Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

çÌÁŒÁ 6.

ьМЕЛФТПОЩ Й ЖПОПОЩ

6.1. зБНЙМШФПОЙБО ЖПОПОПŒ. дЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ

тБУУНПФТЙН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ У ЖПОПОБНЙ. жПОПОЩ РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК

ЛŒБОФЩ ЛПМЕВБОЙК ЛТЙУФБММЙЮЕУЛПК ТЕЫЕФЛЙ. тБЪМЙЮБАФ ДŒБ ПУОПŒОЩИ ФЙРБ ЖПОПОПŒ | БЛХУФЙЮЕУЛЙЕ Й ПРФЙЮЕУЛЙЕ. пФМЙЮЙЕ НЕЦДХ ОЙНЙ ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП

ЮБУФПФБ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ РТЙ k = 0, Б ЮБУФПФБ ПРФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ РПМПЦЙФЕМШОБ РТЙ ŒУЕИ k. бЛХУФЙЮЕУЛЙЕ ЖПОПОЩ УХЭЕУФŒХАФ ŒП ŒУЕИ ЛТЙУФБММБИ, РПУЛПМШЛХ ЪŒХЛ НПЦЕФ ТБУРТПУФТБОСФШУС Œ МАВПК ХРТХЗПК УТЕДЕ. пРФЙЮЕУЛЙЕ ЦЕ ЖПОПОЩ ЙНЕАФУС ФПМШЛП Œ ЛТЙУФБММБИ, УПДЕТЦБЭЙИ ВПМЕЕ ПДОПЗП БФПНБ Œ ЬМЕНЕОФБТОПК СЮЕКЛЕ.

дМС ПРЙУБОЙС ЪБЛПОБ ДЙУРЕТУЙЙ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ !(k) ЮБУФП РПМШЪХАФУС ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК НПДЕМША дЕВБС. œ ЬФПК НПДЕМЙ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РТЙОЙНБЕФУС ТБŒОЩН !0(k) = c|k| ÐÒÉ ŒÓÅÈ |k| < kD , ЗДЕ ŒЕМЙЮЙОБ kD ŒЩВЙТБЕФУС ФБЛ, ЮФПВЩ ПВ ЕН ЫБТБ ТБДЙХУБ kD ДБŒБМ РТБŒЙМШОПЕ ЮЙУМП ЛПМЕВБФЕМШОЩИ УПУФПСОЙК ОБ ЕДЙОЙГХ ПВ ЕНБ: (4ı=3)kD3 = (2ı)3v−1, ЗДЕ v | ПВ ЕН ЬМЕНЕОФБТОПК СЮЕКЛЙ ЛТЙУФБММБ. бОБМПЗЙЮОП, ПРФЙЮЕУЛЙЕ ЖПОПОЩ ПРЙУЩŒБАФУС НПДЕМША ьКОЫФЕКОБ, Œ ЛПФПТПК ЮБУФПФБ ЖПОПОПŒ РПМБЗБЕФУС ОЕ ЪБŒЙУСЭЕК ПФ ŒПМОПŒПЗП ŒЕЛФПТБ: !0(k) = ˙0 = const, РТЙЮЕН |k| < kD рТЙНЕТ ДŒХИЛПНРПОЕОФОПЗП ЛТЙУФБММБ, Œ ЛПФПТПН ЙНЕАФУС ЛБЛ БЛХУФЙЮЕУЛЙЕ, ФБЛ Й ПРФЙЮЕУЛЙЕ ЖПОПОЩ ВЩМ ТБУУНПФТЕО Œ ЪБДБЮЕ 1, ЗДЕ, Œ ЮБУФОПУФЙ, ВЩМП РПЛБЪБОП, ЮФП ДЙУРЕТУЙС ПРФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ ЙУЮЕЪБЕФ РТЙ УЙМШОПН ПФМЙЮЙЙ НБУУ БФПНПŒ.

дМС ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПЗП ПРЙУБОЙС ЖПОПОПŒ ŒŒПДСФУС ПРЕТБФПТЩ УНЕЭЕОЙС ТЕЫЕФЛЙ u(r; t) Й РМПФОПУФЙ ЙНРХМШУБ ТЕЫЕФЛЙ p(r; t). (дМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ НЩ ВХДЕН ЗПŒПТЙФШ ПВ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОБИ.) пРЕТБФПТЩ u(r; t) Й p(r; t) НПЗХФ ВЩФШ УФБОДБТФОЩН ПВТБЪПН ЪБРЙУБОЩ ЮЕТЕЪ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ ВПЪЕ-ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС ЖПОПОПŒ b+k É bk:

u(r; t) = k;¸		2V j !0;¸(k) bk¸ eikr−i!0;¸(k)t + bk+¸ e−ikr+i!0;¸(k)t					;	(6.1)
			ek¸
p(r; t) =	k;¸	iek¸	j !0;¸(k)	bk+¸ e−ikr+i!0;¸(k)t	−	bk¸ eikr−i!0;¸(k)t	;	(6.2)
			2V

111

112	змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ

ЗДЕ j, V | РМПФОПУФШ Й ПВ ЕН ЛТЙУФБММБ, Б ek¸ | ŒЕЛФПТ РПМСТЙЪБГЙЙ ЖПОПОБ. йОДЕЛУ ¸ ОХНЕТХЕФ ОПТНБМШОЩЕ НПДЩ ЛТЙУФБММБ 1. пРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ k ТБŒОЩ: b−k¸ = b+k¸. (ьФП УМЕДХЕФ ЙЪ ŒЕЭЕУФŒЕООПУФЙ u(r; t) Й p(r; t).)

œŒЕДЕООЩЕ ПРЕТБФПТЩ РПДЮЙОСАФУС УМЕДХАЭЙН ЛПННХФБГЙПООЩН УППФОПЫЕОЙСН. лПННХФБФПТЩ ВПЪЕ-ПРЕТБФПТПŒ bk É b+k ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ: [bk¸; b+k ¸ ] = (2ı)3V ‹¸¸ ‹(3)(k − k ). оПТНЙТПŒПЮОЩЕ НОПЦЙФЕМЙ Œ ПРТЕДЕМЕОЙСИ (6.1) Й (6.2) ŒЩВТБОЩ ФБЛ, ЮФП ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ДМС ПРЕТБФПТПŒ u(r; t) Й p(r; t), УМЕДХАЭЙЕ ЙЪ (6.1) Й (6.2), ЙНЕАФ ŒЙД

			[u¸(r; t); p˛ (r ; t )] = ih‹—			¸˛ ‹(r − r ) :			(6.3)
ьФП Œ ФПЮОПУФЙ	УППФŒЕФУФŒХЕФ УЛПВЛБН рХБУУПОБ						УППФŒЕФУФŒХАЭЙИ ЛМБУУЙЮЕУЛЙИ
ŒЕМЙЮЙО Œ ФЕПТЙЙ ХРТХЗПУФЙ УРМПЫОПК УТЕДЩ.
зБНЙМШФПОЙБО ЖПОПОПŒ ЙНЕЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:							h!— 0;¸(k)	bk+bk + 1=2	(6.4)
H =			(1=2j) p2	+ (jc2=2) u2	d3r =	k¸

оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ЗБНЙМШФПОЙБО (6.4) РТЙŒПДЙФ Л ДЙОБНЙЛЕ ПРЕТБФПТПŒ u(r; t) Й p(r; t), ЪБДБООПК УППФОПЫЕОЙСНЙ (6.1) Й (6.2).

œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЖПОПОПŒ Й ЬМЕЛФТПОПŒ СŒМСЕФУС ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙН РП УŒПЕК РТЙТПДЕ. лПМЕВБОЙС ТЕЫЕФЛЙ РТЙŒПДСФ Л ПФЛМПОЕОЙА ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП РПМС ЙПОПŒ, ДЕКУФŒХА-

ЭЕЗП ОБ ЬМЕЛФТПОЩ, ПФ УŒПЕЗП УТЕДОЕЗП ЪОБЮЕОЙС. рПФЕОГЙБМ ŒПЪОЙЛБАЭЕЗП ДПВБŒПЮОПЗП РПМС РТЙОСФП ОБЪЩŒБФШ ДЕЖПТНБГЙПООЩН РПФЕОГЙБМПН. œ ПФУХФУФŒЙЕ ЬЛТБ-

ОЙТПŒЛЙ ЛХМПОПŒУЛЙЕ УЙМЩ СŒМСАФУС ДБМШОПДЕКУФŒХАЭЙНЙ Й ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ У ЖПОПОБНЙ ПЛБЪЩŒБЕФУС УХЭЕУФŒЕООП ОЕМПЛБМШОЩН. фБЛБС УЙФХБГЙС ЙНЕЕФ НЕУФП ДМС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОПŒ У ПРФЙЮЕУЛЙНЙ ЖПОПОБНЙ. иБТБЛФЕТ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ДЕЖПТНБГЙПООПЗП РПФЕОГЙБМБ ПФ ŒПМОПŒЩИ ŒЕЛФПТПŒ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЖПОПОПŒ ПРТЕДЕМСЕФУС УЙННЕФТЙЕК ЛТЙУФБММЙЮЕУЛПК ТЕЫЕФЛЙ.

œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ПРФЙЮЕУЛЙНЙ ЖПОПОБНЙ, ДЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ ПВЩЮОП СŒМСЕФУС МПЛБМШОЩН. дЕМП Œ ФПН, ЮФП РТЙ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЛПМЕВБОЙСИ ТЕЫЕФЛЙ У НБМЩНЙ k УНЕЭЕОЙС УПУЕДОЙИ БФПНПŒ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ПДЙОБЛПŒЩ (УН. ЪБДБЮХ 1). œУМЕДУФŒЙЕ ЬФПЗП, ЬМЕЛФТЙЮЕУЛБС РПМСТЙЪБГЙС, ŒПЪОЙЛБАЭБС РТЙ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЛПМЕВБОЙСИ, ПЛБЪЩŒБЕФУС РТПРПТГЙПОБМШОПК ЗТБДЙЕОФХ ДЕЖПТНБГЙЙ ТЕЫЕФЛЙ: P(r) ≈ div u(r). рПЬФПНХ РПФЕОГЙБМ ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП РПМС РПМСТЙЪБГЙЙ P(r) ПЛБЪЩŒБЕФУС РТПРПТГЙПОБМШОЩН ДЕЖПТНБГЙЙ ТЕЫЕФЛЙ: UÄÅÆ(r) ≈ div u(r).

œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ У БЛХУФЙЮЕУЛЙНЙ ЖПОПОБНЙ РТЙОСФП ТБУУНБФТЙŒБФШ У РПНПЭША ХРТПЭЕООПК НПДЕМЙ, Œ ЛПФПТПК РТЕОЕВТЕЗБЕФУС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН У РПРЕТЕЮОЩНЙ БЛХУФЙЮЕУЛЙНЙ НПДБНЙ, ЙНЕАЭЙНЙ ŒЕЛФПТЩ РПМСТЙЪБГЙЙ ek k. пЛБЪЩŒБЕФУС ХДПВОЩН ŒЩТБЪЙФШ ДЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ ЮЕТЕЪ РПМЕ

’(r; t) =	k	!0(k)=2V	)i bk;	eikr−i!0	(k)t − i bk+; e−ikr+i!0(k)t*	:	(6.5)

1œ ДБМШОЕКЫЕН НЩ ВХДЕН ТБУУНБФТЙŒБФШ ЗМБŒОЩН ПВТБЪПН РТПДПМШОЩЕ ЛПМЕВБОЙС, ДМС ЛПФПТЩИ ek¸ k.

6.1. ьмелфтпо-жпопоопе œъбйнпдекуфœйе

113

дМС ДЕВБЕŒУЛЙИ ЖПОПОПŒ У ЪБЛПОПН ДЙУРЕТУЙЙ !(k) = c|k| ЙНЕЕФ НЕУФП ТБŒЕОУФŒП ’(r; t) = c√j div u(r; t). (рПЬФПНХ Œ БФПНОЩИ ЕДЙОЙГБИ ’(r) ≈ div u(r).) дЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ НПЦЕФ ВЩФШ ЪБРЙУБО ЛБЛ UÄÅÆ(r) = g’(r), ЗДЕ g | ЛПОУФБОФБ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.

œ ПРЙУБООПК НПДЕМЙ ЗБНЙМШФПОЙБО ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОПŒ У ЖПОПОБНЙ ЪБРЙУЩŒБЕФУС ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ РПМС (6.5) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

Hint = g	+(r)		(r) ’(r) d3r	(6.6)

(ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ЗБНЙМШФПОЙБО жТ­ЕМЙИБ). иПФС ЙЪ УДЕМБООЩИ ПГЕОПЛ УМЕДХЕФ, ЮФП g ≈ 1 Œ БФПНОЩИ ЕДЙОЙГБИ, ОБДП ЙНЕФШ Œ ŒЙДХ ЮФП УЙМБ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС НПЦЕФ ŒЕУШНБ УЙМШОП ŒБТШЙТПŒБФШУС ПФ ПДОПК УЙУФЕНЩ Л ДТХЗПК.

дЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ УФТПЙФУС У РПНПЭША ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЖПОПОПŒ, ПРТЕДЕМЕООПК УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

D(x; x ) = −i T ’(x) ’(x ) :

(6.7)

œ ПФУХФУФŒЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЖХОЛГЙС зТЙОБ D(!; k) ЕУФШ

!2(k)

D0(!; k) = 0 : (6.8) !2 − !02(k) + i0

рТБŒЙМБ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ ДМС ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЖПОПОПŒ РПЮФЙ ФБЛЙЕ ЦЕ, ЛБЛ Й ДМС УМХЮБС ДŒХИЮБУФЙЮОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС:

1)œУЕ ДЙБЗТБННЩ УФТПСФУС ЙЪ ДŒХИ ЬМЕНЕОФПŒ: РТПУФЩИ МЙОЙК, ПРЙУЩŒБАЭЙИ ТБУРТПУФТБОЕОЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ, Й ŒПМОЙУФЩИ, ПРЙУЩŒБАЭЙИ ТБУРТПУФТБОЕОЙЕ ЖПОПОПŒ.

2)дŒЕ ЬМЕЛФТПООЩИ Й ПДОБ ЖПОПООБС МЙОЙЙ УПЕДЙОСАФУС Œ ŒЕТЫЙОБИ.

3)n{НХ РПТСДЛХ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК УППФŒЕФУФŒХАФ ДЙБЗТБННЩ У 2n ŒЕТЫЙОБНЙ.

4)лБЦДПК ЬМЕЛФТПООПК МЙОЙЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ НОПЦЙФЕМШ G0(x−x ) (x { ОБЮБМШОБС ФПЮЛБ, x { ЛПОЕЮОБС). лБЦДПК ЖПОПООПК | НОПЦЙФЕМШ D0(x − x ).

5)œЩТБЦЕОЙЕ, УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ДБООПК ДЙБЗТБННЕ, УМЕДХЕФ РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РП ЛППТДЙОБФБН ЕЕ ŒЕТЫЙО. лБЦДПК ŒЕТЫЙОЕ УППФŒЕФУФŒХЕФ НОПЦЙФЕМШ g.

6)рПМХЮЙŒЫЙКУС ПФŒЕФ УМЕДХЕФ ХНОПЦЙФШ ОБ in (−1)F , ЗДЕ n | ЮЙУМП ŒПМОЙУФЩИ МЙОЙК, Б F | ЮЙУМП ЪБНЛОХФЩИ РЕФЕМШ, ПФŒЕЮБАЭЙИ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГБН.

œЩЮЙУМЙŒ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ, НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ УРЕЛФТ ЬМЕЛФТПОПŒ У ХЮЕФПН ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. дМС ФПЗП ЮФПВЩ БОБМПЗЙЮОЩН ПВТБЪПН ОБКФЙ УРЕЛФТ ЖПОПОПŒ, ОХЦОП ТБУУНПФТЕФШ РПМАУБ ЖПОПООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ D(!; k). лБЛ Й ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ G("; p), ДМС

114	змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ

ЖПОПООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ НПЦОП РТПДЕМБФШ БОБМЙЪ, ПРЙУБООЩК Œ Р. 4.1.1, ŒЩДЕМЙФШ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ Й РТПŒЕУФЙ УХННЙТПŒБОЙЕ ДЙБЗТБНН У РПНПЭША

ХТБŒОЕОЙС дБКУПОБ. уПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ЖПОПОПŒ ПВЩЮОП ОБЪЩŒБЕФУС РПМСТЙЪБГЙПООЩН ПРЕТБФПТПН Й ПВПЪОБЮБЕФУС ЮЕТЕЪ ˝(!; k). рПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕ-

ТБФПТ ˝(!; k) ЕУФШ УХННБ УМЕДХАЭЙИ ДЙБЗТБНН:

Π	=		+
	+	+	+...

òÉÓ. 6.1

хТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЖПОПОПŒ ŒЩЗМСДЙФ БОБМПЗЙЮОП ХТБŒОЕОЙА (4.9):

D = D0 + D0 ˝ D

(6.9)

Й ТЕЫБЕФУС УФБОДБТФОЩН ПВТБЪПН:

D−1(!; k) = D0−1(!; k) − ˝(!; k) :

(6.10)

рПЬФПНХ УРЕЛФТ ЖПОПОПŒ ПРТЕДЕМСЕФУС ХТБŒОЕОЙЕН

D0−1(!(k); k) = ˝(!(k); k) :

(6.11)

œЕЭЕУФŒЕООБС ЮБУФШ !(k) ПРТЕДЕМСЕФ ДЙУРЕТУЙА ЖПОПОПŒ, Б НОЙНБС | ЙИ ЪБФХИБОЙЕ ЙЪ-ЪБ РЕТЕДБЮЙ ЬОЕТЗЙЙ ЬМЕЛФТПОБН.

рТЙ ЙЪХЮЕОЙЙ ЬЖЖЕЛФПŒ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС ХДПВОЩН РПМШЪПŒБФШУС ВЕЪТБЪНЕТОПК ЛПОУФБОФПК ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС “ = g2 0 ( 0 = mp0=2ı2h—3 | РМПФОПУФШ ЬМЕЛФТПООЩИ УПУФПСОЙК ВЕЪ ХЮЕФБ УРЙОПŒПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС). пГЕОЛБ “ ЙЪ РЕТŒЩИ РТЙОГЙРПŒ ДБЕФ ЪОБЮЕОЙЕ “ 1. рПЬФПНХ, ЛБЪБМПУШ ВЩ, ТЕЫЕОЙЕ ЪБДБЮЙ Œ ПВЭЕН ŒЙДЕ, ЬЛŒЙŒБМЕОФОПЕ УХННЙТПŒБОЙА ДЙБЗТБНН РТПЙЪŒПМШОП ŒЩУПЛПЗП РПТСДЛБ, ДПМЦОП ВЩФШ ОЕŒПЪНПЦОЩН. пДОБЛП ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП Œ ЪБДБЮЕ РТЙУХФУФŒХЕФ ДТХЗПК НБМЩК РБТБНЕФТ, РПЪŒПМСАЭЙК ОБКФЙ

ТЕЫЕОЙЕ ВЕЪ РТЕДРПМПЦЕОЙС П НБМПУФЙ “ . ьФПФ РБТБНЕФТ ЕУФШ !D ="F (!D = ckD |

ДЕВБЕŒУЛБС ЮБУФПФБ), ЮФП РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ ТБŒОП m=M , ЗДЕ m Й M | НБУУЩ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЙПОПŒ. хУМПŒЙЕ !D ="F 1 ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЙПОЩ, ŒŒЙДХ ЙИ ВПМШЫПК НБУУЩ, ДŒЙЗБАФУС ОБНОПЗП НЕДМЕООЕЕ, ЮЕН ЬМЕЛФТПОЩ. рПЬФПНХ ЬМЕЛФТПОЩ ОЕ НПЗХФ ТБУЛБЮБФШ ТЕЫЕФЛХ, ŒНЕУФП ЬФПЗП ПОЙ РТПУФП РПДУФТБЙŒБАФУС РПД ЕЕ МПЛБМШОХА ЛПОЖЙЗХТБГЙА. дТХЗБС ЙОФЕТРТЕФБГЙС ХУМПŒЙС !D ="F 1 | ВПМШЫПЕ ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ ЖПОПОПŒ ОБ ŒТЕНЕОБИ РПТСДЛБ h="— F .

