Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

5.1. ьмелфтпощ об жетнй-рпœетиопуфй

91

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ УРТБŒЕДМЙŒП ЛБЛ ДМС ЖЕТНЙ-, ФБЛ Й ДМС ВПЪЕ-УФБФЙУФЙЛЙ. еУМЙ УПВУФŒЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ Й НБФТЙЮОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ Amk , Bmk ЙЪŒЕУФОЩ, ŒЩТБЦЕОЙЕ (5.4) РПЪŒПМСЕФ ОБКФЙ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ 2. œ УМХЮБСИ ЦЕ, ЛПЗДБ УПВУФŒЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ ОЕЙЪŒЕУФОЩ, ЖПТНХМБ (5.4) ОЕ ПУПВЕООП РПМЕЪОБ.

дМС ФБЛЙИ ВПМЕЕ УМПЦОЩИ УМХЮБЕŒ РПМЕЪОП ЙНЕФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ ОЕРПУТЕДУФŒЕООП ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. лБЛ ЙЪŒЕУФОП, РТЙЮЙООЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ

Gc(x; x ) = −i T ¸ (x) ˛+(x ) ;

(5.5)

ŒŒЕДЕООЩЕ Œ (2.8), РПМОПУФША ПРЙУЩŒБАФ ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ УЙУФЕНЩ Й ДБАФ ŒУЕ УФБФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ 3. пДОБЛП, ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ЙЪХЮБФШ ДЙОБНЙЛХ У РПНПЭША

ЬФЙИ ЖХОЛГЙК ОЕМШЪС (УН. ТЕЫЕОЙЕ ЪБДБЮЙ 24 В). юФПВЩ РТЕПВТБЪПŒБФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (5.4) Л ЖПТНЕ, УПДЕТЦБЭЕК ЗТЙОПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ, ОХЦОП ЙУРПМШЪПŒБФШ ЪБРБЪДЩ-

ŒБАЭЙЕ Й ПРЕТЕЦБАЭЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ.	GR(t; t ) É
оБРПНОЙН ПРТЕДЕМЕОЙЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК Й ПРЕТЕЦБАЭЕК ЖХОЛГЙК
GA(t; t ). ьФЙ ЖХОЛГЙЙ УŒСЪБОЩ У РТЙЮЙООПК ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ ФБЛ:
Gc(t; t ) = GA(t; t ); t < t :	(5.6)
GR(t; t ); t > t ;

œ ЮБУФПФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ GR(") É GA(") ЙНЕАФ РТПУФПК УНЩУМ: ПОЙ ДБАФ ТБЪМПЦЕОЙЕ Gc ОБ ЖХОЛГЙЙ ЮБУФПФЩ, ТЕЗХМСТОЩЕ, УППФŒЕФУФŒЕООП, Œ ŒЕТИОЕК ЙМЙ Œ ОЙЦОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ. оБРТЙНЕТ, Œ УМХЮБЕ ЖЕТНЙПОПŒ

GR(A)("; p) = 1=(" − ‰(p) ± i‹)

(5.7)

УППФŒЕФУФŒХАФ ŒЛМБДБН ЮБУФЙГ Й ДЩТПЛ Œ РТЙЮЙООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ:

Gc("; p) = (1 − n(p))GR("; p) + n(p)GA("; p) =
=	1 − n(p)	+	n(p)	;	(5.8)
	" − ‰(p) + i‹		" − ‰(p) − i‹

ÇÄÅ n(p) = 1; |p| < p0 | ЖЕТНЙЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС. 0; |p| > p0

юФПВЩ ŒЩТБЪЙФШ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЮЕТЕЪ GR(") É GA("), РТЕДУФБŒЙН ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛЙК ЪОБНЕОБФЕМШ Œ (5.4) Œ ŒЙДЕ ЙОФЕЗТБМБ РП ŒУРПНПЗБФЕМШОПК РЕТЕНЕООПК:

Ek −Em −! −i‹ =	2ıi	("+! −Ek −i‹)("−Em +i‹) =
1	1	d"
= 2ıi	GkA(" + !)GmR (") d" ;		(5.9)
1

2оБРТЙНЕТ, ДМС ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ УПВУФŒЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ | РМПУЛЙЕ ŒПМОЩ, Б НБФТЙЮОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ ПРЕТБФПТПŒ | РТПУФП ЙИ ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФЩ, ФБЛ ЮФП ОБИПЦДЕОЙЕ МАВПЗП МЙОЕКОПЗП ПФЛМЙЛБ У РПНПЭША (5.4) | РП УХЭЕУФŒХ, ФТЙŒЙБМШОП (УН. ЪБДБЮЙ 24, 25).

3оБРТЙНЕТ, ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ РМПФОПУФЙ, УРЙОБ, УФБФЙЮЕУЛХА РПМСТЙЪХЕНПУФШ (ЪБДБЮЙ 7, 8, 14, 23)

92	змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ

ÇÄÅ GAk (" + !) É GRm(") | ЪБРБЪДЩŒБАЭБС Й ПРЕТЕЦБАЭБС ЖХОЛГЙЙ, ŒЪСФЩЕ Œ ДЙБЗПОБМШОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. рПДУФБŒМСС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ (5.4), РПМХЮБЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ:

(!) =

2ıi

Tr

GA(" + !)B ; GR(")A j

d" :

(5.10)

1

m

A

R

ъДЕУШ j

| НБФТЙГБ РМПФОПУФЙ УЙУФЕНЩ (Œ ДЙБЗПОБМШОПН

РТЕДУФБŒМЕОЙЙ jmk =

n(E

)‹mk ); ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ ЛŒБДТБФОЩИ УЛПВЛБИ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ЛПННХФБФПТ ПРЕ-

ТБФПТПŒ G

(" + !)B

É G

(")A.

