Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

5.3. теыеойс

фЕРЕТШ, РПУЛПМШЛХ (−!) = (!), ВЕТЕН ОЕЮЕФОХА ЖХОЛГЙА

Im !;k = —B 0		0	ÐÒÉ	|!| > kvF .
2		!	ÐÒÉ	! < kvF ,

| |

Й ŒПУУФБОБŒМЙŒБЕН (!) РП БОБМЙФЙЮОПУФЙ:

(!) = ı	!		!			i0	:
1	Im (!				)d!
		−		−

101

(5.56)

(5.57)

ьФП РТЙŒПДЙФ Л ФПЮОП ФБЛПНХ ЦЕ ЙОФЕЗТБМХ, ЮФП Й Œ РТЕДЩДХЭЕН ТЕЫЕОЙЙ. ъБНЕФЙН, ЮФП Œ ВПМЕЕ УМПЦОЩИ УЙФХБГЙСИ ОБИПЦДЕОЙЕ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ Œ ДŒБ ЬФБ-

РБ (УОБЮБМБ НОЙНБС ЮБУФШ, Б ЪБФЕН ŒЕЭЕУФŒЕООБС) НПЦЕФ ПЛБЪБФШУС ХДПВОЕЕ РТСНПЗП ŒЩЮЙУМЕОЙС. нОЙНБС ЮБУФШ ŒУЕЗДБ УŒСЪБОБ У ПРТЕДЕМЕООЩНЙ РТПГЕУУБНЙ ТБУРБДБ, РПЬФПНХ ПОБ ПВЩЮОП ЙНЕЕФ ВПМЕЕ РТПЪТБЮОХА УФТХЛФХТХ, ЮЕН ŒЕЭЕУФŒЕООБС ЮБУФШ.

тЕЫЕОЙЕ 25. оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ДЙОБНЙЮЕУЛЙК ПФЛМЙЛ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ. œЩЮЙУМЙН ЕЗП РП ЖПТНХМЕ лХВП (5.2). дМС ВЕУУРЙОПŒЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ ПРЕТБФПТ РМПФОПУФЙ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ ЕУФШ

					+(x; t) (x; t) ;
РПЬФПНХ	n(x; t) =						(5.58)
	Q(!; k) =	i	∞	[nk (t); nk (0)] ei!t dt :			(5.59)
		h—
			0

тБУЛТЩŒБЕН УТЕДОЕЕ ЛПННХФБФПТБ РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ, ЛБЛ Й Œ РТЕДЩДХЭЕК ЪБДБЮЕ, Й РПУМЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ", РПМХЮБЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ, БОБМПЗЙЮОПЕ (5.47):

Q(!; k) =

!

1

+

1

i‹

dq

:

(5.60)

−

qk=m + i‹

!

−

qk=m

−

2ı

|q+|>p0

−

|q−|<p0

пЗТБОЙЮЕОЙС, ОБЛМБДЩŒБЕНЩЕ РТЙОГЙРПН рБХМЙ, ПЪОБЮБАФ, ЮФП q НЕОСЕФУС Œ РТЕДЕМБИ

p0 − k=2 < q < p0 + k=2	ÐÒÉ k > 0 ;
−p0 − |k|=2 < q < −p0 + |k|=2	ÐÒÉ k < 0 :	(5.61)

уМЕДПŒБФЕМШОП, РТЙ НБМЩИ k p−0 1 Œ РПДЙОФЕЗТБМШОПН ŒЩТБЦЕОЙЙ (5.60) НПЦОП РТПУФП РПМПЦЙФШ q = p0 ÐÒÉ k > 0, É q = −p0 РТЙ k < 0. рТЙ ЬФПН НЩ РТЕОЕВТЕЗБЕН ЪБŒЙУЙНПУФША УЛПТПУФЙ q=m ПФ ЬОЕТЗЙЙ Œ НБМПК ПЛТЕУФОПУФЙ ХТПŒОС жЕТНЙ. йОБЮЕ ЗПŒПТС, НЩ МЙОЕБТЙЪХЕН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ:

‰(p) = p2=2m − EF → ‰(p) = vF (|p| − p0)

(5.62)

(ЮФП ЬЛŒЙŒБМЕОФОП РЕТЕИПДХ Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰). рПМХЮБЕН

Q(!; k) = 2ı	!		vF1k	+ i‹ − ! + vF1k + i‹ ;	(5.63)
k		−	| |	| |

102	змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ
ÉÌÉ		v2 k2
Q(!; k) =	1D	F	;	(5.64)
	!2 − vF2 k2 + i‹ sign !

