Загребаев Методы обработки статистической информации в задачах контроля 2008
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ В ЗАДАЧАХ КОНТРОЛЯ ЯДЕРНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК
Учебное пособие
Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
Москва 2008
УДК 621.039.5 (075) ББК 31.46я7 М 54
Методы обработки статистической информации в задачах контроля ядерных энергетических установок: Учебное пособие / А.М. Загребаев, Н.А. Крицы-
на, Ю.П. Кулябичев, В.А. Насонова, Н.В. Овсянникова. – М.: МИФИ, 2008. – 388 с.
Приведены основы теории вероятностей, математической статистики, теории случайных функций и теории оценивания. Представлено большое количество практических задач из области физики ядерных реакторов, решение которых основано на использовании статистических методов.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям «Прикладная математика и информатика» и «Ядерные реакторы и энергетические установки», а также полезно инженерам и аспирантам, работающим в области математического обеспечения ядерно-энергетических систем.
Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы МИФИ.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Савандер
ISBN 978-5-7262-1001-8 |
© Московский инженерно-физический институт |
|
(государственный университет), 2008 |
О Г Л А В Л Е Н И Е
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................... |
|
6 |
|
Глава 1. |
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ |
|
|
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.......... |
9 |
||
1.1. Случайные величины и законы их распределения....................................... |
9 |
||
1.2. Статистические оценки параметров распределения.................................. |
56 |
||
1.3. Статистическая проверка статистических гипотез................................... |
79 |
||
1.4. Примеры законов распределения в физике ядерных реакторов............... |
92 |
||
|
1.4.1. |
Закон радиоактивного распада ........................................................ |
92 |
|
1.4.2. |
Вероятность взаимодействия. |
|
|
|
Макроскопические сечения взаимодействия.................................. |
93 |
|
1.4.3. |
Закон Пуассона. Регистрация частиц.............................................. |
94 |
|
1.4.4. Энергетические спектры нейтронов деления и замедления.......... |
96 |
|
Список литературы к главе 1 ............................................................................. |
106 |
||
Глава 2. |
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ.................. |
107 |
|
2.1. Общие свойства случайных функций....................................................... |
107 |
||
2.2. Операции над случайными функциями |
|
||
|
и их статистическими характеристиками................................................. |
114 |
|
2.3. Спектральное разложение стационарных случайных функций.............. |
118 |
||
2.4. Стационарные случайные процессы в динамических системах............. |
128 |
||
2.5. Примеры применения теории случайных функций |
|
||
|
в физике реакторов..................................................................................... |
132 |
|
|
2.5.1. Результаты статистической обработки реальных данных |
|
|
|
|
энергоблока с реактором РБМК (закон распределения, |
|
|
|
корреляционная функция плотности потока нейтронов)--------- |
132 |
|
2.5.2. Экспериментальное определение естественных функций |
|
|
|
|
реактора и их связь с собственными функциями ------------------ |
137 |
|
2.5.3. Вероятность образования локальных надкритических областей |
|
|
|
|
в активной зоне ядерного реактора ----------------------------------- |
154 |
Список литературы к главе 2 ---------------------------------------------------------- |
166 |
||
Глава 3. |
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ --------- |
168 |
|
3.1. Виды и формы моделей информационных процессов--------------------- |
171 |
||
|
3.1.1. Основные математические модели объъектов---------------------- |
171 |
|
|
3.1.2. |
Оптимальная настраиваемая модель---------------------------------- |
174 |
3.2. Свойства оценок и критерии качества в задачах |
|
||
|
статистической обработки информации-------------------------------------- |
177 |
|
|
3.2.1. |
Свойства оценок ---------------------------------------------------------- |
177 |
|
3.2.2. Критерии качества, функции потерь и штрафа |
|
|
|
|
в задачах оценки ---------------------------------------------------------- |
179 |
|
|
3 |
|
3.3. Статистические методы обработки данных |
|
при использовании полного объема информации -------------------------- |
183 |
3.3.1. Метод наименьших квадратов ----------------------------------------- |
183 |
3.3.2. Метод наименьших квадратов для линейных объектов ---------- |
184 |
3.3.3. Рекуррентная форма метода наименьших квадратов |
|