6.2. ъбдбюй 28 { 33

115

фЕПТЙС ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММЕ, ЙУРПМШЪХАЭБС НБМЩК РБТБНЕФТ !D="F 1, ОБЪЩŒБЕФУС ФЕПТЙЕК нЙЗДБМБ. хРТПЭЕООП ЗПŒПТС, ЬФБ ФЕПТЙС

РПЪŒПМСЕФ ТБУРТПУФТБОЙФШ ЙДЕЙ ФЕПТЙЙ РПМСТПОБ (УН. ЪБДБЮЙ 16,17,21,33) ОБ УМХЮБК ЬМЕЛФТПООПК ЖЕТНЙ{УЙУФЕНЩ. вПМЕЕ ЖПТНБМШОП, ФЕПТЙС нЙЗДБМБ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ОБВПТ ХФŒЕТЦДЕОЙК П УŒПКУФŒБИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК, ŒЩФЕЛБАЭЙИ ЙЪ НЕДМЕООПУФЙ ДЙОБНЙЛЙ ЖПОПОПŒ РП УТБŒОЕОЙА У ДЙОБНЙЛПК ЬМЕЛФТПОПŒ. œ ЬФПК ФЕПТЙЙ РПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ, ИПФС Й ŒЕМЙЛЙ, ĂОЕ ТБУРТПУФТБОСАФУСĄ ЙЪ РТПУФЩИ ЗТБЖЙЛПŒ Œ ВПМЕЕ УМПЦОЩЕ. ьФП РТПСŒМСЕФУС Œ ФПН, ЮФП ОЕФ ПВТБФОПЗП ŒМЙСОЙС РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ ЬМЕЛФТПООПЗП УРЕЛФТБ ОБ ЖПОПОЩ, Б ФБЛЦЕ Œ НБМПУФЙ РПРТБŒПЛ Л ŒЕТЫЙОЕ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. пУОПŒОЩЕ РПМПЦЕОЙС ФЕПТЙЙ нЙЗДБМБ УЖПТНХМЙТПŒБОЩ Œ ЪБДБЮБИ 29 { 31. фЕПТЙС ПРЙУЩŒБЕФ ŒМЙСОЙЕ ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ФЕТНЙОБИ РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ УŒПКУФŒ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ (ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЖПОПОПŒ). рТЙ ЬФПН ОЕ РТПЙУИПДЙФ ЛБЛПЗП-МЙВП ТБЪТХЫЕОЙС ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ | ХФŒЕТЦДБЕФУС, ЮФП ЛБТФЙОБ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ПУФБЕФУС УРТБŒЕДМЙŒПК.

œ ЪБЛМАЮЕОЙЕ УМЕДХЕФ УЛБЪБФШ, ЮФП ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ | ОЕ ФБЛБС РТПУФБС ŒЕЭШ, ЛБЛ НПЦЕФ РПЛБЪБФШУС ЙЪ ŒЩЫЕЙЪМПЦЕООПЗП. лБЛ ЙЪŒЕУФОП, ЬФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ПВТБЪПŒБОЙА ЛХРЕТПŒУЛЙИ РБТ Й Л УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ (УН. ЗМ. 10). лТПНЕ ФПЗП, Œ ПДОПНЕТОПН УМХЮБЕ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ПВТБЪПŒБОЙА РБКЕТМУПŒУЛПЗП ДЙЬМЕЛФТЙЛБ (УН. ЪБДБЮХ 32). лБЛ Œ УМХЮБЕ УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЗП, ФБЛ Й Œ УМХЮБЕ ДЙЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП УПУФПСОЙК РТПЙУИПДЙФ РПМОПЕ ĂТБЪТХЫЕОЙЕĄ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ, РТПСŒМСАЭЕЕУС Œ ЙУЮЕЪОПŒЕОЙЙ УПУФПСОЙК У ДПУФБФПЮОП НБМЩНЙ ЬОЕТЗЙСНЙ. рПЬФПНХ, УФТПЗП ЗПŒПТС, Œ РТЙУХФУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПО{ ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФШ ОЙЛПЗДБ ОЕ СŒМСЕФУС ХУФПКЮЙŒЩН УПУФП-

СОЙЕН РТЙ ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЕ.

мЙФЕТБФХТБ: œФПТЙЮОП{ЛŒБОФПŒБООЩЕ ПРЕТБФПТЩ ЖПОПООПЗП РПМС ПРТЕДЕМЕОЩ Œ [1], § 7. рТБŒЙМБ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ ДМС ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС РТЙŒЕДЕОЩ Œ [1], § 9. œЕУШНБ РТПЪТБЮОПЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ ЬФЙИ ŒПРТПУПŒ ДМС НПДЕМЙ ПРФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ УПДЕТЦЙФУС Œ [3], § 6.10. фЕПТЙС ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММБИ ТБУУНПФТЕОБ Œ [1], § 21, Б ФБЛЦЕ Œ [6], § 64, 65.

6.2. ъБДБЮЙ 28 { 33

ъБДБЮБ 28. (œТЕНС ЦЙЪОЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ.) тБУУНПФТЙН ŒЩТПЦДЕООЩК ЬМЕЛФТПООЩК ЗБЪ РТЙ T = 0, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙК У ЛПМЕВБОЙСНЙ ТЕЫЕФЛЙ (УН. ЪБДБЮЙ 16, 17). оБКДЙФЕ ЪБФХИБОЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ У ЬОЕТЗЙЕК |"| "F , ŒЩЮЙУМЙŒ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ˚("; p) Œ ОЙЪЫЕН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА. ъБ-

ФХИБОЙЕ ДБЕФУС НОЙНПК ЮБУФША Im ˚("; p).

ъБДБЮБ 29. (рЕТЕОПТНЙТПŒЛБ УРЕЛФТБ ЬМЕЛФТПОПŒ.) йЪХЮЙФЕ ŒМЙСОЙЕ ЬМЕЛФТПОЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ОБ УРЕЛФТ ЬМЕЛФТПОПŒ. оБКДЙФЕ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ЮБУФШ Re ˚("; p) Й ХВЕДЙФЕУШ Œ ФПН, ЮФП ПОБ ЪБŒЙУЙФ ПФ " Й РТБЛФЙЮЕУЛЙ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ p.

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Re ˚(") НПЦЕФ ВЩФШ ŒЕМЙЛБ ФПМШЛП Œ ОЕВПМШЫПК РП УТБŒОЕОЙА

116	змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ

Ó "F ПВМБУФЙ ЬОЕТЗЙК |"| !D (НЩ ПФУЮЙФЩŒБЕН ЬОЕТЗЙА ЛŒБЪЙЮБУФЙГ " ПФ ХТПŒОС жЕТНЙ). œЩТБЪЙФЕ РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ЮЕТЕЪ ˚(") Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС

жЕТНЙ ЬМЕЛФТПОЩ ĂХФСЦЕМСАФУСĄ, Б РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК | ŒПЪТБУФБЕФ.