пУОПŒОПЕ РТЕЙНХЭЕУФŒП ŒЩТБЦЕОЙС (5.10) РП УТБŒОЕОЙА У (5.4) Œ ФПН, ЮФП ПОП ŒЕТОП Œ РТПЙЪŒПМШОПН ВБЪЙУЕ Й, ЪОБЮЙФ, НПЦЕФ ВЩФШ ЙУРПМШЪПŒБОП ДБЦЕ ЕУМЙ УПВУФŒЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ ОЕЙЪŒЕУФОЩ. оБЙВПМЕЕ ŒБЦОЩК РТЙНЕТ ФБЛПК УЙФХБГЙЙ РТЕДУФБŒМСАФ ЪБДБЮЙ П РТПŒПДЙНПУФЙ Й ДЙЖЖХЪЙЙ ЖЕТНЙПОПŒ Œ УМХЮБКОПН РПФЕОГЙБМЕ, ЛПФПТЩЕ НЩ ТБУУНПФТЙН Œ ЗМ. 9. œ УМХЮБКОПН РПФЕОГЙБМЕ УПВУФŒЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ НЕОСАФУС ПФ ПДОПК ТЕБМЙЪБГЙЙ РПФЕОГЙБМБ Л ДТХЗПК, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ЙОФЕТЕУ РТЕДУФБŒМСАФ ŒЕМЙЮЙОЩ, ХУТЕДОЕООЩЕ РП УМХЮБКОПНХ РПФЕОГЙБМХ. нЩ ХŒЙДЙН, ЮФП ХУТЕДОСФШ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Й ЙИ РТПЙЪŒЕДЕОЙС ПЛБЪЩŒБЕФУС ЗПТБЪДП ХДПВОЕЕ, ЮЕН ДЕКУФŒПŒБФШ ĂŒ МПВĄ,

ЙУРПМШЪХС (5.4).

мЙФЕТБФХТБ: пУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ Й ЛПТТЕМСГЙПООБС ЖХОЛГЙС ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙЗБЪБ ТБУУНПФТЕОЩ Œ [3], § 9.1{9.3 ВЕЪ ЙУРПМШЪПŒБОЙС ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. йОФЕТЕУОП УТБŒОЙФШ ЬФПФ РПДИПД У ВПМЕЕ УФБОДБТФОЩН ЙЪМПЦЕОЙЕН | УН. [5], § 53, 55 { 58, Б ФБЛЦЕ [6], § 1 É [1], § 2. пРТЕДЕМЕОЙЕ Й УŒПКУФŒБ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ{ЗБЪБ ПВУХЦДБАФУС Œ [6], § 9, 10. пВПВЭЕООБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ Й ЖПТНХМБ лХВП ТБУУНПФТЕОЩ Œ [5], § 123, 126. у РТЙНЕОЕОЙСНЙ ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ Œ ФЕПТЙЙ НОПЗПЬМЕЛФТПООПЗП БФПНБ НПЦОП ПЪОБЛПНЙФШУС РП [2], § 70, Б У РТЙНЕОЕОЙСНЙ Œ ФЕПТЙЙ НЕФБММПŒ | РП [3], ЗМ. IX Й [6], § 61.

5.2. ъБДБЮЙ 22 { 27

ъБДБЮБ 22. (жХОЛГЙС зТЙОБ Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ.) оБКДЙФЕ ЖХОЛГЙА зТЙОБ G("; r1 − r2) ÐÒÉ |r1 − r2|p0 1 ДŒХНС УРПУПВБНЙ: УОБЮБМБ ЙОФЕЗТЙТХС РП ‰ ПФ −∞ ÄÏ +∞, Б ЪБФЕН ФПЮОП, ЙОФЕЗТЙТХС РП d3p. уТБŒОЙФЕ ТЕЪХМШФБФЩ.

ъБДБЮБ 23. (ьЖЖЕЛФ тХДЕТНБОБ-лЙФФЕМС.) œ ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ ОБИПДЙФУС МПЛБМЙЪПŒБООЩК УРЙО S, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙК У МПЛБМШОПК УРЙОПŒПК РМПФОПУФША ЬМЕЛФТПОПŒ:

ÇÄÅ i(r) = +(r) i ˛ (r).

= J Si i(r = 0) ;

(5.11)

Hint

¸

¸˛

i

оБКДЙФЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ РПМСТЙЪБГЙЙ УРЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ i

(r) =

(r) ОБ ВПМШЫЙИ

ТБУУФПСОЙСИ ПФ УРЙОБ S: |r|

p

0

1. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП

РПМСТЙЪБГЙС ПУГЙММЙТХЕФ, ЛБЛ

4

ЖХОЛГЙС ЛППТДЙОБФ, Й ПРТЕДЕМЙФЕ РЕТЙПД ПУГЙММСГЙЙ

. уЮЙФБКФЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ J

НБМЩН.

4ьФХ ЪБДБЮХ ХДПВОП ТЕЫБФШ, ЙУРПМШЪХС ЛППТДЙОБФОПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ДМС ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК (УН. ЪБДБЮХ 22).

5.2. ъбдбюй 22 { 27

93

ъБДБЮБ 24. Б) лПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ-РМПФОПУФШ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ Tn(r; t)n(r ; t ) ДБЕФУС УМЕДХАЭЕК ДЙБЗТБННПК:

òÉÓ. 5.1

оБКДЙФЕ ЬФПФ ЛПТТЕМСФПТ Œ ЮБУФПФОП-ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ РТЙ НБМЩИ !

EF , |k| p0.

В) (дЙОБНЙЮЕУЛБС УРЙОПŒБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ.) оБКДЙФЕ РБТБНБЗОЙФОЩК ŒЛМБД Œ НБЗОЙФОХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ (!; k) ЬМЕЛФТПООПЗП ЗБЪБ РТЙ T = 0, Ф. Е. ПФЛМЙЛ УРЙОПŒПК РПМСТЙЪБГЙЙ Œ ПФŒЕФ ОБ РТЙМПЦЕООПЕ РЕТЕНЕООПЕ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ. уЮЙФБКФЕ, ЮФП |!| EF , |k| p0. рТПŒЕТШФЕ, ЮФП Œ РТЕДЕМЕ !=k → 0; k → 0, РПМХЮБЕФУС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ рБХМЙ = 2—2B 0, ÇÄÅ 0 = p0m=(2ı2h—3) | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ОБ ХТПŒОЕ жЕТНЙ.