ÇÄÅ 1D = 1=ıvF | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК РТЙ D = 1 ВЕЪ ХЮЕФБ УРЙОПŒПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС. хЮЕФ УРЙОБ ХŒЕМЙЮЙŒБЕФ 1D ŒÄŒÏÅ.

тЕЫЕОЙЕ 26. пРЕТБФПТ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ Œ ЙОФЕТŒБМЕ 0 < x < L ЕУФШ
			NL = L n(x) dx ;					n(x) = +(x) (x) ;	(5.65)
				0
Á NL2 =	L L		n(x)n(x ) dx dx . рМПФОПУФШ				n	= p0=ı, УМЕДПŒБФЕМШОП,
	0	0
				NL =			n(x) dx = ı L :
									(5.66)
						L		p0
оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ						0
					L L
				‹NL2	=		n(x)n(x ) dx dx ;		(5.67)
					0	0

ЗДЕ ::: ПВПЪОБЮБЕФ ОЕРТЙŒПДЙНЩК ЛПТТЕМСФПТ, РПМХЮБЕНЩК ĂУŒСЪОЩНĄ ХУТЕДОЕОЙЕН. рЕТЕИПДЙН Л ЙНРХМШУОПНХ РТЕДУФБŒМЕОЙА: (x) = ap eipx. фПЗДБ

			p
NL2	= p1	;p2;p3;p4	L L ap+1 ap2 ap+3 ap4 eix(p2−p1)+ix (p4−p
			0 0

тБУЛТПЕН УТЕДОЕЕ РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ:

a+p1 ap2 a+p3 ap4 = a+p1 ap2 a+p3ap4 + a+p1 ap4 ap2

оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ФПМШЛП ŒФПТПЕ УМБЗБЕНПЕ, РПУЛПМШЛХ РЕТŒПЕ ŒЛМБДБ Œ ОЕРТЙŒПДЙНЩК ЛПТТЕМСФПТ. рПМХЮБЕН

3)dx dx :

a+p3 :

ÅÓÔØ NL 2

(5.68)

(5.69)

É ÎÅ ÄÁÅÔ

n(x)n(x )

=

ap+1 ap2

ap+3 ap4 eix(p2−p1)+ix (p4−p3) =

p0

+

p0

eip3(x−x )

2ı

=

=

eip1

(x −x) 2ı ×

eip3(x−x ) 2ı −

dp1

∞

dp3

dp3

−p0

−∞

−p0

p0

eip(x−x ) 2ı

p0

eip(x−x )‹(x − x ) 2ı =

= −

+

dp

2

dp

−p0

−p0

=

1 sin2 p0(x − x )

+ p0

‹(x

−

x ) :

(5.70)

−ı2

(x − x )2

ı

5.3. теыеойс

йОФЕЗТЙТХС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ, ОБИПДЙН

L	ı	−	ı2		(x x )2
‹N 2	= p0 L		1	L L	sin2 p0(x − x ) dx dx :
				0 0	−

рЕТЕКДЕН Л ОПŒЩН ЛППТДЙОБФБН: u = x − x , v = x + x :

	(x x )2					u2
L L sin2 p0(x − x ) dx dx				= 2	L du sin2 p0u		L dv =
0 0	= 2	−	u2 0		0		u
		(L − u)		du ≈ 2 2 Lp0 −			2 ln Lp0 :
		L	sin2 p u			ı	1
		0

йФБЛ, ОБИПДЙН

103

(5.71)

‹NL2 =	p0	p0		1		1
	ı L −	ı	L +	ı2	ln(Lp0) =	ı2	ln(p0L) ;	(5.72)

ЮФП Й ФТЕВПŒБМПУШ.

рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 27. вХДЕН УЮЙФБФШ ЬМЕЛФТПОЩ ВЕУУРЙОПŒЩНЙ Й ŒПУУФБОПŒЙН ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ УРЙОБ Œ ЛПОГЕ. œПЪШНЕН УТЕДОЕЕ S-НБФТЙГЩ РП ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА

ÇÁÚÁ Ó U (r) = 0,					T exp(−i 0
			K‚	=			Hint(t)dt) ;			(5.73)
Й ТБЪМПЦЙН ЬЛУРПОЕОФХ Œ ТСД				'		−∞		(
	0	t1	tn−1
n=0			: : : (−i)n		Hint(t1)Hint(t2) : : : Hint(tn)				dtn : : : dt2dt1	(5.74)
	−∞ −∞		−∞	'					(
∞
Б) œЩДЕМЙН ЙЪ УХННЩ (5.74) ЮБУФШ У n > 0:
					K‚ = 1 + ˜ :					(5.75)
нПЦОП ПВЩЮОЩН ПВТБЪПН ТБЪМПЦЙФШ ln K‚ Œ ÒÑÄ ÐÏ ˜:
			ln K‚ = ˜ −			1	1
						2˜2 +	3˜3 − : : :			(5.76)

рПДУФБŒЙН УАДБ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ˜ Œ ŒЙДЕ УХННЩ УТЕДОЙИ ПФ ЮМЕОПŒ ТБЪМПЦЕОЙС T- ЬЛУРПОЕОФЩ Œ ТСД Й ТБУЛТПЕН УЛПВЛЙ. йЪХЮЙŒ ОЕУЛПМШЛП ОЙЪЫЙИ РПТСДЛПŒ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ХВЕДЙНУС, ЮФП РТЙ ТБУЛТЩŒБОЙЙ УТЕДОЙИ РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ УПЛТБФСФУС ŒУЕ УТЕДОЙЕ, ЪБ ЙУЛМАЮЕОЙЕН УŒСЪОЩИ ЗТБЖЙЛПŒ. ьФП ОБВМАДЕОЙЕ НПЦОП ПВПВЭЙФШ

ОБ ЗТБЖЙЛЙ РТПЙЪŒПМШОПЗП РПТСДЛБ, Й ДПЛБЪБФШ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНХА ФЕПТЕНХ П УŒСЪОЩИ ЗТБЖЙЛБИ.

фЕПТЕНБ ХФŒЕТЦДБЕФ, ЮФП МПЗБТЙЖН УТЕДОЕЗП S-НБФТЙГЩ НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ Œ ŒЙДЕ ТСДБ:

∞	1
ln K‚ = − n=1 n Fn ;		(5.77)

104	змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ

ЗДЕ ЛБЦДПЕ Fn ДБЕФУС ЕДЙОУФŒЕООЩН ЗТБЖЙЛПН (ТЙУ. 5.2):

1

2

	Fn =	n
		3
		n−1
		4

òÉÓ. 5.2

дПЛБЪБФЕМШУФŒП ФЕПТЕНЩ П УŒСЪОЩИ ЗТБЖЙЛБИ ОЕФТХДОП РПМХЮЙФШ, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП УПЛТБЭЕОЙЕ ОЕУŒСЪОЩИ ЗТБЖЙЛПŒ ЕУФШ ЖБЛФ ЮЙУФП ЛПНВЙОБФПТОПЗП РТПЙУИПЦДЕОЙС. пО ПРЙТБЕФУС ОБ УŒПКУФŒБ ЛПНВЙОБФПТОЩИ НОПЦЙФЕМЕК, ŒПЪОЙЛБАЭЙИ РТЙ ТБУЛТЩŒБОЙЙ УТЕДОЕЗП (5.74) РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ, Б ФБЛЦЕ ОБ УŒПКУФŒБ ВЙОПНЙБМШОЩИ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПŒ, РПСŒМСАЭЙИУС ЙЪ ЮМЕОПŒ ˜n Œ (5.76). нОПЦЙФЕМЙ 1=n Œ (5.77) ŒПЪОЙЛБАФ РПФПНХ,

ЮФП УРПУПВПŒ ĂУŒСЪОПЗПĄ ХУТЕДОЕОЙС Hint(t1) : : : Hint(tn) ŒÓÅÇÏ (n − 1)!, Б УРПУПВПŒ
ХРПТСДПЮЕОЙС ŒТЕНЕО Œ ЗТБЖЙЛЕ | n!.