ъБДБЮБ 30. (фЕПТЕНБ нЙЗДБМБ | ОЕФ РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ ŒЕТЫЙОЩ.) пГЕОЙФЕ РПРТБŒЛХ Л ŒЕТЫЙОЕ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС (ТЙУ. 6.2):

Γ (1)=

òÉÓ. 6.2

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЕЕ ПФОПУЙФЕМШОБС ŒЕМЙЮЙОБ РПТСДЛБ !D ="F .

дМС ФПЗП ЮФПВЩ РТПСУОЙФШ ТПМШ РБТБНЕФТБ !D ="F ФЕПТЙЙ нЙЗДБМБ, ŒЩЮЙУМЙФЕ ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ Œ УНЕЫБООПН ĂЙНРХМШУОП-ŒТЕНЕООПНĄ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, Œ ЛПФПТПН

ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЙНРХМШУБ Й ПФ ŒТЕНЕОЙ.

ъБДБЮБ 31. (жПОПОЩ Œ НЕФБММЕ.) тБУУНПФТЙН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ˝(!; k) ЖПОПООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ:

Π(ω,k) =

òÉÓ. 6.3
Б) рПМХЮЙФЕ ЖПТНХМХ ДМС РЕТЕОПТНЙТПŒБООПК УЛПТПУФЙ ЪŒХЛБ:
c2 = c02(1 − 2“ ) ;	(6.12)

ÇÄÅ “ = g2 0 | ВЕЪТБЪНЕТОБС ЛПОУФБОФБ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. (œ НЕФБММБИ ПВЩЮОП РБТБНЕФТ “ ОЕ НБМ, ОП ŒУЕ ЦЕ 1 − 2“ > 0.)

В) тБУУНБФТЙŒБС Im ˝(!; k) РТЙ НБМЩИ ! Й k, ПРТЕДЕМЙФЕ ДМЙОХ ЪБФХИБОЙС ЪŒХЛБ

Œ НЕФБММЕ. лБЛ ПОБ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЮБУФПФЩ? уТБŒОЙФЕ У ЪБФХИБОЙЕН ЪŒХЛБ Œ ЗБЪЕ.

ъБДБЮБ 32*. (рБКЕТМУПŒУЛБС ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ.) оБКДЙФЕ ˝(!; k) (УН. ТЙУ. 6.3) Œ ПДОПНЕТОПН УМХЮБЕ. рПМХЮЙФЕ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛХА ПУПВЕООПУФШ ˝(!; k) РТЙ k = 2p0. œВМЙЪЙ ЬФПЗП ŒПМОПŒПЗП ŒЕЛФПТБ ЮБУФПФБ ЖПОПОПŒ УФБОПŒЙФУС НОЙНПК, ЮФП ПЪОБЮБЕФ ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ УЙУФЕНЩ РП ПФОПЫЕОЙА Л ЛБЛПК-ФП РЕТЕУФТПКЛЕ. юФП ЙНЕООП РТЙ ЬФПН РТПЙУИПДЙФ? œ ЛБЛПЕ УПУФПСОЙЕ РЕТЕИПДЙФ УЙУФЕНБ?

ъБДБЮБ 33. (бŒФПМПЛБМЙЪБГЙС РПМСТПОБ УЙМШОПК УŒСЪЙ.)					тБУУНПФТЙН ЬМЕЛФТПО,
ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙК У ХРТХЗПК ЙЪПФТПРОПК УТЕДПК:			(r) +	2 Kw2(r) dDr :		(6.13)
H =	−2	+(r) 2 (r) + – +(r) (r)w(r) + 2 ju2
	1	1		1

ъДЕУШ u(r) | РПМЕ УНЕЭЕОЙК УТЕДЩ, Б w(r) = u(r) | ДЕЖПТНБГЙС УТЕДЩ. нЩ ЙУРПМШЪХЕН ЛМБУУЙЮЕУЛПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (j=2)u2 ДМС ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЙ, РПУЛПМШЛХ ОБУ

6.3. теыеойс

117

ВХДЕФ ЙОФЕТЕУПŒБФШ УМХЮБК УЙМШОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ЛПЗДБ УНЕЭЕОЙЕ u(r) ДПУФБФПЮОП ŒЕМЙЛП. œ ЬФПК УЙФХБГЙЙ РПМС u(r) Й w(r) НПЦОП УЮЙФБФШ ЛМБУУЙЮЕУЛЙНЙ. вПМЕЕ ФПЗП, Œ ДХИЕ БДЙБВБФЙЮЕУЛПЗП РТЙВМЙЦЕОЙС НПЦОП УЮЙФБФШ, ЮФП ДЕЖПТНБГЙС ТЕЫЕФЛЙ УМЕДХЕФ ЪБ ДŒЙЦЕОЙЕН ЬМЕЛФТПОБ, ОЕ ЙНЕС ЛБЛПК-МЙВП УПВУФŒЕООПК ДЙОБНЙЛЙ 2.

Б) тБУУНПФТЙН УЙФХБГЙА, ЛПЗДБ ЬМЕЛФТПО ŒНЕУФЕ У ŒЩЪŒБООПК ЙН ДЕЖПТНБГЙЕК УТЕДЩ w(r) РПЛПЙФУС (Œ ЬФПН УМХЮБЕ u = 0), Й ОБКДЕН w(r), НЙОЙНЙЪЙТХАЭХА ЬОЕТ-

ÇÉÀ (6.13): w(r) = −(–=K)| (r)|2. ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЬМЕЛФТПО ДЕЖПТНЙТХЕФ ТЕЫЕФЛХ ŒПЛТХЗ УЕВС, РТЙЮЕН ДЕЖПТНБГЙС ФБЛПŒБ, ЮФП ЬОЕТЗЙС ЬМЕЛФТПОБ Œ ЕЗП УПВУФŒЕООПН РПМЕ w(r) РПОЙЦБЕФУС. еУМЙ ŒЩЙЗТЩЫ ЬОЕТЗЙЙ ДПУФБФПЮОП ŒЕМЙЛ, ФП ЬМЕЛФТПО ĂУБН УЕВЕ ЛПРБЕФ СНХĄ Й ПВТБЪХЕФ Œ ОЕК УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ.

