàì (¨­áâ ­â®­) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© § தëè ­®¢®£® (¨á⨭­®£®) ¢ ªãã¬				¢­ãâà¨
¬¥â áâ ¡¨«ì­®£® (\«®¦­®£®") ¢ ªã㬠.
«ï r R ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì â७¨¥¬,		â ª¦¥ " { § ¢¨áï騬 ç«¥­®¬ ¢ U . ®£¤
ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤:
2
d	=	U0		(6.165)
			( )
dr2		+

çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª« áá¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ç áâ¨æë ¢ ¤¢ãåêשּׂ®¬ ¯®â¥­æ¨ «¥, ª®â®à®¥ ¯®¤à®¡­® ­ «¨§¨à®¢ «®áì ¢ëè¥. ­® ¨¬¥¥â ᢮¨¬ à¥è¥­¨¥¬ ¨§¢¥áâ­ë© 㦥 ­ ¬ ¯à®á⥩訩 ®¤­®¬¥à­ë© ¨­áâ ­â®­ ¨á.6-9 (ª®â®àë© ®¯¨áë¢ ¥â ¯¥à¥å®¤ ¨§ ;a ¢ +a ¯à¨ à®á⥠r ç¥à¥§ ¬®¬¥­â \¢à¥¬¥­¨" R). ª®¢® ¯à¨¡«¨¦¥­­®¥ ®¯¨á ­¨¥ ¨­áâ ­â®­ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ¯®«¥¢®© § ¤ ç¥.

® ¬ë ¥é¥ ­¥ ®¯à¥¤¥«¨«¨ R. ¥©á⢨¥ ­ ¨­áâ ­â®­¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

		1			1			2
	2			3		d
S = 2		Z0	drr		"2	dr		+ U ( )#	(6.166)
â®â ¨­â¥£à « à §¡¨¢ ¥âáï ­	âਠ®¡« á⨠¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï: ¢­¥ ¯ã§ëàï, ¢¡«¨§¨ ¥£®

¯®¢¥àå­®á⨠¨ ¢­ãâà¨. ­ à㦨 ¬®¦­® áç¨â âì = + ¨ U = 0, â ª çâ® íâ®â ¢ª« ¤

¢ ¨­â¥£à « ¯à®áâ® à ¢¥­ ­ã«î (çâ®, ªáâ â¨, ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ª®­¥ç­®áâì ¤¥©áâ¢¨ï ­

178
			= ;", â ª ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩
	¨­áâ ­â®­¥). ­ãâਠ¯ã§ëàï ¨¬¥¥¬ = ;, U
	¢ª« ¤ ¢ ¨­â¥£à « ¥áâì:
	;	1
		2 2R4"	(6.167)

¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠¯ã§ëàï, â.¥. ¯à¨ r R, ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì ç«¥­®¬ " ¢ U , â ª çâ® ¨­â¥£à « ᢮¤¨âáï ª:

	dr "	1			2
2 2R3 Z			d	+ U+# = 2 2R3S1
		2	dr
£¤¥			a
	S1 = Z;a d p					2U+
{ ¤¥©á⢨¥ ®¤­®¬¥à­®£® ¨­áâ ­â®­			(6.120). ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬:

(6.168)

(6.169)

1	2	4	2	3
S = ;2	R " + 2			R	S1

¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì R ¨§ ãá«®¢¨ï íªáâ६ «ì­®á⨠¤¥©á⢨ï:

dRdS = ;2 2R3" + 6 2R2S1 = 0

çâ® ¤ ¥â:

R = 3S"1

	®£¤ ¨¬¥¥¬9:		27 2S14
	S0	=
			2"3

(6.170)

(6.171)

(6.172)

(6.173)