фЕПТЕНБ (5.77) ОБРПНЙОБЕФ ЙЪŒЕУФОХА ФЕПТЕНХ П УŒСЪОЩИ ЗТБЖЙЛБИ ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ ˙ (УН. [1], ЗМ. III, § 15). оЕФТХДОП ЪБНЕФЙФШ, ЮФП ТБЪМЙЮЙЕ НЕЦДХ ХУТЕДОСЕНЩНЙ ŒЕМЙЮЙОБНЙ, ln S Œ ПДОПН УМХЮБЕ, Й ˙ | Œ ДТХЗПН, УŒПДЙФУС РТПУФП Л ЪБНЕОЕ ТЕБМШОПЗП ŒТЕНЕОЙ ОБ НБГХВБТПŒУЛПЕ. (оБРПНОЙН, ЮФП e˙=T ЕУФШ УТЕДОЕЕ ПФ S-НБФТЙГЩ ŒП НОЙНПН ŒТЕНЕОЙ | УН. ЗМ. 7.) иПД ДПЛБЪБФЕМШУФŒБ Œ ПВПЙИ УМХЮБСИ ПДЙО Й ФПФ ЦЕ.

В) рЕТЕКДЕН Л ТБУУНПФТЕОЙА ЮМЕОПŒ ТСДБ (5.77). рЕТŒЩЕ ФТЙ ЗТБЖЙЛБ ТСДБ ŒЩЗМСДСФ ФБЛ:

F1	F	F3
	2

òÉÓ. 5.3

œЩЮЙУМЕОЙЕ ХДПВОП РТПŒЕУФЙ ŒП ŒТЕНЕОО«ПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. œЛМБД F1 ЙНЕЕФ УМЕ-

ДХАЭЙК ŒЙД:	Hint(t) dt = −i 0	+(r) (r)U (r) d3r e‚t dt =
F1 = −i 0

−∞

−∞

5.3. теыеойс			105
= −i ‚		U (r) d3r ;	(5.78)
n

ЗДЕ n | РМПФОПУФШ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ. жЙЪЙЮЕУЛЙ ЬФПФ ŒЛМБД УŒСЪБО УП УДŒЙЗПН ЬОЕТЗЙЙ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС, ŒЩЮЙУМЕООЩН Œ РЕТŒПН РПТСДЛЕ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. рПЬФПНХ ПО ОЕ ЙНЕЕФ ПФОПЫЕОЙС Л ŒПРТПУХ ПВ ПТФПЗПОБМШОПУФЙ УПУФПСОЙК. œ УБНПН ДЕМЕ, ДПРХУФЙН, ЮФП Œ ТЕЪХМШФБФЕ ŒŒЕДЕОЙС ŒПЪНХЭЕОЙС ЬОЕТЗЙС ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ЙЪНЕОЙМБУШ ОБ ‹", Б УБНП УПУФПСОЙЕ ПУФБМПУШ Œ ФПЮОПУФЙ ФЕН ЦЕ. фПЗДБ

				ln K‚ = −i 0		‹"e‚tdt = −i ‹"=‚ :					(5.79)
					−∞
œЛМБД ŒФПТПЗП РПТСДЛБ F2 ÅÓÔØ								Hint(t)Hint(t ) dt dt :
F2 = (−2 )			T Hint(t )Hint(t) dt dt = −								(5.80)
i	2	0	0			0		t
		−∞−∞				−∞−∞
œЩРПМОСС ХУТЕДОЕОЙЕ Œ Hint(t)Hint(t ) РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ, РПМХЮБЕН
e‚te‚t				U (r)U (r ) +(r; t)		(r ; t )	(r; t)		+(r ; t ) d3r d3r :		(5.81)

фЕРЕТШ ЪБНЕОЙН РПФЕОГЙБМ ТБУУЕСОЙС ОБ ‹-ЖХОЛГЙА, U (r) = ¸‹(3)(r), Й ŒЩЮЙУМЙН РБТОЩЕ УТЕДОЙЕ Œ (5.81) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

+(r; t) (r; t ) r=0

(r; t) +(r; t ) r=0

			−t)−‹‰(p)n(p) =			0	−		;
= e−i‰(p)(t
p						‹ + i(t		t )
	i‰(p)(t		t)+‹‰(p)					0	−
= e		−		(1	− n(p)) = ‹ + i(t t )
p

(5.82)

(5.83)