ъБРЙЫЙФЕ ХТБŒОЕОЙЕ ыТЕДЙОЗЕТБ ДМС ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ ЬМЕЛФТПОБ (r), ŒЩТБЪЙŒ РПФЕОГЙБМ ЮЕТЕЪ (r). тЕЫЕОЙЕ ЬФПЗП ОЕМЙОЕКОПЗП ХТБŒОЕОЙС МЕЗЮЕ ŒУЕЗП РПМХЮЙФШ

Œ УМХЮБЕ ПДОПЗП РТПУФТБОУФŒЕООПЗП ЙЪНЕТЕОЙС. оБКДЙФЕ (r) Œ ЬФПН УМХЮБЕ Й ПРТЕДЕМЙФЕ ŒЩЙЗТЩЫ ЬОЕТЗЙЙ ЪБ УЮЕФ БŒФПМПЛБМЙЪБГЙЙ. пВУХДЙФЕ, ЛБЛ ТБЪНЕТ МПЛБМЙЪПŒБООПЗП УПУФПСОЙС, ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ, Й ХУМПŒЙЕ ЕЗП УХЭЕУФŒПŒБОЙС ЪБŒЙУСФ ПФ ŒЕМЙЮЙОЩ ЛПОУФБОФЩ УŒСЪЙ – Й ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ РТПУФТБОУФŒБ.

В) пРТЕДЕМЙН ЬЖЖЕЛФЙŒОХА НБУУХ БŒФПМПЛБМЙЪПŒБООПЗП УПУФПСОЙС РПМСТПОБ. 3 œ РТЙВМЙЦЕОЙЙ ЛМБУУЙЮЕУЛПК ДЕЖПТНБГЙЙ (6.13) ОБКДЙФЕ ЬОЕТЗЙА УПУФПСОЙС, ДŒЙЦХЭЕЗПУС У РПУФПСООПК УЛПТПУФША v, ЛБЛ ЖХОЛГЙА v Й ЛПОУФБОФЩ УŒСЪЙ –. йЪ ОБКДЕООПК ЪБŒЙУЙНПУФЙ РПМХЮЙФЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ РПМСТПОБ. рТЙ ЛБЛПК ŒЕМЙЮЙОЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС – УРТБŒЕДМЙŒП ЙУРПМШЪПŒБООПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ УЙМШОПК УŒСЪЙ (Ф. Е. ЛМБУУЙЮЕУЛПК ДЕЖПТНБГЙЙ)?

6.3. тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 28. уПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ДБЕФУС ДЙБЗТБННПК ОБ ТЙУ. 4.10, Œ ЛПФПТПК ЙУРПМШЪХЕФУС РТЙЮЙООБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЬМЕЛФТПОБ Œ ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ G0("; p) = (" − ‰p + i0 sign ‰p)−1. œ ЪБДБЮЕ 16 ЬФБ ЦЕ ДЙБЗТБННБ ТБУУНБФТЙŒБМБУШ ДМС ПДОПЗП ЬМЕЛФТПОБ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЗП У ЖПОПОБНЙ. рТЙ ЬФПН ВЩМБ ЙУРПМШЪПŒБОБ ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЬМЕЛФТПОБ Œ РХУФПН РТПУФТБОУФŒЕ (УН. (4.34)). пДОБЛП Œ ЪБДБЮЕ П ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ ЬФБ ЖХОЛГЙС ОЕ ЗПДЙФУС, РПУЛПМШЛХ ПОБ ОЕ ХЮЙФЩŒБЕФ, ЮФП ЬМЕЛФТПО ОЕ НПЦЕФ РЕТЕИПДЙФШ Œ ЪБОСФЩЕ УПУФПСОЙС. фБЛЙН ПВТБЪПН,

˚("; p) = (2ı)4		!2 − c2k2	+ i0 " − ! − ‰p−k + i 0 sign ‰p−k :	(6.14)
ig2		c2k2	d! d3k

пУОПŒОПЕ ПФМЙЮЙЕ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ПФ (4.34) ЪБЛМАЮБЕФУС Œ УРПУПВЕ ПВИПДБ РПМАУПŒ. пОЙ ОБИПДСФУС Œ ФПЮЛБИ !1 = " − ‰p−k + i 0 sign ‰p−k É !2;3 = ±(ck − i 0).

2бДЙБВБФЙЮЕУЛПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ ДМС РПМСТПОБ УЙМШОПК УŒСЪЙ Й ФЕПТЙС БŒФПМПЛБМЙЪБГЙЙ ВЩМЙ ŒРЕТŒЩЕ РТЕДМПЦЕОЩ Œ ТБВПФЕ: S. I. Pekar, J. Phys. (U.S.S.R.), v. 10, p. 341 (1946); УН. ФБЛЦЕ: у. й. рЕЛБТ, йУУМЕДПŒБОЙС РП ЬМЕЛФТПООПК ФЕПТЙЙ ЛТЙУФБММПŒ, зПУФЕИЙЪДБФ, 1951.

3 м. д. мБОДБХ, у. й. рЕЛБТ, цьфж, Ф. 18, У. 419 (1948).

118 змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ

ъБНЩЛБС ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ! ФБЛ, ЮФПВЩ ŒОХФТШ ОЕЗП РПРБМ ФПМШЛП ПДЙО РПМАУ ЙЪ ФТЕИ, РЕТЕРЙЫЕН РТБŒХА ЮБУФШ ŒЩТБЦЕОЙС (6.14) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

˚("; p) = 16ı3		"	ck	‰−	+ i0 + " + ck	‰−	k		i0	k d3k :	(6.15)
g2c		−	„(‰p k)		„(‰p k)			−
k	<kD		−	−	−	−
| |

фЕРЕТШ ŒПУРПМШЪХЕНУС УФБОДБТФОПК ЪБНЕОПК РЕТЕНЕООПК Œ ЙОФЕЗТБМЕ РП d3k, ЙУРПМШЪПŒБООПК Œ ТЕЫЕОЙЙ ЪБДБЮЙ 16. рЕТЕКДЕН Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП |k| É p1 = |p − k| РП ЖПТНХМЕ (4.38) (УН. ФБЛЦЕ [1], § 21, Р. 3). œ ЬФЙИ РЕТЕНЕООЩИ ŒЩТБЦЕОЙЕ (6.15) ДМС ˚("; p) НПЦОП РЕТЕРЙУБФШ ФБЛ:

˚("; p) = 8ı2p	kD	" ck	1 −‰p	0	+ i0 +	" + ck	0 −‰p	1		i0	p1dp1 k2dk : (6.16)
g2c		„(p		1		„(p		1
			p )				p )
	0	−	−				−		−

пВМБУФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП p1 Œ (6.16) ÅÓÔØ |p − k| < p1 < p + k. фЕРЕТШ ХДПВОП РЕТЕКФЙ ПФ РЕТЕНЕООПК ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС p1 Л РЕТЕНЕООПК ‰ = p21=2m − "F :

˚("; p) = 8ı2p		" ck ( )‰ + i0 +	" + ck(− ‰ i0
g2cm	kD	„ ‰	„ ‰)
	0	− −	− −

РТЙЮЕН ЙОФЕЗТБМ РП ‰ Œ (6.17) ВЕТЕФУС РП ПВМБУФЙ

(p − k)2=2m − "F < ‰ < (p + k)2=2m − "F

d‰ k2dk ;

(6.17)