для линейных регрессионных объектов------------------------------ |
192 |
3.3.4. Метод наименьших квадратов для нелинейных объектов ------- |
197 |
3.3.5. Линейные несмещенные оценки с минимальной дисперсией |
|
ошибки оценки (марковские оценки)--------------------------------- |
199 |
3.3.6. Метод максимума правдоподобия ------------------------------------ |
201 |
3.3.7. Метод максимума апостериорной вероятности-------------------- |
203 |
3.3.8. Байесовские оценки ------------------------------------------------------ |
206 |
3.4. Рекуррентные сходящиеся алгоритмы при полной |
|
априорной информации о помехе---------------------------------------------- |
209 |
3.4.1. Метод стохастической аппроксимации для решения |
|
скалярных стохастических уравнений ------------------------------- |
209 |
3.4.2. Обобщение метода стохастической аппроксимации |
|
для решения задач идентификации ----------------------------------- |
214 |
3.4.3. Асимптотическая скорость сходимости |
|
рекуррентных алгоритмов ---------------------------------------------- |
215 |
3.4.4. Оптимальные рекуррентные алгоритмы идентификации-------- |
217 |
3.4.5. Оптимальная функция потерь------------------------------------------ |
223 |
3.4.6. Асимптотическая матрица ковариаций ошибок оценки |
|
при оптимальной функции потерь ------------------------------------ |
229 |
3.4.7. Абсолютно оптимальные рекуррентные алгоритмы-------------- |
231 |
3.4.8. Пример использования абсолютно оптимальных |
|
рекуррентных алгоритмов для идентификации параметров |
|
линейного регрессионного объекта----------------------------------- |
234 |
3.5. Использование принципов игрового подхода |
|
в задачах идентификации -------------------------------------------------------- |
236 |
3.5.1. Априорная информация о помехах и классах распределений--- |
236 |
3.5.2. Использование игрового подхода |
|
в задаче определения функции потерь ------------------------------- |
240 |
3.5.3. Свойства оптимальной функции потерь |
|
при неполной информации о помехе --------------------------------- |
246 |
3.5.4.Преобразование вариационной задачи определения функции потерь к задаче нелинейного математического
программирования-------------------------------------------------------- |
250 |
3.5.5. Определение функции потерь |
|
для регрессионных объектов. Алгоритм Хубера------------------- |
254 |
3.5.6. Идентификация параметров регрессионного объекта |
|
при α-загрязненном нормальном распределении помехи-------- |
259 |
3.6. Применение методов оценивания параметров при обработке |
|
реакторной информации --------------------------------------------------------- |
269 |
3.6.1. Метод максимума правдоподобия при аппроксимации |
|
макрополей нейтронов--------------------------------------------------- |
269 |
4
|
3.6.2. |
Определение постоянной времени графитовой кладки |
|
|
|
в пассивном эксперименте---------------------------------------------- |
272 |
|
3.6.3. |
Прогноз изменения оперативного запаса реактивности |
|
|
|
при работе реактора в переходных режимах------------------------ |
279 |
Список литературы к главе 3 ---------------------------------------------------------- |
286 |
||
Глава 4. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА |
|
||
В ФИЗИКЕ РЕАКТОРОВ------------------------------------------------------------------ |
288 |
||
4.1. Методы моделирования случайных величин |
|
||
|
с равномерным законом распределения -------------------------------------- |
288 |
|
4.2. Моделирование случайных величин с нормальным законом |
|
||
|
распределения ---------------------------------------------------------------------- |
293 |
|
4.3. Моделирование случайных величин с заданным видом |
|
||
|
корреляционной функции (метод формирующего фильтра) ------------- |
295 |
|
4.4. Пример математического моделирования ядерного реактора |
|
||
|
при случайных возмущениях в свойствах размножающей среды------- |
299 |
|
|
4.4.1. |
Математическая модель и статистические |
|
|
|
исследования параметров ячейки реактора ------------------------- |
300 |
|
4.4.2. |
Математическая модель плотности потока нейтронов |
305 |
|
|
в реакторе с обратными связями и системой регулирования---- |
|
|
4.4.3. |
Статистические исследования на математической модели |
|
|
|
ядерного реактора -------------------------------------------------------- |
320 |
Список литературы к главе 4 ---------------------------------------------------------- |
334 |
||
Глава 5. |
АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ |
|
|
В ЯДЕРНОМ РЕАКТОРЕ ПО ДИСКРЕТНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ-------------- |
335 |
||
5.1. Методика и алгоритм восстановления полей энерговыделения |
|
||
|
в ядерных реакторах типа ВВЭР ----------------------------------------------- |
335 |
|
5.2. Методика и алгоритм восстановления полей |
|
||
|