ъБДБЮБ 25. (пФЛМЙЛ РМПФОПУФШ-РМПФОПУФШ РТЙ D=1.) тБУУНПФТЙН ПДОПНЕТОЩК

ЖЕТНЙ-ЗБЪ ŒП ŒОЕЫОЕН РЕТЕНЕООПН РПМЕ,

Hint(t) = −	’(x; t) n(x; t) dx :	(5.12)

тБУУНПФТЙН МЙОЕКОЩК ПФЛМЙЛ РМПФОПУФЙ n(x; t) ОБ РПМЕ ’(x; t). еЗП НПЦОП ЪБРЙУБФШ
ÔÁË:
n(x; t) =		Q(x − x ; t − t ) ’(x ; t ) dx dt ;	(5.13)
	t <t

ЙМЙ, Œ жХТШЕ-РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, nk;! = Q(k; !) ’k;!. жХОЛГЙА ПФЛМЙЛБ Q(k; !) НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ, РПМШЪХСУШ ЖПТНХМПК лХВП, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 24 В, У ЪБНЕОПК ПРЕТБФПТПŒ РМПФОПУФЙ УРЙОБ ОБ ПРЕТБФПТЩ РМПФОПУФЙ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ.

оБКДЙФЕ Q(k; !) РТЙ НБМЩИ k Й !, |k| p0; |!| EF . уТБŒОЙФЕ У ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ ЖПОПОПŒ (4.7).

ъБДБЮБ 26. (жМХЛФХБГЙЙ ЮЙУМБ ЖЕТНЙПОПŒ ОБ РТСНПК.) дМС ЗБЪБ ВЕУУРЙОПŒЩИ

ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ ОБ РТСНПК ЪБРЙЫЙФЕ ПРЕТБФПТ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ ŒОХФТЙ ЙОФЕТŒБМБ

NL

0 < x < L (ÓÍ. [5], § 117). дМС ВПМШЫЙИ L p−0 1 РПМХЮЙФЕ ЖПТНХМХ

‹NL2 = NL2 − NL 2 = (ln p0L)=ı2 : :

(5.14)

мАВПРЩФОП, ЮФП ЖМХЛФХБГЙЙ (5.14) ОЕЬЛУФЕОУЙŒОЩ (ОЕБДДЙФЙŒОЩ РП ДМЙОЕ ЙОФЕТŒБМБ), Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ЛМБУУЙЮЕУЛЙИ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙИ ЖМХЛФХБГЙК. оЕЬЛУФЕОУЙŒОПУФШ ЕУФШ РТПСŒМЕОЙЕ ЛŒБОФПŒЩИ ЛПТТЕМСГЙК. рТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ ЬЛУФЕОУЙŒОПУФШ ŒПУУФБОБŒМЙŒБЕФУС ОБ НБУЫФБВБИ, РТЕŒПУИПДСЭЙИ ФЕРМПŒХА ДМЙОХ: L LT = hv— F =T .

94	змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ

вПМЕЕ ФТХДОЩН ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒПРТПУ П ОБИПЦДЕОЙЙ РПМОПК УФБФЙУФЙЛЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЮЙУМБ ЮБУФЙГ Œ ЛПОЕЮОПН ЙОФЕТŒБМЕ. у РПНПЭША НЕФПДБ ВПЪПОЙЪБГЙЙ, ЙЪМПЦЕООПЗП Œ ЗМ. 12, НПЦОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ŒЕТПСФОПУФЕК ОПТНБМШОПЕ:

P (n) ≈ exp −(n − a)2=2b	;	(5.15)

ÇÄÅ a = NL , b = NL2 . ьМЕНЕОФБТОПЕ ТЕЫЕОЙЕ ЬФПК ЪБДБЮЙ БŒФПТБН ОЕЙЪŒЕУФОП.

ъБДБЮБ 27*. (лБФБУФТПЖБ ПТФПЗПОБМШОПУФЙ.) œ ЙДЕБМШОЩК ЖЕТНЙ-ЗБЪ ŒОПУСФ РТЙНЕУШ, ОБ РПФЕОГЙБМЕ U (r) ЛПФПТПК ЮБУФЙГЩ НПЗХФ ХРТХЗП ТБУУЕЙŒБФШУС. пЛБЪЩŒБЕФУС, ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ УЙУФЕНЩ РТЙ ЬФПН РПМОПУФША ЙЪНЕОСЕФУС, ДБЦЕ ЕУМЙ РПФЕОГЙБМ U (r) РТПЙЪŒПМШОП НБМ. œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ТБУУЕСОЙЕ РТПЙУИПДЙФ ФПМШЛП Œ s{ ЛБОБМЕ, НПЦОП РПМХЮЙФШ УМЕДХАЭХА ПГЕОЛХ ДМС ЙОФЕЗТБМБ РЕТЕЛТЩФЙС УПУФПСОЙК 5:

ÇÄÅ	|	0		É	|	0		0 |0 ≈ (p0L)−¸ ; ¸ = ‹02=ı2 ;	(5.16)
								6	0
								| ПУОПŒОЩЕ УПУФПСОЙС ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ ДП Й РПУМЕ ŒОЕУЕОЙС РТЙНЕУЙ, ‹

| ЖБЪБ ТБУУЕСОЙС Œ s{ЛБОБМЕ РТЙ " = EF , Б L | ТБЪНЕТ УЙУФЕНЩ .

ьФПФ ХДЙŒЙФЕМШОЩК Й ŒБЦОЩК ТЕЪХМШФБФ ВЩМ ŒОБЮБМЕ РПМХЮЕО ЬМЕНЕОФБТОЩНЙ УТЕДУФŒБНЙ, РХФЕН СŒОПЗП ŒЩРЙУЩŒБОЙС УМЬФЕТПŒУЛПЗП ДЕФЕТНЙОБОФБ Й ПГЕОЛЙ ЙОФЕЗТБМБ РЕТЕЛТЩФЙС 7. рПРЩФБЕНУС РЕТЕŒЕУФЙ ЪБДБЮХ П РЕТЕЛТЩФЙЙ ПУОПŒОЩИ УПУФПСОЙК ОБ СЪЩЛ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ. вХДЕН ŒЛМАЮБФШ РПФЕОГЙБМ РТЙНЕУЙ РМБŒОП ПФ

t = −∞ ÄÏ t = 0:		U (r) +(r) (r) d3r:	(5.17)
Hint(t) = e‚t

тБУУНПФТЙН УТЕДОЕЕ S-НБФТЙГЩ РП ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА ЖЕТНЙ-ЗБЪБ РТЙ U (r) = 0,