: (6.18)

œЕЭЕУФŒЕООБС ЮБУФШ ˚("; p) ВХДЕФ ŒЩЮЙУМЕОБ Œ УМЕДХАЭЕК ЪБДБЮЕ, ЪДЕУШ ЦЕ ПЗТБОЙЮЙНУС НОЙНПК ЮБУФША. рТЙНЕОСС ЙЪŒЕУФОХА ЖПТНХМХ

			1	= −ı‹(x) ;	(6.19)
			Im x + i0
РПМХЮБЕН	g8ıp		(„(−‰)‹(" + ck − ‰) − „(‰)‹(" − ck − ‰)) d‰k2dk :
Im ˚("; p) =					(6.20)
	2cm

œФПТПЕ УМБЗБЕНПЕ (ПОП ПФМЙЮОП ПФ ОХМС РТЙ " > 0) ДБЕФ ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЬМЕЛФТПООЩИ УПУФПСОЙК, Б РЕТŒПЕ (ПФМЙЮОПЕ ПФ ОХМС РТЙ " < 0) | ДЩТПЮОЩИ.

дП ОБУФПСЭЕЗП НПНЕОФБ ŒУЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ВЩМЙ ФПЮОЩНЙ. фЕРЕТШ ПВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП РТЙ |"| "F ŒЕТПСФОПУФШ ТБУРБДБ НПЦОП ŒЩЮЙУМСФШ, ЙОФЕЗТЙТХС Œ (6.20) ОЕ РП ПВМБУФЙ (6.18), Б РТПУФП РП ŒУЕН ‰. дЕМП Œ ФПН, ЮФП УПИТБОЕОЙЕ ЬОЕТЗЙЙ РТЙ ТБУРБДЕ ЮБУФЙГЩ У ЬОЕТЗЙЕК " ОБ ЮБУФЙГХ У ЬОЕТЗЙЕК ‰ Й ЖПОПОБ У ЬОЕТЗЙЕК ck ЗБТБОФЙТХЕФ УПВМАДЕОЙЕ ОЕТБŒЕОУФŒ (6.18), РПУЛПМШЛХ c vF É " ≈ ‰p.

œ УЙМХ УЛБЪБООПЗП ЙОФЕЗТБМ РП ‰ Œ (6.20) ВЕТЕН РП −∞ < ‰ < ∞:

		g2c	kD
	Im ˚("; p) =			(„(−" − ck) − „(" − ck)) k2 dk :	(6.21)
		8ıvF
			0

6.3. теыеойс

119

рТЙ РЕТЕИПДЕ ПФ (6.20) Л (6.21) НЩ ЪБНЕОЙМЙ Œ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЕ p ОБ p0. йОФЕЗТЙТХС РП k Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (6.21), РПМХЮБЕН

	g2c	k"		g2ck"3
Im ˚("; p) = −		sign "	k2 dk = − sign "
	8ıvF			24ıvF ; k" = min[kD ; |"|=c]	(6.22)
		0

оБКДЕООБС НОЙНБС ЮБУФШ Im ˚("; p) РТЙ |"| "F СŒМСЕФУС ЖХОЛГЙЕК ПДОПЗП ФПМШЛП ", Й ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ p.

рЕТЕИПДС Л ВЕЪТБЪНЕТОПК ЛПОУФБОФЕ “ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, g2 =

“ = 0, РПМХЮБЕН	“ ı	sign "			3
Im ˚(") = −			"			ÐÒÉ	" < !D		,
	12p2c2		!|	3|		ÐÒÉ	|"|	> !D .		(6.23)
	0			D			| |

фП ПВУФПСФЕМШУФŒП, ЮФП Im ˚(") ПЛБЪБМБУШ ОЕЮЕФОПК ЖХОЛГЙЕК ", СŒМСЕФУС УМЕДУФŒЙЕН ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОПК УЙННЕФТЙЙ, ЙНЕАЭЕК НЕУФП РТЙ |"| "F .

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП РТЙ НБМЩИ ЬОЕТЗЙСИ

Im ˚(") " ;

(6.24)

Ф. Е. ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ У ЬОЕТЗЙЕК ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ ПЮЕОШ ŒЕМЙЛП РП УТБŒОЕОЙА У h="— , Й ТБУФЕФ РТЙ ХНЕОШЫЕОЙЙ ЬОЕТЗЙЙ ВЩУФТЕЕ, ЮЕН "−1. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ОЕ ТБЪТХЫБЕФ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОХА ЛБТФЙОХ.

ъБŒЙУЙНПУФШ Im ˚(" < !D ) "3 НПЦОП ПВ СУОЙФШ ЛБЮЕУФŒЕООП. œЕТПСФОПУФШ ЙУРХУЛБОЙС ЬМЕЛФТПОПН ЖПОПОБ У ЪБДБООЩН ŒПМОПŒЩН ŒЕЛФПТПН k РТПРПТГЙПОБМШОБ k, РПУЛПМШЛХ ПРЕТБФПТ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС РТПРПТГЙПОБМЕО ЗТБДЙЕОФХ УНЕЭЕОЙС ТЕЫЕФЛЙ (ЙОЩНЙ УМПŒБНЙ, ЖПОПО У k = 0 ОЕ ДПМЦЕО ЙУРХУЛБФШУС ŒППВЭЕ | ЬФП РТПУФП ФТБОУМСГЙС ЛТЙУФБММБ, ЛБЛ ГЕМПЗП). рТЙ ЬФПН, ПДОБЛП, ЕУМЙ " < !D , ФП ЬМЕЛФТПО ОЕ НПЦЕФ ЙУРХУЛБФШ ЖПОПОЩ У РТПЙЪŒПМШОП ВПМШЫЙНЙ k. дЕМП Œ ФПН, ЮФП ЙУРХУФЙŒ ЖПОПО У ВПМШЫПК ЬОЕТЗЙЕК, ЬМЕЛФТПО РЕТЕЫЕМ ВЩ Œ УПУФПСОЙЕ У ЬОЕТЗЙЕК, НЕОШЫЕК "F . оП ФБЛЙЕ УПУФПСОЙС ЪБОСФЩ, Й РЕТЕКФЙ Œ ОЙИ ОЕМШЪС. рП ЬФПК РТЙЮЙОЕ ЬМЕЛФТПО ВХДЕФ ЙУРХУЛБФШ ФПМШЛП ЖПОПОЩ У ŒПМОПŒЩНЙ ŒЕЛФПТБНЙ k "=c. рТЙ ЬФПН ЮЙУМП ЛПОЕЮОЩИ УПУФПСОЙК | РПТСДЛБ РМПЭБДЙ РПŒЕТИОПУФЙ УЖЕТЩ ТБДЙХУБ k. (йНЕООП РМПЭБДЙ, Б ОЕ ПВ ЕНБ | ЙЪ-ЪБ ЪБЛПОПŒ УПИТБОЕОЙС!) рЕТЕНОПЦБС ŒЕТПСФОПУФШ ЙУРХУЛБОЙС ЖПОПОБ Й ЮЙУМП ЛПОЕЮОЩИ УПУФПСОЙК, РПМХЮБЕН ДМС ŒЕТПСФОПУФЙ ТБУРБДБ ‚ "3.