рБТБНЕФТ ‹ ≈ EF−1 ŒŒЕДЕО Œ (5.82), (5.83), ЮФПВЩ ТЕЗХМСТЙЪПŒБФШ ЙОФЕЗТБМ РП p. дМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ЬФПЗП ЙОФЕЗТБМБ НЩ ŒПУРПМШЪПŒБМЙУШ РТЙВМЙЦЕОЙЕН РПУФПСООПК РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК Œ ПЛТЕУФОПУФЙ EF Й ЪБНЕОЙМЙ ЙОФЕЗТБМ РП p ЙОФЕЗТБМПН РП ‰. фБЛПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ ПРТБŒДБОП ФЕН, ЮФП ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ЙОЖТБЛТБУОП ТБУИПДСЭЙКУС ŒЛМБД

ŒF2, ЛПФПТЩК ПРТЕДЕМСЕФУС ДЙОБНЙЛПК ЮБУФЙГ У ЬОЕТЗЙСНЙ ВМЙЪЛЙНЙ Л EF . рПДУФБŒМСС (5.82) Й (5.83) Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ (5.81), Б РПУМЕДОЕЕ, Œ УŒПА ПЮЕТЕДШ, Œ

(5.80), РПМХЮБЕН

F2 = −( 0¸)2			t	e‚te‚t	(‹ + i(t	t ))2 :	(5.84)
	0				dt dt
	−∞−∞				−

ьФПФ ЙОФЕЗТБМ ОЕФТХДОП ŒЩЮЙУМЙФШ, ЕУМЙ РЕТЕКФЙ Л ОПŒЩН РЕТЕНЕООЩН t+ = −(t+t ), t− = t − t , Й ХЮЕУФШ, ЮФП dt dt = (1=2)dt+ dt−. йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ ŒЩРПМОСЕФУС ФБЛ:

1		+∞		∞	dt	1		+∞ e−‚t+
F2 = −2		2		‚t+	−	)2 = −2		2	t+ + i‹ dt+ :
	( 0¸)		dt+e−		(‹ + it		( 0¸)			(5.85)
		0		t+	−			0

106	змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ

œ РТЕДЕМЕ ‚ → 0, ЮФП УППФŒЕФУФŒХЕФ НЕДМЕООПНХ ŒЛМАЮЕОЙА ТБУУЕЙŒБАЭЕЗП РПФЕОГЙБМБ U (r), ЙОФЕЗТБМ РП t+ ÅÓÔØ − ln(i‹‚) ≈ ln(EF =i‚). œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН

Re F2 = −	1	( 0¸)2 ln (EF =‚) :	(5.86)
	2

нЩ ПФВТПУЙМЙ НОЙНХА ЮБУФШ F2, РПУЛПМШЛХ ПОБ ДБЕФ ŒЛМБД ФПМШЛП Œ ОЕЙОФЕТЕУХАЭХА ОБУ ЖБЪХ ЙОФЕЗТБМБ РЕТЕЛТЩФЙС K‚ .

дМС УМБВПЗП РПФЕОГЙБМБ U (r) ŒЕМЙЮЙОЩ Fn ВЩУФТП ХВЩŒБАФ У ТПУФПН n, РПУЛПМШЛХ ŒЕМЙЮЙОБ Fn РТПРПТГЙПОБМШОБ n-К УФЕРЕОЙ РПФЕОГЙБМБ. рПЬФПНХ ДМС ПГЕОЛЙ |K‚ | ДПУФБФПЮОП ХЮЕУФШ ФПМШЛП Re F2, ПФВТПУЙŒ ŒЛМБДЩ У n > 2. йФБЛ, НЩ РПМХЮБЕН УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЙОФЕЗТБМБ РЕТЕЛТЩФЙС:

‹2	=2ı2	(5.87)
|K‚ | = (‚=EF ) 0	; ‹0 = ı¸ 0 :

оЕФТХДОП ХВЕДЙФШУС Œ ФПН, ЮФП ‹0 ЕУФШ Œ ФПЮОПУФЙ ЖБЪБ ТБУУЕСОЙС Œ s-ЛБОБМЕ ОБ ЛПТПФЛПДЕКУФŒХАЭЕН РПФЕОГЙБМЕ U (r) = ¸‹(3)(r), ŒЪСФБС Œ РЕТŒПН ВПТОПŒУЛПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ.