¥«¨ç¨­ã à ¤¨ãá ¯ã§ëàï (6.172) ¬®¦­® ­ ©â¨ ­ ®á­®¢¥ í«¥¬¥­â à­ëå í­¥à£¥â¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥- ­¨©, ¯à¨¬¥­ï¥¬ëå ¢ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å § தë襩 { ¢ë¨£àëè í­¥à£¨¨ ¢ ®¡ê¥¬¥ ¯ã§ëàï ¤®«¦¥­ ᪮¬¯¥­á¨à®¢ âì ¯à®¨£àëè, á¢ï§ ­­ë© á ¯®¢¥àå­®áâ­®© í­¥à£¨¥© á⥭®ª:

4 R3"	= 4 R2			çâ® ¨ ¤ ¥â R =	3		(6.174)
					"
3
£¤¥ { ¯®¢¥àå­®áâ­ ï í­¥à£¨ï á⥭ª¨. ­ 襬 á«ãç ¥ = S1.
¨â®£¥, ¤«ï ¢¥à®ïâ­®á⨠à ᯠ¤				\«®¦­®£®" ¢ ªãã¬	¯®«ãç ¥¬:
	;			exp(;S0)			(6.175)
		V

¥â¥à¬¨­ ­âë ¨ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª .

।íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë© ¬­®¦¨â¥«ì ¢ (6.175) á«¥¤ã¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ⥬ ¦¥ ᯮᮡ®¬, çâ® ¨ ¢ à áᬮâ७­®© ¢ëè¥ ª¢ ­â®¢®¬¥å ­¨ç¥áª®© § ¤ ç¥. ® âãâ ¥áâì ¢ ¦­ë¥ ®â«¨ç¨ï ¨ ¢®¯à®áë:

1.ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥ áãé¥á⢮¢ « ⮫쪮 ®¤­ ­ã«¥¢ ï âà ­á«ï樮­­ ï ¬®¤ , §¤¥áì ¨å ç¥âëà¥.

9 è¥ à áᬮâ७¨¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¬ «ëå " ¨ ¢ ¯à¥¤¥«¥, ª®£¤ à ¤¨ãá ¯ã§ëàï ¬­®£® ¡®«ìè¥ â®«é¨­ë ¥£® á⥭ª¨: R ;1, ç⮠᢮¤¨âáï ª ãá«®¢¨î 3S1 ".

179

2.¬ ¡ë«® ¢¥áì¬ áãé¥á⢥­­®, çâ® áãé¥á⢮¢ «® ⮫쪮 ®¤­® ®âà¨æ ⥫쭮¥ ᮡá⢥­­®¥ §­ 祭¨¥, ¯à¨¢®¤¨¢è¥¥ ª ¢®§­¨ª­®¢¥­¨î ¬­¨¬®£® ¢ª« ¤ . ª «¨ íâ® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥?

3.ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï áãé¥áâ¢ãîâ ã«ìâà 䨮«¥â®¢ë¥ à á室¨¬®á⨠¨

­ã¦­® ¯à®¢®¤¨âì ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã. ª®¢ ¨å à®«ì §¤¥áì?

áᬮâਬ á­ ç « ¢®¯à®á ® ­ã«¥¢ëå ¬®¤ å. à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥ ¨¬¥¥âáï ç¥âëॠ­ ¯à ¢«¥­¨ï âà ­á«ï権 ¨­áâ ­â®­ (®­ ¬®¦¥â ¡ëâì à ᯮ«®¦¥­ ¢ «î- ¡®© â®çª¥ ç¥âëà¥å¬¥à­®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà ­á⢠), ᮮ⢥âá⢥­­® áãé¥áâ¢ã¥â ç¥âëॠᮡá⢥­­ë¥ ä㭪樨 ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ®¯¥à â®à , á¢ï§ ­­®£® á® ¢â®-

ன ¢ ਠ樮­­®© ¯à®¨§¢®¤­®© ¤¥©á⢨ï, á ­ã«¥¢ë¬¨ ᮡá⢥­­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨.