K‚ = %T exp −i 0				Hint(t) dt&	:	(5.18)
			−∞
ðÒÉ ‚ → 0 ŒЕМЙЮЙОБ K‚ УФТЕНЙФУС Л 0|0 . (рПЮЕНХ?)
Б) рПЛБЦЙФЕ, ЮФП			∞
				Fn=n ;
		ln K‚ =				(5.19)
			n=1
ÇÄÅ	: : :		T Hint(t1) : : : Hint(tn) dtn : : : dt1 ;			(5.20)
Fn = (−i)n

РТЙЮЕН : : : ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ХЮЙФЩŒБАФУС ФПМШЛП УŒСЪОЩЕ ЗТБЖЙЛЙ (УН. ФЕПТЕНХ П ТБЪМПЦЕОЙЙ РП УŒСЪОЩН ДЙБЗТБННБН Œ [1], § 15).

В) йЪПВТБЪЙФЕ ЗТБЖЙЮЕУЛЙ F1; F2; F3. уЛПМШЛП ЗТБЖЙЛПŒ УППФŒЕФУФŒХЕФ ЛБЦДПНХ Fn? лБЛЙЕ ŒЩТБЦЕОЙС УПРПУФБŒМСАФУС ЗТБЖЙЮЕУЛЙН ЬМЕНЕОФБН? лБФБУФТПЖЕ ПТФПЗПОБМШОПУФЙ ПФŒЕЮБЕФ K‚→0 → 0, Ô. Å.

Re ln K‚ → −∞ ÐÒÉ ‚ → 0 :

(5.21)

5дМС ВЕУУРЙОПŒЩИ ЖЕТНЙПОПŒ РПЛБЪБФЕМШ УФЕРЕОЙ Œ (5.16) ЕУФШ ¸ = ‹02=(2ı2). 6L ≈ 2ıN1=3=p0, ÇÄÅ N | РПМОПЕ ЮЙУМП ЮБУФЙГ.

7P. W. Anderson, Phys. Rev. Lett., v. 18, p. 1049 (1967)

5.3. теыеойс								95
рПЛБЦЙФЕ, ЮФП F1 ДБЕФ ЮЙУФП НОЙНЩК ŒЛМБД, ЙНЕАЭЙК УНЩУМ РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ ЬОЕТ-
ЗЙЙ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС. б ŒПФ	ÕÖÅ Re F			2 ln	‚	. уЮЙФБС	U	(r) УМБВЩН Й ЙУРПМШЪХС
		(3)
РТЙВМЙЦЕОЙЕ ‹-ЖХОЛГЙЙ U (r) = ¸‹			(r), ОБКДЙФЕ Re F2 Й ПГЕОЙФЕ K‚ , ПФВТПУЙŒ ŒЛМБ-

ÄÙ Fn ВПМЕЕ ŒЩУПЛПЗП РПТСДЛБ.

Œ) лБЛЙН ПВТБЪПН, ЪОБС K‚ , НПЦОП ПГЕОЙФШ РЕТЕЛТЩФЙЕ ПУОПŒОЩИ УПУФПСОЙК0|0 ? рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ДМС ЬФПЗП УМЕДХЕФ РПМПЦЙФШ ‚ РПТСДЛБ ПВТБФОПЗП ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ ХТПŒОСНЙ Œ УЙУФЕНЕ, УППФŒЕФУФŒХАЭЙНЙ УПУФПСОЙСН У ХЗМПŒЩН НПНЕОФПН l = 0.

œ РТЙМПЦЕОЙСИ ЮБУФП ŒПЪОЙЛБЕФ ŒПРТПУ П ЛБФБУФТПЖЕ ПТФПЗПОБМШОПУФЙ ДМС РТПЙЪŒПМШОПЗП РПФЕОГЙБМБ, ОЕ ПВСЪБФЕМШОП УМБВПЗП. лБЛ ВХДЕФ РПЛБЪБОП Œ ЗМ. 12 (ЪБДБЮБ 78), Й Œ ЬФПН УМХЮБЕ НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ РЕТЕЛТЩФЙЕ УФБТПЗП Й ОПŒПЗП ПУОПŒОЩИ УПУФПСОЙК ЮЕТЕЪ ЖБЪЩ ТБУУЕСОЙС. рТЙЮЕН ЕУМЙ ЙНЕЕФУС ФПМШЛП s-ТБУУЕСОЙЕ, ЖПТНХМБ (5.16) ПУФБЕФУС УРТБŒЕДМЙŒПК.

5.3. тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 22. оБКДЕН ЖХОЛГЙА зТЙОБ, ЙОФЕЗТЙТХС РП ‰. оБЮОЕН У ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ХЗМБН:

G("; r) =	" − ‰(p) + i‹ sign " (2ı)2							=
		eipr cos „				p2dp sin „d„
		1	∞			p sin pr dp
	=	2ı2r		"	−	‰(p) + i‹ sign "	;	(5.22)
			0

ÇÄÅ ‰(p) = p2=2m−EF . œЩТБЦБЕН p ЮЕТЕЪ ‰ Й ЙОФЕЗТЙТХЕН РП ‰ ŒЩЮЕФБНЙ, РТЕДУФБŒЙŒ УЙОХУ ЛБЛ ТБЪОПУФШ ЬЛУРПОЕОФ:

G("; r) = 2ı2r	"		‰ + i‹ sign "	vF	=
1	+∞ sin(p0 + ‰=vF )r			p0d‰
	−∞	−
	m	eir(sign "p0+|"|=vF ) :			(5.23)
= −2ır

оБКДЕООБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ПУГЙММЙТХЕФ У РЕТЙПДПН, ТБŒОЩН ЖЕТНЙЕŒУЛПК ДМЙОЕ ŒПМОЩ –0 = 2ıh=p— 0. йЪ{ЪБ ЬЖЖЕЛФПŒ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ ЖБЪБ ПУГЙММСГЙК НЕОСЕФ ЪОБЛ ОБ ХТПŒОЕ жЕТНЙ (РТЙ " = 0).