оБРПНОЙН, ЮФП РТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ F2 НЩ УЮЙФБМЙ ЖЕТНЙПОЩ ВЕУУРЙОПŒЩНЙ. хЮЕФ ДŒХЛТБФОПЗП УРЙОПŒПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС РТЙŒПДЙФ Л ДПРПМОЙФЕМШОПНХ НОПЦЙФЕМА 2 Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (5.84) Й ДБМЕЕ. œ ТЕЪХМШФБФЕ НОПЦЙФЕМШ 1=2 Œ РПЛБЪБФЕМЕ УФЕРЕОЙ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (5.87) УПЛТБЭБЕФУС, Й ПЛПОЮБФЕМШОЩК ПФŒЕФ ŒЩЗМСДЙФ ФБЛ:

|K‚ | = (‚=EF )¸ ; ¸ = ‹02=ı2 :

(5.88)

Œ) фЕРЕТШ, ЪОБС K‚ , ПГЕОЙН РЕТЕЛТЩФЙЕ ПУОПŒОЩИ УПУФПСОЙК 0|0 . дМС ЬФПЗП РПМЕЪОП РПДХНБФШ П РТЕДЕМБИ РТЙНЕОЙНПУФЙ ОБЫЕЗП ŒЩЮЙУМЕОЙС. уП УФПТПОЩ НБМЩИ ‚ ЙНЕЕФУС ПЗТБОЙЮЕОЙЕ, УŒСЪБООПЕ У ЛПОЕЮОПУФША ТБЪНЕТБ УЙУФЕНЩ. нЩ УЮЙФБМЙ РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ОЕРТЕТЩŒОПК, ЛБЛ Й РПМБЗБЕФУС Œ ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ. пДОБЛП Œ ЛПОЕЮОПК УЙУФЕНЕ ХТПŒОЙ ДЙУЛТЕФОЩ.

пГЕОЙН ТБУУФПСОЙЕ ´ НЕЦДХ ХТПŒОСНЙ Œ УЖЕТЙЮЕУЛПН ПВ ЕНЕ ТБДЙХУБ L. еУМЙ ЗПŒПТЙФШ П ŒУЕИ ХТПŒОСИ ŒНЕУФЕ, ФП, ТБЪХНЕЕФУС, ´ = ( 43ı L3 0)−1. œ ОБЫЕК ЪБДБЮЕ, ПДОБЛП, ŒБЦОЩ ФПМШЛП УПУФПСОЙС У ХЗМПŒЩН НПНЕОФПН, ТБŒОЩН ОХМА, ЛПФПТЩИ ЗПТБЪДП НЕОШЫЕ. дЕКУФŒЙФЕМШОП, ДПРХУФЙН, ЮФП РПФЕОГЙБМ ТБУРПМПЦЕО ФПЮОП Œ ГЕОФТЕ УЖЕТЩ. фПЗДБ ХЗМПŒПК НПНЕОФ ВХДЕФ ИПТПЫЙН ЛŒБОФПŒЩН ЮЙУМПН Й, РПУЛПМШЛХ ОБЫ ‹-РПФЕОГЙБМ ТБУУЕЙŒБЕФ ФПМШЛП s-ŒПМОЩ, УПУФПСОЙС У l > 0 ĂŒЩИПДСФ ЙЪ ЙЗТЩĄ. хТПŒОЙ ЦЕ У l = 0, РТЙОЙНБАЭЙЕ ХЮБУФЙЕ Œ ТБУУЕСОЙЙ, ТБУРПМПЦЕОЩ ОБ ТБУУФПСОЙЙ РПТСДЛБХ ´0 = hv— F =L ДТХЗ ПФ ДТХЗБ. (дБООБС ПГЕОЛБ УРТБŒЕДМЙŒБ Œ ПЛТЕУФОПУФЙ EF .)