⨠ä㭪樨 @ . á«®¢¨¥ ¨å ­®à¬¨à®¢ª¨ ᢮¤¨âáï ª:

Z		4		1		Z		4
	d		x@ @ =	4			d		x@ @	= S0	(6.176)

१ã«ìâ ⥠¢ ¯à¥¤íªá¯®­¥­â¥ (6.175) ¢®§­¨ª ¥â ç¥âëॠ¬­®¦¨â¥«ï ;S0 1=2 ¢¬¥áâ®

®¤­®£®.

2

®ª § ⥫ìá⢮ ¯®á«¥¤­¥£® à ¢¥­á⢠¢ (6.176) ᢮¤¨âáï ª á«¥¤ãî饬ã. áᬮâਬ (x) =(x= ). ®£¤ ¤¥©á⢨¥:

	1		2	Z	4	2		4	Z		4
S( ) =	2				d	x(@ )	+			d		xU( )	(6.177)

®бª®«мªг п¢«п¥вбп а¥и¥­¨¥¬ га ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨п, ¤®«¦­® ¢л¯®«­пвмбп гб«®¢¨¥ бв ж¨®­ а- ­®бв¨ ¤¥©бв¢¨п (6.177) ¯а¨ = 1. в® ¤ ¥в:

	Z	4	2	= ;4 Z			4
¨«¨		d	x(@ )			d		xU( )
			1	4		2
		S0 = 4 Z
				d	x(@ )		> 0
	â ª, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¯à¥¤íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë© ä ªâ®à ¢ ¢¨¤¥:

(6.178)

(6.179)

	2	Det0	[;@ @ + U00		;1=2
K =	S0			( )]	;	(6.180)
	4 2	Det[;@ @ + U00( + )]

¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨, çâ® á ®âà¨æ ⥫ì­ë¬¨ ᮡá⢥­­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨ ¨ ¯¥à¥­®à¬¨- ஢ª®© ¯à®¡«¥¬ ­¥ ¢®§­¨ª ¥â.

â® ª á ¥âáï ®âà¨æ ⥫ì­ëå ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨©, â® íâ® ¤¥©á⢨⥫쭮 â ª.

®­ïâ­®, çâ® 2 S (­ ¨­áâ ­â®­¥) ¨¬¥¥â å®âï ¡ë ®¤­® ®âà¨æ ⥫쭮¥ ᮡá⢥­­®¥

2

§­ 祭¨¥. ®¦­® áâண® ¯®ª § âì, çâ® ¡®«¥¥ ®¤­®£® ®âà¨æ ⥫쭮£® ᮡá⢥­­®£® §­ 祭¨ï ¢ í⮩ § ¤ ç¥ ­¥ ¢®§­¨ª ¥â [58]. ®í⮬ã (6.175) ¤¥©á⢨⥫쭮 ¤ ¥â ¢¥- à®ïâ­®áâì à ᯠ¤ .

஡«¥¬ã ¯à®¢¥¤¥­¨ï ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨ (6.175) ¬ë ¯®¤à®¡­® ®¡á㦤 âì ­¥ ¡ã¤¥¬. ¯à¨­æ¨¯¥, ¤®áâ â®ç­® ïá­®, çâ® ¢ ⥮à¨ïå á ¯¥à¥­®à¬¨àã¥¬ë¬ U('), ¢á¥ ¢ëà ¦¥­¨ï, ¢ª«îç ï (6.180), ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ç¥à¥§ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¨ ᤥ« âì, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®­¥ç­ë¬¨. ¥ª®â®àë¥ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ¯®¤à®¡­®á⨠¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [58].

ã§ëàì, à áè¨àïî騩áï ¢ ॠ«ì­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ { ¢à¥¬¥­¨ ¨­ª®¢áª®£®, ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ­ «¨â¨ç¥áª¨¬ ¯à®¤®«¦¥­¨¥¬ ¨­áâ ­â®­ :

	2	2
(x0; x) = (r = qjxj		; x0)	(6.181)