энерговыделения в ядерных реакторах типа РБМК------------------------ |
338 |
|
5.3. Методика и алгоритм восстановления полей |
|
||
|
энерговыделения в реакторах типа CANDU --------------------------------- |
343 |
|
5.4. Восстановление параметров при частично утраченной |
|
||
|
измерительной информации----------------------------------------------------- |
346 |
|
|
5.4.1. |
Оценка информационной избыточности системы |
|
|
|
контроля ядерного реактора-------------------------------------------- |
346 |
|
5.4.2. |
Определения расхода теплоносителя через топливный канал |
|
|
|
на основе информации об активности теплоносителя------------ |
353 |
|
5.43. |
Анализ информативности сигналов точечных |
360 |
|
|
и протяженных датчиков контроля физических полей ----------- |
|
|
5.4.4. |
Информационный подход к оптимизации количества |
|
|
|
и расположения датчиков внутриреакторного контроля--------- |
364 |
5.4.5.Восстановление аксиального распределения поля нейтронов в реакторе РБМК при частичной потере
измерительной информации-------------------------------------------- |
375 |
Список литературы к главе 5 ---------------------------------------------------------- |
384 |
5
ВВЕДЕНИЕ
Характерной чертой современного развития ядерной энергетики является повышение требований к безопасности ядерных энергетических реакторов. Повышение безопасности ядерной энергетики может осуществляться по нескольким направлениям: проектирование новых ядерных энергоблоков, обладающих свойствами внутренней самозащищенности, модернизация систем управления и защиты существующих энергоблоков и т.д. При этом существующие математические модели, как правило, описывают реактор как детерминированный объект. Вместе с тем, практика эксплуатации показывает, что отличительной особенностью реактора как объекта моделирования, контроля и управления является наличие большого числа пространственно распределенных возмущающих факторов, например, вибрация тепловыделяющих сборок, колебания органов управления, случайные колебания расхода теплоносителя и др. По этой причине решение ряда задач, связанных со случайными возмущениями параметров не может быть рассмотрено в рамках существующих детерминированных подходов. В этой связи актуальным представляется подход к реактору как к объекту со случайными параметрами и, в соответствии с этим подходом, разработка его математической модели, алгоритмов контроля и управления.
На начальной стадии развития ядерной энергетики вероятностный подход отражал тот факт, что процессы взаимодействия нейтронов с веществом имеют по своей природе стохастический характер. С этих позиций процессы в реакторе рассматриваются в теории шумов уже на протяжении почти пятидесяти лет. За это время разработаны экспериментальные методы определения параметров реактора, ставшие классическими (например, методы Росси, Фейнмана, Могильнера и др.). Эти методы применимы в основном для реактора нулевой мощности и в качестве причины статистических флюктуаций рассматривается различие в числе нейтронов,
6
образующихся при делении ядра, и вероятностный характер взаимодействия нейтрона с ядром. Вместе с тем, отметим, что расчетные методы, в основе которых лежит случайный розыгрыш судьбы нейтрона (семейство методов Монте-Карло) с успехом применяются в настоящее время.
Следующим этапом развития вероятностного подхода можно считать его применение для анализа ситуаций, возникающих в активной зоне энергетического реактора вследствие случайностей, обусловленных технологическими неопределенностями при изготовлении тепловыделяющих сборок, графитовых колонн и т.д. На данном этапе решались задачи определения средней плотности потока нейтронов в неоднородной среде, возможности образования локальных критических зон при загрузке реактора и распределения энерговыделения по активной зоне. При этом элемент случайности здесь переносится на макроскопические сечения взаимодействия. Важным моментом здесь было осознание исследователями того факта, что в реальной ситуации нельзя, используя детерминированные математические модели, предсказать распределение энерговыделения в активной зоне физически большого реактора. Это обстоятельство нашло свое отражения в современных алгоритмах восстановления полей на основе данных внутриреакторного контроля.
Наконец, внедрение современной вычислительной техники обеспечило возможность накапливать и обрабатывать большие объемы расчетно-экспериментальной информации непосредственно в процессе работы реактора. Например, на энергоблоках с реакторами РБМК в штатном режиме работы информация о наиболее важных параметрах записывается с интервалом в несколько минут. Это обстоятельство позволяет применять стохастический подход при исследовании поведения важнейших пространственнораспределенных расчетно-экспериментальных параметров, считая их случайными величинами и случайными функциями.