фЕРЕТШ ЪБНЕФЙН, ЮФП РТЙ ДПУФБФПЮОП НБМПН ‚ ´0 НЩ ЙНЕЕН ДЕМП УП УМХЮБЕН БДЙБВБФЙЮЕУЛЙ НЕДМЕООПЗП ŒЛМАЮЕОЙС ŒПЪНХЭЕОЙС. рТЙ ЬФПН ЛБЛ ŒП ŒТЕНС, ФБЛ Й РПУМЕ ДЕКУФŒЙС ŒПЪНХЭЕОЙС УПУФПСОЙЕ УЙУФЕНЩ ПУФБЕФУС ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП ВМЙЪЛЙН Л ПУОПŒОПНХ, Й, УМЕДПŒБФЕМШОП,

|K|‚ ´0 = | 0|0 | + O(e−´0=‚ ) :

(5.89)

5.3. теыеойс

107

œ РТЙОГЙРЕ, РПМШЪПŒБФШУС ПВЩЮОПК ФЕПТЙЕК ŒПЪНХЭЕОЙК ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС K‚ НПЦОП ФПМШЛП ДМС ‚ ´0. пДОБЛП РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ РТБŒЙМШОЩК ТЕЪХМШФБФ РПМХЮЙФУС, ЕУМЙ РТЙТБŒОСФШ K‚=´0 É 0|0 . рПЬФПНХ РПМБЗБЕН

‚ ≈ ´0 = hv— F =L ;

(5.90)

ЮФП ДБЕФ ФТЕВХЕНХА ПГЕОЛХ РЕТЕЛТЩФЙС ПУОПŒОЩИ УПУФПСОЙК:

0|0 ≈ (p0L)−¸ ; ¸ = ‹02=ı2 ;

(5.91)

ÇÄÅ ‹0 = ı¸ 0.

œЩТБЦЕОЙЕ (5.91) РПМХЮЕОП ДМС УМБВПЗП РПФЕОГЙБМБ ŒПЪНХЭЕОЙС. вПМЕЕ ФПЮОБС ПГЕОЛБ ЙОФЕЗТБМБ РЕТЕЛТЩФЙС 0|0 , ОЕ ЙУРПМШЪХАЭБС РТЕДРПМПЦЕОЙЕ П УМБВПН ŒПЪНХЭЕОЙЙ, РПФТЕВПŒБМБ ВЩ УХННЙТПŒБОЙС ŒУЕЗП ТСДБ (5.19), РПУЛПМШЛХ Œ ЛБЦДПН РПТСДЛЕ ЙНЕЕФУС МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ТБУИПДЙНПУФШ, РПДПВОБС ОБКДЕООПК ŒЩЫЕ ДМС F2. ьФБ ВПМЕЕ УМПЦОБС ЪБДБЮБ НПЦЕФ ВЩФШ ТЕЫЕОБ РТЙ РПНПЭЙ НЕФПДБ ВПЪПОЙЪБГЙЙ (УН. ЪБДБЮХ 78, ЗМ. 12).

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 27 В. œЩЮЙУМЙН F2, ЙУРПМШЪХС ФЕИОЙЛХ РТЙЮЙООЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ. дМС ЬФПЗП ТБУУНПФТЙН РЕТŒПЕ ЙЪ ŒЩТБЦЕОЙК (5.80) Й ТБУЛТПЕН УТЕДОЕЕ T::: ПВЩЮОЩН ПВТБЪПН ЛБЛ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ РТЙЮЙООЩИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК. лБЛ Й ŒЩЫЕ, ЪБНЕОСЕН РПФЕОГЙБМ U (r) ОБ ‹-ЖХОЛГЙА ¸‹(3)(r). œ ЮБУФПФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЗБНЙМШ-

ФПОЙБО ŒПЪНХЭЕОЙС Hint = ¸e‚t +(r; t)		(r; t)|r=0 РТЙОЙНБЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:
		−		(5.92)
	int(!) =	¸	ap+ap :
	H	‚	i! p;p

рПДУФБŒМСС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ (5.80) Й РЕТЕИПДС Л ЙОФЕЗТБМБН РП ‰(p) Й ‰(p ), РПМХЮБЕН

F2

= −2 02

‚ i(!2

!1) ‚ i(!1

!2)

(2ı)2

=

1

G(!1

; ‰1) ¸

G(!2; ‰2) ¸

d!1 d!2 d‰1 d‰2

= −

1

−

−

−

−

2

¸2 02

I(‰1; ‰2) d‰1 d‰2 :

(5.93)

нЩ ŒŒЕМЙ ПВПЪОБЮЕОЙЕ

− !2)2 + ‚2

I(‰1; ‰2) =

(!1

(2ı)2

;

(5.94)

G(!1

; ‰1) G(!2; ‰2)

d!1 d!2

ÇÄÅ G(!; ‰) = 1=(! − ‰ + i‹ sign ‰). лБЛ Й ŒЩЫЕ, ОБН ВХДЕФ ХДПВОП УЮЙФБФШ ЖЕТНЙПОЩ ВЕУУРЙОПŒЩНЙ Й ŒПУУФБОПŒЙФШ ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ УРЙОБ Œ ЛПОГЕ.