фЕРЕТШ ŒЩРПМОЙН ФПЮОПЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП p. œЩТБЦЕОЙЕ (5.22) ЕУФШ ЮЕФОБС ЖХОЛГЙС p, РПЬФПНХ НПЦОП ТБУРТПУФТБОЙФШ ЙОФЕЗТБМ РП p ОБ ŒУА ŒЕЭЕУФŒЕООХА ПУШ Й ТБЪДЕМЙФШ ТЕЪХМШФБФ РПРПМБН:

1	∞				p sin pr dp
4ı2r		"	−	p2	=2m + EF + i‹ sign "	:	(5.24)
	−∞

¸+(r) ¸˛i ˛ (r) ЮЕТЕЪ

96	змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ

тБЪМБЗБЕН ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ОБ РТПУФЕКЫЙЕ ДТПВЙ Й ЙОФЕЗТЙТХЕН:

m	∞	κ		p −	1	sin pr dp =	−	m
4ı2r			1		κ + p			2ır	ei sign " κr ;	(5.25)
	−∞		−

ÇÄÅ κ = 2m(EF + " + i‹ sign "). œЙДЙН, ЮФП ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ‰ ДБЕФ ИПТПЫХА ФПЮОПУФШ РТЙ ЬОЕТЗЙЙ " НОПЗП НЕОШЫЕ ЖЕТНЙЕŒУЛПК, |"| EF .

тЕЫЕОЙЕ 23. ъБРЙЫЕН УРЙОПŒХА РПМСТЙЪБГЙА i(r) = ФПЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ:

i

r=r

i i

; t

i

Tr (

iG

lim

−

G

˛¸(r

; t

)

;

(5.26)

(r) = −

) = t →t+0

¸˛

; r

ЗДЕ РПДТБЪХНЕŒБЕФУС УХННЙТПŒБОЙЕ РП УРЙОПŒЩН ЙОДЕЛУБН ¸, ˛.

жХОЛГЙС зТЙОБ G ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА G0 ЖЕТНЙ-ЗБЪБ Œ ŒЙДЕ ТСДБ, БОБМПЗЙЮОПЗП ТСДХ (3.11) ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС, ТБУУНПФТЕООПНХ Œ ЗМ. 3. рТЙ ЬФПН

ПРЕТБФПТ	Hint = J
			Si‹(3)(r)			¸+(r) ¸˛i		˛ (r) d3r			(5.27)
	ŒПЪНХЭЕОЙС.
ЙЗТБЕФ ТПМШ РПФЕОГЙБМБ
йОФЕТЕУХАЭЙК ОБУ ЬЖЖЕЛФ ŒПЪОЙЛБЕФ Œ РЕТŒПН РПТСДЛЕ РП J :
	G¸˛(1)("; r; r ) = JSi ¸˛i G0("; r)G0("; −r ) :										(5.28)
рПДУФБŒМСЕН G¸˛(1) Œ (5.26):						G02("; r) 2ı :
	i(r) = −2iJSi										(5.29)
								d"
œПУРПМШЪХЕНУС ТЕЪХМШФБФПН (5.23) ЪБДБЮЙ 22 ДМС G0("; r) ÐÒÉ p0r 1:
	2ı G02("; r) =			2ır			e2ir(p0+"=vF )+
	d"			m		0
						2 ∞
	+e−2ir(p0r−"=vF )					d"		mp0	cos 2p	r
						2ı	= i	(2ı)3	r3 0	:	(5.30)
рПМХЮБЕН ЪБФХИБАЭЙЕ ПУГЙММСГЙЙ У РЕТЙПДПН ı=p0:
	i	(r) = J S			i mp0 cos 2p0r						(5.31)
					4ı3		r3	:

фПЮОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РМПФОПУФЙ УРЙОБ НПЦОП РПМХЮЙФШ, ŒЪСŒ ФПЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ (5.25) Й РТПЙОФЕЗТЙТПŒБŒ ЕЕ ЛŒБДТБФ Œ (5.29) РП ":

i(r) = J Si	2	ı3 0		x3	− x4		;	(5.32)
		mp4		cos x	sin x

5.3. теыеойс

97

ÇÄÅ x = 2p0r. œЙДЙН, ЮФП Œ БУЙНРФПФЙЛЕ, Ф. Е. ОБ ВПМШЫЙИ ТБУУФПСОЙСИ, ТЕЪХМШФБФ ŒУЕ ВПМЕЕ РТЙВМЙЦБЕФУС Л (5.31), ЮФП УПЗМБУХЕФУС У ĂЙДЕПМПЗЙЕКĄ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП

‰. лТПНЕ ФПЗП, ПФНЕФЙН, ЮФП УЙОЗХМСТОПУФШ ФПЮОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС (5.32) РТЙ НБМЩИ r ЙНЕЕФ ИБТБЛФЕТ r−1. фБЛЙН ПВТБЪПН, РТЙ ŒЪСФЙЙ ЙОФЕЗТБМБ РП d3r ТБУИПДЙНПУФЙ ДМС

РПМОПК РПМСТЙЪБГЙЙ ОЕ ŒПЪОЙЛБЕФ. œЩТБЦЕОЙЕ (5.31) ВПМЕЕ УЙОЗХМСТОП, ОП РТЙ НБМЩИ r РП УБНПНХ УŒПЕНХ РТПЙУИПЦДЕОЙА ПОП ОЕРТЙНЕОЙНП, РПУЛПМШЛХ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП

‰ЗБТБОФЙТХЕФ РТБŒЙМШОПУФШ ПФŒЕФБ ФПМШЛП ОБ ВПМШЫЙИ ТБУУФПСОЙСИ.