фБЛЙН ПВТБЪПН, Œ ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЕ ŒЕТПСФОПУФЙ РТПГЕУУПŒ ТБУУЕСОЙС РТЙ НБМЩИ ЬОЕТЗЙСИ УЙМШОП ХНЕОШЫБАФУС. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ŒВМЙЪЙ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ НПЦОП ЗПŒПТЙФШ П ИПТПЫП ПРТЕДЕМЕООЩИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГБИ. вПМШЫЙЕ ŒТЕНЕОБ ЦЙЪОЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ | ЛМАЮЕŒПЕ УŒПКУФŒП ДМС ПВПУОПŒБОЙС ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ.

тЕЪХМШФБФ (6.23) Œ УМХЮБЕ " > !D ФБЛЦЕ НПЦОП РПОСФШ У РПНПЭША ЛБЮЕУФŒЕООЩИ УППВТБЦЕОЙК. рТЙ " > !D ЬМЕЛФТПО УРПУПВЕО ЙУРХУЛБФШ ЖПОПОЩ У ЙНРХМШУБНЙ ŒРМПФШ ДП kD, ПУФБŒБСУШ УОБТХЦЙ ЖЕТНЙ-УЖЕТЩ. рПЬФПНХ ŒЕТПСФОПУФШ ТБУРБДБ ПРТЕДЕМСЕФУС ЖПОПОБНЙ У k ≈ kD Й ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ". лПОЕЮОЩЕ УПУФПСОЙС ЬМЕЛФТПОБ МЕЦБФ Œ ФПОЛПН УЖЕТЙЮЕУЛПН УМПЕ, ЙНЕАЭЕН ФПМЭЙОХ РПТСДЛБ !D "F .

120	змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ

оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ДБЦЕ РТЙ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ “ 1 ŒЕТПСФОПУФШ ТБУРБДБ ‚ УТБŒОЙŒБЕФУС У " ФПМШЛП РТЙ " ≈ !D .

тЕЫЕОЙЕ 29. œ ЪБДБЮЕ 28 ВЩМП РПМХЮЕОП ŒЩТБЦЕОЙЕ (6.17) ДМС ˚("; p) Й ŒЩЮЙУМЕОБ ЕЗП НОЙНБС ЮБУФШ. тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ЮБУФШ Re ˚("; p) Й ОБКДЕН РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ УРЕЛФТБ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ. ъБРЙЫЕН ŒЕЭЕУФŒЕООХА ЮБУФШ ŒЩТБЦЕОЙС (6.17) Œ ŒЙДЕ

g2cm

kD

Re ˚("; p) =

I(k) k2 dk ;

(6.25)

8ı2

|

p

ЗДЕ ЙОФЕЗТБМ

|

0

"

ck

‰

" + ck

‰

‰max

„(‰)

„(−‰)

I(k) =

+

d‰

(6.26)

‰min

−

−

−

РПОЙНБЕФУС Œ УНЩУМЕ ЗМБŒОПЗП ЪОБЮЕОЙС, Б ПВМБУФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ‰ ДБЕФУС ХУМПŒЙЕН (6.18).

йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ‰ ДБЕФ

$

"

ck

‰

max

$

$

" + ck

$

I(k) = ln

$

" − ck

$

+ ln

$

" + ck − ‰min

$

:

$

−

−

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ОБН ВХДЕФ ХДПВОП РТЕДУФБŒЙФШ Œ ФБЛПН ŒЙДЕ:

	$	" + ck	$		$	" ck		‰	max	$
I(k) = ln	$	" − ck	$	+ ln	$					$	:
	$		$		$	" + ck − ‰min				$
						−	−
	$		$		$					$
	$		$		$					$

(6.27)

(6.28)

рЕТŒПЕ УМБЗБЕНПЕ Œ (6.28) РПУМЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП k < kD ДБЕФ ŒЛМБД Œ ˚("; p), УХЭЕУФŒЕООП ЪБŒЙУСЭЙК ПФ " Œ ПВМБУФЙ |"| !D . ъБŒЙУЙНПУФШ ЦЕ ЬФПЗП ŒЛМБДБ ПФ p, ŒПЪОЙЛБАЭБС ВМБЗПДБТС ЛПЬЖЖЙГЙЕОФХ |p|−1 Œ (6.25), | ДПŒПМШОП УМБВБС (ŒЕМЙЮЙОБ (6.25) ЮХŒУФŒЙФЕМШОБ ФПМШЛП Л ВПМШЫЙН ЙЪНЕОЕОЙСН p РПТСДЛБ p0).

œФП ЦЕ ŒТЕНС ŒФПТПЕ УМБЗБЕНПЕ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (6.28) ДБЕФ ĂТЕЗХМСТОЩКĄ ŒЛМБД

Œ˚("; p), УМБВП НЕОСАЭЙКУС ЛБЛ ЖХОЛГЙС " Й p РТЙ ЙЪНЕОЕОЙСИ |‹"| "F , |‹p| p0. юФПВЩ Œ ЬФПН ХВЕДЙФШУС, ЪБНЕФЙН, ЮФП ck |‰min|; ‰max, Й РПЬФПНХ ŒП ŒФПТПН МПЗБТЙЖНЕ Œ (6.28) НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ ck РП УТБŒОЕОЙА У ‰min, ‰max.

йНЕС ЬФП Œ ŒЙДХ, РТЕДУФБŒЙН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ Œ ŒЙДЕ ˚ÏÓÏÂ(") + ˚ÒÅÇ Й, ЙНЕС Œ ŒЙДХ НБМЩЕ |"| "F É |p| ВМЙЪЛЙЕ Л p0, ŒЛМАЮЙН ˚ÒÅÇ Œ РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ ЪБФТБŒПЮОЩИ ИЙНРПФЕОГЙБМБ — = EF Й УЛПТПУФЙ vF = p0=m.

фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН

	g2c	kD		$	" − ck	$
Re ˚(") = Re ˚ (") =		0	ln				k2dk :	(6.29)
				$		$
ÏÓÏÂ	8ı2vF			$	" + ck	$
				$		$
				$		$

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ИБТБЛФЕТОПЕ УŒПКУФŒП ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПК УПВУФŒЕООП{ ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ | ОЕЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ЙНРХМШУБ p ЬМЕЛФТПОБ. жЙЪЙЮЕУЛБС РТЙЮЙОБ ЬФПЗП | НЕДМЕООПУФШ ЖПОПОПŒ, РТЙŒПДСЭБС Л ФПНХ, ЮФП ЙУРХЭЕООЩК ЬМЕЛФТПОПН