Таким образом, актуальность и целесообразность изучения и использования методов обработки статистической информации для решения научно-практических задач не вызывает сомнений.
Вместе с тем, когда авторы начинали работу над этой книгой, возникали многочисленные споры: какой материал в ней излагать, в каком объеме, с какой степенью математической строгости, в ка-
7
кой последовательности, в каком стиле и др. Споры продолжались до тех пор, пока авторы не договорились о том, для кого, собственно, эта книга предназначена. По мнению авторов, эта книга будет полезна студентам-физикам, избравшим своей специальностью физику ядерных реакторов и студентам, избравшим своей специальностью математическое обеспечение ядерно-энергетических систем. Первым она будет полезна, потому что они смогут ознакомиться с методами решения физических задач, им до этого не известных – например, методами теории случайных функций, теории оценивания, методами цифровой фильтрации и др. Вторым она будет полезна, потому что они ознакомятся с конкретными физическими задачами, где применяются известные им методы. В качестве примеров конкретного использования методов статистической обработки информации авторы приводят, в основном, задачи из своей научной практики.
По поводу строгости и полноты изложения было решено, что авторы не будут приводить математические доказательства известных положений из теории вероятностей, теории случайных функций, теории оценивания и др. Интересующиеся найдут эти доказательства в литературе, список которой приводится в конце каждой главы. О стиле изложения пусть судят читатели, но мы старались, чтобы студенту были понятны основные идеи, изложенные в книге, с минимальными затратами их умственных способностей и времени.
8
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Статистические методы обработки информации имеют в своей основе теорию вероятностей [2, 4, 7, 8]. В этой связи необходимым представляется напомнить основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей.
Теория вероятностей устанавливает законы в массовых случайных явлениях. Только при наличии массы наблюдений в одних и тех же условиях и есть возможность установить закономерность в случайных явлениях. Под случайностью понимают непредсказуемость, являющуюся результатом незнания, неосведомлённости и отсутствия необходимой информации.
1.1. Случайные величины и законы их распределения
Некоторые сведения из алгебры событий. Определим случай-
ное событие как факт, который может либо произойти, либо не произойти.
Введем следующие обозначения.
1.A B – событие A включает событие B, т.е. если произошло событие A, то событие B тем более реализовалось.
2.A = B – равносильные события.
3.C = A B – произведение событий. Событие С состоит в одновременном наступлении событий A и B.
4.C = A + B – сумма событий состоит в том, что наступает хотя бы одно из событий A или B.
5.A B =V – события A и B называются несовместными, если они не могут реализоваться одновременно.
9
6. A1...An – события образуют полную группу событий, если хо-
n
тя бы одно из них непременно происходит: ∑Ai = A1 +.. + An .
i=1
7. Два несовместных события A и A , образующих полную группу, называются противоположными.
Классическое определение вероятности. Пусть имеется пол-
ная группа из n попарно несовместных и равновозможных элементарных событий (исходов). Если событие A может реализоваться m элементарными исходами, то вероятность события A вычисляется
как P( A) = mn , где m – число исходов, благоприятствующих собы-
тию A, а n – общее число исходов.
Определим, например, вероятность события A, состоящего в том, что в результате бросания игральной кости выпадет четное число. Понятно, что такое событие может реализоваться тремя элементарными исходами: выпадает число 2, выпадает число 4, выпадает число 6. Таким образом, благоприятных элементарных
исходов 3, а общее число исходов 6. Поэтому P( A) = 63 = 12 .
Из данного определения вероятности, легко выводятся следствия:
1) вероятность достоверного события равна 1; если m = n , то
P( A) =1 ;
2) вероятность невозможного события равна 0; если m = 0 , то
P( A) = 0 ;
3) вероятность противоположного события равна P( A) = =1− P(A) .
Геометрическое определение вероятности. Классическим оп-
ределением вероятности легко пользоваться тогда, когда Вы можете посчитать число возможных исходов, а как быть, если это сделать невозможно, например, когда число исходов бесконечно? Например, Вы настолько плохой стрелок, что можете попасть только в квадрат мишени, причем в совершенно произвольное место. Пусть в мишени, как обычно, нарисованы концентрические круги,
10