тЕЫЕОЙЕ 24 Б. ъБРЙЫЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ, УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ДЙБЗТБННЕ ОБ ТЙУ. 5.1:

˝(!; k) = −2i	G0("+; q+)G0("−; q−) (2ı)3	2ı ;	(5.33)
	d3q	d"

ÇÄÅ "± = " ± !=2; q± = q ± k=2, Б НОПЦЙФЕМШ 2 ŒПЪОЙЛБЕФ РТЙ УХННЙТПŒБОЙЙ РП УРЙОБН. œ ЙОФЕЗТБМЕ (5.33) УХЭЕУФŒЕООЩНЙ ПЛБЪЩŒБАФУС q± ŒВМЙЪЙ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ, РПЬФПНХ РТЙ |k| p0 ХДПВОП ТБЪМПЦЙФШ |q±| ÔÁË: |q±| = q ± (k=2) cos „, ЗДЕ „ | ХЗПМ НЕЦДХ ŒЕЛФПТБНЙ q Й k. фПЗДБ ЖХОЛГЙС

G0("±; q±) =	1	(5.34)
	;
	"± − ‰± + i‹ sign ‰±

ÇÄÅ ‰±(q) = ‰(q±) = ‰(q) ± (vF k=2) cos „. йОФЕЗТЙТХЕН (5.33) РП ", ЪБНЩЛБС ЛПОФХТ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ ! Й ТБУЛМБДЩŒБС РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ G0 ОБ РТПУФЕКЫЙЕ ДТПВЙ. йОФЕЗТБМ ПФМЙЮЕО ПФ ОХМС, ЕУМЙ РПМАУЩ ЖХОЛГЙК G0 МЕЦБФ Œ ТБЪОЩИ РПМХРМПУЛПУФСИ:

	(" + !=2 − ‰+ + i‹ sign ‰+) (" + !=2 − ‰− + i‹ sign ‰−) =
		d"
	=	2ıi [n(‰−) − n(‰+)]	;	(5.35)
		! − vF k cos „ + i‹ (sign ‰+ − sign ‰−)

ЗДЕ n(‰) | ЖЕТНЙЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ЪБРПМОЕОЙС. рПУЛПМШЛХ k НБМП, ТБЪОПУФШ n(‰−) − n(‰+) ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС Œ ФПОЛПН УМПЕ ŒВМЙЪЙ РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ. уМЕДПŒБФЕМШОП, НПЦОП РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РП ‰. œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ЪОБЛБ cos „ ŒПЪНПЦОЩ ДŒБ УМХЮБС:

(1) cos „ > 0. œЩТБЦЕОЙЕ (5.35) ПФМЙЮОП ПФ ОХМС РТЙ |‰| < (vF k=2) cos „, РТЙЮЕН n(‰−) − n(‰+) = −1;

(2) cos „ < 0. œЩТБЦЕОЙЕ (5.35) ПФМЙЮОП ПФ ОХМС РТЙ |‰| < −(vF k=2) cos „, РТЙЮЕН n(‰−) − n(‰+) = 1.

йФБЛ, ПУФБЕФУС ЙОФЕЗТБМ РП ХЗМБН:

	ı			vF k cos „
˝(!; k) = 0
		!	−	vF k cos „ + i‹ sign ! sin „ d„ ;	(5.36)
	0

ÇÄÅ 0 = mp0=(2ı2h—3) | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК. пВПЪОБЮЙН x = cos „ Й ŒЩЮЙУМЙН

1			x dx
						= A + iB ;				ÇÄÅ
	x0	−	x + i‹ sign x0
−1							$			0 ıx0
A = 2 + x0 ln x0 + 1								; B =
		−	$	x0		1				−
			$		−		$			ıx0
			$				$
			$				$

	(5.37)
ÐÒÉ |x0| > 1 ,	(5.38)
ÐÒÉ 0 < x0 < 1 ,
ÐÒÉ −1 < x0 < 0 .

98

çìáœá 5.

йдебмшощк жетнй-збъ

рПМХЮБЕН

1 − 2kvF

ln

kvF

!

+

2 kv|

F| „

1 − kv| F|

:

(5.39)

˝(!; k) = −2 0

!

$

−

!

$

ıi

!

!

$

$

$

$

$

$

рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 24 В. дЙБЗТБННБ ДМС УРЙОПŒПЗП ЛПТТЕМСФПТБ ПФМЙЮБЕФУС ПФ ДЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 5.1 МЙЫШ ОЕЪОБЮЙФЕМШОП | ОБМЙЮЙЕН УРЙОПŒЩИ ПРЕТБФПТПŒ Œ ŒЕТЫЙОБИ. уППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ПФМЙЮБЕФУС ПФ (5.33) УРЙОПŒЩН НОПЦЙФЕМЕН Tr i j = 2‹ij . рПЬФПНХ, ОБ РЕТŒЩК ŒЪЗМСД, ДМС ПФЩУЛБОЙС УРЙОПŒПК ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ НПЦОП РТПУФП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ТЕЪХМШФБФПН ТЕЫЕОЙС ЪБДБЮЙ 24 Б.

œ ФПН, ЮФП ЬФП ОЕŒЕТОП, МЕЗЮЕ ŒУЕЗП ХВЕДЙФШУС, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП ŒЩТБЦЕОЙЕ (5.39) ДМС ˝(!; k) ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ ЮБУФПФЩ ! ОЕ ПВМБДБЕФ БОБМЙФЙЮЕУЛЙНЙ УŒПКУФŒБНЙ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ, РПУЛПМШЛХ ЙНЕЕФ ПУПВЕООПУФЙ Œ РПМХРМПУЛПУФЙ Im ! > 0. рПУМЕДОЕЕ ŒЙДОП ХЦЕ ЙЪ ŒЩТБЦЕОЙС (5.35), ХУФТПЕООПЗП ФБЛ, ЮФП Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ЪОБЛПŒ ‰+ É ‰− РПМАУ РП ! НПЦЕФ ПЛБЪБФШУС Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ, Œ ОЙЦОЕК, ЙМЙ ОБ ŒЕЭЕУФŒЕОПК ПУЙ. ьФП БŒФПНБФЙЮЕУЛЙ РТЙŒПДЙФ Л ОБТХЫЕОЙА РТЙЮЙООПУФЙ Й Œ ПЛПОЮБФЕМШОПН ПФŒЕФЕ (5.39).

у ЖПТНБМШОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС РТПВМЕНБ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП Œ РЕФМЕ ОБ ТЙУ. 5.1 ВЩМЙ ŒЪСФЩ РТЙЮЙООЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. рПЬФПНХ РП УŒПЙН БОБМЙФЙЮЕУЛЙН УŒПКУФŒБН РЕФМС ЙЪ РТЙЮЙООЩИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК УППФŒЕФУФŒХЕФ РПМСТЙЪБГЙПООПНХ ПРЕТБФПТХ, Б ОЕ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ, Й БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ ПЛБЪЩŒБАФУС УМЕДХАЭЙНЙ: ˝(−!) = ˝(!), Á ÎÅ (−! ) = (!). œ ТЕЪХМШФБФЕ ПУПВЕООПУФЙ ОБ РМПУЛПУФЙ ЛПНРМЕЛУОПЗП ! ПЛБЪЩŒБАФУС ТБУРПМПЦЕООЩНЙ УЙННЕФТЙЮОП ПФОПУЙФЕМШОП ! = 0.

пФНЕФЙН, ЮФП ОБ УБНПН ДЕМЕ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ Й РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ НПЦОП УŒСЪБФШ ДТХЗ У ДТХЗПН У РПНПЭША НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЙ, ЙУРПМШЪХС НОЙНЩЕ ЮБУФПФЩ Й НЕФПД БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП РТПДПМЦЕОЙС (УН. ЪБДБЮХ 37, ЗМ. 7). рТЙ ЬФПН ŒЩСУОСЕФУС, ЮФП ОБДП ŒЪСФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (5.39) ДМС РЕФМЙ ОБ ТЙУ. 5.1 РТЙ ! > 0 Й РТПДПМЦЙФШ Œ ŒЕТИОАА РПМХРМПУЛПУФШ ЛПНРМЕЛУОПЗП !, Б У ОЕЕ | ОБ ! < 0. (фБЛ ЮФП РТЙŒЕДЕООПЕ ŒЩЫЕ УППВТБЦЕОЙЕ ОЕ УПŒУЕН ХЦ Й ОЕРТБŒЙМШОПЕ!).

пДОБЛП РПЛБ НЩ ОЕ ВХДЕН ЙУРПМШЪПŒБФШ ЬФХ УŒСЪШ, Б РТПДЕМБЕН РТСНПЕ ŒЩЮЙУМЕ-

ОЙЕ РП ЖПТНХМЕ лХВП. œПЪШНЕН Œ ЛБЮЕУФŒЕ A t				B t
ОБНБЗОЙЮЕООПУФЙ:	↑+(r; t)	( ) É		( ) Œ (5.2) ПРЕТБФПТ РМПФОПУФЙ
sz (r; t) = —B		↑(r; t) −	↓+(r; t) ↓(r; t)		:	(5.40)

тБУЛТПЕН УТЕДОЕЕ ЛПННХФБФПТБ Œ (5.2)

РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ ЛБЛ УХННХ ŒУЕŒПЪНПЦОЩИ

РБТОЩИ УТЕДОЙИ ПРЕТБФПТПŒ

É +, Й ПУФБŒЙН ФПМШЛП УŒСЪОЩЕ ЗТБЖЙЛЙ:

!;k = 2i —B2

ei!t+ikr

↑+(r; t)

↑(0; 0) ↑(r; t) ↑+(0; 0) −

(

−

+(0; 0)

(r; t)

↑

(0; 0)

+ r; t)

dt d3r

(5.41)

↑

↑

↑

(ДŒПКЛБ ХЮЙФЩŒБЕФ УРЙО). уТЕДОЙЕ ŒЩЮЙУМСЕН ОЕРПУТЕДУФŒЕООП РП ПРТЕДЕМЕОЙА ПРЕ-

	5.3. теыеойс					99
	ТБФПТПŒ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС 8:
						(5.42)
			↑+(r; t)	↑(r ; t ) =	e−i‰(p)(t −t)+ip(r −r) n(‰(p)) ;
					p
					e−i‰(p)(t −t)+ip(r −r) [1 − n(‰(p))] ;	(5.43)
		↑(r; t) ↑+(r ; t ) =

p

ЗДЕ n(‰) | ЖЕТНЙЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС. дЕМБС РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ, РПМХЮБЕН ДМС !;k ФБЛПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

2i—B2	GR("+; q+) GA("−; q−) − GA("−; q+) GR("+; q−) (2ı)4						;	(5.44)
						d"d3q
|q+|>p0
|q−|<p0
ЗДЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭБС Й ПРЕТЕЦБАЭБС ЗТЙОПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ ЕУФШ
			GR;A("; q) =		1			(5.45)
					:
йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП " ДБЕФ				" − ‰(q) ± i‹
					! − vF k cos „ + i‹ ;			(5.46)
		GR("+; q+) GA("−; q−) d" =
					2ıi
ЗДЕ „ | ХЗПМ НЕЦДХ k Й q. œНЕУФП (5.35) РПМХЮБЕН
!;k = −4ı3			! vF k cos „ + i‹ −		! + vF k cos „ + i‹ d3q :			(5.47)
	—B2			1	1
		|q+|>p0	−
		|q−|<p0

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ЙНЕЕФ СУОЩК УНЩУМ: РЕТЕНЕООПЕ ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ ŒПЪВХЦДБЕФ ЬМЕЛФТПОДЩТПЮОХА РБТХ. ьМЕЛФТПО ЙНЕЕФ ЙНРХМШУ q+, Б ДЩТЛБ | q−. рТЙОГЙР рБХМЙ ОБЛМБДЩŒБЕФ ПЗТБОЙЮЕОЙЕ ОБ ЖБЪПŒЩК ПВ ЕН: |q+| > p0, |q−| < p0, ПФЛХДБ УМЕДХЕФ, ЮФП cos „ > 0. ьОЕТЗЙС РБТЩ ЕУФШ ‰(q+) − ‰(q−) = vF k cos „, Й РПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ РТЕДЕМ НБМЩИ k, ЬОЕТЗЙЙ ЬМЕЛФТПОБ Й ДЩТЛЙ НБМЩ. йЪ РТЙŒЕДЕООПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ДМС ЬОЕТЗЙЙ РБТЩ УМЕДХЕФ, ЮФП Й ЬМЕЛФТПООПЕ, Й ДЩТПЮОПЕ УПУФПСОЙЕ ПФУФПСФ ПФ ХТПŒОС жЕТНЙ ОЕ ВПМЕЕ ЮЕН ОБ kvF . оБУ ЙОФЕТЕУХАФ НБМЩЕ k, РПЬФПНХ Œ ЙОФЕЗТБМЕ РП q2dq НПЦОП РЕТЕКФЙ Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰:

