Распределение Стьюдента

Распределением Стьюдента с k степенями свободы

называется распределение случайной величины Т(k), равной

	T k		U
			2	k
				k

где U имеет нормальное распределение N(0, 1). Величина, имеющая распределение Стьюдента с k степенями свободы будет также обозначаться t(k).

102

Плотность распределения Стьюдента

k = ∞ – нормальное распределение

103

Распределение Фишера

Распределением Фишера с k1 и k2 степенями свободы называется распределение случайной величины F(k1, k2), равной

2 k1

F k1, k2 2 k2 k1 . k2

104

Теорема Фишера

Пусть (X1, X2,..., Xn) – выборка из N(a, ).

Тогда:

1)

x N (a,

)

n

a

2)

x

N (0;1)

n

3)nS22 2 n 1

4)X и S 2 независимы.

105

Теорема

Пусть (X1, X2,..., Xn) – выборка из N(a, ). Тогда:

					a
			x					T .
					s
								n 1
				n 1

106

Лекция 14. Точечное оценивание параметров

Основная задача математической статистики состоит в нахождении распределения наблюдаемой случайной величины Х по данным выборки. Во многих случаях вид распределения Х можно считать известным, и задача сводится к получению приближенных значений неизвестных параметров этого распределения.

107

Точечные оценки

Рассмотрим параметрическую модель (Fθ) и

выборку (X1, X2,..., Xn) . (То есть известен вид функции распределения F, и F зависит от одного неизвестного параметра θ).

Точечной оценкой неизвестного параметра θ называется функция элементов выборки, используемая для получения приближенного значения θ.

108

Несмещенность

Оценка параметра θ называется

несмещенной, если

M ( )

Доказывали, что M x a. Значит, в любом распределении, у

которого математическое ожидание равно параметру, выборочное среднее есть несмещенная оценка этого параметра.

109

Несмещенные оценки в N(a,σ)

				MS2 n 1
					2.				2 2.
M		a.					MS
	x
				n

В N(a,σ):

выборочное среднее – несмещенная оценка параметра a,

выборочная дисперсия – смещенная оценка σ2,

исправленная выборочная дисперсия – несмещенная оценка σ2.

110

Состоятельность

Оценка параметра θ называется

состоятельной, если

p

т.е.

P ) 0

при n

111