œЩЮЙУМЙН ЙОФЕЗТБМ (5.94) РП !1;2, ЙУРПМШЪХС ФЕПТЕНХ лПЫЙ Й ФЕПТЙА ŒЩЮЕФПŒ.

108	змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ

тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ УМХЮБК ‰1 > 0 (ÒÉÓ. 5.4).

ω2+ iγ
ω2− iγ	ξ 1

òÉÓ. 5.4

рТПЙОФЕЗТЙТПŒБŒ РП !1, ОБИПДЙН
I =	1		d!2=2ı	:	(5.95)
	2‚		(!2 − ‰1 + i‚)(!2 − ‰2 + i‹‰2)

йОФЕЗТБМ ПФМЙЮЕО ПФ 0 ФПМШЛП РТЙ ‰2 < 0 (ÒÉÓ. 5.5).

ξ2

ξ1− iγ

òÉÓ. 5.5

œ ЬФПН УМХЮБЕ РПМХЮБЕН

I =	i „(‰1)„(−‰2)	(5.96)
	2‚ ‰2 − ‰1 + i‚

5.3. теыеойс

109

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ УМХЮБК ‰1 < 0 (ÒÉÓ. 5.6).

ξ1	ω2+ iγ
	ω2− iγ

òÉÓ. 5.6

рТПЙОФЕЗТЙТПŒБŒ РП !1, ОБИПДЙН

I =	1		d!2=2ı	:	(5.97)
	2‚		(!2 − ‰1 − i‚)(!2 − ‰2 + i‹‰2)
	ξ1		ω2+ iγ
			ω2− iγ

òÉÓ. 5.7

йОФЕЗТБМ ЪДЕУШ ПФМЙЮЕО ПФ 0 ФПМШЛП РТЙ ‰2 > 0 (ÒÉÓ. 5.7) É ÒÁŒÅÎ

I =	i „(−‰1) „(‰2)	(5.98)
	2‚ ‰1 − ‰2 + i‚

уПВЙТБС ЬФЙ ТЕЪХМШФБФЩ Œ ПДОП ŒЩТБЦЕОЙЕ, РПМХЮБЕН

	¸2 2			d‰1 d‰2
F2 = i	4‚0		‰1	−	‰2	| −	i‚	:	(5.99)
		‰1‰2<0 |

110	змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ

лБЛ ХЦЕ ПФНЕЮБМПУШ, НОЙНБС ЮБУФШ ln K‚ ОЕ ЙНЕЕФ ПФОПЫЕОЙС Л ŒПРТПУХ ПВ ПТФПЗПОБМШОПУФЙ. рПЬФПНХ ПУФБŒМСЕН ФПМШЛП ŒЕЭЕУФŒЕООХА ЮБУФШ:

Re F2	= −		4 0		(‰1		‰2)2 + ‚2 =
		¸2 2				d‰1 d‰2
				‰1‰2<0		−
			1		‰max 2‰ d‰			1	‰max2 + ‚2
	= −4 (¸ 0)2					‰2 + ‚2 = −		4 (¸ 0)2 ln	‚2	:
					0
йОФЕЗТБМ ПВТЕЪБЕФУС УŒЕТИХ РТЙ ‰max						≈ EF = p02=2m ‚, РПЬФПНХ ПЛПОЮБФЕМШОП
ЙНЕЕН			= −(‹02=2ı2) ln(EF =‚) ;
	Re F2							‹0 = ı¸ 0 :		(5.100)

хЮЕФ ДŒХЛТБФОПЗП УРЙОПŒПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС ДБЕФ ДПРПМОЙФЕМШОЩК НОПЦЙФЕМШ 2 Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (5.93) Й ŒУЕИ РПУМЕДХАЭЙИ ŒЩТБЦЕОЙСИ. œ ТЕЪХМШФБФЕ НОПЦЙФЕМШ 1=2 Œ (5.100) УПЛТБЭБЕФУС Й НЩ РТЙИПДЙН Л ŒЩТБЦЕОЙА (5.88).