∞	n(‰−) (1 − n(‰+)) d‰	=	v	k		„ ÐÒÉ cos „ > 0 ,
			0F		cos	ÐÒÉ cos „ < 0 .	(5.48)

−∞

пУФБЕФУС ЙОФЕЗТБМ РП ХЗМБН 0 < „ < ı=2. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЪБНЕОБ ! + i‹ → −! − i‹ ЬЛŒЙŒБМЕОФОБ ЪБНЕОЕ „ → ı=2 − „. рПЬФПНХ:

	ı			vF k cos „
!;k = —B2 0
		!	−	vF k cos „ + i‹ sin „ d„ :	(5.49)
	0

8рТЙНЕОСС ФЕПТЕНХ œЙЛБ, УМЕДХЕФ ЙНЕФШ Œ ŒЙДХ, ЮФП УТЕДОЕЕ Œ ЖПТНХМЕ лХВП ОЕ T-ХРПТСДПЮЕООПЕ.

100

змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ

уДЕМБЕН ПВЩЮОХА РПДУФБОПŒЛХ x = cos „ Й ŒЩЮЙУМЙН

0

0

:

1

x dx

x

+ i‹ + 1

−1

x

−

x + i‹ = −2 + x0 ln

x0

+ i‹

−

1

(5.50)

рПМБЗБС x0 = !=kvF , ОБИПДЙН 9

!; k = 2—B2 0

1 − 2kv

ln

kv

!

+

2 kv

„ 1 − kv| |

:

(5.51)

F

$

F

−

$

F

F

!

$

kvF

!

$

ıi

!

!

$

$

$

!=kv

$

0

;

k

→ 0

;

РПМХЮБЕН ТБŒОПŒЕУОХА

уППФŒЕФУФŒЕООП, Œ УФБФЙЮЕУЛПН РТЕДЕМЕ 2

F

→

РБХМЙЕŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ: para = 2—B

0.

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 24 В. нПЦОП ДЕКУФŒПŒБФШ ЙОБЮЕ: УОБЮБМБ ОБКФЙ НОЙНХА ЮБУФШ!;k , Б ЪБФЕН ŒПУУФБОПŒЙФШ РП ОЕК ŒЕЭЕУФŒЕООХА, РПМШЪХСУШ БОБМЙФЙЮЕУЛЙНЙ УŒПКУФŒБНЙ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ. жЙЪЙЮЕУЛЙ НОЙНБС ЮБУФШ ПРЙУЩŒБЕФ ДЙУУЙРБГЙА, Ф. Е. ŒПЪВХЦДЕОЙЕ РЕТЕНЕООЩН РПМЕН ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ. рПЬФПНХ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 17, Œ РЕФМЕ ОБ ТЙУ. 5.1 ŒЙТФХБМШОЩЕ УПУФПСОЙС ЬМЕЛФТПОБ Й ДЩТЛЙ ОБДП ВТБФШ ОБ

НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ " = ‰(q). жПТНБМШОП ЬФП УППФŒЕФУФŒХЕФ ЪБНЕОЕ
Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (5.33):		GA;R("; q) → ±iı‹ (" − ‰(q))			(5.52)
			‹ ("+ − ‰(q+)) ‹ ("− − ‰(q−))	2ı :
Im !;k = 2 —B2 ı2		(2ı)3			(5.53)
		d3q		d"

|q+|>p0 |q−|<p0

уНЩУМ ДБООПЗП ŒЩТБЦЕОЙС Œ ФПН, ЮФП Œ ТЕЪХМШФБФЕ РПЗМПЭЕОЙС ЛŒБОФБ h!— РЕТЕНЕООПЗП ŒОЕЫОЕЗП РПМС ЬМЕЛФТПО У ЬОЕТЗЙЕК ‰− РПД ХТПŒОЕН жЕТНЙ ŒПЪВХЦДБЕФУС Œ УПУФПСОЙЕ У ЬОЕТЗЙЕК ‰+ ОБД ХТПŒОЕН жЕТНЙ. ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ДБЕФ Im ФПМШЛП РТЙ ! > 0, Б РТЙ ! < 0 ПОП ТБŒОП 0, ЛБЛ Й ДПМЦОП ВЩФШ ДМС ŒЕТПСФОПУФЙ ТБУРБДБ. рПМХЮЙŒ Im РТЙ РПМПЦЙФЕМШОЩИ !, НЩ ТБУРТПУФТБОЙН ЕЗП ОБ ПФТЙГБФЕМШОЩЕ ! РП УŒПКУФŒХ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ (−!) = (!).

йОФЕЗТБМ РП " Œ (5.53) ХУФТБОСЕФ ПДОХ ‹-ЖХОЛГЙА:

Im !;k = —B2		‹(! − ‰(q+) + ‰(q−)) (2ı)2 :	(5.54)
		d3q

|q+|>p0 |q−|<p0

лБЛ Й Œ РТЕДЩДХЭЕН ТЕЫЕОЙЙ, РПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ДМЙООПŒПМОПŒЩК РТЕДЕМ k p−0 1, РЕТЕИПДЙН ПФ ЙОФЕЗТБМБ РП q2dq Л ЙОФЕЗТБМХ РП ‰, ЛПФПТЩК ДБЕФ kvF cos „ РТЙ cos „ > 0, Й 0 Œ РТПФЙŒОПН УМХЮБЕ. пУФБЕФУС ЙОФЕЗТБМ РП ХЗМБН:

	ı=2			!	ÐÒÉ 0 < ! < kv		,
		vF k cos „ ‹(! − vF k cos „) sin „ d„ =				F		(5.55)
				0	ÐÒÉ ! > kvF .
	0

9пФНЕФЙН, ЮФП ŒЩТБЦЕОЙЕ (5.39) ДМС РТЙЮЙООПЗП ЛПТТЕМСФПТБ РТЙ ! > 0 УПŒРБДБЕФ У ŒЩТБЦЕОЙЕН (5.51) ДМС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕЗП ЛПТТЕМСФПТБ, Б РТЙ ! < 0 ПФМЙЮБЕФУС ЛПНРМЕЛУОЩН УПРТСЦЕОЙЕН.